Počet differenciální

Transkript

1 Počet differenciální Obsah In: Karel Petr (author): Počet differenciální Část analytická (Czech) Praha: Jednota československých mathematiků a fysiků, 1923 pp [IX] XVI Persistent URL: Terms of use: Jednota československých mathematiků a fysiků Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use Each copy of any part of this document must contain these Terms of use This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 O B S A H Část prvá Základní pojmy a pomůcky I Úvod Čísla irracionálná 1 3 Některé připomínky o číslech racionálných 4 5 Definice řezu v souhrnu čísel racionálných G Definice čísel irracionálných 7 O rozšíření základních operaci arithm pro čísla irracionálná 8 Sčítání jčísel reálných 9 Násobení čísel reálných I 10 Opětované provádění sčítání a násobení čísel reálných 11 Odčítání čísel reálných 12 Dělení čísel reálných ]3 Odčítání a dělení čísel reálných jsou výkony jednoznačné 14 Porovnání čísel reálných dle velikosti 15 Mezi dvěma různými reálnými čísly jest nekonečné množství čísel racionálných 16 Souhrn čísel irracionálných jest všude hustý 17 Definice řezu v souhrnu čísel reálných všude hustém, 18,Absolutní hodnota čísel reálných a příslušné věty 19 n-tá odmocnina z reálného čísla 20 Mocnina s reálným exponentem 21 'Definice lognrithmu 1 2 o II O limitách 22 Množství číselná 23 Veličina proměnná a některá jiná často používaná pojmenování a zkratky, 24 Horní a dolní hranice množství číselného 25 Body zhuštění, 26 Definice, limity 27 O existenci limit v řadách čísel stále rostoucích (klesajících) 28 Věta Bolzano-Cauchyova 29 Nej větší a nejmenší z limit 30 Pravidla pro počítání s limitami u

3 X 31 Některé další věty o limitách -32 Příklady pro počítání limit Užití pojmu limity a příslušných vet k definici funkce e x a čísla e " 36 Přirozený logarithmus 37 Několik limit 38 Eulerova konstanta jako limita III Součty nekonečných řad, nekonečné součiny 39 Definice součtu a konvergence nekonečné řady - 40 Nutná a postačující podmínka pro konvergencprady nekonečné^ 41 Některé z definice pí-ímo vyplývající věty o konvergenci rad Konvergence absolutní a relativní 42 Nekonečné řady s kladnými členy 43- Některá specielní kriteria pro konvergenci řad s kladnými členy 44 Kriteria limitní pro konvergenci řad s klad cleny 45 ifady s kladnými, fe rostoucím indexem ubývajícími členy 46 fíady absolutně konvergentní,, 17 Hady relativně konvergentní 48 fiady alternující 49 Kada Vj - V2 + Va U Věta Eiemannova pro řady relativně konvergentní 51 Dirichletovo a Ábelovo kriterium konvergence 52 Skládání a rozkládání nekonečných řad 53 Řady dvojné : 54 Transformace Olausenova 55 Sady množné (o členech s několika indexy) 56 Násobení íad ' 57 O numerickém výpočtu součtu nekonečných řad 58 Eulerova transformace nekonečné rady 59 Kummerova methoda pro výpočet součtu nekonečných řad 60 Nekonečné součiny Definice konvergence 61 Součiny, v nichž čísla Ut jsou vesměs téhož znaménka 62 Součiny absolutně konvergentní 63 Jiné odvození vět o součinech absol konvergentních 64 Dvojné součiny 65 Součiny relativně konvergentní i IV Funkce jedné proměnné; zvláště funkce spojité ( Pojem funkce Některé jednoduché funkce Funkce konečná Konečný obor Oscilace funkce Věta o horní hranici hodnot funkce konečné Intervaly zavřené a otevřené O limitách funkcí Jiné limitní pojmy při funkcích o jedné proměnné Funkce inonotonni, ryze monotonní Horní a dolní limita funkční _

4 XI StrRn 74 O podmínkách pro existenci limity funkce 75 Věta Bolzano-Cauchyova o limitách funkcí 76 Funkce spojité Základní věty o funkcích spojitých 82 Funkce inversní 83 NTěkteré příklady diskontinuit» ,í 107 Hp 113 V Přehled o funkcích elementárních Funkcionální rovnice 84 Elementární funkce 85 Řešeni funkcionální rovnice f (x) + / (x'j =f 86 Kešení dalších rovnic funkcionálních 87 Věta binomická 88 Rozvoj logarithmický Funkce goniometrické 91 Rozvoj funkce sin x v nekonečný součin 92 Formule Wallisova 93 Rozvoj cos x v nekonečný součin 94 Funkce cyklometrické (x + x') H Část druhá Počet diferenciální pro fankci o jedaé proměnné VI Derivace funkce jedné proměnné 1 Základní definice Definice derivace V bodě, ve kterém má funkce derivaci, jest funkcí spojitou Geometrický význam derivace Pravidla pro počítání derivací : Derivace elementárních funkcí Některá rozšíření pojmu derivace Derivace zprava a derivace z leva ]01 Derivace funkce v intervalu Primitivní funkce 2 Včti/ obecné o derivaci Funkce rostoucí (klesající) v bodě Věta Rolleova Věta o střední hodnotě Geometrické znázornění věty o střední hodnotě Zobecnění věty o střední hodnotě Některé jednoduché důsledky věty o střední hodnotě Funkce rostoucí (klesající) v intervalu Derivace v okolí bodu, ve kterém má funkce diskontinuitu

5 XÍI O funkcích, jež mají derivaci ve všech bodech intervalu (a, b) ' 113 O funkcích graficky zobrazitelných (o čarách názoru přístupných) 114 O funkcích spojitých nemajících derivace 115 Čtyři čísla derivovaná 3 Příklady pro vžití věty o střední hodnotě Vyjádření funkcí arctg x a log ( l + z ) polynomy Definice cos x, sin x rovnicemi differenciálními Kriterium konvergence Cauchvovo Stanovení zbytku řady 4 O nekonečných radiích, jichž členové jsou funkce proměnné veličiny 120 Stejnoměrná konvergence nekonečných rad 121 Stanovení primitivní funkce ku funkci dané řadou stejnoměrně konvergentní v (a, b) 122 Výpočet lim («! (x) + Ma (x) + v3 (x) - ( - ), je-li neko1=10 nečná rada v okolí bodu x0 stejnoměrně konvergentní Derivace nekonečné řady 123 Konvergence zpola stejnoměrná nekonečných řad * Rozšíření vět odst ** Podmínky pro platnost rovnice lim [lim«,,,] = lim [lim«id ] ZJ=CG D H M=0» VE Derivace vyšších řádů; řada Taylorova a řady mocninné vůbec, příslušná použití 1 Definice derivaci vyšších, řádil Definice derivací vyšších řádů Některé jednoduché příklady Leibnicova formule Funkce liché a funkce sudé Derivace vyšších řádů jakožto limity Označení differenc-iální, 2 Formule Taylorova Úkol formule Taylorovy Odvození formule Taylorovy Zbytek (člen doplňující) ve formuli Taylorově Sada Taylorova (Maclaurinova) 3 Použití řady Taylorovy na elementární funkce počtu těchto funkci 134 Exponenciální funkce 1-35 Funkce cos x sin x a o numerickém, vý

6 XIII 136 V ě t a b i n o m i c k á fiada logarithmická O počítání tabulek logarithmických Funkce are tg x a výpočet čísla JI Funkce are sin a; Příklad rozvoje složitější funkce ' Ji Základní věty o řadách potenčních (mocniných) '-142 Poloměr konvergence mocninné řady fiada mocninná jest uvnitř intervalu konvergentního funkcí spojitou, mající derivaci Výpočet této derivace Rozvoj rady potenční v řadu Taylorovu 146 Body nullové uvnitř intervalu konvergenčního jsou body isolované Věta o neurčitých součinitelích 147 Pokračování analytické u funkce dané řadou potenční 148 Potenční řady na hranici intervalu konvergenčního Věta Ábelova 151 Césarovy arithmetické středy 152 Majorantní funkce (řada) 153 Dosazení řady potenční do jiné rady potenční 154 Dělení řadou potenční, 155 Funkce inversní ku funkci dané řadou potenční 5 Některé, příklady k užití obecných vět o řadách mocninných Rozvoje funkcí cos n (are sin x), sin n (are sin >:) 239 Rozvoj jistých nekonečných součinů v řady mocninné Rozklad funkce ('-'x + e x ) v nekonečný součin 243 Čísla Bérnoulliská 244 Rozvoje funkcí tg x, cotg a;, sec x, cosec x 245 n-tá derivace funkce funkce 247 Řada Lagrangeova, Burmannova Pravé hodnoty výrazů 163 Význam, rčení»pravá hodnota«164 Limita podílu spojitých funkcí 165-Další věty pro limitu podílu 166 Věta l'hospitalova Rozšíření výsledků odst Různé obraty vhodné pro výpočet limit 7 O maximech a minimech neurčitých funkce jedné ; 25S , proměnné 170 Definice absolutního extrému 171-Relativní extrém (maximum, minimum) 112 Podmínky pro relativní extrém 73 Přiklad 174 Relativní extrém v bodech, ve kterých funkce nemá derivaci

7 XIV Č á s t třetí Počet differenciální pro funkce o několika proměnnách VIII Základní pojmy, u funkcí o několika proměnných Dvě neodvisle proměnné; obor dvojice neodvisle proměnných Odchylka (vzdálenost) dvou bodů Okolí bodu Hranice oboru V každém oboru 2 (nehledě k oborům»celým«) jsou body hraniční Obory konečné Body zhuštění Funkce dvou proměnných Funkce konečná Věta o horní hranici funkce v konečném oboru Limita řady bodové Limita funkce o dvou proměnných Několik proměnných (základní pojmenování a věty) Funkce o «proměnných Obory pro neodvisle proměnnou nejčastěji používané Funkce spojitá n proměnných Základní vlastnosti funkcí spojitých a, b Rozšíření vět o funkcích spojitých ? IX Derivace a differenciály funkcí o několika proměnných 192 Derivace parcielní funkcí o dvou proměnných 193 Differenciály parcielní (částečné) 194 Differenciál totální funkce o dvou proměnných 195 Podmínky, aby funkce měla totální differenciál Derivace a differenciály funkcí složených 198 Derivace parcielní druhého řádu 199 Druhá věta udávající podmínky pro záměnnost pořadu derivací 200 Derivace vyšších řádů 201 Totální differenciály vyšších řádů při funkcích o dvou prom 201«Jiná definice totálních differenciálů 202 O rovnicích mezi differenciály 203 Derivace parcielní funkcí o více proměnných 204 Totální differenciál funkce o několika proměnných 205 Částečný differenciál funkce o několika proměnných 205n Podmínky pro existenci totálního differenciálů v daném bodě 206 Derivace parcielní a totální diff vyšších řádu u funkcí o více proměnných 207 Derivace a differenciály funkce funkcí Věta Eulerova pro homogenní funkce 208 Formule Taylorova pro funkce o několika proměnných )

8 XV Bady mocninné o dvou a několika proměnných ' Definice a základní věta Obor konvergence Druhá základní věta Příklady Derivace parcielní mocninných řad o dvou proměnných Derivace vyššího řádu Věta o neurčitých součinitelích Věta Taylorova pro mocninné řady o dvou proměnných Majorantní funkce, Dosazování řad mocninných do rad mocninných o dvou měnných 217 fiady mocninné o více proměnných, pro33 Í 339 X Funkce implicitní Funkcionální determinanty Definice implicitní funkce 340 Implicitní funkce o jedné neodvisle proměnné 340 Jiný důkaz a rozšíření věty o implicitní funkci 342 Další zobecnění věty o implicitních funkcích 346 Výpočet derivací vyšších řádů u funkcí implicitních 349 Funkcionální determinant 350 Věty o funkcionálních determinantech 352 Funkce závislé 355 Řešení m lineárních rovnic o n neznámých " 359 Kvadratická forma, jejíž diskriminant jest hodnosti n-té 369 XI Záměna proměnných 3>61 22G Úkol Zavedení nové neodvisle proměnné 11 Úkol Zavedení nových neodvisle proměnných Zavedení polárních souřadnic do differenciálních parametrů Orthogonální substituce Transformace differenciálních parametrů orthog subst Doplněk k větě Eulerově o homogenních funkcích Transformace funkcionálního determinantu obecnou lineární substitucí '233 Polárn,, 234 Hessien; diskriminant kvadratické formv '235 Obecné substituce orthogonální '236 Souřadnice elliptické ' Úkol Zavedení nové neodvisle i odvisle proměnné IV Úkol Zavedení nových neodvisle a zároveň nové odvisle proměnné 240 Jiná methoda pro řešení IV úkolu 241 Invarianty differenciální pro orthogonální substituci XIP O maximech a minimech funkcí o několika proměnných 242 Definice a nutné podmínky pro existenci extrému Postačující podmínky

9 XVI Oditavec 245 Nutné a postačující podmínky, aby kvadratická forma byla formou kladnou 24C Vyslovení postačujících podmínek pro existenci extrémů na základe věty odst predch Příklady 247 Důkaz fundamentální věty algebry 248 Relativní extrémy implicitních funkcí 249 Extrémy vázané,,,,, 250 Methoda multiplikátorů (Lagrangeova) Příklady Věta Hadamardova o determinantech 251 Základní věta o dvou formách kvadratických XIII O užití řád potečních ku vyšetřování funkcí implicitních 252 O funkcích implicitních v případě, že levé strany rovnic je definujících jsou dány potenčnúni řadami 253 Rozšířeni věty o implicitních funkcích pro libovolný počet rovnic (a odvisle proměnných) 254 Ííada Lagrangeova pro několik proměnných 255 Věta Weierstrassova 25(5 Definice rčení:»funkce y proměnné x jest v bodě x -0 řádu «v a:«polygon Newtonův Užití věty Weierstrassovy k dalšímu rozkladu rovnice definující implicitní funkci y proměnné x ' 259 Vyšetřování faktorů tak vzniklých 260 Stanovení implicitních funkcí řadami v nejjednodušším případě, \ 261 Jlesení iiplné 262 Přehled vylíčeného postupu Příklad 263 Případ semidefinitní při vyšetřování extrému u funkcí o dvou proměnných Opravy