4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les
|
|
|
- Rostislav Vopička
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 Stromy a les Jedn m ze z kladn ch, a patrn ї nejjednodu m, typem graf 0 1 jsou takzvan і stromy. Jedn se o souvisl і grafy bez kru 0 6nic. P 0 0es svou (zd nlivou) jednoduchost maj stromy bohatou strukturu a p 0 0edev 0 8 m mno 0 6stv vlastn ch aplikac, nap 0 0 klad v datov 0 5ch struktur ch. 7е5 7ц1 7е5 7е ц Ь Ь 7Ґ8 7Ґ8 7Ґ8 7Ґ8 7б7 7б7 7б Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les
2 4 Stromy a les Jedn m ze z kladn ch, a patrn ї nejjednodu m, typem graf 0 1 jsou takzvan і stromy. Jedn se o souvisl і grafy bez kru 0 6nic. P 0 0es svou (zd nlivou) jednoduchost maj stromy bohatou strukturu a p 0 0edev 0 8 m mno 0 6stv vlastn ch aplikac, nap 0 0 klad v datov 0 5ch struktur ch. 7е5 7ц1 7е5 7е ц Ь Ь 7Ґ8 7Ґ8 7Ґ8 7Ґ8 7б7 7б7 7б Patrn ї nejstar 0 8 motivac pojmu stromu jsou rodokmeny ( po me 0 0i ), jejich 0 6 p 0 1vod sah daleko p 0 0ed vznik teorie graf 0 1. Stru 0 0n 0 5 p 0 0ehled lekce 6і1 Definice a z kladn vlastnosti strom і1 Ko 0 0enov і a uspo 0 0 dan і stromy, isomorfismus. 6і1 Kostry graf 0 1 a jejich po 0 0et. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les
3 4.1 Z kladn vlastnosti strom 0 1 Definice 4.1. Strom je jednoduch 0 5 souvisl 0 5 graf T bez kru 0 6nic. Lema 4.2. Strom s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem obsahuje vrchol stupn ї 1. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 2 FI: MA010: Stromy a les
4 4.1 Z kladn vlastnosti strom 0 1 Definice 4.1. Strom je jednoduch 0 5 souvisl 0 5 graf T bez kru 0 6nic. Lema 4.2. Strom s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem obsahuje vrchol stupn ї 1. D 0 1kaz: Souvisl 0 5 graf s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem nem e m t vrchol stupn ї 0. Proto vezmeme strom T a v n їm libovoln 0 5 vrchol v. Sestroj me nyn co nejdel 0 8 sled S v T za 0 0 naj c ve v: S za 0 0ne libovolnou hranou vych zej c z v. V ka 0 6d іm dal 0 8 m vrchole u, do kter іho se dostaneme a m stupe v їt 0 8 ne 0 6 1, lze pak pokra 0 0ovat sled S dal 0 8 novou hranou. Uv їdomme si, 0 6e pokud by se ve sledu S poprv і zopakoval n їkter 0 5 vrchol, z skali bychom kru 0 6nici, co 0 6 ve strom ї nelze. Proto sled S mus jednou skon 0 0it v n їjak іm vrcholu stupn ї 1 v T. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 2 FI: MA010: Stromy a les
5 4.1 Z kladn vlastnosti strom 0 1 Definice 4.1. Strom je jednoduch 0 5 souvisl 0 5 graf T bez kru 0 6nic. Lema 4.2. Strom s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem obsahuje vrchol stupn ї 1. D 0 1kaz: Souvisl 0 5 graf s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem nem e m t vrchol stupn ї 0. Proto vezmeme strom T a v n їm libovoln 0 5 vrchol v. Sestroj me nyn co nejdel 0 8 sled S v T za 0 0 naj c ve v: S za 0 0ne libovolnou hranou vych zej c z v. V ka 0 6d іm dal 0 8 m vrchole u, do kter іho se dostaneme a m stupe v їt 0 8 ne 0 6 1, lze pak pokra 0 0ovat sled S dal 0 8 novou hranou. Uv їdomme si, 0 6e pokud by se ve sledu S poprv і zopakoval n їkter 0 5 vrchol, z skali bychom kru 0 6nici, co 0 6 ve strom ї nelze. Proto sled S mus jednou skon 0 0it v n їjak іm vrcholu stupn ї 1 v T. 7а3 V їta 4.3. Strom na n vrcholech m p 0 0esn ї n 6с1 1 hran pro n щ 1. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 2 FI: MA010: Stromy a les
6 4.1 Z kladn vlastnosti strom 0 1 Definice 4.1. Strom je jednoduch 0 5 souvisl 0 5 graf T bez kru 0 6nic. Lema 4.2. Strom s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem obsahuje vrchol stupn ї 1. D 0 1kaz: Souvisl 0 5 graf s v ce ne 0 6 jedn m vrcholem nem e m t vrchol stupn ї 0. Proto vezmeme strom T a v n їm libovoln 0 5 vrchol v. Sestroj me nyn co nejdel 0 8 sled S v T za 0 0 naj c ve v: S za 0 0ne libovolnou hranou vych zej c z v. V ka 0 6d іm dal 0 8 m vrchole u, do kter іho se dostaneme a m stupe v їt 0 8 ne 0 6 1, lze pak pokra 0 0ovat sled S dal 0 8 novou hranou. Uv їdomme si, 0 6e pokud by se ve sledu S poprv і zopakoval n їkter 0 5 vrchol, z skali bychom kru 0 6nici, co 0 6 ve strom ї nelze. Proto sled S mus jednou skon 0 0it v n їjak іm vrcholu stupn ї 1 v T. 7а3 V їta 4.3. Strom na n vrcholech m p 0 0esn ї n 6с1 1 hran pro n щ 1. D 0 1kaz: Toto tvrzen dok 0 6eme indukc podle n. Strom s jedn m vrcholem m n 6с1 1 = 0 hran. Necht T je strom na n > 1 vrcholech. Podle Lematu 4.2 m T vrchol v stupn ї 1. Ozna 0 0me T Д = T 6с1v graf vznikl 0 5 z T odebr n m vrcholu v. Pak T Д je tak і souvisl 0 5 bez kru 0 6nic, tud 0 6 strom na n 6с1 1 vrcholech. Dle induk 0 0n ho p 0 0edpokladu T Д m n 6с1 1 6с1 1 hran, a proto T m n 6с1 1 6с = n 6с1 1 hran. 7а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 2 FI: MA010: Stromy a les
7 V їta 4.4. Mezi ka 0 6d 0 5mi dv їma vrcholy stromu vede pr v ї jedin cesta. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 3 FI: MA010: Stromy a les
8 V їta 4.4. Mezi ka 0 6d 0 5mi dv їma vrcholy stromu vede pr v ї jedin cesta. D 0 1kaz: Jeliko 0 6 strom T je souvisl 0 5 dle definice, mezi libovoln 0 5mi dv їma vrcholy u, v vede n їjak cesta. Pokud by existovaly dv ї r 0 1zn і cesty P 1, P 2 mezi u, v, tak bychom vzali jejich symetrick 0 5 rozd l, podgraf H = P 1 6р2P 2 s nepr zdnou mno 0 6inou hran, kde H z 0 0ejm ї m v 0 8echny stupn ї sud і. Na druhou stranu se v 0 8ak podgraf stromu mus op їt skl dat z komponent strom 0 1, a tud 0 6 obsahovat vrchol stupn ї 1 podle Lematu 4.2, spor. Proto cesta mezi u a v existuje jen jedna. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 3 FI: MA010: Stromy a les
9 V їta 4.4. Mezi ka 0 6d 0 5mi dv їma vrcholy stromu vede pr v ї jedin cesta. D 0 1kaz: Jeliko 0 6 strom T je souvisl 0 5 dle definice, mezi libovoln 0 5mi dv їma vrcholy u, v vede n їjak cesta. Pokud by existovaly dv ї r 0 1zn і cesty P 1, P 2 mezi u, v, tak bychom vzali jejich symetrick 0 5 rozd l, podgraf H = P 1 6р2P 2 s nepr zdnou mno 0 6inou hran, kde H z 0 0ejm ї m v 0 8echny stupn ї sud і. Na druhou stranu se v 0 8ak podgraf stromu mus op їt skl dat z komponent strom 0 1, a tud 0 6 obsahovat vrchol stupn ї 1 podle Lematu 4.2, spor. Proto cesta mezi u a v existuje jen jedna. 7а3 D 0 1sledek 4.5. P 0 0id n m jedn і nov і hrany do stromu vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice. D 0 1kaz: Necht mezi vrcholy u, v ve stromu T nen hrana. P 0 0id n m hrany e = uv vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice z e a jedin і cesty mezi u, v v T podle V їty 4.4. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 3 FI: MA010: Stromy a les
10 V їta 4.4. Mezi ka 0 6d 0 5mi dv їma vrcholy stromu vede pr v ї jedin cesta. D 0 1kaz: Jeliko 0 6 strom T je souvisl 0 5 dle definice, mezi libovoln 0 5mi dv їma vrcholy u, v vede n їjak cesta. Pokud by existovaly dv ї r 0 1zn і cesty P 1, P 2 mezi u, v, tak bychom vzali jejich symetrick 0 5 rozd l, podgraf H = P 1 6р2P 2 s nepr zdnou mno 0 6inou hran, kde H z 0 0ejm ї m v 0 8echny stupn ї sud і. Na druhou stranu se v 0 8ak podgraf stromu mus op їt skl dat z komponent strom 0 1, a tud 0 6 obsahovat vrchol stupn ї 1 podle Lematu 4.2, spor. Proto cesta mezi u a v existuje jen jedna. 7а3 D 0 1sledek 4.5. P 0 0id n m jedn і nov і hrany do stromu vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice. D 0 1kaz: Necht mezi vrcholy u, v ve stromu T nen hrana. P 0 0id n m hrany e = uv vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice z e a jedin і cesty mezi u, v v T podle V їty а3 V їta 4.6. Strom je minim ln souvisl 0 5 graf (na dan 0 5ch vrcholech). Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 3 FI: MA010: Stromy a les
11 V їta 4.4. Mezi ka 0 6d 0 5mi dv їma vrcholy stromu vede pr v ї jedin cesta. D 0 1kaz: Jeliko 0 6 strom T je souvisl 0 5 dle definice, mezi libovoln 0 5mi dv їma vrcholy u, v vede n їjak cesta. Pokud by existovaly dv ї r 0 1zn і cesty P 1, P 2 mezi u, v, tak bychom vzali jejich symetrick 0 5 rozd l, podgraf H = P 1 6р2P 2 s nepr zdnou mno 0 6inou hran, kde H z 0 0ejm ї m v 0 8echny stupn ї sud і. Na druhou stranu se v 0 8ak podgraf stromu mus op їt skl dat z komponent strom 0 1, a tud 0 6 obsahovat vrchol stupn ї 1 podle Lematu 4.2, spor. Proto cesta mezi u a v existuje jen jedna. 7а3 D 0 1sledek 4.5. P 0 0id n m jedn і nov і hrany do stromu vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice. D 0 1kaz: Necht mezi vrcholy u, v ve stromu T nen hrana. P 0 0id n m hrany e = uv vznikne pr v ї jedna kru 0 6nice z e a jedin і cesty mezi u, v v T podle V їty а3 V їta 4.6. Strom je minim ln souvisl 0 5 graf (na dan 0 5ch vrcholech). D 0 1kaz: Strom je souvisl 0 5 podle definice. Pokud by ale vypu 0 8t їn m hrany e = uv ze stromu T vznikl op їt souvisl 0 5 graf, pak by mezi u, v v T existovaly dv ї cesty (dohromady kru 0 6nice) C hrana e a jin cesta v T 6с1e. To je ve sporu s V їtou 4.4. Naopak, pokud by souvisl 0 5 graf m їl kru 0 6nici, z 0 1stal by souvisl 0 5 i po vypu 0 8t їn n їkter і hrany t і kru 0 6nice. Proto ka 0 6d 0 5 minim ln souvisl 0 5 graf (na dan 0 5ch vrcholech) je stromem. Tud 0 6 strom je pr v ї minim ln m souvisl 0 5m grafem na dan 0 5ch vrcholech. 7а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 3 FI: MA010: Stromy a les
12 P 0 0 klad 4.7. Kolik nejv e kru 0 6nic vznikne v grafu, kter 0 5 vytvo 0 0 me ze stromu p 0 0id n m dvou hran? Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 4 FI: MA010: Stromy a les
13 P 0 0 klad 4.7. Kolik nejv e kru 0 6nic vznikne v grafu, kter 0 5 vytvo 0 0 me ze stromu p 0 0id n m dvou hran? P 0 0id n m jedn і hrany do stromu T vznikne jedna kru 0 6nice dle D 0 1sledku 4.5. Druh hrana vytvo 0 0 nejm іn ї je 0 8t ї jednu kru 0 6nici ze stejn 0 5ch d 0 1vod 0 1, ale m e vytvo 0 0it i dv ї dal 0 8 kru 0 6nice, jako t 0 0eba v n sleduj c m grafu, kde strom T je vyzna 0 0en pln 0 5mi 0 0arami a dv ї p 0 0idan і hrany 0 0 rkovan ї. 7б7 7б7 7б7 7б7 Ka 0 6d z p 0 0idan 0 5ch dvou hran vytvo 0 0 vlastn troj heln k a nav c je 0 8t ї vznikne kru 0 6nice d іlky 4 proch zej c ob їma z p 0 0idan 0 5ch hran. Na druhou stranu chceme uk zat, 0 6e v ce ne kru 0 6nice vzniknout nemohou po p 0 0id n dvou hran e, f do stromu T : Podle D 0 1sledku 4.5 vznikne jen jedna kru 0 6nice proch zej c hranou e a neobsahuj c f, stejn ї tak jedna kru 0 6nice proch zej c f a neobsahuj c e. Nakonec sta 0 0 nahl іdnout, 0 6e je nejv e jedna mo 0 6n kru 0 6nice proch zej c ob їma hranami e, f: Pokud by takov і byly dv ї r 0 1zn і C 1, C 2, pod vali bychom se na jejich symetrick 0 5 rozd l, podgraf H = C 1 6р2C 2, kter 0 5 m v 0 8echny stupn ї sud і, nepr zdnou mno 0 6inu hran a je nav c pografem stromu T. Tak 0 6e stejn ї jako ve V їt ї 4.4 dost v me spor s faktem, 0 6e podgrafy strom 0 1 s hranami mus obsahovat vrchol stupn ї 1. 7а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 4 FI: MA010: Stromy a les
14 4.2 Ko 0 0enov і stromy P 0 0i mnoha aplikac ch stromov 0 5ch struktur se ke stromu jako grafu samotn іmu je 0 8t ї v 0 6 dodate 0 0n і informace, jako t 0 0eba vyzna 0 0en 0 5 jeden vrchol, tzv. ko 0 0en stromu, ze kter іho cel 0 5 strom vyr 0 1st. Typick 0 5m p 0 0 kladem jsou r 0 1zn і (acyklick і) datov і struktury, ve kter 0 5ch je vyzna 0 0en 0 5 vrchol C ko 0 0en, referov n jako za 0 0 tek ulo 0 6en 0 5ch dat. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 5 FI: MA010: Stromy a les
15 4.2 Ko 0 0enov і stromy P 0 0i mnoha aplikac ch stromov 0 5ch struktur se ke stromu jako grafu samotn іmu je 0 8t ї v 0 6 dodate 0 0n і informace, jako t 0 0eba vyzna 0 0en 0 5 jeden vrchol, tzv. ko 0 0en stromu, ze kter іho cel 0 5 strom vyr 0 1st. Typick 0 5m p 0 0 kladem jsou r 0 1zn і (acyklick і) datov і struktury, ve kter 0 5ch je vyzna 0 0en 0 5 vrchol C ko 0 0en, referov n jako za 0 0 tek ulo 0 6en 0 5ch dat. Ko 0 0enov і stromy maj tak і tradi 0 0n motivaci v rodokmenech a z toho vych z jejich b ї 0 6n terminologie. Definice 4.8. Ko 0 0enov 0 5m stromem je strom T spolu s vyzna 0 0en 0 5m ko 0 0enem r й V (T ), zkr cen ї dvojice T, r. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 5 FI: MA010: Stromy a les
16 4.2 Ko 0 0enov і stromy P 0 0i mnoha aplikac ch stromov 0 5ch struktur se ke stromu jako grafu samotn іmu je 0 8t ї v 0 6 dodate 0 0n і informace, jako t 0 0eba vyzna 0 0en 0 5 jeden vrchol, tzv. ko 0 0en stromu, ze kter іho cel 0 5 strom vyr 0 1st. Typick 0 5m p 0 0 kladem jsou r 0 1zn і (acyklick і) datov і struktury, ve kter 0 5ch je vyzna 0 0en 0 5 vrchol C ko 0 0en, referov n jako za 0 0 tek ulo 0 6en 0 5ch dat. Ko 0 0enov і stromy maj tak і tradi 0 0n motivaci v rodokmenech a z toho vych z jejich b ї 0 6n terminologie. Definice 4.8. Ko 0 0enov 0 5m stromem je strom T spolu s vyzna 0 0en 0 5m ko 0 0enem r й V (T ), zkr cen ї dvojice T, r. P 0 0 klad ko 0 0enov іho stromu je na n sleduj c m obr zku: r 7е6 7б б7 7б7 7б7 7б7 7б б д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д б7 7б7 7б7 Zaj mavost je, 0 6e v informatice stromy v їt 0 8inou rostou od ko 0 0ene sm їrem dol 0 1. (V 0 8ak tak і nejsme v biologii... ) Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 5 FI: MA010: Stromy a les
17 Definice: M їjme ko 0 0enov 0 5 strom T, r a v n їm vrchol v. Ozna 0 0me u souseda v na cest ї sm їrem ke ko 0 0eni r. Pak je u naz 0 5v n rodi 0 0em v a v je naz 0 5v n potomkem u. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 6 FI: MA010: Stromy a les
18 Definice: M їjme ko 0 0enov 0 5 strom T, r a v n їm vrchol v. Ozna 0 0me u souseda v na cest ї sm їrem ke ko 0 0eni r. Pak je u naz 0 5v n rodi 0 0em v a v je naz 0 5v n potomkem u. Ko 0 0en nem 0 6 dn іho rodi 0 0e. potomci ko 0 0en 7е6 7б7 prarodi 0 0 7б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 7б7 rodi 0 0 7б7 7б7 7б7 7д9 7б7 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 0 9asto se tak і setk te v ko 0 0enov 0 5ch stromech s ozna 0 0ov n m otec Csyn m sto rodi 0 0 Cpotomek. My jsme takov і ozna 0 0en nepou 0 6ili proto, 0 6e by (hlavn ї v zem ch na z pad od n s) mohlo b 0 5t pova 0 6ov no za sexistick і. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 6 FI: MA010: Stromy a les
19 Definice: M їjme ko 0 0enov 0 5 strom T, r a v n їm vrchol v. Ozna 0 0me u souseda v na cest ї sm їrem ke ko 0 0eni r. Pak je u naz 0 5v n rodi 0 0em v a v je naz 0 5v n potomkem u. Ko 0 0en nem 0 6 dn іho rodi 0 0e. potomci ko 0 0en 7е6 7б7 prarodi 0 0 7б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 7б7 rodi 0 0 7б7 7б7 7б7 7д9 7б7 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 0 9asto se tak і setk te v ko 0 0enov 0 5ch stromech s ozna 0 0ov n m otec Csyn m sto rodi 0 0 Cpotomek. My jsme takov і ozna 0 0en nepou 0 6ili proto, 0 6e by (hlavn ї v zem ch na z pad od n s) mohlo b 0 5t pova 0 6ov no za sexistick і. Definice: Vrchol stupn ї 1 v libovoln іm stromu naz 0 5v me listem. Pozor, i ko 0 0en stromu m e b 0 5t listem, pokud m stupe 1, ale obvykle se to tak ne 0 0 k. List ko 0 0enov іho stromu, kter 0 5 nen ko 0 0enem, nem potomky. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 6 FI: MA010: Stromy a les
20 Definice: Centrem stromu T n sleduj c m postupem: rozum me bud vrchol nebo hranu nalezenou v T 6і1 Pokud m strom T jeden vrchol, je to jeho centrum. Pokud m strom T dva vrcholy, je jeho centrem hrana spojuj c tyto dva vrcholy. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 7 FI: MA010: Stromy a les
21 Definice: Centrem stromu T n sleduj c m postupem: rozum me bud vrchol nebo hranu nalezenou v T 6і1 Pokud m strom T jeden vrchol, je to jeho centrum. Pokud m strom T dva vrcholy, je jeho centrem hrana spojuj c tyto dva vrcholy. 6і1 Jinak vytvo 0 0 me men 0 8 strom T Д 6ш3 T vypu 0 8t їn m v 0 8ech list 0 1 T najednou. Je z 0 0ejm і, 0 6e T Д je nepr zdn 0 5, a vrac me se na p 0 0edchoz bod. Z skan і (rekurzivn ї) centrum T Д je z rove centrem T. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 7 FI: MA010: Stromy a les
22 Definice: Centrem stromu T n sleduj c m postupem: rozum me bud vrchol nebo hranu nalezenou v T 6і1 Pokud m strom T jeden vrchol, je to jeho centrum. Pokud m strom T dva vrcholy, je jeho centrem hrana spojuj c tyto dva vrcholy. 6і1 Jinak vytvo 0 0 me men 0 8 strom T Д 6ш3 T vypu 0 8t їn m v 0 8ech list 0 1 T najednou. Je z 0 0ejm і, 0 6e T Д je nepr zdn 0 5, a vrac me se na p 0 0edchoz bod. Z skan і (rekurzivn ї) centrum T Д je z rove centrem T. P 0 0 klad 4.9. Ilustrac definice centra jsou n sleduj c dva postupy nalezen : 7Ґ б7 7ё д9 7б7 7д9 7д9 7д9 7б7 7б7 7б б7 7Ґ Ґ5 7е6 7б е6 7е6 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 7 FI: MA010: Stromy a les
23 Definice: Centrem stromu T n sleduj c m postupem: rozum me bud vrchol nebo hranu nalezenou v T 6і1 Pokud m strom T jeden vrchol, je to jeho centrum. Pokud m strom T dva vrcholy, je jeho centrem hrana spojuj c tyto dva vrcholy. 6і1 Jinak vytvo 0 0 me men 0 8 strom T Д 6ш3 T vypu 0 8t їn m v 0 8ech list 0 1 T najednou. Je z 0 0ejm і, 0 6e T Д je nepr zdn 0 5, a vrac me se na p 0 0edchoz bod. Z skan і (rekurzivn ї) centrum T Д je z rove centrem T. P 0 0 klad 4.9. Ilustrac definice centra jsou n sleduj c dva postupy nalezen : 7Ґ б7 7ё д9 7б7 7д9 7д9 7д9 7б7 7б7 7б б7 7Ґ Ґ5 7е6 7б е6 7е6 7а3 Fakt. Pokud chceme dan іmu (abstraktn mu) stromu p 0 0i 0 0adit jednozna 0 0n ї ko 0 0en, je nejlep 0 8 jej p 0 0i 0 0adit centru stromu. Speci ln ї, pokud je centrem hrana, bude ko 0 0enem nov 0 5 vrchol rozd їluj c tuto hranu na dv ї. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 7 FI: MA010: Stromy a les
24 Definice: Ko 0 0enov 0 5 strom T, r je uspo 0 0 dan 0 5, pokud je pro ka 0 6d 0 5 jeho vrchol jednozna 0 0n ї d no po 0 0ad jeho potomk 0 1 (zleva doprava). Uspo 0 0 dan 0 5 ko 0 0enov 0 5 strom se tak і naz 0 5v p їstovan 0 5 strom. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 8 FI: MA010: Stromy a les
25 Definice: Ko 0 0enov 0 5 strom T, r je uspo 0 0 dan 0 5, pokud je pro ka 0 6d 0 5 jeho vrchol jednozna 0 0n ї d no po 0 0ad jeho potomk 0 1 (zleva doprava). Uspo 0 0 dan 0 5 ko 0 0enov 0 5 strom se tak і naz 0 5v p їstovan 0 5 strom. Uspo 0 0 dan 0 5 ko 0 0enov 0 5 strom si jinak tak і m eme p 0 0edstavit jako strom s vyzna 0 0en 0 5m ko 0 0enem a pevn ї zvolen 0 5m nakreslen m v rovin ї bez k en hran. Nakreslen hran potomk 0 1 vzhledem k hran ї rodi 0 0e pak ud v (ve zvolen і orientaci) po 0 0ad potomk 0 1. ko 0 0en 7е6 7б7 7б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 7б7 rodi 0 0 7б7 7б7 7б7 7д9 7б7 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д9 7д б7 7б7 7б б7 7б7 7б7 7б7 potomci: Uspo 0 0 d n potomk 0 1 vrcholu ve stromu je p 0 0irozen ї po 0 6adov no v mnoha praktick 0 5ch situac ch. Nap 0 0 klad ve stromov 0 5ch datov 0 5ch struktur ch jsou 0 0asto potomci explicitn ї se 0 0azeni podle dan іho k e, jako t 0 0eba ve vyhled vac ch bin rn ch stromech. I v p 0 0 padech, kdy uspo 0 0 d n potomk 0 1 ve strom ї nen d no, je mo 0 6n і jej jednozna 0 0n ї definovat, jak uvid me v n sleduj c 0 0 sti. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 8 FI: MA010: Stromy a les
26 4.3 Isomorfismus strom 0 1 Jeliko 0 6 stromy jsou speci ln m p 0 0 padem graf 0 1, je isomorfismus strom 0 1 tot і 0 6 co isomorfismus graf 0 1. Av 0 8ak na rozd l od obecn 0 5ch graf 0 1, kdy je ur 0 0en isomorfismu t ї 0 6k 0 5 probl іm, pro isomorfismus strom 0 1 existuje efektivn postup, kter 0 5 si uk 0 6eme d le. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 9 FI: MA010: Stromy a les
27 ю2 4.3 Isomorfismus strom 0 1 Jeliko 0 6 stromy jsou speci ln m p 0 0 padem graf 0 1, je isomorfismus strom 0 1 tot і 0 6 co isomorfismus graf 0 1. Av 0 8ak na rozd l od obecn 0 5ch graf 0 1, kdy je ur 0 0en isomorfismu t ї 0 6k 0 5 probl іm, pro isomorfismus strom 0 1 existuje efektivn postup, kter 0 5 si uk 0 6eme d le. Definice: Dva ko 0 0enov і stromy T, r a T Д, r Д jsou isomorfn pokud existuje isomorfismus mezi stromy T a T Д, kter 0 5 ko 0 0en r zobrazuje na ko 0 0en r Д. r 7е б7 7б7 7б д9 7б7 7д9 7д9 7д9 6ж2 r Д 7е6 7г3 7г3 7г3 7г3 7б8 7б7 7б8 7б8 7б б д9 7б7 7д9 7д9 7д9 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 9 FI: MA010: Stromy a les
28 ю2 4.3 Isomorfismus strom 0 1 Jeliko 0 6 stromy jsou speci ln m p 0 0 padem graf 0 1, je isomorfismus strom 0 1 tot і 0 6 co isomorfismus graf 0 1. Av 0 8ak na rozd l od obecn 0 5ch graf 0 1, kdy je ur 0 0en isomorfismu t ї 0 6k 0 5 probl іm, pro isomorfismus strom 0 1 existuje efektivn postup, kter 0 5 si uk 0 6eme d le. Definice: Dva ko 0 0enov і stromy T, r a T Д, r Д jsou isomorfn pokud existuje isomorfismus mezi stromy T a T Д, kter 0 5 ko 0 0en r zobrazuje na ko 0 0en r Д. r 7е б7 7б7 7б д9 7б7 7д9 7д9 7д9 6ж2 r Д 7е6 7г3 7г3 7г3 7г3 7б8 7б7 7б8 7б8 7б б д9 7б7 7д9 7д9 7д9 Definice: Dva uspo 0 0 dan і ko 0 0enov і stromy jsou isomorfn pokud je mezi nimi isomorfismus ko 0 0enov 0 5ch strom 0 1, kter 0 5 nav c zachov v po 0 0ad potomk 0 1 v 0 8ech vrchol 0 1. r 7е б7 7б7 7б д9 7б7 7д9 7д9 7д9 6ж2 r Д 7е б б7 7Ґ3 7Ґ3 7Ґ3 7Ґ3 7Ґ3 7Ґ5 7Ґ Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 9 FI: MA010: Stromy a les
29 K dov n uspo 0 0 dan 0 5ch ko 0 0enov 0 5ch strom 0 1 ( z vorkov n strom 0 1) Definice: ( ((()()())()) (()(())) ) 7б7 ( (()()()) () ) 7б7 7б7 7б ( () (()) ) 7б7 7б7 7б7 7б7 7б7 ( ()()() ) 7б7 7б7 7б7 (()) 7б б7 7б7 7б () 7б7 7б7 7б7 7б7 () () () () () K d uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu se spo 0 0 t rekurzivn ї z k d 0 1 v 0 8ech podstrom 0 1 ko 0 0ene, se 0 0azen 0 5ch v dan іm po 0 0ad a uzav 0 0en 0 5ch do p ru z vorek. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 10 FI: MA010: Stromy a les
30 K dov n uspo 0 0 dan 0 5ch ko 0 0enov 0 5ch strom 0 1 ( z vorkov n strom 0 1) Definice: ( ((()()())()) (()(())) ) 7б7 ( (()()()) () ) 7б7 7б7 7б ( () (()) ) 7б7 7б7 7б7 7б7 7б7 ( ()()() ) 7б7 7б7 7б7 (()) 7б б7 7б7 7б () 7б7 7б7 7б7 7б7 () () () () () K d uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu se spo 0 0 t rekurzivn ї z k d 0 1 v 0 8ech podstrom 0 1 ko 0 0ene, se 0 0azen 0 5ch v dan іm po 0 0ad a uzav 0 0en 0 5ch do p ru z vorek. Pozn mka: M sto znak 0 1 ( a ) lze pou 0 6 t i jin і symboly, t 0 0eba 0 a 1. Lema Dva uspo 0 0 dan і ko 0 0enov і (p їstovan і) stromy jsou isomorfn pr v ї kdy 0 6 jejich k dy z skan і podle p 0 0edchoz ho popisu jsou shodn і 0 0et їzce. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 10 FI: MA010: Stromy a les
31 Fakt. Je-li d n k d s uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu, p 0 0 slu 0 8n 0 5 strom nakres me n sleduj c m postupem: C P 0 0i p 0 0e 0 0ten znaku ( na za 0 0 tku spust me pero na pap r, do ko 0 0ene. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 11 FI: MA010: Stromy a les
32 Fakt. Je-li d n k d s uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu, p 0 0 slu 0 8n 0 5 strom nakres me n sleduj c m postupem: C P 0 0i p 0 0e 0 0ten znaku ( na za 0 0 tku spust me pero na pap r, do ko 0 0ene. C P 0 0i ka 0 6d іm dal 0 8 m p 0 0e 0 0ten znaku ( nakres me hranu do n sleduj c ho potomka sou 0 0asn іho vrcholu. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 11 FI: MA010: Stromy a les
33 Fakt. Je-li d n k d s uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu, p 0 0 slu 0 8n 0 5 strom nakres me n sleduj c m postupem: C P 0 0i p 0 0e 0 0ten znaku ( na za 0 0 tku spust me pero na pap r, do ko 0 0ene. C P 0 0i ka 0 6d іm dal 0 8 m p 0 0e 0 0ten znaku ( nakres me hranu do n sleduj c ho potomka sou 0 0asn іho vrcholu. C P 0 0i ka 0 6d іm p 0 0e 0 0ten znaku ) se perem vr t me do rodi 0 0e sou 0 0asn іho vrcholu, p 0 0 padn ї zvedneme pero, pokud u 0 6 jsme v ko 0 0eni. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 11 FI: MA010: Stromy a les
34 Fakt. Je-li d n k d s uspo 0 0 dan іho ko 0 0enov іho stromu, p 0 0 slu 0 8n 0 5 strom nakres me n sleduj c m postupem: C P 0 0i p 0 0e 0 0ten znaku ( na za 0 0 tku spust me pero na pap r, do ko 0 0ene. C P 0 0i ka 0 6d іm dal 0 8 m p 0 0e 0 0ten znaku ( nakres me hranu do n sleduj c ho potomka sou 0 0asn іho vrcholu. C P 0 0i ka 0 6d іm p 0 0e 0 0ten znaku ) se perem vr t me do rodi 0 0e sou 0 0asn іho vrcholu, p 0 0 padn ї zvedneme pero, pokud u 0 6 jsme v ko 0 0eni. P 0 0 klad Nakreslete jako p їstovan 0 5 strom ten odpov daj c z vorkov іmu k du ( (()(()()()())) (()()) ). 7е6 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7ц ц5 7б8 7б8 7б8 7б б7 7б7 7б7 7б7 7Ґ б8 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7ц5 7б8 7б8 7б а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 11 FI: MA010: Stromy a les
35 P 0 0i ur 0 0ov n isomorfismu obecn 0 5ch strom 0 1 pou 0 6ijeme z vorkov 0 5 k d, pro kter 0 5 ko 0 0en vo me v centru a potomky se 0 0ad me podle jejich k d 0 1 vzestupn ї abecedn ї. Algoritmus Ur 0 0en isomorfismu dvou strom 0 1. input: stromy T a U; if ( V (T )!= V (U) ) return Nejsou isomorfn. ; (T,r) = korenove centrum(t); (U,s) = korenove centrum(u); k = minimalni kod(t,r); m = minimalni kod(u,s); if (k==m jako 0 0et їzce) return Jsou isomorfn. ; else return Nejsou isomorfn. ; Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 12 FI: MA010: Stromy a les
36 P 0 0i ur 0 0ov n isomorfismu obecn 0 5ch strom 0 1 pou 0 6ijeme z vorkov 0 5 k d, pro kter 0 5 ko 0 0en vo me v centru a potomky se 0 0ad me podle jejich k d 0 1 vzestupn ї abecedn ї. Algoritmus Ur 0 0en isomorfismu dvou strom 0 1. input: stromy T a U; if ( V (T )!= V (U) ) return Nejsou isomorfn. ; (T,r) = korenove centrum(t); (U,s) = korenove centrum(u); k = minimalni kod(t,r); m = minimalni kod(u,s); if (k==m jako 0 0et їzce) return Jsou isomorfn. ; else return Nejsou isomorfn. ; Funkce minimalni kod(strom X, vrchol r) { if ( V (X) ==1) return "()"; d = po 0 0et komponent grafu X-r, tj. podstrom 0 1 ko 0 0ene r; for (i = 1,...,d) { Y[i] = i-t souvisl komponenta grafu X-r; s[i] = i-t 0 5 soused r, tj. ko 0 0en podstromu Y[i]; k[i] = minimalni kod(y[i],s[i]); } sort k[1]<=k[2]<=...<=k[d] lexikograficky (abecedn ї); return "("+k[1]+...+k[d]+")"; } Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 12 FI: MA010: Stromy a les
37 D 0 1kaz spr vnosti Algoritmu 4.12 je pod n v n sleduj c m tvrzen. V їta M їjme dva stromy T, U o stejn іm po 0 0tu vrchol 0 1 a necht (T Д, r) a (U Д, s) jsou po 0 0ad ї jejich ko 0 0enov і stromy z skan і v prvn 0 0 sti Algoritmu 4.12 (kde r, s jsou centra T, U). Pak plat : a) T a U jsou isomorfn, pr v ї kdy 0 6 (T Д, r) je isomorfn (U Д, s). b) (T Д, r) je isomorfn (U Д, s), pr v ї kdy 0 6 minimalni kod(t Д, r) = minimalni kod(u Д, s). D 0 1kaz (n znak): Tvrzen (a) ihned plyne z jednozna 0 0nosti definice centra stromu. Za druh і (b) dokazujeme indukc podle hloubky na 0 8ich ko 0 0enov 0 5ch strom 0 1 T Д, r a U Д, s. (Z 0 0ejm ї pokud maj r 0 1zn і hloubky, isomorfn nejsou.) Dva ko 0 0enov і stromy hloubky 0 jsou v 0 6dy isomorfn a maj shodn 0 5 k d (). D le vezmeme T Д, r a U Д, s hloubky l > 0. Pokud jejich k dy vyjdou shodn і, jsou isomorfn. Naopak pro isomorfn T Д, r a U Д, s existuje bijekce mezi vz jemn ї isomorfn mi podstromy jejich ko 0 0en 0 1, tud 0 6 podle induk 0 0n ho p 0 0edpokladu k dy t їchto podstrom 0 1 jsou po dvojic ch shodn і. Jeliko 0 6 se v obou p 0 0 padech set 0 0 d k dy podstrom 0 1 stejn ї, vyjde minimalni kod(t Д, r) = minimalni kod(u Д, s). 7а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 13 FI: MA010: Stromy a les
38 4.4 Kostry graf 0 1 Definice Kostrou souvisl іho grafu G je podgraf v G, kter 0 5 je s m stromem a obsahuje v 0 8echny vrcholy grafu G. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 14 FI: MA010: Stromy a les
39 4.4 Kostry graf 0 1 Definice Kostrou souvisl іho grafu G je podgraf v G, kter 0 5 je s m stromem a obsahuje v 0 8echny vrcholy grafu G. P 0 0 klad Kolik r 0 1zn 0 5ch koster m tento graf? 7 0 7б ц7 7б9 7б9 7б ц7 7ц7 7ц б ц7 Pod vejme se na kostru grafu takto C jak і hrany z grafu vyma 0 6eme, aby zbyl strom? Zajist і mus me vymazat n їkterou hranu z prvn kru 0 6nice (5 mo 0 6nost ) a n їkterou hranu z druh і kru 0 6nice (6 mo 0 6nost ). Na druhou stranu to v tomto jednoduch іm p 0 0 klad ї u 0 6 sta 0 0, v 0 6dy pak zbude strom. V 0 5b їr vymazan і hrany z prvn kru 0 6nice je nez visl 0 5 na druh і kru 0 6nici (jsou disjunktn ), a proto dle principu nez visl 0 5ch v 0 5b їr 0 1 m me 5 є6 = 30 mo 0 6nost vybrat dv ї hrany k vymaz n. Celkem tedy vyjde 30 koster. 7а3 Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 14 FI: MA010: Stromy a les
40 N sleduj c v 0 5sledek pat 0 0 ke kr sn 0 5m drahokam 0 1m teorie graf 0 1. V їta (Cayley) 0 3pln 0 5 graf K n pro n > 0 m p 0 0esn ї n n 6с12 koster. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 15 FI: MA010: Stromy a les
41 N sleduj c v 0 5sledek pat 0 0 ke kr sn 0 5m drahokam 0 1m teorie graf 0 1. V їta (Cayley) 0 3pln 0 5 graf K n pro n > 0 m p 0 0esn ї n n 6с12 koster. Definice. Laplaceova matice Q = (q ij ) n i,j=1 grafu G o n vrcholech je definov na: C q ii = d G (i) (stupe vrcholu), C q ij = 0 pro vrcholy i ы j nespojen і hranou, C q ij = 6с11 pro vrcholy i ы j spojen і hranou. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 15 FI: MA010: Stromy a les
42 N sleduj c v 0 5sledek pat 0 0 ke kr sn 0 5m drahokam 0 1m teorie graf 0 1. V їta (Cayley) 0 3pln 0 5 graf K n pro n > 0 m p 0 0esn ї n n 6с12 koster. Definice. Laplaceova matice Q = (q ij ) n i,j=1 grafu G o n vrcholech je definov na: C q ii = d G (i) (stupe vrcholu), C q ij = 0 pro vrcholy i ы j nespojen і hranou, C q ij = 6с11 pro vrcholy i ы j spojen і hranou. V їta Necht Q je Laplaceova matice grafu G a matice Q Д vznikne vy 0 8krtnut m jej ho prvn ho 0 0 dku a sloupce. Pak po 0 0et koster grafu G je roven determinantu Q Д. D 0 1kaz t іto p 0 0ekvapiv і v їty je mimo dosah na 0 8i p 0 0edn 0 8ky (vyu 0 6 v siln і n stroje line rn algebry). Uv їdomte si, pro 0 0 samotn matice Q je singul rn (determinantu 0) C nebot sou 0 0et prvk 0 1 v ka 0 6d іm 0 0 dku je 0. Je tak і mo 0 6no vy 0 8krt vat jin і 0 0 dky a sloupce, ale m e se t m zm їnit znam іnko determinantu. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 15 FI: MA010: Stromy a les
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta
1) Uveďte alespoň dvě řádově různě rostoucí funkce f(n) takové, že n 2 = O(f(n)) a f(n) = O(n 3 ). 2) Platí-li f(n)=o(g 1 (n)) a f(n)=o(g 2 (n)), znamená to, že g 1 (n) a g 2 (n) rostou řádově stejně rychle
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Úlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506
3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642
Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55 modul Sklad 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Obsah 1 Programový komplet pro evidenci provozu jídelny modul SKLAD...3 1.1
Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
Autodesk Inventor 8 vysunutí
Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt
a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA
PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA Čl. A Obecná ustanovení 1. Těmito pravidly se stanoví pravidla pro hospodaření s bytovým fondem v majetku města Odolena Voda. Nájemní vztahy se
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
1 3Statistika I (KMI/PSTAT)
1 3Statistika I (KMI/PSTAT) Cvi 0 0en prvn aneb Suma 0 0n symbolika, vod do popisn statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 17 1 3Obsah hodiny Po dne 0 8n hodin byste m li b 0 5t schopni: spr vn pou 0 6
MSSF Benefit praktický průvodce pro žadatele v rámci Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů
MSSF Benefit praktický průvodce pro žadatele v rámci Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů MSSF Benefit dostupnost a instalace MSSF Benefit bude dostupný ke stažení na stránkách www.kr-olomoucky.cz
Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Algoritmizace a programování
Pátek 14. října Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů.
Úvod do Teorie grafů Petr Kovář
Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická
Příručka pro zadavatele E-ZAK krok za krokem
Příručka pro zadavatele E-ZAK krok za krokem Vyrobeno pro příspěvkové organizace Jihomoravského kraje pro administrace zakázek s předpokládanou hodnotou vyšší než 500 tis. Kč bez DPH Tento dokument slouží
Matematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE
NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový
Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.
Pro 2 až 6 hráčů od 10 let Určitě víte, kde leží Sněžka, Snad také víte, kde pramení Vltava, kde leží Pravčická brána, Černé jezero nebo Prachovské skály. Ale co třeba Nesyt, jeskyně Šipka, Pokličky nebo
Modul Řízení objednávek. www.money.cz
Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství
V této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému.
V této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému. MENU Tvorba základního menu Ikona Menu umožňuje vytvořit
Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje
Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Šroubové spoje Šrouby jsou nejčastěji používané strojní součástí a neexistuje snad stroj, kde by se nevyskytovaly. Mimo šroubů jsou u některých šroubových spojů
7. Domy a byty. 7.1. Charakteristika domovního fondu
7. Domy a byty Sčítání lidu, domů a bytů 2011 podléhají všechny domy, které jsou určeny k bydlení (např. rodinné, bytové domy), ubytovací zařízení určená k bydlení (domovy důchodců, penziony pro důchodce,
p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j
Markovovsk n hodn procesy U Markovovsk ho n hodn ho proces nez vis dal v voj na zp sobu, jak se proces dostal do sou asn ho stavu. Plat 8 t
Zadávací dokumentace
Zadávací dokumentace Název veřejné zakázky: Fotovoltaická elektrárna Cítov Identifikační údaje zadavatele: Obec Cítov Cítov 203 277 04 Cítov IČ: 00236764 Osoba oprávněná jednat za zadavatele: Ing. Marie
Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011
Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011 Účelové komunikace jsou důležitou a rozsáhlou částí sítě pozemních komunikací v České republice. Na rozdíl od ostatních kategorií
4.5.1 Magnety, magnetické pole
4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
Kótování na strojnických výkresech 1.část
Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických
PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTŮ A NEBYTOVÝCH PROSTOR V MAJETKU MĚSTA VRBNO POD PRADĚDEM
PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTŮ A NEBYTOVÝCH PROSTOR V MAJETKU MĚSTA VRBNO POD PRADĚDEM Čl. I Základní ustanovení 1) Těmito Pravidly se stanoví postup při prodeji bytů a nebytových prostor, které jsou dosud ve
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
Zadání. Založení projektu
Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout symetrický dřevěný střešní vazník délky 13 m, sklon střechy 25. Materiálem je dřevo třídy C24, fošny tloušťky 40 mm. Zatížení krytinou a podhledem 0,2 kn/m, druhá
Konzistence databáze v nekonzistentním světě
Konzistence databáze v nekonzistentním světě Radim Bača Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava ŠKOMAM 2012-1- 2/2/2012 Obsah Vysvětĺıme si, co je transakce
2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201
.. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali
Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty
Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty (dotazníkový pr zkum) Zuzana Pustinová Dne ní doba nabízí mnohé mo nosti, jak komunikovat, ani by se ú astníci hovoru nacházeli na
4.3 Operace nad ordin ln mi datov mi typy Operace nad logick m datov m typem Operace nad celo seln mi datov mi typy
Obsah 1 Algoritmy a programovac jazyky 1 1.1 Vlastnosti a vyjad ov n algoritm............. 1 1.2 Algoritmizace a programov n................ 2 1.3 Programovac jazyk a strojov k d............. 2 1.4 Vyjad
29 Evidence smluv. Popis modulu. Záložka Evidence smluv
29 Evidence smluv Uživatelský modul Evidence smluv slouží ke správě a evidenci smluv organizace s možností připojení vlastní smlouvy v elektronické podobě včetně přidělování závazků ze smluv jednotlivým
Názory obyvatel na přijatelnost půjček leden 2016
TISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská 1, Praha 1 Tel.: 286 840 129 E-mail: milan.tucek@soc.cas.cz Názory obyvatel na přijatelnost půjček leden 2016
Android Elizabeth. Verze: 1.3
Android Elizabeth Program pro měření mezičasů na zařízeních s OS Android Verze: 1.3 Naposledy upraveno: 12. března 2014 alesrazym.cz Aleš Razým fb.com/androidelizabeth Historie verzí Verze Datum Popis
Poukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4.
MOJESODEXO.CZ Poukázky v obálkách Verze aplikace: 1.4.0 Aktualizováno: 22. 9. 2014 17:44 Strana 1 / 1 OBSAH DOKUMENTU 1. ÚVOD... 2 1.1. CO JSOU TO POUKÁZKY V OBÁLKÁCH?... 2 1.2. JAKÉ POUKÁZKY MOHOU BÝT
A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU
A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU Ing. Jiří Čarský, Ph.D. (Duben 2007) Komplexní přehled o podílu jednotlivých druhů
Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
Algoritmizace a programování
Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů. Naučí nás rozdělit
Všeobecné obchodní podmínky portálu iautodíly společnosti CZ-Eko s.r.o.
Všeobecné obchodní podmínky portálu iautodíly společnosti CZ-Eko s.r.o. I. Úvodní ustanovení 1.1 Tyto všeobecné obchodní podmínky (dále jen VOP ) tvoří nedílnou součást každé kupní smlouvy, jejímž předmětem
STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006
STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006 Churning Churning je neetická praktika spočívající v nadměrném obchodování na účtu zákazníka obchodníka s cennými papíry. Negativní následek pro zákazníka spočívá
c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
MOBILNÍ KOMUNIKACE STRUKTURA GSM SÍTĚ
MOBILNÍ KOMUNIKACE STRUKTURA GSM SÍTĚ Jiří Čermák Letní semestr 2005/2006 Struktura sítě GSM Mobilní sítě GSM byly původně vyvíjeny za účelem přenosu hlasu. Protože ale fungují na digitálním principu i
MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky
provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace
4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod
4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod Předpoklady: 040215 Postřeh z minulých měření: Při sestavování obvodů jsme používali stále stejnou plochou baterku. Přesto se její napětí po zapojení do obvodu měnilo.
veřejná zakázka na stavební prace s názvem: Sdružená kanalizační přípojka - Město Lázně Bělohrad
Zadávací dokumentace pro veřejnou zakázku malého rozsahu na stavební prace mimo režim zák. č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, v platném znění (dále jen zákon ) veřejná zakázka na stavební prace s
Mnohem lepšá vlastnosti mç usměrňovač dvoucestnâ
USMĚRŇOVAČE Usměrňovače sloužá k usměrněná střádavâch proudů na proudy stejnosměrnã. K vlastnámu usměrněná se použávajá diody, ať již elektronky, či polovodičovã. Elektronkovã usměrňovače - tzv.eliminçtory-
Obsah. Trocha právničiny
Trocha právničiny - Pokud se vám můj ebook líbí, řekněte o tom svým známým. Pošlete jim odkaz na webovou stránku, kde si jej mohou zakoupit. Ebook je mým duševním vlastnictvím a jeho tvorba mě stála spoustu
V Černošicích dne 30. 9. 2014. Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ.
Město Černošice IČ: 00241121 Riegrova 1209 252 28 Černošice V Černošicích dne 30. 9. 2014 Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ. Město Černošice
rové poradenství Text k modulu Kariérov Autor: PhDr. Zdena Michalová,, Ph.D
Kariérov rové poradenství Text k modulu Kariérov rové poradenství Autor: PhDr. Zdena Michalová,, Ph.D CO JE TO KARIÉROV ROVÉ PORADENSTVÍ? Kariérové poradenství (dále KP) je systém velmi různorodě zaměřených
Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika
Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz Metodika k použití počítačové prezentace A Z kvíz Mgr. Martin MOTYČKA 2013 1 Metodika
TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD
Přednáška č. 7 V ELEKTROTECHNICE Kótování Zjednodušené kótování základních geometrických prvků Někdy stačí k zobrazení pouze jeden pohled Tenké součásti kvádr Kótování Kvádr (základna čtverec) jehlan Kvalitativní
Seznámení žáků s pojmem makra, možnosti využití, praktické vytvoření makra.
Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 11 Používání maker Třída: 8. Učivo: Základy vytváření maker Obsah inovativní výuky: Seznámení žáků s pojmem makra, možnosti využití, praktické vytvoření makra. Doporučený
Vydání občanského průkazu
Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,
1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů
4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici
Masarykova univerzita Právnická fakulta
Masarykova univerzita Právnická fakulta Katedra finančního práva a národního hospodářství Osobní management Dávám na první místo to nejdůležitější? Zpracovala: Dominika Vašendová (348603) Datum zadání
Školní kolo soutěže Mladý programátor 2016, kategorie A, B
Doporučené hodnocení školního kola: Hodnotit mohou buď učitelé školy, tým rodičů nebo si žáci, kteří se zúčastní soutěže, mohou ohodnotit úlohy navzájem sami (v tomto případě doporučujeme, aby si žáci
1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ
1. POLOVODIČOVÁ DIODA JAKO SMĚRŇOVAČ Zadání laboratorní úlohy a) Zaznamenejte datum a čas měření, atmosférické podmínky, při nichž dané měření probíhá (teplota, tlak, vlhkost). b) Proednictvím digitálního
uzavírají podle ustanovení 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník (dále jen občanský zákoník ), tuto
Statutární město Přerov IČ: 003 01 825 DIČ: CZ00301825 se sídlem Bratrská 709/34, Přerov I-Město, 750 02 Přerov zastoupené náměstkem primátora Pavlem Košutkem (dále jako Město ) MMPr/SML/2183/2015 a Česká
PUBLICITA v OP VK. Seminář pro příjemce v rámci globálních grantů Olomouckého kraje. Olomouc, 20. a 21. dubna 2009
PUBLICITA v OP VK Seminář pro příjemce v rámci globálních grantů Olomouckého kraje Olomouc, 20. a 21. dubna 2009 Obecně k publicitě.. Každý příjemce je povinen informovat příjemce pomoci (cílové skupiny),
statutární město Děčín podlimitní veřejná zakázka na služby: Tlumočení a překlady dokumentů
statutární město Děčín Zadávací dokumentace podlimitní veřejná zakázka na služby: Tlumočení a překlady dokumentů vyhlášená v otevřeném řízení dle zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění
Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta provozně ekonomická. Obor veřejná správa a regionální rozvoj. Diplomová práce
Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta provozně ekonomická Obor veřejná správa a regionální rozvoj Diplomová práce Problémy obce při zpracování rozpočtu obce TEZE Diplomant: Vedoucí diplomové práce:
Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava
Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava na běžeckých lyžích Základními prvky nazýváme prvky elementární přípravy a pohybových dovedností, jejichž zvládnutí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Vypracoval: Michal Drašnar Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že
Počítání návštěvníků = klíč ke zvyšování zisku a snižování nákladů
Počítání návštěvníků = klíč ke zvyšování zisku a snižování nákladů 1. Úvod Podle odhadu více jak 80%-90% obchodních společností a obchodníků přichází zbytečně o tržby a vynakládá zbytečné náklady na provoz,
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček
Dů kazové úlohy Jiří Vaníček Následující série ú loh je koncipována tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle návodu objeví některý nový poznatek.
Město Mariánské Lázně
Město Mariánské Lázně Městský úřad, odbor investic a dotací adresa: Městský úřad Mariánské Lázně, Ruská 155, 353 01 Mariánské Lázně telefon 354 922 111, fax 354 623 186, e-mail muml@marianskelazne.cz,
Matematické metody rozhodování
Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 30. dubna 200 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor
VÝPOČET PROVOZNÍCH INTERVALŮ NA TRATÍCH ŘÍZENÝCH PODLE PŘEDPISU SŽDC (ČD) D3
Radim Brejcha VÝPOČET PROVOZNÍCH INTERVALŮ NA TRATÍCH ŘÍZENÝCH PODLE PŘEDPISU SŽDC (ČD) D3 Klíčová slova: dopravní infrastruktura, praktická propustnost, zabezpečovací zařízení, provozní technologie Úvod
Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA NOVÁ ROLE Školní 9, Nová Role, PSČ: 362 25, Tel: 353 851 179 Dodavatel: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina 1. Zadavatel Výchovný
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY
1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci,
Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
1.9.5 Středově souměrné útvary
1.9.5 Středově souměrné útvary Předpoklady: 010904 Př. 1: V obdélníkových rámech jsou nakresleny tři obrázky. Každý je sestaven z jedné přímky a jednoho obdélníku. Jeden z obrázků je středově souměrný.
HERNÍ PLÁN pro provozování okamžité loterie POMÁHÁME NAŠÍ ZOO - DŽUNGLE
HERNÍ PLÁN pro provozování okamžité loterie POMÁHÁME NAŠÍ ZOO - DŽUNGLE 1. ÚVODNÍ USTANOVENÍ 1.1. Společnost Play games a.s., se sídlem V Holešovičkách 1443/4, 180 00 Praha 8, IČO: 247 73 255, zapsaná
Mobilní reklama ve vyhledávání
Mobilní reklama ve vyhledávání Mobilní vyhledávání ve světě roste a s ním i možnosti, které poskytují jednotlivé PPC systémy. Co všechno je tedy s mobilní reklamou ve vyhledávání možné? Má pro nás smysl
VI. Finanční gramotnost šablony klíčových aktivit
VI. Finanční gramotnost šablony klíčových aktivit Číslo klíčové aktivity VI/2 Název klíčové aktivity Vazba na podporovanou aktivitu z PD OP VK Cíle realizace klíčové aktivity Inovace a zkvalitnění výuky
3 nadbytek. 4 bez starostí
Metody měření spokojenosti zákazníka Postupy měření spokojenosti zákazníků jsou nejefektivnější činnosti při naplňování principu tzv. zpětné vazby. Tento princip patří k základním principům jakéhokoliv
2.8.23 Využití Pythagorovy věty III
.8.3 Využití Pythagorovy věty III Předpoklady: 008 Př. 1: Urči obsah rovnoramenného trojúhelníku se základnou 8 cm a rameny 5,8 cm. Pro výpočet obsahu potřebujeme znát jednu ze stran a odpovídající výšku.
Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY
Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY KOTLÍKOVÉ DOTACE pokračují! Máte doma starý kotel na uhlí, dřevo a jiná tuhá paliva? Pak jsou kotlíkové dotace určeny právě pro Vás! Pokud máte doma
1. Dynamické programování
. Dynamické programování V této kapitole prozkoumáme ještě jednu techniku návrhu algoritmů, která je založená na rekurzivním rozkladu problému na podproblému. Na rozdíl od klasické metody Rozděl a panuj
4. Připoutejte se, začínáme!
4. Připoutejte se, začínáme! Pojďme si nyní zrekapitulovat základní principy spreadů, které jsme si vysvětlili v předcházejících kapitolách. Řekli jsme si, že klasický spreadový obchod se skládá ze dvou