Jan Slov k. Polynomi ln objekty. z pisky z p edn ek zpracoval Ale K enek

Jan Slov k Geometrick algoritmy II. Polynomi ln objekty z pisky z p edn ek zpracoval Ale K enek

OBSAH i Obsah 1 Ann variety 1 1.1 Z kladn pojmy ::::::::::::::::::::::::::::::: 1 1.2 Parametrizace :::::::::::::::::::::::::::::::: 3 1.3 Ide ly :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 1.4 Dimenze 1 :::::::::::::::::::::::::::::::::: 6 2 Grobnerovy b ze 9 2.1 D len se zbytkem :::::::::::::::::::::::::::::: 9 2.2 Monomi ln ide ly ::::::::::::::::::::::::::::: 12 2.3 Dicksonovo lemma ::::::::::::::::::::::::::::: 12 2.4 Hilbertova v ta ::::::::::::::::::::::::::::::: 14 3 Buchberger v algoritmus 17 3.1 Krit ria pro Grobnerovy b ze ::::::::::::::::::::::: 17 3.2 Algoritmus :::::::::::::::::::::::::::::::::: 20 3.3 Redukovan b ze :::::::::::::::::::::::::::::: 21 3.4 Zefektivn n algoritmu ::::::::::::::::::::::::::: 23 4 Teorie eliminac prom nn ch 28 4.1 Eliminace :::::::::::::::::::::::::::::::::: 28 4.2 V ta o roz en ::::::::::::::::::::::::::::::: 29 4.3 Existence spole n ch ko en :::::::::::::::::::::::: 29 4.4 D kaz v ty o roz en ::::::::::::::::::::::::::: 32 4.5 Hilbertova v ta o nul ch :::::::::::::::::::::::::: 33 4.6 V ta o uz v ru ::::::::::::::::::::::::::::::: 35 4.7 Korespondence ide l a variet ::::::::::::::::::::::: 36 5 Aplikace 38 5.1 e itelnost syst m rovnic ::::::::::::::::::::::::: 38 5.2 Polynomi ln a racion ln implicitizace :::::::::::::::::: 40 5.3 Algebraick k ivky ::::::::::::::::::::::::::::: 42 5.4 Ob lky syst mu k ivek ::::::::::::::::::::::::::: 44 6 Algebraick d kazy geometrick ch tvrzen 48 6.1 Metoda Grobnerov ch baz ::::::::::::::::::::::::: 48 6.2 P klady ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 50

ii OBSAH Pozn mka vodem Druh st p edn ky geometrick algoritmy je daleko bli ist matematick teorii ne st p edchoz. S t m jist souvis pozorovan nechu podstatn sti student informatiky tuto st studovat. V m v ak, e pr v uva ov n nad matematick m formalismem inn t b analytick schopnosti, proto jsem po vah ch o vesm s line rn zadan ch objektech v prvn sti p edn ky zvolil pr v matematicky podstatn n ro n j teorii popisuj c algoritmick p stup k probl m m spojen m s vz jemnou polohou objekt zadan ch algebraick mi rovnicemi. st edn m pojmem a n strojem jsou zde tzv. Grobnerovy b ze a algoritmus pro jejich sestrojen. T m z rove pod v m vod do algoritmick ho p stupu kekomutativn algeb e a element rn algebraick geometrii a p edstavuje se tak jeden ze z kladn ch pil ka d sou asn implementace tzv. po ta ov algebry. Pro jednoduchost nevych z text z r mce okruh polynom v ce prom nn ch nad re ln mi nebo komplexn mi skal ry. U ite nost odvozen ch v sledk se sna m p edv st na (algoritmick m) e en praktick ch aplikac ( e en a e itelnost syst m algebraick ch rovnic, implicitizace parametrick ch popis variet, singularity a ob lky algebraick ch k ivek, algebraick (po ta ov ) d kazy geometrick ch tvrzen ). V m, e studium t chto text p isp je k vzd l n student, kte si k t to problematice najdou cestu. T k ho kolu seps n t chto u ebn ch text se ujal pan Ale K enek, touto cestou mu moc d kuji. Tak jako v p edchoz sti, texty vznikly na z klad m ch p edn ek prakticky bez moj dal asti a podle m ho n zoru se Ale sv ho kolu zhostil v born. Samoz ejm, za obsahovou str nku mus m ru it s m. Jak koli koment e, dotazy, v hrady apod. pos lejte pros m na adresu slovakmath.muni.cz. Brno 1995, Jan Slov k

1 1 Ann variety V t to a n kolika n sleduj c ch kapitol ch se budeme zab vat form ln m apar tem, kter m e m t mnoho aplikac v ude, kde se pracuje s objekty nebo d ji popsateln mi polynomy, resp. syst my polynomi ln ch rovnic. Jedn se nap klad o Hled n p slu nosti bodu k n jak mu t lesu Hled n extr m na plo e Anal za pohyb sou st n jak ho stroje atd. 1.1 Z kladn pojmy P istupme nejprve k form ln mu apar tu, konkr tn ch aplikac sesnaddo k me pozd ji. 1.1 Denice. Monomem v prom nn ch x 1 ::: x n nad polem k nazveme v raz x 1 1 x n kde i 2 N. Za stupe tohoto monomu (zna me deg x 1 1 x n n )pova ujeme slo 1 + + n. Zav d me pojem multiindexu pro =( 1 ::: n ) a pro zjednodu en p eme x = x 1 1 x n n a jj = 1 + + n. Polynomem v prom nn ch x 1 ::: x n nad polem k rozum me X a x kde a 2 k asumajekone n Mno inu v ech polynom v prom nn ch x 1 ::: x n nad polem k ozna me k[x 1 ::: x n ]. S t n na n je vcelku z ejm (u stejn ch monom se se tou koecientyvk), n soben denujeme takto (ax ) (bx ):=(ab)x + T m jsme denovali strukturu okruhu 1. Za stupe polynomu pova ujeme maximum stup jeho monom v dan m uspo d n multiindex. To bylo jist pouh opakov n z algebry, p istupme d le. 1.2 Denice. Ann m n-rozm rn m prostorem rozum me k n = k k {z } n se standardn ann strukturou. Polynom f = P a x 2 k[x 1 ::: x n ] lze pochopiteln p irozen m zp sobem ch pat jako zobrazen f : k n! k denovan n, f(u 1 ::: u n ):= X a u kde u = u 1 1 u n n Plat implikace, e pokud f 2 k[x 1 ::: x n ] je identicky roven 0 (tj. z denice a =0 pro ka d ), pak je f : k n! k nulov zobrazen. Obr cen ale nemus obecn platit, 1 Nep tel nech si samostatn dok e, e je tomu skute n tak.

2 1 AFINN VARIETY 0.8 0.6 0.4 0.2-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.2-0.4-0.6-0.8 Obr. 1: V((x 2 + y 2 ) 3 ; 4x 2 y 2 ) uva me t eba k = Z 2, f = x 2 ; x. Z ejm f(x) =x(x ; 1)=0naZ 2 pro ka d x, ale f nen nulov polynom. Ve dvou prom nn ch sta vz t g(x y) =x 2 y + y 2 x. Obecn pro ka d prvo slo p a a 6= 0 plat a p;1 =1vZ p, a tedy x p ; x je v dy nulov zobrazen. 1.3 V ta. Nech k je nekone n pole, f 2 k[x 1 ::: x n ].Pak f =0v k[x 1 ::: x n ] pr v tehdy, kdy f : k n! k je nulov zobrazen. D kaz: Indukc podle n. Je-li n = 1, pak m ka d polynom stupn r>0 nejv e r ko en. Pokud je f nulov zobrazen, musel by polynom m t nekone n mnoho ko en, a tedy je stupn 0 nebo nulov. Konstantn polynom, kter je nulov m zobrazen m, ov em mus b t nutn nulov. Induk n krok. M eme ps t f = P i g i (x 1 ::: x n;1 )x i n. Pro pevn zvolen hodnoty x 1 ::: x n;1 je f polynom jedn prom nn, a tedy g i (x 1 ::: x n;1 ) = 0. To plat pro libovolnou volbu x 1 ::: x n;1, tedy g i jsou nulov zobrazen a podle induk n ho p edpokladu i nulov polynomy. 1.4 D sledek. Pro nekone n pole a polynomy f g 2 k[x 1 ::: x n ] plat f = g pr v tehdy, kdy f g: k n! k jsou stejn zobrazen 1.5 Denice. Nech f 1 ::: f s 2 k[x 1 ::: x n ]. Ann varietou v k n ur enou polynomy f 1 ::: f n nazveme mno inu V(f 1 ::: f s )= n (a 1 ::: a n ) 2 k n j f i (a 1 ::: a n )=0 i =1 ::: s o Ann variety jsou nap klad v echny ku elose ky, kvadriky a nadkvadriky singul rn i regul rn. Ze zaj mav j ch dvourozm rn ch uve me ty l stek (obr. 1) { varietu V((x 2 +y 2 ) 3 ;4x 2 y 2 ), z trojrozm rn ch pak obr zek z tituln strany{v(x 2 ;y 2 z 2 +z 3 ), Whitneyho de tn k (obr. 2) { V(x 2 z ;y 2 ), kter obsahuje celou p mku fx =0 y =0g, akone n Enneperovu plochu (obr. 3). Varieta ur en v ce polynomy je pak pr nik variet jednotliv ch polynom. Tedy nap klad V(x 2 + y 2 ; 1 z) je kru nice se st edem (0 0 0), polom rem 1 le c v rovin xy. D le V(xz yz) je sjednocen p mky x =0,y =0aroviny z = 0, proto e pro body t chto dvou tvar jsou oba polynomy xz yz nulov.

1.2 Parametrizace 3 Obr. 2: Whitneyho de tn k 1.6 V ta. Nech V = V(f 1 ::: f s ) W = V(g 1 ::: g t ) k n jsou ann variety.potom i V [ W V \ W jsou ann variety a plat V \ W = V(f 1 ::: f s g 1 ::: g t ) V [ W = V(f i g j ) pro 1 i s, 1 j t Na posledn m p klad se objevuje prvn probl m { jak ch pat dimenzi. Sta zm n n p mka, abyvarieta byla t rozm rn, nebo ji je t budeme pova ovat za dvojrozm rnou s jistou anom li? V n sleduj c sti se mimo jin pokus me zodpov d t ot zky, kter se v souvislosti svarietami bezprost edn nab zej. 1. Plat V(f 1 ::: f s )=? 2. Je V(f 1 ::: f s )kone n mno ina? 3. Jak lze ch pat pojem dimenze v p pad variet? Jakseuk e, tyto probl my lze rozumn e it pro variety v oboru komplexn ch sel (resp. pro v echna algebraicky uzav en pole), pro sla re ln je to komplikovan j a velmi zl pro obecn pole, tj. nap klad racion ln sla 2. 1.2 Parametrizace Pro n kter ryze praktick operace s varietami je vhodn pou vat implicitn reprezentaci (tedy a dosud pou van vyj d en ), nap. pro zji t n, zda dan boddovariety pat i nikoli, jindy je naopak daleko u ite n j vyj d en parametrick. O co se p esn jedn, uk eme na p kladech. V(x+y +z ;1 x+2y ;z ;3) ud v p mku (pr nik dvou rovin). e me-li syst m x + y + z ; 1=0 x +2y ; z ; 3=0 2 Takov rozhodnut, zda V(xn + y n ; z n )= vede na velkou Fermatovu v tu.

4 1 AFINN VARIETY Obr. 3: Enneperova plocha dostaneme p mo parametrick vyj d en t to p mky x = ;1 ; 3t y =2; 2t z = t V n sleduj c m se pokus me o precizn a obecn vyj d en parametrizace. 1.7 Denice. Nech k je pole a f g 2 k[t 1 ::: t n ] polynomy. Pak f=g nazveme racion ln funkc nad polem k. Mno ina racion ln ch funkc rozlo en na t dy ekvivalence podle f=g = h=l () f l = g h v k[t 1 ::: t n ] tvo pod lov t leso okruhu polynom k[t 1 ::: t n ] zna me k(t 1 ::: t n ). 1.8 Denice. Racion ln parametrickou reprezentac variety V(f 1 ::: f r ) k n rozum me racion ln funkce r 1 ::: r n 2 k(t 1 ::: t s ) spl uj c n sleduj c podm nky Je-li x i = r i (t 1 ::: t s ) pro i =1 2 ::: n pak (x 1 ::: x n ) 2 V(f 1 ::: f r )pro libovoln t 1 ::: t s. V(f 1 ::: f r ) je minim ln ann varieta obsahuj c takto dan body (x 1 ::: x n ). V t to souvislosti se nab z dal ot zky. 4. Existuje parametrizace dan variety, resp. lze ji nal zt? 5. Naopak, existuje (lze nal zt) k parametricky zadan variet implicitn popis? Obecn odpov na prvn z t chto ot zek je z porn. V podstat lze tvrdit, e v t inu ann ch variet parametrizovat nelze, respektive neexistuje algoritmus parametrizace implicitn ho popisu. Ty, u kter ch se to poda, naz v me neiracion ln 3. Op t obecn nen jednoduch rozhodnout, zda dan varieta je neiracion ln. Cesta opa n m sm rem je v nekone n ch pol ch zvl dnuteln, algoritmus p edvedeme v kapitole 5.2. Na prvn pohled je z ejm, e pro jednu a tut varietu existuje v ce implicitn ch, p padn i parametrick ch popis. Opomeneme-li parametrick popis, nejednozna nosti implicitn ho jsou zp sobeny pro tento el nevhodnou reprezentac pomoc n kolika generuj c ch polynom. 3 P m p eklad anglick ho unirational.

1.3 Ide ly 5 1.3 Ide ly P ipome me si trochu algebry. 1.9 Denice. Mno inu I A, kdea je okruh, nazveme ide lem, plat -li 0 2 I a z rove f g 2 I =) f + g 2 I f 2 I h 2 A =) f h 2 I Pojem gener tor ide lu je snad z ejm, p ipome me jen zna en I = ha 1 ::: a n i. Je-li gener tor kone n po et, kame, e ide l je kone n generovan. Pro varietu V = V(f 1 ::: f s ) klademe I(V ):= n f 2 k[x 1 ::: x n ] j f(a 1 ::: a n ) = 0 pro v echna (a 1 ::: a n ) 2 V o 1.10 V ta. Nech f 1 ::: f s g 1 ::: g t 2 k[x 1 ::: x n ] jsou polynomy. Pak plat 1. Jestli e hf 1 ::: f s i = hg 1 ::: g t i, pak V(f 1 ::: f s )=V(g 1 ::: g t ). 2. I(V ) je ide l a plat hf 1 ::: f s ii(v ), kde V = V(f 1 ::: f s ). D kaz: 1. Uva ujme libovoln (a 1 ::: a n ) 2 V(f 1 ::: f s ). Pro n j plat f i (a 1 ::: a n )=0 pro i =1 2 ::: s Proto e g 1 ::: g t 2hf 1 ::: f s i, existuj n jak polynomy h 1 1 ::: h t s v n prom nn ch tak, e X g j = s h j i f i pro j =1 2 ::: t Odtud g j (a 1 ::: a n )=0proj =1 2 ::: t. M me tedy i=1 V(f 1 ::: f s ) V(g 1 ::: g t ): Opa n inkluze se dok e zcela analogicky. 2. Nech g g 0 2 I(V ), h 2 k[x 1 ::: x n ]. Potom pro zvolen bod(a 1 ::: a n ) 2 V plat g(a 1 ::: a n ) = 0, a tedy (g h)(a 1 ::: a n )=0 =) g h 2 I(V ) (g + g 0 )(a 1 ::: a n )=0 =) g + g 0 2 I(V ) Proto I(V ) je ide l. Uva ujme libovoln f 2hf 1 ::: f s i.ten lze ps t jako X f = s h i f i pro n jak h 1 ::: h s 2 k[x 1 ::: x n ] i=1 Pro (a 1 ::: a n ) 2 V je tedy f(a 1 ::: a n ) = 0. Proto plat hf 1 ::: f s ii(v ).

6 1 AFINN VARIETY Jednoduch p klady: I f(0 0 ::: 0)g = hx 1 ::: x n i I(k n )=f 0g pro libovoln nekone n pole k Inkluze opa n k druh sti v ty obecn neplat. Nap klad varieta V(x 2 y 2 ) m jedin bod{(0 0). I(V ) je potom hx yi hx 2 y 2 i. Jsou-li V W k n variety, pak plat V W =) I(V ) I(W ) Neboli polynomy, kter se nulovaly na n jak variet se nutn mus nulovat i na jej podmno in. Objevuj se dal probl my 6. Je ka d ide l I 2 k[x 1 ::: x n ]kone n generovan? 7. Lze algoritmicky zjistit, zda f 2hf 1 ::: f s i? 8. Jak je p esn vztah mezi hf 1 ::: f s i a I V(f 1 ::: f s )? 1.4 Dimenze 1 Na v echny v e zm n n ot zky se pokus me odpov d t nejprve ve zjednodu en m, ale n zorn m p pad polynom v jedn prom nn. Konven n pou v me prom nnou x akoecienty v polynomu zna me f = a 0 x n + a 1 x n;1 + + a n kde a 0 6=0. Vedouc len polynomu (leading term) denujeme jako LT(f) :=a 0 x n. Z ejm plat deg f deg g () LT (f)jlt (g) 1.11 V ta Algoritmus d len se zbytkem. Nech k je pole a g nenulov polynom. Pak ka d f 2 k[x] lze jednozna n ps t jako f = q g + r kde r =0nebo deg r<deg g D kaz: je pochopiteln konstruktivn, pod l q azbytek r po t n sleduj c algoritmus. Algoritmus 1.1 1. q := 0, r := f 2. while r 6=0^ LT(g)jLT (r) 2.1. q := q + LT (r)=lt (g) 2.2. r := r ; LT(r)=LT (g) g

1.4 Dimenze 1 7 Pro pr chod cyklem plat invariant f = qg+r, algoritmus tedy d v spr vn v sledek. Stupe r se ka d m pr chodem zmen uje, algoritmus tedy zastav. P ipus me, e existuj je t jin q 0 r 0 tak, e f = q 0 g + r 0. Proto e stupn r a r 0 jsou ost e men ne stupe g, mus platit i deg(r ; r 0 ) < deg g (proto e r 6= r 0,m smysl uva ovat deg(r ; r 0 )). Z rove ale plat deg(r ; r 0 ) = deg(q ; q 0 ) + deg g deg g co je spor. Dvojice q r je tedy ur ena jednozna n. 1.12 D sledek. Je-li k pole,m ka d f 2 k[x] nejv e deg f ko en. D kaz: Je-li deg f =0(konstantn polynom), neexistuje dn ko en. Nech deg f = n>0af m ko en a. Potom podle v ty 1.11 existuj q r tak, e f = q(x ; a)+r a z rove deg r =0nebor =0. Proto e a je ko en, r nem e b t konstantn a tud f = q(x ; a). Stupe q je n ; 1, podle induk n ho p edpokladu m nanajv n ; 1ko en, a tedy f jich m nejv e n. 1.13 D sledek. Nech k je pole. Pak ka d ide l v k[x] je tvaru hfi. D kaz: Nech I k[x]. Pokud I = f0g, pak I = h0i. P edpokl dejme I f0g a nech f 2 I je minim ln ho stupn. Pak z ejm hfi I. Naopak uva ujme n jak g 2 I. Podle v ty 1.11 existuj q r takov, e g = q f + r a z rove deg r<deg f nebo r = 0. Proto e g f 2 I, plat q f 2 I, a tedy r 2 I. Polynom f byl vybr n s nejmen m stupn m z I, a proto r = 0. Odtud u plyne g 2hfi, a tedy i I hfi. 1.14 Denice. Nech f g 2 k[x]. Nejv t m spole n m d litelem polynom f g, zna- me GCD(f g), nazveme takov polynom h, ehjf, hjg a plat 8p 2 k[x]: pjf ^ pjg =) pjh Nejv t ho spole n ho d litele lze pochopiteln spo tat Algoritmus 1.2 1. h := f, s := g 2. while s 6=0 2.1. r := zbytek po d l n h=s 2.2. h := s 2.3. s := r Nech f = q g + r a h = GCD(f g). Potom hjr g a z rove 8p 2 k[x]: pjr g tedy pjf a pjh Odtud h je GCD(r g). Trivi ln GCD(h 0) = h, proto algoritmus po t spr vn GCD(f g). Proto e stupn r postupn klesaj, algoritmus zastav.

8 1 AFINN VARIETY Nejv t spole n d litel dvou polynom tedy existuje. Je ur en jednozna n a na n sobek skal rem. Dva r zn GCD se toti mus d lit navz jem a to je u polynom mo n pr v v tomto p pad. Pro korektnost n sleduj c v ty je t denujme nejv t ho spole n ho d litele v ce ne dvou polynom. Je-li s>2, potom GCD(f 1 ::: f s ):=GCD f 1 GCD(f 2 ::: f s ) 1.15 V ta. Pro polynomy f 1 ::: f s plat hgcd(f 1 ::: f s )i = hf 1 ::: f s i. D kaz: Proto e GCD(f 1 ::: f s )jf 1 ::: f s, plat hf 1 ::: f s i D GCD(f 1 ::: f s ) E. Naopak p mo z algoritmu v po tu GCD plyne Bezoutova rovnost, tj. GCD(f 1 ::: f s )=h 1 f 1 + + h s f s pro vhodn h 1 ::: h s Odtud ji vypl v opa n inkluze. B hem kapitoly jsme polo ili n kolik ot zek. Nyn m me ji v e pot ebn k jejich zodpov zen pro p pad polynom jedn prom nn. 1. Proto e V(f 1 ::: f s ) = V(GCD(f 1 ::: f s )) (d sledek v ty 1.10), probl m pr zdnosti variety se redukuje na probl m existence ko ene polynomu. 2. Ze stejn ho d vodu je v dy kone nou mno inou izolovan ch bod { ko en GCD(f 1 ::: f s ) s jedinou vyj mkou GCD(f 1 ::: f s ) = 0 to nastane pouze v p pad, e f 1 = f 2 = = f s =0.Pak je varietou cel mno ina k. 3. Pojem dimenze v tomto p pad postr d smysl. 4. Stejn tak nen nijak eln parametrizovat kone nou mno inu. 6. Ka d ide l je generovateln jedin m polynomem { d sledek v ty 1.15. 7. f 2hf 1 ::: f s i () GCD(f 1 ::: f s )jf (d sledek v ty 1.13). 8. Ozna me-li hfi := I(V(f 1 ::: f s )), pak f a GCD(f 1 ::: f s ) se mohou li it pouze n sobnost ko en.

9 2 Grobnerovy b ze Obr. 4: Stejn varieta? Jak u bylo e eno, implicitn reprezentace variety nen v dy nejvhodn j. Jen pro k 3 = R 3 je p i komplikovan j m zad n obt n v bec interpretovat, jak dan varieta vypad. Znamenalo by to ur it pr nik obecn i dost komplikovan ch tvar. Demonstrujme na je t pom rn jednoduch m p klad. Varieta na obr. 4 vlevo je V(x 2 +y 2 +z 2 ;1 x 2 +y 2 +z). V tomto p pad lze je t pom rn snadno ur it, e pr nikem koule a paraboloidu je kru nice le c v rovin z = 1 2 ; 2p 1 5, tedy varietu lze stejn dob e vyj d it jako V(x 2 + y 2 + z 2 ; 1 z 2 ; z ; 1), p padn V(x 2 + y 2 + z z; 1 + 1 2 2p 5) a podobn. Obr zek 4 a p edchoz odstavec nab z dal probl m. Jak rozhodnout, zda dv implicitn zadan variety jsou stejn? Zrovna tak pr zdnou varietu (op t v R 3 ) lze popsat V(x 2 +1)iV(1) nebo dokonce V(x 2 + y 2 + z 2 ; 1 x 2 + y 2 + z 2 ; 2). Podobn m probl mem je i ur en pr niku, odvol me-li se op t na obr. 4, pr nik koule V(x 2 + y 2 + z 2 ; 1) a paraboloidu V(x 2 + y 2 + z) lze vyj d it jednodu eji jako pr nik n kter ho z t chto objekt a roviny. V t inu t chto probl m pom rn uspokojiv e apar t prezentovan v [1]. Jak se pokus me uk zat, varietu je vhodn j reprezentovat generuj c m ide lem a pro ten se poda nal zt vyj d en nez visl na volb gener tor, resp. p edvedeme algoritmus p ev d j c ka dou mno inu gener tor na jist jednozna n kanonick tvar. 2.1 D len se zbytkem U polynom v ce prom nn ch je situace daleko komplikovan j ne byla ve v t 1.11. Kup kladu zde neexistuje p m ekvivalent pojmu stupn, je nutn denovat ho podstatn opatrn ji. Ani pojem vedouc ho lenu polynomu nen zcela p mo ar, jezde nutn volit n jak uspo d n na prom nn ch a monomech cel teorie pak p est v b t v i prom nn m symetrick. D len se zbytkem zde znamen vyj d it f 2 k[x 1 ::: x n ]jako f = a 1 f 1 + + a s f s + r Nap klad m jme f = x 2 y + xy 2 + y 2, f 1 = xy ; 1af 2 = y 2 ; 1. Prvn m d len m

10 2 GR OBNEROVY B ZE z sk me f =(x + y) f 1 +(x + y 2 + y) LT(y 2 ;1) ned l x (vedouc len zbytku), a tak bychom teoreticky nemohli pokra ovat d l. P esuneme-li v ak toto x do zbytku, dost v me teprve v sledek f =(x + y) f 1 + f 2 +(x + y +1) Zde ji dn len zbytku nen d liteln dn m z LT(f 1 ), LT (f 2 ). To je tak po adovan vlastnost na v sledek d len se zbytkem. 2.1 Denice. pln (line rn ) dobr (tj. ka d nepr zdn podmno ina m nejmen prvek) uspo d n < na N n 0 spl uj c 8 2 Z n : < =) + <+ nazveme monomi ln m uspo d n m na k[x 1 ::: x n ]. Takto polo en denice nen pln. Uspo d n na N n 0 indukuje pouze uspo d n na monomech. Ka d polynom lze v ak p eskl dat jako klesaj c posloupnost monom (na koecienty te nehled me). Uspo d n se na polynomy roz lexikogracky, tedy v t je ten polynom, kter m v t prvn monom, pokud tak nelze rozhodnou, bere se v potaz druh monom atd. N sleduj c t i denice zav d j nejb n ji u van monomi ln uspo d n. V echna se op raj o p edem dan uspo d n jednotliv ch prom nn ch, standardn x 1 >x 2 >. 2.2 Denice. Lexikograck uspo d n je takov < lex, e pro ka d 2 N n 0 plat > lex () Nejlev j nenulov len v ; je kladn 2.3 Denice. Gradovan lexikograck uspo d n je takov < grlex, e pro ka d 2 N n 0 plat : > grlex () jj > jj nebo jj = jj a z rove > lex 2.4 Denice. Gradovan opa n lexikograck uspo d n je takov < grevlex, epro ka d 2 N n 0 plat : > grevlex () jj > jj nebo jj = jj a z rove nejprav j nenulov len ( ; ) je z porn Tedy x 1 > grevlex x 2 > grevlex > grevlex x n, ale pokud x>y>z, pak x 2 yz 2 > grlex xy 3 z, ale x 2 yz 2 < grevlex xy 3 z. 2.5 Lemma. > lex > grlex > grevlex jsou monomi ln uspo d n. 2.6 Denice. Nech f = P 2N n a x 2 k[x 0 1 ::: x n ]jenenulov a < monomi ln. Pak denujeme: Stupe multideg f := maxf 2 N n 0 j a 6=0g

2.1 D len se zbytkem 11 Vedouc koecient LC f := a multidegf Vedouc monom LM f := x multideg f Vedouc len LT f := LC f LM f Tyto pojmy jsou tedy pro polynomy v ce prom nn ch vesm s siln z visl na volb konkr tn ho uspo d n. 2.7 Lemma. Nech f g 2 k[x 1 ::: x n ] a < je monomi ln. Pak 1. multideg(f g) =multidegf +multidegg 2. f + g 6= 0 =) multideg(f + g) maxfmultidegf multideg gg 2.8 V ta D len se zbytkem. Nech < je monomi ln a F =(f 1 ::: f s ) s-tice polynom vk[x 1 ::: x n ].Pak ka d f 2 k[x 1 ::: x n ] lze vyj d it jako f = a 1 f 1 + + a s f s + r kde a i r 2 k[x 1 ::: x n ] pro i =1 2 ::: s anav c r =0nebo r je line rn kombinac monom, z nich dn nen d liteln kter mkoli z LT f 1 ::: LT f s a pokud a i f i 6=0pak multidegf multidega i f i pro ka d i. Polynom r naz v me zbytkem po d len f=f. Je z ejm, e narozd l od jedn prom nn v sledek d len se zbytkem nen d n jednozna n ani vzhledem k pevn zvolen mu uspo d n monom. V ta tak nic o jednozna nosti netvrd, n sleduj c algoritmus d v jedno mo n e en. Nad le budeme v sledkem d len se zbytkem ch pat pr v jeho v stup. Algoritmus 2.1 1. a 1 := 0 ::: a s := 0 r:= 0 p:= f 2. while p 6= 0 2.1. i := 1 2.2. d := false 2.3. while i s ^ not d 2.3.1. if LT f i jlt p 2.3.1.1. a i := a i + LT p=lt f i 2.3.1.2. p := p ; (LT p=lt f i ) f i 2.3.1.3. d := true 2.3.2. else i := i +1 2.4. if not d 2.4.1. r := r + LT p 2.4.2. p := p ; LT p D kaz: P i ka d m pr chodu vn j m cyklem se pr v jednou provede pr v jeden z p kaz 2.3.1.2, 2.4.2, a tedy stupe p klesne. Proto algoritmus skon. Plat invariant f = a 1 f 1 + + p + r a p itom ka d len ka d ho a i je pod lem LT p=lt f i z n jak ho okam iku. Proto stupe t chto len je men ne stupe p v dan m okam iku a ten je nejv e roven stupni f. Dohromady stupe ka d ho a i f i je men nebo roven stupni f.

12 2 GR OBNEROVY B ZE V k[x] byl ka d ide l tvaru I = hfi a algoritmus d len se zbytkem pln e il p slu nost k ide lu. Oproti tomu vk[x 1 ::: x n ] plat pouze implikace f = a 1 f 1 + + a s f s +0 =) f 2hf 1 ::: f s i Obr cen obecn neplat, uva ujme f = xy 2 ; x, f 1 = xy +1,f 2 = y 2 ; 1. Potom algoritmus d len d f = y(xy +1)+0(y 2 ; 1)+(;x ; y) ale p itom evidentn f = x(y 2 ; 1), a tedy f 2hf 1 f 2 i. 2.2 Monomi ln ide ly 2.9 Denice. Ide l I k[x 1 ::: x n ] naz v me monomi ln, existuje-li mno ina A N n 0 tak, e I se sest v pr v ze v ech polynom tvaru P 2A h x,kdeh 2 k[x 1 ::: x n ]. Potom p eme I = hx j 2 Ai. Z ejm pro monomi ln ide l I plat x 2 I () 9 2 A: x jx 2.10 Lemma. Nech I k[x 1 ::: x n ] je monomi ln ide l, f 2 k[x 1 ::: x n ] polynom. Pak n sleduj c tvrzen jsou ekvivalentn 1. f 2 I 2. Ka d len polynomu f je prvkem I. 3. Polynom f je line rn kombinac monom zi skoecienty zk. D kaz: Implikace (3) =) (2) =) (1) je trivi ln. Zb v uk zat (1) =) (3). Plat f = P a x 2 I, kde a 2 k. Z p edpokladu vypl v, e lze vyj d it f = P 2A h x, kde h 2 k[x 1 ::: x n ]. Ka d len a x se mus rovnat n kter mu lenu z druh rovnosti, tedy existuj takov d 2 k 2 N n 0 tak, e a x = dx +. Proto x 2 I, a tedy plat (3). 2.11 D sledek. Dva monomi ln ide ly spl vaj pr v tehdy, kdy obsahuj stejn monomy. 2.3 Dicksonovo lemma 2.12 V ta Dicksonovo lemma. Ka d monomi ln ide l I = hx j 2 Ai k[x 1 ::: x n ] lze ps t ve tvaru I = hx 1 ::: x s i, kde 1 ::: s 2 A. D kaz: D kaz vedeme indukc podle po tu prom nn ch. Nech n =1.Pak I k[x], I = hx j 2 A N 0 i.polo me := min A. Potom z ejm I = hx i. Uva ujme tedy n>1. Pro p ehlednost ozna me prom nn jako x 1 ::: x n;1 y, monomy potom budou tvaru x y m, kde 2 N n;1 0, m 2 N 0, a mno inu monom x s 2 A budeme zna it I A. P edpokl dejme, e I k[x 1 ::: x n;1 y] je monomi ln. Denujme J k[x 1 ::: x n;1 ] n sledovn J := hx j9m 2 N 0 : x y m 2 I A i

2.3 Dicksonovo lemma 13 x y Obr. 5: Monomy v ide lu I = hx 3 y xy 3 ir[x y] Z ejm J je monomi ln ide l v n;1 prom nn ch, a tedy podle induk n ho p edpokladu lze ps t J = hx 1 ::: x s i. D le z denice J vypl v, e existuj takov minim ln m i 2 N 0 tak, e x i y m i 2 I A. Ozna me tedy m := maxfm i g adenujme analogicky syst m ide l J k k[x 1 ::: x n;1 ] pro 0 k m ; 1 J k := hx j x y k 2 I A i Op t v echny J k spl uj induk n p edpoklad, a tedy je lze vyj d it J k = hx k 1 ::: x k s k i: Zb v uk zat, e I je generovan touto mno inou monom x 1 y m :::x s y m x 0 1 y 0 :::x 0 s 0 y 0. x m;1 1 y m;1 :::x m;1 s m;1 y m;1 Uva ujme libovoln monom x y p 2 I A. Nastane jeden ze dvou p pad p m. Potom jist x 2 J, a tedy n kter z x 1 y m ::: x s y m d l x y p. p<m.potom analogicky x 2 J k a n kter z x k 1y k ::: x k s k y k d l x y p. Podle lemmatu 2.10 lze ka d f 2 I vyj d it jako line rn kombinaci monom zi A, ty jsou ji d liteln n kter m ze zm n n ch gener tor, a tedy f pat do ide lu jimi generovan ho. Proto I je jeho podmno inou. Opa n inkluze je zcela trivi ln.

14 2 GR OBNEROVY B ZE 2.13 D sledek. Nech < je relace na N n 0 spl uj c podm nky 1. Relace < je pln uspo d n. 2. <, 2 N n 0 =) + <+ Pak < je dobr uspo d n pr v tehdy, kdy 8 2 N n 0 : 0 D kaz: \=)" Proto e < je dobr, existuje 0 2 N n 0 nejmen. P edpokl dejme 0 < 0. Podle podm nky (2) zkonstruujeme nekone nou posloupnost 0 > 0 > 2 0 >, co je spor s t m, e < je dobr. \(=" Nech 8 2 N n 0 : 0. Uva me libovolnou mno inu 6= A N n 0.Potom I = hx j 2 Ai je kone n generovan n jak mi monomy x 1 ::: x s 2 A. Bez jmy na obecnosti p edpokl dejme 1 < < s. Uva ujme libovoln 2 A. Potom nutn x i jx pro vhodn i =1 ::: s, tj. = i +, kde 0 (p edpoklad t to implikace). Potom ale plat i +0 1 a tedy 1 je nejmen v A. Proto e A byla zvolena libovoln, je uspo d n < dobr. 2.4 Hilbertova v ta Je-li I k[x 1 ::: x n ] nenulov, ozna me LT I := fax j9f 2 I : LT f = ax g Z ejm hlt Ii je monomi ln, a tedy podle Dicksonova lemmatu lze ps t hlt Ii = hlt g 1 ::: LT g s i pro n jak vhodn g 1 ::: g s 2 I. 2.14 V ta Hilbertova. Ka d ide l I 2 k[x 1 ::: x n ] je kone n generovan. D kaz: Pokud by I = f0g, je tvrzen trivi ln. Uva ujme tedy I f0g. Podle Dicksonova lematu a p edchoz pozn mky existuj takov g 1 ::: g s 2 I, ehlt Ii = hlt g 1 ::: LT g s i Z ejm hg 1 ::: g s ii. Vezm me libovoln f 2 I a prove me d len se zbytkem s-tic g 1 ::: g s. Dost v me f = a 1 g 1 + + a s g s + r kde dn len r nen d liteln LT g 1 ::: LT g s. Proto e r = f ; a 1 g 1 ; ; a s g s, plat r 2 I, a tedy LT r 2 LT I. Z ejm tedy LT r 2hLT Ii. P ipus me, e r 6= 0. Proto e hlt Ii je monomi ln, mus b t LT r d liteln n kter m z jeho gener tor, tj. LT g 1 ::: LTg s.tojeov em spor s v sledkem algoritmu d len. Proto r =0aI je tedy generovan g 1 ::: g s.

2.4 Hilbertova v ta 15 2.15 Denice. Kone n b ze g 1 ::: g s ide lu I k[x 1 ::: x n ] se naz v Grobnerova, jestli e plat hlt Ii = hlt g 1 ::: LT g s i. B ze pou it v d kazu Hilbertovy v ty byla Grobnerova. Jak u to na sv t b v, Grobnerovy b ze nevymyslel pan Grobner, ale jeho aspirant B. Buchberger, kter je tak dajn nazval na po est sv ho u itele. Je t nav c nebyl prvn. V polovin edes t ch let popsal H. Hironaka standardn b ze, v podstat se jednalo o tot. Ke cti pana Buchbergera nutno podotknout, e o pr ci sv ho sou asn ka patrn nem l ani pon t a dovedl ji d le. Ani pan Hilbert to nem l ve sv dob jednoduch. V tu, kter byla ostatn jako hypot za u zformulov na d ve, dok zal podstatn komplikovan j m zp sobem, ne jsme uvedli. Nav c nekonstruktivn d kazy nebyly tenkr t p li obl beny, a tak se od sv ch koleg uzn n nedo kal. Inkluze hlt Ii hlt g 1 ::: LTg s i plat pro libovolnou b zi g 1 ::: g s, a tedy se sta omezit na dokazov n opa n. Ta obecn platit nemus. Uva ujme nap klad < grlex a polynomy x 3 ; 2xy a x 2 y ; 2y 2 + x. Potom x 2 = x(x 2 y ; 2y 2 + x) ; y(x 3 ; 2xy), a tedy x 2 2 I, ale z ejm x 2 =2hx 3 x 2 yi. 2.16 D sledek. Ka d ide l I k[x 1 ::: x n ] m Grobnerovu b zi. Naopak ka d mno ina polynom g 1 ::: g s 2 I spl uj c hlt Ii = hlt g 1 ::: LT g s i je Grobnerovou b z ide lu I. Na ilustraci uve me jednoduch p pad, kdy gener tory ide lu I budou polynomy stupn 1 a uspo d n bereme < lex. Ozna me gener tory f i = P j a i j x j + a i 0.Uva ujme matici A =(a i j ), kde i =1 ::: s a j =0 ::: n a aplikujme na ni Gausovu eliminaci. Z skl me B =(b i j )veschodovit m tvaru, z n nav c vypust me nulov dky.m me novou b zi g 1 ::: g t,kdet s. Vzhledem k proveden m prav m je ka d f i vyj d iteln jako line rn kombinace g 1 ::: g t, a tedy hf 1 ::: f s i = hg 1 ::: g t i Tvrd me, e g 1 ::: g t je Grobnerova b ze. Bez jmy na obecnosti p edpokl dejme, e prom nn jsou zna eny tak, e LM g i = x i pro i =1 ::: t.uva ujme libovoln f 2 I. Ten lze ps t f = h 1 f 1 + + h s f s = h 0 1g 1 + + h 0 tg t Chceme, aby LT f 2hLT g 1 ::: LTg t i, tj. LT f m b t d liteln n kter m z x 1 ::: x t. P edpokl dejme, e f je pouze v prom nn ch x t+1 ::: x n.pak ale h 0 1 = 0, proto e x 1 je vzhedem ke schodovitosti B pouze v g 1. Analogick m postupem z sk me h 0 2 = = h 0 t =0,atedyf = 0. B ze g 1 ::: g t je tedy Grobnerova. Pou it Gausovy eliminace zde nen n hodn, v n sleduj c sti uk eme algoritmus po taj c Grobnerovy b ze, kter je v podstat zobecn n m Gausovy eliminace pro polynomy vy ch stup. 2.17 V ta Ascending Chain Condition. Nech I 1 I 2 je neklesaj c nekone n posloupnost ide l v k[x 1 ::: x n ].Pak existuje N 1 tak, e I N = I N+1 =. D kaz: Ozna me I := S 1 i=1 I i. Z ejm I je ide l. Podle Hilbertovy v ty existuj f 1 ::: f s tak, e I = hf 1 ::: f s i. Jist existuje takov N, ef 1 ::: f s 2 I N.Potom u I = I N = I N+1 =.

16 2 GR OBNEROVY B ZE 2.18 Denice. Nech I k[x 1 ::: x n ]. Ozna me V (I):=f(a 1 ::: a n ) 2 k n j8f 2 I : f(a 1 ::: a n )=0g Podle Hilbertovy v ty jei = hf 1 ::: f s i a V (I) jerovno variet V(f 1 ::: f s ). V obecn teorii se okruhy, kde je ka d ide l kone n generovan, naz vaj noetherovsk. Ukazuje se, e okruh je noetherovsk, pr v tehdy, kdy v n m plat tvrzen v ty 2.17. V tomto kontextu m Hilbertovav ta hlub smysl. Dokazuje toti, e okruh polynom nad noetherovsk m okruhem je op t noetherovsk.

17 3 Buchberger v algoritmus Pouh tvrzen, e ka d ide l m Grobnerovu b zi (d sledek Hilberovy v ty) by asi nebylo p li prakticky pou iteln. Proto se budeme d le zam ovat na algoritmick nalezen takov b ze, a proto e pro dan ide l m e Grobnerov ch b z existovat v ce, pokus me se identikovat i jakousi jednozna nou kanonickou formu. 3.1 Krit ria pro Grobnerovy b ze 3.1 V ta. Nech G = fg 1 ::: g t g je Grobnerova b ze ide lu I k[x 1 ::: x n ] a f je polynom v k[x 1 ::: x n ].Pak existuje pr v jedno r = P a x 2 k[x 1 ::: x n ] s t mito vlastnostmi 1. dn len r nen d liteln dn m z LT g 1 ::: LT g t,tj.88i: LT g i 6 j a x. 2. 9g 2 I : f = g + r D kaz: Algoritmus pro d len se zbytkem d f = a 1 g 1 + + a t g t + r kde r spl uje podm nku 1. Za g u vezmeme a 1 g 1 + + a t g t, kter trivi ln padne do I. Zb v dok zat jednozna nost. P edpokl dejme f = g + r = g 0 + r 0,kder 6= r 0. Z ejm plat r ; r 0 = g 0 ; g 2 I. Proto e G je Groebnerova, je LT(r ; r 0 ) d liteln n kter m z LT g 1 ::: LTg t. Diskutujme n sleduj c mo nosti LM r 6= LM r 0.Pak ten s vy m stupn m mus b t d liteln n kter m z vedouc ch len LT g 1 ::: LT g t, co je spor s prvn m bodem. LM r = LM r 0 ^ LC r 6= LC r 0.Potom ale oba LM r LM r 0 mus b t d liteln n kter m z LT g 1 ::: LTg t. Proto tedy LT r = LT r 0 a induktivn vahou odtud plyne r = r 0. P edchoz v ta je vlastn zobecn n m d len se zbytkem, kde na m st d litele vystupuje ide l. V p pad jedn prom nn nebylo co zobec ovat, proto e ka d ide l byl generovan jedn m polynomem. Zaj m -li n s pouze zbytek, v ta nav c k, e nez le na po ad polynom v b zi. Proto m smysl zav st zna en f F pro zbytek po d len f=f, pokud F je Grobnerova b ze. 3.2 D sledek. Nech G = fg 1 ::: g t g je Grobnerova b ze ide lu I k[x 1 ::: x n ] a f je polynom v k[x 1 ::: x n ].Pak plat f 2 I () zbytek po d len f=g je nulov D kaz: \(=" Nech f = g + r je rozklad z p edchoz v ty ar =0.Potom trivi ln f 2 I. \=)" f 2 I =) f = f +0. Proto e f vyhovuje podm nk m p edchoz v ty, a takov polynom podle jej ho tvrzen existuje pr v jeden, mus b t zbytek po d len f=g nutn nulov.

18 3 BUCHBERGER V ALGORITMUS 3.3 Denice. Pokud =multideg f a =multideg g, bu := ( 1 ::: n ) kde i = maxf i i g Monom x naz v me nejmen m spole n m n sobkem (least common multiple) monom LM f a LM g azav d me pon kud matouc ozna en LCM (LM f LM g) :=x. V raz S(f g):= x LT f f ; x LT g g naz v me S-polynomem 4 polynom f g. Jedn se o n stroj k jak si eliminaci vedouc ch len, Gaussova eliminace je speci ln m p padem tohoto postupu pro stupe 1. Narozd l od n ale m e doj t ke zv en stupn, i kdy p vodn vedouc leny odstran. Vezm me nap klad f = x 3 y 2 ; x 2 y 3 + x, g =3x 4 y + y 2,tedypolynomy stupn 5 v R[x y] a uspo d n < grlex.pak =(4 2) a co je polynom stupn 6. S(f g)= x4 y 2 x 3 y 2f ; x4 y 2 3x 4 y g = xf ; 1 3 yg = ;x3 y 3 + x 2 ; 1 3 y3 N sleduje lemma technick ho r zu, kter je nutn pro d kaz st ejn v ty. 3.4 Lemma. Uva me polynom f = P t i=1 c ix i g i, kde c 1 ::: c t 2 k a i +multideg g i = pro n jak pevn kdykoli c i 6=0.Pokud multidegf <, pak existuj takov c i j, e tx i=1 c i x i g i = t X j k=1 c j k x ; j k S(g j g k ) kde x j k = LCM (LM g j LM g k ) ad leka d x ; j ks(g j g k ) m stupe men ne. D kaz: Ozna me d i := LC g i a p i = x i g i =d i. Ur it c i d i = LC(c i x i g i )alc p i =1. Proto e multideg(c i x i g i )= az rove multidegf <,mus nutn platit P t i=1 c i d i = 0. Pokusme se te f vyj d it jako kombinaci S-polynom. X f = t c i d i p i = c 1 d 1 (p 1 ; p 2 )+(c 1 d 1 + c 2 d 2 )(p 2 ; p 3 )+ i=1 Ka d rozd l p j ; p k lze vyj d it v S-polynomech x d j x g ; j ; x j d k x g ; k = x ; j k k +(c 1 d 1 + + c t;1 d t;1 )(p t;1 ; p t )+(c 1 d 1 + + c t d {z } t )p t 0 x j k LT g j g j ; xj k LT g k g k! = x ; j k S(g j g k ) Zobourovnost se u snadno odvod jednotliv koecienty c j k. 4 Ze syzygy neboli sp e en, v ce kapitola 3.4.

3.1 Krit ria pro Grobnerovy b ze 19 3.5 V ta. Nech I k[x 1 ::: x n ] je ide l. Pak jeho b ze G = fg j ::: g t g je Grobnerova pr v tehdy, kdy pro ka d i 6= j je zbytek po d len S(g i g j )=G nulov. D kaz: \=)" Plyne bezprost edn z d sledku 3.2. \(=" Uva ujme 0 6= f 2 I. Pot ebujeme LT f 2hLT g 1 :::LT g t i.poda -li se zaru- it, aby pro f = P t i=1 h i g i platilo multideg f = max n multideg(h i g i ) o bude LT f nutn d liteln n kter m LT g i, a tedy G bude Grobnerova. Ozna me m i := multideg(h i g i ), := maxfm 1 ::: m t g. Z ejm multidegf. Nech h 1 ::: h t jsou zvolena tak, e je minim ln. Proto e pracujeme s monomi ln m uspo d n m, kter je dobr, takov existuje. Doka me tedy, emultideg f =. Lze ps t (1) f = X m i = h i g i + X m i < h i g i = X (LT h i )g i + X m i = m i = (h i ; LT h i )g i + X m i < h i g i V echny s tance druh a t et sumy maj jist stupe men ne. P ipust me-li, e multideg f<, potom nutn 0 multideg@ X 1 (LT h i )g i A < mi= Ozna me nyn c i x i := LT hi a aplikujme lemma 3.4. X c j k x ; j k S(g j g k ) m i =(LT h i )g i = X m i = c i x i g i = X j k Z p edpokladu v ty a algoritmu o d len se zbytkem z sk v me X S(g j g k )= t a i j k g i anav c multideg(a i j k g i ) multideg S(g j g k ). Ozna me-li b i j k := x ; j ka i j k, dost v me X x ; j k S(g j g k )= t b i j k g i Podle druh sti lemmatu 3.4 plat i=1 i=1 multideg(b i j k g i ) multideg x ; j k S(g j g k ) < a dosazen m X m i =(LT h i )g i = X j k c j k tx! X b i j k g i = t i=1 i=1 0 @ X j k c j k b i j k 1 A gi

20 3 BUCHBERGER V ALGORITMUS p i em plat 0 multideg@ X j k c j k b i j k g i 1 A < pro i =1 ::: t Dosazen m do rovnosti (1) z sk v me vyj d en f jako kombinace g 1 ::: g t,kde v echny s tance jsou stupn men ho ne. To je spor s minim ln volbou, a tedy multideg f =, odkud LT f 2hLT g 1 ::: LT g t i a b ze G je Grobnerova. 3.2 Algoritmus V ta 3.5 poskytuje u inn prost edek pro zji t n, zda n jak b ze je Grobnerova. Uva ujme nap klad I = hx + y y ; zi. Jedin S-polynom, kter p ipad v vahu je S(x + y y ; z)= xy x xy (x + y) ; (y ; z)=xz + y2 y D len m z sk me xz + y 2 = z(x + y)+y(y ; z), a tedy dan b ze je Grobnerova. Spolu s v tou 2.17 z sk v me tak n vod k naivn mu algoritmu pro v po et Grobnerovy b ze. V ka d m jeho kroku k ji zkonstruovan b zi G = ff 1 ::: f s g p id me v echny nenulov S(f i f j ) G. Z sk me tak b zi G 0. Z ejme jsme nic nov ho nep idali, a tak hg 0 i = hgi. Nav c hlt Gi hlt G 0 i. Pokud ov em G G 0, pak tak hlt Gi hlt G 0 i, proto e p id v me zbytky po d len G aty nemohou b t d liteln dn m z LT f 1 ::: LT f s, a tedy hlt Gi obohat. M me tedy neklesaj c posloupnost ide l hlt G 1 ihlt G 2 i A ta m podle v ty 2.17 jist index, od kter ho je stabiln. P ipust me-li, e p id v n zbytk k b z m nikdy neskon, dost v me se tak do sporu. N sleduj c algoritmus po taj c Grobnerovu b zi G ide lu hf i je tedy korektn Algoritmus 3.1 1. G := F, G 0 := 2. while G 6= G 0 2.1. G 0 := G 2.2. 8p g 2 G 0 : p 6= g do 2.2.1. s := S(p q) G0 2.2.2. if s 6= 0 2.2.2.1. G := G [fsg Tento algoritmus ov em nen zdaleka ide ln. Lze vymyslet velmi jednodu e vypadaj c vstupy, pro n vrac divok v sledky. D le v stupn b ze se p mo odv j od vstupn, a tedy pro tent ide l zadan r zn mi b zemi d tak r zn v sledky. Z hlediska ist rutinn ho algoritmus tak nen optim ln, mnoho v po t zbytk zbyte n opakuje, i kdy je z ejm, e jakmile byly zbytky jednou vynulov ny, budou nulov i v n sleduj c ch kroc ch.

3.3 Redukovan b ze 21 3.3 Redukovan b ze Jak ji bylo e eno, Grobnerov ch b z dan ho ide lu existuje v ce. Zam mesetedy na nalezen jednozna n kanonick podoby, kter dan ide l bude identikovat. 3.6 Lemma. Nech G je Grobnerova b ze ide lu I a p 2 G takov, elt p 2 hlt(g ;fpg)i. Pak G ;fpg je tak Grobnerova b zei. D kaz: Z denice Grobnerovy b ze plat hlt Ii = hlt Gi. Proto e LT p 2hLT (G ; fpg)i, plat hlt (G ;fpg)i = hlt Gi. Odsud ji, podle d sledku 2.16, plyne tvrzen. N sleduj c denice je tedy smyslupln. 3.7 Denice. Minim ln Grobnerovou b z ide lu I je takov Grobnerova b zeg, e pro v echna p 2 G plat LC p = 1 a z rove LT p =2 hlt (G ;fpg)i Nap klad m jme k[x y] a< grlex, I = hf 1 f 2 i = hx 3 ; 2xy x 2 y ; 2y 2 + xi. Zm n n algoritmus d (f 1 ::: f 5 )=(x 3 ; 2xy x 2 y ; 2y 2 + x ;x 2 ;2xy ;2y 2 + x) P itom plat LT f 1 = x 3 = ;xlt f 3 a LT f 2 = ; 1 2 xlt f 4 a tedy f 1 a f 2 jsou podle lematu 3.6 zbyte n. Minim ln Grobnerova b ze je t st le nen to, co hled me, proto e ide l m e m t v ce minim ln ch b z. Nap klad pro ka d a je fx 2 + axy xy y 2 ; 1=2xg minim ln Grobnerovou b z uveden ho ide lu. Proto n sleduj c denice 3.8 Denice. Polynom g 2 G nazveme redukovan pro b zi G pokud dn z jeho monom nele v hlt (G ;fgg)i. Redukovanou Grobnerovou b z ide lu I potom nazveme takovou Grobnerovu b zi G, e pro v echna p 2 G plat LC p = 1 a z rove p je redukovan pro G. Zejm na ka d redukovan Grobnerova b ze je minim ln. 3.9 Lemma. Je-li polynom g redukovan pro n jakou minim ln Grobnerovu b zi G ide lu I, pak je tak redukovan pro ka dou minim ln Grobnerovu b zi G 0 t ho ide lu, kter jej obsahuje. D kaz: Tvrzen dok eme sporem. Uva me G = fg 1 ::: g s g, G 0 = fg1 ::: g 0 tg 0 a g = + m + kde m 2 hlt (G 0 ;fgg)i (tj. g nen redukovan prog 0 ). Potom m = a 1 LT g1 0 + + a t LT g 0 t pro n jak vhodn polynomy a 1 ::: a t. Proto e G i G 0 jsou Grobnerovy b ze t ho ide lu, plat hlt Gi = hlt G 0 i, a tedy ka d LT g 0 i lze vyj d it jako kombinaci LT g 1 ::: LT g s. Odtud u plyne m 2hLT Gi a proto e je G 0 minim ln, je m 2hLT (Gnfgg)i, co je spor s p edpokl danou redukovanost g pro G. 3.10 V ta. Nech I k[x 1 ::: x n ] je nenulov.pak pro ka d monomi ln uspo d n existuje pr v jedna redukovan Grobnerova b ze ide lu I. Nav c ka dou Grobnerovu b zi lze algoritmicky redukovat. D kaz: P edpokl dejme, e hgi = I, G je Grobnerova. S ohledem na lemma 3.6 lze p edpokl dat, e G je i minim ln. (Algoritmus minimalizace je z ejm, sta testovat pouze d litelnost vedouc ch monom.)

22 3 BUCHBERGER V ALGORITMUS Nech g 2 G nen redukovan. P i d len g=(g;fgg) se tedy LT g nutn dostane do zbytku, proto e nem m b t d liteln (b ze je minim ln ). Tedy LT (g G;fgg )=LT g, proto e nic jin ho u nem e b t vedouc m lenem zbytku. Ozna me g 0 := g G;fgg a G 0 := G ;fgg [fg 0 g G 0 je op t minim ln Grobnerovou b z ide lu I, proto e hlt G 0 i = hlt Gi,tj_tak plat hlt G 0 i = hlt Ii.Polynom g 0 je z ejm redukovan pro G 0 d ky vlastnostem algoritmu pro d len. Byl-li n jak h 6= g redukovan pro G, z st v podle p edchoz ho lemmatu redukovan i pro G 0. T m je d n algoritmus pro redukci Grobnerovy b ze. Zb v dok zat jednozna nost. P edpokl dejme dv redukovan Grobnerovy b ze G e G nenulov ho ide lu I. Plat tedy hlt Gi = hlt Ii = hlt e Gi. Proto e tento ide l je monomi ln, lze pro n j aplikovat Dicksonovo lemma. S odvol n m na konstrukci b ze v jeho d kazu lze tvrdit, e existuje pr v jedna monomi ln b ze monomi ln ho ide lu tak, e koecienty jej ch len jsou rovny jedn a dn z len t to b ze ned l jin. Podle denice minimalitymus b t LT G i LT e G pr v takovou b z. Tedy LT G = LT e G.Keka d mu g 2 G tedy exisuje pr v jedno ~g 2 e G takov, e LT g = LT ~g. Plat g ; ~g 2 I. Proto e G je Grobnerova, plat g ; ~g G = 0. leny LT g LT ~g se ode tou u v g ;~g. Proto e ob b ze jsou redukovan, nem e b t dn zezb vaj c ch len g ; ~g d liteln kter mkoli z LT G = LT e G. Mus se tedy dostat do zbytku. Plat tedy g ; ~g = g ; ~g G =0 T m je jednozna nost dok z na. Algoritmus konstrukce redukovan Grobnerovy b ze vypl vaj c z p edchoz v ty sice vede k c li, ale zdaleka nen optim ln. Jeho prvn st, algoritmus uveden zav tou 3.5 toti m e d t v sledek z mnoha polynom, resp. polynom vysok ch stup i koecient. Optimalizace 5 spo v v p b n m aplikov n minimalizace, normov n a redukce na meziv sledky. Sice jsme neuk zali, e si to m eme dovolit, v d kaze p edchoz v ty se siln vyu valo toho, e b ze, kter je redukov na, byla minim ln Grobnerova,vjist ch p padech ale tento postup aplikovat lze. Bohu el nen jednoduch rozhodnout, kdy a kter ze t zm n n ch krok pou t. V echny dostupn algoritmy se tedy op raj o n jakou heuristiku, nicm n ke ka d mu lzezkonstruovat rozumn vypadaj c vstup, pro kter na soudob technice zhavaruje pro nedostatek pam ti. Nep li povzbudiv, ale pro v t inu b n ch aplikac na t st algoritmy p li neselh vaj. V tuto chv li m me odpov di na dv z d ve polo en ch ot zek. f 2 I () f G = 0 pro Grobnerovu b zi G ide lu I (d sledek 3.2). Dva ide ly jsou stejn pr v tehdy, kdy maj stejn redukovan Grobnerovy b ze. V obou p padech nez le na zvolen m monomi ln m uspo d n. 5 Tento term n ch peme ve smyslu informatick m, matematici by snad rad ji vid li vylep en { meliorace.

3.4 Zefektivn n algoritmu 23 3.4 Zefektivn n algoritmu Podstatn m krit riem pou it m v naivn verzi algoritmu je tvrzen v ty 3.5. V po et S-polynomu a n sledn d len se zbytkem je nejbolestiv j m sto algoritmu z hlediska asov n ro nosti. Pokus me se nal zt ekvivalentn krit rium, kter bude snadn ji implementovateln. 3.11 Denice. Zvolme pevn monomi ln uspo d n. Nech G = fg 1 ::: g t g k[x 1 ::: x n ]. ekneme, e f 2 k[x 1 ::: x n ]seredukuje na g modulo G (p eme f! G g), pokud existuj n jak a 1 ::: a t 2 k[x 1 ::: x n ] tak, e f = a 1 g 1 + + a t g t + g a z rove multidegf multideg a i g i pro ka d i =1 ::: t. Polynomy a 1 ::: a t v denici jsou veskrze libovoln, nemus se jednat o v sledek d len se zbytkem. 3.12 Lemma. Nech G =(g 1 ::: g s ) 2 (k[x 1 ::: x n ]) s, f 2 k[x 1 ::: x n ].Plat implikace f G =0 =) f! G 0 Opak obecn neplat. Nap klad f = xy 2 ; x, G =(xy +1 y 2 ; 1). Potom f G = ;x ; y, ale p itom f = x(y 2 ; 1). V d kazu st ejn ho krit ria (v ta 3.5) se ale vyu v pouze vlastnosti f! G 0. Odtud plyne n sleduj c 3.13 D sledek. B ze G = fg 1 ::: g t g je Grobnerova pr v tehdy, kdy S(g i g j )! G 0 pro v echna i j. 3.14 V ta. Nech G k[x 1 ::: x n ] je kone n, f g 2 G. Nech nav c LCM (LM f LM g) = LM f LM g. Potom S(f g)! G 0. D kaz: Bez jmy na obecnosti m eme p edpokl dat LC f = LC g =1.Potom lze vyj d it Po tejme f = LM f + p g = LM g + q S(f g)=lm g f ; LM f g =(g ; q)f ; (f ; p)g = gp ; fq P itom stupn gp i fq jsou jist men ne stupe S(f g). 3.15 Denice. Nech F =(f 1 ::: f s ) 2 (k[x 1 ::: x n ]) s. Syzygy 6 vedouc ch len naz v me s-tici polynom S =(h 1 ::: h s ) takovou, e sx h i LT f i =0 i=1 Symbolem S(F ) zna me mno inu v ech s-tic, kter danou podm nku spl uj. 6 esky sp a en, zachycuje algebraick relace mezi vedouc mi leny.

24 3 BUCHBERGER V ALGORITMUS Ozna me-li e i jednotkov vektory ve voln m modulu 7 (k[x 1 ::: x n ]) s,ka dou syzygy lze vyj d it X S = s h i e i Ka d S-polynom nad ff i f j gf odpov d prvku vol ho modulu S i j := i=1 x e i ; x e j kde x = LCM(LM f i LM f j ) LT f i LT f j kter v dy pat do S(F). Term n S-polynom poch z pr v z t to korespondence. Na druh stran ka dou syzygy S 2 S(F ) lze vyj d it jako line rn kombinaci v raz S i j. 3.16 V ta. Nech F =(f 1 ::: f s ) 2 (k[x 1 ::: x n ]) s a S 2 S(F ). Potom lze vyj d it S = X i<j u i j S i j kde u i j jsou vhodn polynomy D kaz je analogick d kazu lemmatu 3.4 a pro velkou o klivost ho rad ji vypust me. 3.17 Denice. Homogenn syzygy S 2 S(F ) stupn 2 N 0 n je tvaru c 1 x 1 e 1 + + c s x s e s kde c i 2 k a i +multidegf i = pro v echna takov i, kdec i 6=0. 3.18 Lemma. Nech F =(f 1 ::: f s ) 2 (k[x 1 ::: x n ]) s. Plat 1. Ka dou syzygy S 2 S(F) lze vyj d it jednozna n jako sou et homogenn ch syzygy z S(F ). 2. S(F ) je podmodul ve voln m modulu (k[x 1 ::: x n ]) s s b z vybranou z homogenn ch syzygy S i j. Podmodul S(F ) pro netrivi ln F nen voln. Pro b zi S(F )nejsounutn t eba v echny S i j. Nap klad v lexikograck m uspo d n x<y<zpro F = fx 2 y 2 +z xy 2 ;y x 2 y+ yzg dost v me S 1 2 =(1 ;x 0), S 1 3 =(1 0 ;y), S 2 3 =(0 x ;y), tj. S 2 3 = S 1 3 ;S 1 2. 3.19 V ta. B ze G = fg 1 ::: g t g ide lu I k[x 1 ::: x n ] je Grobnerova pr v tehdy, kdy pro ka dou syzygy S = h 1 e 1 + + h t e t v homogenn b zi S(G) plat S G! G 0 D kaz je op t analogick v t 3.5. kde S G = P t i=1 h i g i Jako krit rium pro zji t n, zda dan b ze je Grobnerova tedy sta testovat redukovatelnost jist ch velmi speci ln ch syzygy (pouze prvk homogenn b ze podmodulu S(G)) na 0. 7 Zobecn n vektorov ho prostoru. Denice modulu je zcela stejn, jen pole skal r zam n me libovoln m okruhem. Voln moduly jsou pr v kart zsk mocniny okruhu skal r s operacemi denovan mi po komponent ch. V echny vektorov prostory jsou voln d ky invertibilit nenulov ch skal r.

3.4 Zefektivn n algoritmu 25 3.20 V ta. Nech G =(g 1 ::: g t ) a S fs i j j 1 i<j tg je b ze S(G). P edpokl dejme, e pro n jak r zn g i g j g k plat LT g k j LCM (LM g i LM g j ). Jestli e S i k S j k 2 S, paks ;fs i j g je tak b ze S(G). D kaz: Ozna me x i j := LCM (LM gi LM g j ). P edpokl d me, e x i k x j kjx i j. Odtud z ejm S i j = x i j x S i k ; xi j i k x S j k j k Tedy S i j jevb zis zbyte n. D sledek 3.13 poskytuje n hradn krit rium pro v po et Grobnerovy b ze, nav c v ty 3.14 a 3.20 d v zefektivn n. V tuto chv li ji m eme formulovat algoritmus, kter je vylep enou podobou naivn ho Buchbergerova. Vstupem je n jak b ze F = (f 1 ::: f s ), v stupem Grobnerova b ze G. Algoritmus 3.2 1. B := f(i j) j 1 i<j sg, G := F, t := s 2. while B 6= 2.1. vezmi libovoln (i j) 2 B 2.2. if LCM (LT f i LT f j ) 6= LT f i LT f j and not Test(f i f j B) 2.2.1. S := S(f i f j ) G 2.2.2. if S 6=0 2.2.2.1. t := t +1 2.2.2.2. f t := S 2.2.2.3. G := G [ff t g 2.2.2.4. B := B [f(i t) j 1 i<tg 2.3. B := B ;f(i j)g Funkce Test ov uje podm nku v ty 3.20, tj. vrac true, pokud existuje n jak k =2 fi jg takov, e (i k) (j k) 2 B (p i vhodn m po ad dvojic) a p itom z rove plat LT f k j LCM(LT f i LT f j ). Invarientem algoritmu je tvrzen, e B neobsahuje ty dvojice, o nich v me, e se S-polynom redukuje na nulu (bu je to patrn z testu 2.2, nebo si to zaru me krokem 2.2.2.3). Algoritmus zastav v d sledku v ty 2.17 (Ascending Chain Condition) a v stupem je skute n Grobnerova b ze. Testy jsou v souhrnu podstatn m n pracn, ne v po ty S-polynom vp vodn m algoritmu a n sledn opakovan d len. Probl myokolo vhodnosti minimalizace a redukce Grobnerovy b ze v dan m okam iku v po tu ov em z st vaj. Jako vedlej produkt algoritmu z sk me informace o algebraick ch relac ch mezi polynomy vznikl Grobnerovy b ze. Zam me se o n co podrobn ji na manipulaci algoritmu se syzygy. Ozna me-li I mno inu v echdvojic (i j)takov ch, e Test(f i f j B)= false vokam iku zastaven, je mno ina S := n S i j j (i j) 2 I o takov b ze S(G), e pro v echny jej prvky S i j plat S i j G = S(f i f j )! G 0

26 3 BUCHBERGER V ALGORITMUS Toto tvrzen plyne ze zp tn rekonstrukce v po tu algoritmu, dvojice (i j) byla toti odstran na z B bu tehdy, bylo-li mo n S i j vyj d it z ostatn ch, nebo p i platnosti v e uveden podm nky. Tedy algoritmus nav c produkuje b zi S(G). N jak verze Buchbergerova algoritmu je naimplementov na ve v ech programov ch syst mech zahrnuj c ch po ta ovou algebru, v t inou je na n m podstatn st algebraick ch manipulac zalo ena. Jako p klad uve me syst m MAPLE, kter je patrn v na s ti nejdostupn j, a MATHEMATICA (ten je bohu el dostupn pouze na stroji princ.math.muni.cz). Velice stru nou uk zku m ete vid t na obr. 6. Prvn p kaz slou k na ten knihovny grobner,druh vyvol n pov du t kaj c se t to knihovny, t et po t redukovanou Grobnerovu b zi pro ide l uveden za denic 3.7 v gradovan m lexikograck m uspo d n (tdeg je zkratka pro total degree), dal tot v lexikograck m uspo d n (plex=pure lexicographic). N sleduj c p kazy ilustruj r zn chov n pou it ch uspo- d n (leadmon d v vedouc koecient a monom, spoly je S-polynom v zadan m uspo d n, normalf je v podstat zbytek po d len ). Snadn modikace p edchoz teorie (od za tku kapitoly 2) vede k roz en na podmoduly ve voln ch modulech. Pak lze aplikovat p edchoz algoritmus na vlastn v sledek, dostaneme p slu nou Grobnerovu b zi podmodulu S(G) atd. Lze uk zat, e tento postup tak zastav. Po ty gener tor v z skan ch Grobnerov ch b z ch maj mimo jin topologickou interpretaci, lze z nichodvodit nap. po ty k-rozm rn ch d r ve variet apod. P padn z jemce m e naj t v ce podrobnost v diplomov pr ci Zorky Velenov, kter je k dispozici ve stejn m adres i, jako tyto texty. 8 8 Zorkauv d obecn vlastnosti modul nad komutativn mi okruhy, Buchberger v algoritmus v t to obecn situaci v etn zm n n iterace a ukazuje, e tato se mus zastavit nejpozd ji po tolika kroc ch, kolik je voln ch prom nn ch. Nav c p edstavuje specializovan software { Macaulay.

3.4 Zefektivn n algoritmu 27 > > > > > > with(grobner); [ finduni, finite, gbasis, gsolve, leadmon, normalf, solvable, spoly ]?grobner gbasis([x^3-2*x*y,x^2*y-2*y^2+x],[x,y],tdeg); xy, x, - x + 2 y gbasis([x^3-2*x*y,x^2*y-2*y^2+x],[x,y],plex); x - 2 y, y! leadmon(x-2*y^2, [x,y],plex); [ 1, x ] leadmon(x-2*y^2, [x,y],tdeg); -2, y > spoly(x-2*y^2,y^3, [x,y],plex); > normalf(spoly(x-2*y^2,y^3, [x,y],plex),[x-2*y^2,y^3], > [x,y],plex); -2 y # > spoly(x-2*y^2,y^3, [x,y],tdeg); > normalf(spoly(x-2*y^2,y^3, [x,y],tdeg),[x-2*y^2,y^3], > [x,y],tdeg); xy 0 > xy Obr. 6: Uk zka z pisn ku syst mu MAPLE