Něco málo o logice. Vydatná motivace jako předkrm, pořádná porce Gödelových vět a trocha fuzzy logiky jako zákusek. Petr Cintula

Něco málo o logice Vydatná motivace jako předkrm, pořádná porce Gödelových vět a trocha fuzzy logiky jako zákusek Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 1 / 48

Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 2 / 48

Logika není o řešení logických paradoxů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 3 / 48

Logika není o řešení logických paradoxů http://www.xkcd.com/246/ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 3 / 48

Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 4 / 48

Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Začala jako součást filosofie ve 4. století př.n.l. Cíl: rozeznat správné argumenty ve filosofické diskusi Všichni lidé jsou smrtelní, Sokrates je člověk, tudíž je smrtelný Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 4 / 48

Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Od 19. století se část logiky vyvinula v matematickou logiku Cíl: vyřešit krizi v základech matematiky PA Pr(0 = S(0)) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 4 / 48

Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Dnes se logika používá zejména v informatice Cíl: popsat a provádět usuzování v různých formalizovaných kontextech [α](x = 4) [α; (x := 2x)](x = 8) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 4 / 48

Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 5 / 48

Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích. matematika a (teoretická) informatika Cíl: vytvořit různé logické systémy pro popis a provádění usuzování ve formalizovaných scénářích Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 5 / 48

Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích. matematika a (teoretická) informatika Cíl: vytvořit různé logické systémy pro popis a provádění usuzování ve formalizovaných scénářích III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika. Cíl: vytvořit matematický základ pro předchozí úrovně matematika Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 5 / 48

Matematická logika (dle Wikipedie) Matematická logika se zabývá zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz axiomatizace model bezespornost úplnost rozhodnutelnost Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 6 / 48

Logika jako hygiena matematiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 7 / 48

Logika jako hygiena matematiky http://www.xkcd.com/435/ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 7 / 48

Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 8 / 48

Co je správné usuzování? Úroveň I Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 9 / 48

Co je správné usuzování? Úroveň I Příklad Pokud by Bůh existoval, tak by byl dobrý a všemocný. Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, tak by lidé netrpěli. Ale lidé trpí. Tudíž Bůh neexistuje. Je to správný úsudek? A pokud ano, tak v jakém smyslu? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 9 / 48

Co je správné usuzování? Úroveň I Úroveň II (Naivní) formalizace Atomické část: Formalizovaný úsudek: p: Bůh existuje q: Bůh je dobrý r: Bůh je všemocný s: Lidé trpí p q r q r s s p Je to správný úsudek? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 10 / 48

Klasická výroková logika: Syntax Úroveň III Atomické formule (výrokové atomy): spočetná nekonečná množina Var primitivních výroků (tedy výroků bez další vnitřní struktury) Formule: nejmenší množina For obsahující Var, tž. pro každé ϕ, ψ For platí: ϕ ψ For a ϕ ψ For a ϕ For Příklady neformulí: p pp q p p p q p Příklady formulí: p q p p p ( q p) (p q) q Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 11 / 48

Klasická výroková logika: Sémantika Úroveň III Základní princip: v daném kontextu má každá formule právě jednu z pravdivostních hodnot: pravda, nepravda. Definice Ohodnocení je každé zobrazení e: For {0, 1} tž.: e( ϕ) = 1 e(ϕ) e(ϕ ψ) = min{e(ϕ), e(ψ)} { 1 pokud e(ϕ) e(ψ) e(ϕ ψ) = 0 pokud e(ϕ) > e(ψ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 12 / 48

Správné usuzování Úroveň II Úroveň III Definice Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, pokud pro každé ohodnocení e platí: pokud e(γ) = 1 pro každou fli γ Γ, pak e(ϕ) = 1. Správné usuzování = logický důsledek Formulím z Γ říkáme předpoklady a formuli ϕ závěr Úsudek je správný tehdy a jen tehdy, pokud není žádný kontex, v němž by byly všechny předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 13 / 48

Příklady (ne)správných úsudků Příklad Modus ponens: p q p q Toto je správný úsudek (pokud e(p q) = e(p) = 1, pak e(q) = 1). Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 14 / 48

Příklady (ne)správných úsudků Příklad Modus ponens: p q p q Toto je správný úsudek (pokud e(p q) = e(p) = 1, pak e(q) = 1). Příklad Abdukce: p q q p Toto není správný úsudek (vezměme: e(p) = 0 a e(q) = 1). Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 14 / 48

Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 15 / 48

Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Jistěže ne! Jen víme, že tento závěr je pravdivý pokud (!) jsou pravdivé předpoklady tohoto úsudku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 15 / 48

Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Jistěže ne! Jen víme, že tento závěr je pravdivý pokud (!) jsou pravdivé předpoklady tohoto úsudku. A navíc! Víme to pouze, pokud souhlasíme se správností formalizace původního úsudku a věříme, že (klasicka výroková) logika je správná. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 15 / 48

Strukturalita logického usuzování Pokud by Bůh existoval, Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, Ale lidé trpí. tak by byl dobrý a všemocný tak by lidé netrpěli. Tudíž Bůh neexistuje. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 16 / 48

Strukturalita logického usuzování Pokud by politici byli ideální, tak by byli schopní a čestní. Pokud by politici byli schopní a čestní, tak by neexistovala korupce. Ale korupce existuje. Tudíž politici nejsou ideální. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 16 / 48

Strukturalita logického usuzování Pokud by X byla množina racionálních čísel, tak by byla nekonečná a hustá. Pokud by X byla nekonečná a hustá, tak existuje prosté f : N X Ale žádné takové f neexistuje. Tudíž X není množina racionálních čísel. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 16 / 48

Věta o úplnosti Úroveň III Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, tehdy a jen tehdy pokud existuje důkaz formule ϕ z množiny předpokladů Γ, tedy konečná posloupnost formulí ψ 1,..., ψ n = ϕ tž. pro každé i n, bud ψ i je prvek Γ nebo ψ i je axiom, tedy existují formule ϕ, ψ, χ For tž.: ϕ (ψ ϕ) nebo ψ i = ( ϕ ψ) (ψ ϕ) nebo (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) nebo formule ψ j a ψ j ψ i jsou v důkazu před ψ i. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 17 / 48

Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 18 / 48

Jsou jim připisovány až mýtické důsledky... Amazon book description: Kurt Gödel was an intellectual giant. His Incompleteness Theorem turned not only mathematics but also the whole world of science and philosophy on its head. Shattering hopes that logic would, in the end, allow us a complete understanding of the universe, Gödel s theorem also raised many provocative questions: What are the limits of rational thought? Can we ever fully understand the machines we build? Or the inner workings of our own minds? How should mathematicians proceed in the absence of complete certainty about their results? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 19 / 48

Malé varování... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 20 / 48

Malé varování... Amazon book description: Probing the life and work of Kurt Gödel, Incompleteness indelibly portrays the tortured genius whose vision rocked the stability of mathematical reasoning and brought him to the edge of madness. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 20 / 48

O co jde? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 21 / 48

O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 21 / 48

O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Konkrétně o formule platné o těchto číslech v jazyce obsahujícím: konstantu 0, sčítání + násobení funkci následníka S, tj. přičítání jedničky běžné neostré uspořádání běžné ostré uspořádání < rovnost = Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 21 / 48

O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Konkrétně o formule platné o těchto číslech v jazyce obsahujícím: konstantu 0, sčítání + násobení funkci následníka S, tj. přičítání jedničky běžné neostré uspořádání běžné ostré uspořádání < rovnost = Standardní model aritmetiky N: přirozená čísla, plus běžné interpretace těchto symbolů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 21 / 48

Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 22 / 48

Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 22 / 48

Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 22 / 48

Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Příklady formulí: x y(x + y y) x y (x = y) x y(x y v(v + x = y))) Příklady ne-formulí: x y S( x(x = x)) S(x)(x y) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 22 / 48

Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Příklady formulí: x y(x + y y) x y (x = y) x y(x y v(v + x = y))) Příklady ne-formulí: x y S( x(x = x)) S(x)(x y) Sentence: formule, kde jsou všechny proměnné kvantifikované Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 22 / 48

Pravá aritmetika a Peanova arithmetika PA Pravá aritmetika: množina všech sentencí platných v N (píšeme: N = ϕ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 23 / 48

Pravá aritmetika a Peanova arithmetika PA Pravá aritmetika: množina všech sentencí platných v N (píšeme: N = ϕ) Peanova aritmetika: množina všech sentencí dokazatelných z následujících axiomů: (píšeme: PA ϕ) x y(s(x) = S(y) x = y) x(x 0 = 0) x(s(x) 0) x y(x S(y) = x y + x) x(x 0 y(x = S(y))) x(x + 0 = x) x y(x y v(v + xy)) x y(x + S(y) = S(x + y)) ϕ(0) x(ϕ(x) ϕ(s(x))) xϕ(x) for arbitrary formula ϕ Je snadné dokázat: PA ϕ implikuje N = ϕ říkáme, že N je model PA Platí to naopak? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 23 / 48

Gödelova věta o úplnosti Poznámka: existují i nestandardní modely Peanovy aritmetiky struktury M takové, že PA ϕ implikuje M = ϕ. Věta (Věta o úplnosti) PA ϕ, právě tehdy když M = ϕ pro každý model M On to dokázal pro libovolný jazyk a libovolnou množinu sentencí T Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 24 / 48

První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 25 / 48

První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a PA ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. PA ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 25 / 48

První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, obecně) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. PA ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 25 / 48

První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, obecně) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, obecně) Necht T je množina sentencí v jazyce obsahujícím ten aritmetický tž.: T obsahuje PA, tedy PA ϕ implikuje T ϕ T je konsistentní, tedy T 0 = S(0) existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. T ϕ a T ϕ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 25 / 48

Hlavní myšlenky důkazu: 1. kódování syntaktických objektů pomocí přirozených čísel Numerály - 1 = S(0) a (n + 1) = S( n) Kódování posloupností - posloupnost 2, 3, 0 je jednoznačně kódovaná pomocí 2 3 3 4 5 1 ve skutečnosti se to dělá složitěji, ale lépe Kódování formulí - formule je posloupnost symbolů, tedy... ϕ je numerál kódu formule ϕ Kódování důkazů - důkaz je posloupnost formulí, tedy... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 26 / 48

Hlavní myšlenky důkazu: 1. kódování syntaktických objektů pomocí přirozených čísel Numerály - 1 = S(0) a (n + 1) = S( n) Kódování posloupností - posloupnost 2, 3, 0 je jednoznačně kódovaná pomocí 2 3 3 4 5 1 ve skutečnosti se to dělá složitěji, ale lépe Kódování formulí - formule je posloupnost symbolů, tedy... ϕ je numerál kódu formule ϕ Kódování důkazů - důkaz je posloupnost formulí, tedy... Věta (Aritmetizace syntaxe) Pro množinu T sentencí popsatelnou algoritmem existuje formule Pr T (x) tž. N = Pr T ( ϕ) iff T ϕ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 26 / 48

Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 27 / 48

Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Věta (První věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Důkaz: uvažme sentenci ϕ tž. T ϕ Pr T ( ϕ) Pokud N = ϕ, pak N = Pr T ( ϕ) a tedy T ϕ a tak N ϕ spor Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 27 / 48

Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Věta (První věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Důkaz: uvažme sentenci ϕ tž. T ϕ Pr T ( ϕ) Pokud T ϕ, pak N = ϕ, pak N = Pr T ( ϕ) a tedy T ϕ spor Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 27 / 48

Druhá Gödelova věta o neúplnosti Věta (Druhá věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí v jazyce obsahujícím ten aritmetický tž.: T obsahuje PA, tedy PA ϕ implikuje T ϕ T je konsistentní, tedy T 0 = S(0) existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak T Pr T (0 = S(0)) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 28 / 48

Mají Gödelovy věty opravdu tak zásadní důsledky? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 29 / 48

Mají Gödelovy věty opravdu tak zásadní důsledky? Amazon book description: Among the many expositions of Gödel s incompleteness theorems written for non-specialists, this book stands apart. With exceptional clarity, Franzén gives careful, non-technical explanations both of what those theorems say and, more importantly, what they do not. No other book aims, as his does, to address in detail the misunderstandings and abuses of the incompleteness theorems that are so rife in popular discussions of their significance. As an antidote to the many spurious appeals to incompleteness in theological, anti-mechanist and post-modernist debates. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 29 / 48

Chcete vědet více? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 30 / 48

Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 31 / 48

Dvouhodnotová logika je nudná... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 32 / 48

Dvouhodnotová logika je nudná... http://www.xkcd.com/74/ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 32 / 48

Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 33 / 48

Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 33 / 48

Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále zbývá hromada písku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 33 / 48

Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále zbývá hromada písku. Tudíž jedno (nebo dokonce žádné) zrnko písku je hromada písku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 33 / 48

Paradox hromady (sorites) [Eubulides z Miletu, 400 př.n.l.] Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále mám hromadu. Milion zrnek písku je hromada. Tudíž jedno zrnko písku je hromada. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 34 / 48

Paradox hromady (sorites) [Eubulides z Miletu, 400 př.n.l.] Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále mám hromadu. Milion zrnek písku je hromada. Tudíž jedno zrnko písku je hromada. Formalizace p n : n zrnek písku je hromada písku p 1000000 a p 1000000 p 999999 tedy p 999999 p 999999 a p 999999 p 999998 tedy p 999998. p 2 a p 2 p 1 tedy p 1 Premisa p 1000000 je nepochybně pravdivá. Závěr p 1 je nepochybně nepravdivý. Premisa p i p i 1 se zdá (pro každé i) pravdivá. Tudiž jde o logicky platný úsudek. A máme paradox! Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 34 / 48

Vágnost a stupně pravdivosti Pridikátům podléhajícím paradoxu hromady se říká vágní. Možné řešení: předpokládejme, že existují stupně pravdy Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 35 / 48

Vágnost a stupně pravdivosti Pridikátům podléhajícím paradoxu hromady se říká vágní. Možné řešení: předpokládejme, že existují stupně pravdy Definujme ohodnocení e našich atomů: e(p n ) = nε, pro ε = 10 6. Tedy e(p 0 ) = 0 a e(p 10 6) = 1, první premisa je zcela pravdivá a závěr je zcela nepravdivý. e(p n p n 1 ) = min{1, 1 e(p n ) + e(p n 1 )} = 1 ε další premisy jsou skoro úplně pravdivé Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 35 / 48

Fuzzy logika v širokém smyslu teorie fuzzy množin Fuzzy množina: zobrazení µ: U [0, 1] Zadeh 1965 pracuje se stupni pravdivosti kombinuje je pomocí operací, které odpovídají logickým spojkám jde o kolekci inženýrských metod většinou designovaných pro konkrétní účely v některých aplikacích jsou velmi úspěšné ANE nejedná se o podoblast matematické logiky např. neřeší pojem pravdy, platného úsudku, axiomatizaci, atd. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 36 / 48

Matematická Fuzzy Logika Jde o uznávanou oblast matematické logiky: Založenou Petrem Hájkem v knize Metamathematics of fuzzy logic Kluwer,1998. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 37 / 48

Matematická Fuzzy Logika 1) zkoumá řadu různých logický systémů: Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 38 / 48

Matematická Fuzzy Logika 2) studuje mj. následující oblasti matematické logiky teorie důkazů teorie modelů teorie množin teorie rekurze teorie složitosti 3) souvisí s následujícími oblastmi matematiky: teorie svazů teorie grup/těles geometrie teorie her topologie teorie kategorií teorie míry Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 39 / 48

Matematická Fuzzy Logika 4) má vlastní 1300 stránkovou kapesní příručku: 5) a heslo na SEPu: https://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 40 / 48

Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 41 / 48

Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 42 / 48

Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 42 / 48

Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 42 / 48

Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Můj program: přidat se k tomuto hnutí a soustředit se na scénáře (přirozené i formální) s vágními pojmy Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 42 / 48

Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Můj program: přidat se k tomuto hnutí a soustředit se na scénáře (přirozené i formální) s vágními pojmy A vyhnout se běžnému přistupu, který se při oné transformaci vágnosti (více či méně) násilně zbaví Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 42 / 48

Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích a jejich transformace na formalizovné scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 43 / 48

Tři úrovně logiky vágních pojmů a mého programu I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích zahrnujících vágní pojmy a jejich transformace na formalizovné scénáře při zachování vágních pojmů II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích zahrnujících vágní pojmy III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika vágních pojmů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 43 / 48

Tři úrovně logiky vágních pojmů a mého programu I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích zahrnujících vágní pojmy a jejich transformace na formalizovné scénáře při zachování vágních pojmů Cíl: pochopit lidské usuzování II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích zahrnujících vágní pojmy Cíl: vytvořit silné formální nástroje pro informatiku III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika vágních pojmů Cíl: vytvořit matematický základ pro předchozí úrovně Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 43 / 48

Nejsem na to sám... Akademie věd České republiky Ústav Informatiky v.v.i. Oddělení teoretické informatiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 44 / 48

Náš tým Marta Bílková: modální logiky, teorie důkazů Petr Cintula: abstraktní algebraická logika Matěj Dostál (PhD student): modální logiky, co-algebraická logika Zuzana Haniková: teorie složitosti Rostislav Horčík: logika v informatice Ondrej Majer: teorie her Tommaso Moraschini: abstraktní algebraická logika Adam Přenosil (PhD student): parakonsistentní logiky Igor Sedlár: epistemické logiky Amanda Vidal: modální logiky, logika v informatice Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 45 / 48

Naši nejbližší spolupracovníci Libor Běhounek, Ostrava: formální fuzzy matematika Rudolfo Ertola, Buenos Aires: parakonsistentní logiky Chris Fermuller, Vienna: teorie her Nick Galatos, Denver: algebraická logika Lluis Godo, Barcelona: logika v informatice Tomáš Kroupa, Prague, teorie her a provděpodobnosti Carles Noguera: Prague, logika v informatice a lidském usuzování George Metcalfe, Bern: teorie důkazů, automatická dedukce James Raftery, Johannesburg: abstraktní algebraická logika Nick Smith, Sydney: filosofické aspekty vágnosti Kazushige Terui, Kyoto: automatická dedukce. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 46 / 48

Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 47 / 48

Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Na všech třech úrovních našeho programu: III v matematické fuzzy logice, ale i ostatních oblastech logiky II v logikách přímo aplikovatelných v informatice I a v budoucnu i ve snaze poruzumět lidskému usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 47 / 48

Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Na všech třech úrovních našeho programu: III v matematické fuzzy logice, ale i ostatních oblastech logiky II v logikách přímo aplikovatelných v informatice I a v budoucnu i ve snaze poruzumět lidskému usuzování Pokud máte zájem neváhejte mě/nás kontaktovat... cintula@cs.cas.cz http://www.ustavinformatiky.cz Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 47 / 48

A ještě trocha reklamy na závěr: logické kurzy na FJFI Matematická logika: já přednáším základy klasické logiky po Gödelovy věty Logika pro matematiky: různí přednášející se zaměří na roli logiky v matematice a jejich základech Logika v informatice: různí přednášející představí vybrané logické systémy aplikované v současné informatice Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika www.cs.cas.cz/cintula 48 / 48