Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky strategie hry Mgr. Michal Musílek červen 2006 1
Pravidla hry minipiškvorky Minipiškvorky jsou zjednodušená verze piškvorek, která se hraje v omezeném prostoru 3 3 pole. Hráči se střídají v kreslení koleček (hráč kolečko začíná - má výhodu prvního tahu) a křížků. Vyhrává ten, kdo první dosáhne tří vlastních značek v jednom směru (řadě, sloupci nebo úhlopříčce), tedy ten, který vytvoří minipiškvorku. Pokud se žádnému z hráčů nepodaří vytvořit minipiškvorku, hra končí nerozhodně. Budeme-li hru analyzovat, nabízejí se otázky: Existuje strategie, podle které začínající hráč vždy vyhraje (tzv. vyhrávající strategie), ač hraje soupeř sebelépe? Existuje taková strategie, která zaručí, že začínající hráč neprohraje (tzv. neprohrávající strategie)? Existuje vyhrávající strategie, případně neprohrávající strategie pro nezačínajícího hráče? Pokud budeme hru hrát s dětmi, přidejme pravidlo, že v následující hře si musí vyměnit symboly, tj. musí začínat hráč, který předtím nezačínal. Jen tak se spravedlivě vyrovná výhoda prvního tahu (která skutečně existuje, jak dále uvidíme). Zobecnění - vícerozměrné minipiškvorky I když nebudeme hru matematicky analyzovat, zjistíme po chvíli hraní, že čtvercové minipiškvorky jsou velmi jednoduchá hra. Proto si je můžeme ztížit rozšířením o další rozměr. U krychlových minipiškvorek budou hrací plochu tvořit tři čtverce 3 3, které představují jednotlivé vrstvy krychle. pět vyhraje ten, kdo dosáhne první tří vlastních značek v jednom směru (kromě směrů v jednotlivých vrstvách připadají v úvahu navíc i sloupce a všechny úhlopříčky v krychli). Existuje nyní vyhrávající či neprohrávající strategie pro prvního nebo druhého hráče? Je zřejmé, že krychlové minipiškvorky jsou zajímavé z hlediska rozvíjení prostorové představivosti žáků. Navíc jsou zajímavější i z hlediska analýzy vyhrávající strategie. K tomuto zobecnění hry můžeme rychle přejít už na základní škole. pět dodržujme pravidlo o střídání začínajícího hráče a nejprve nechme děti hrát, zkusme je intuitivně a induktivně vyvodit určitá doporučení a teprve potom analyzujme přísně deduktivně vyhrávající strategii začínajícího hráče (pokud existuje). V přidávání dalších dimenzí bychom mohli pokračovat teoreticky libovolně dlouho a definovat obecně n-rozměrné minipiškvorky. Hra by se ovšem se zvyšujícím se n nepřiměřeně komplikovala a přestávala by být hratelná. Posledním rozumným zobecněním mohou být čtyřrozměrné minipiškvorky. Mohli bychom je nazvat také hyperkrychlové (ale to není ideální název, protože hyperkrychlí se obvykle rozumí libovolná n-rozměrná krychle pro n > 3), nebo jednoznačněji teseraktové minipiškvorky (teserakt je jednoslovný název pro čtyřdimenzionální krychli). Rekapitulace zadání Pokusíme se analyzovat vyhrávající, respektive neprohrávající strategii prvního i druhého hráče pro 2D-minipiškvorky, čili čtvercové minipiškvorky 3D-minipiškvorky, čili krychlové minipiškvorky 4D-minipiškvorky, čili teseraktové minipiškvorky 2
Čtvercové minipiškvorky Ve čtverci 3 3 pole je možné vytvořit piškvorku celkem osmi způsoby. Tři ve vodorovných řadách, tři ve sloupcích a dvě v úhlopříčkách. Pole hrací plochy mají různou sílu podle toho, kolik možných piškvorek přes ně prochází. Nejsilnější je pole ve středu plochy (S), prochází přes něj čtyři možné piškvorky, následují rohová pole (R) se třemi piškvorkami a nejmenší sílu mají pole u středů stran čtvercové hrací plochy (H), dvě možné piškvorky. 3 2 3 2 4 2 3 2 3 Pokud první hráč (symbol: ) zahájí nejsilnějším tahem S a druhý hráč (symbol: ) odpoví slabým tahem H má v dalších tazích první hráč vyhrávající strategii zobrazenou na prvních obrázcích, t.j. odpoví tahem H na pole do pravého úhlu, donutí hráče zablokovat hrozící piškvorku a v dalším tahu si vytvoří vidličku. proti které už není obrana. Když hráč udělá značku na poli, dokončí hráč piškvorku na poli a naopak. Jestliže ovšem druhý hráč odpoví silnějším tahem R, nemůže už prohrát, tedy existuje neprohrávající strategie pro druhého hráče. Základem této strategie je na začátku obsadit co nejsilnější pole (tj. na úvodní tah S odpovědět R, na jiný úvodní tah odpovědět S). Jeden z příkladů obrany je uveden na druhé sérii obrázků, kdy po úvodu S - R pokračuje první hráč tahem H na poli vedle soupeře. Tahem na pole označené zablokuje hráč obě zbývající možnosti vytvoření piškvorky. Podobně by dopadlo zahájení S - R - H, kdy pole H by bylo vzdálené od tahu soupeře (R). A toto je další příklad úspěšné obrany. Po zahájení S - R pokračuje pokračuje první hráč rohovým polem do pravého úhle, v dalším tahu sice donutí hráče k zablokování úhlopříčné piškvorky, ale pak bohužel donutí i sám sebe k zablokování piškvorky, takže ztratí možnost (šachisté tomu říkají ztráta tempa) vytvoření vidličky a hráč v dalším tahu obsadí klíčové pole. Pak je již jedno, zda pokračuje polem, nebo, protože zablokuje poslední možnou piškvorku označením druhého pole z dvojice,. Podobně skončí patovou situací i zahájení S - R - R, kdy první tři obsazená pole vytvoří úhlopříčku. Ukázali jsme, že existuje neprohrávající strategie pro druhého hráče : 1) na zahájení středovým polem S odpovědět rohovým polem R, 2) na zahájení polem R, nebo H odpovědět nejsilnějším možným tahem S, 3) pokud hráč vytvoří dvojici v řadě, sloupci, nebo na úhlopříčce a třetí pole je dosud volné, 3
zablokovat vytvoření piškvorky obsazením volného pole, 4) v ostatních případech na tahu nezáleží, takže můžeme doporučit třeba řídit se zdravým selským rozumem. Jestliže existuje neprohrávající strategie pro druhého hráče, nemůže logicky existovat vyhrávající strategie pro prvního hráče. Je to podobné jako s všepronikající střelou a neprůstřelným pancířem. Jestliže existuje neprůstřelný pancíř, nemůže existovat všepronikající střela. Podobně se dá prozkoumáním možností ukázat, že neexistuje vyhrávající strategie pro druhého hráče, tedy, že existuje neprohrávající strategie pro prvního hráče. Závěr: Ve čtvercových minipiškvorkách existují neprohrávající strategie pro oba hráče. Jakmile je oba hráči objeví, končí všechny partie patovou situací, tedy remízou, takže se hráči začnou nudit a vymyslí krychlové minipiškvorky. Krychlové minipiškvorky V krychli 3 3 3 je možné vytvořit piškvorku celkem 49 způsoby: 9 piškvorek vodorovně zleva doprava 9 piškvorek vodorovně zepředu dozadu 9 piškvorek svisle shora dolů 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých vodorovných vrstev 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých svislých vrstev zepředu dozadu 6 piškvorek v úhlopříčkách jednotlivých svislých vrstev zleva doprava 4 piškvorky v tělesových úhlopříčkách krychle Nejsilnější pole je v centru krychle (C), prochází přes něj celkem 13 piškvorek (3 spojnice středů stěn krychle, 6 úhlopříček ve vrstvách a 4 tělesové úhlopříčky), následují rohová pole (R) se 7 piškvorkami (3 + 3 + 1), pole ve středu stěny (S) s 5 piškvorkami (3 + 2 + 0) a nejmenší sílu mají pole u středů hran krychle (H), 4 možné piškvorky (3 + 1 + 0). 5 13 5 Už z tohoto pohledu je zřejmé, že první hráč má daleko větší manévrovací prostor a že s využitím výhody prvního tahu snadno nastraží léčku - vidličku, aniž by mu v tom mohl druhý hráč zabránit. Partie by mohla probíhat např. takto: Hráč obsadí nejsilnější pole C, hráč odpoví druhým nejsilnějším tahem R: V dalším tahu obsadí pole S poblíž rohu obsazeného, tím vytvoří dvojici a hrozí, že v příštím tahu vytvoří piškvorku. Hráč se musí bránit vynuceným obsazením pole S na druhé straně 4
od centra C: V dalším tahu první hráč obsadí pole a tím vytvoří vidličku proti které není obrana. Druhý hráč totiž může zablokovat pouze jedno z polí, nebo a na druhém pak dokončí piškvorku. Poznámka k uvedené partii: Ve druhém tahu prvního hráče by bylo chybou, kdyby obsadil pole S u stěny vzdálené od rohu obsazeného hráčem. Vynuceným tahem by totiž získal dvojici na úhlopříčce a hráč by se místo vytvoření vidličky musel bránit. Z uvedeného příkladu partie je vidět, že při správné strategii prvního hráče nic nezachrání druhého před prohrou, ani ten nejsilnější obranný tah. Vyhrávající strategie prvního hráče je: 1) Jako první obsadit nejsilnější pole C (střed krychle). 2) Po tahu druhého hráče na rohové pole R, nebo pole H u hrany krychle obsadit pole uprostřed stěny krychle S co nejblíže pole obsazeného křížkem ; po tahu druhého hráče na pole uprostřed stěny krychle S obsadit pole uprostřed stěny krychle S do pravého úhle (tedy na sousední stěně krychle, nikoliv protilehlé). 3) Po vynuceném obranném tahu hráče vytvořit vidličku obsazením pole H, které sousedí s předtím obsazeným polem S. 4) Po jakémkoliv dalším tahu hráče vytvořit piškvorku (díky vidličce tomu hráč nemohl zabránit). Hráč má tedy vždy možnost zvítězit svým čtvrtým tahem i při sebelepší obraně hráče. Jestliže existuje vyhrávající strategie prvního hráče, logicky nemůže existovat neprohrávající strategie druhého hráče. Je to podobné jako s všepronikající střelou a neprůstřelným pancířem. Jestliže existuje všepronikající střela, nemůže existovat neprůstřelný pancíř. Jestliže existuje neprohrávající strategie druhého hráče, nemůže tím spíš existovat vyhrávající strategie druhého hráče. Závěr: V krychlových minipiškvorkách existuje vyhrávající strategie prvního hráče. Druhý hráč nemá (při správné strategii prvního) šanci ubránit se prohře. Teseraktové minipiškvorky Teserakt, čili čtyřrozměrnou krychli můžeme modelovat různými způsoby. Jednou z možností je představit si souřadnice jejích vrcholů v čtyřrozměrné kartézské soustavě souřadnic. Umístíme-li čtverec do dvourozměrné kartézské soustavy souřadnic tak, aby jeden jeho vrchol byl v počátku a další na kladných poloosách x a y v jednotkové vzdálenosti o počátku, budou souřadnice všech čtyř vrcholů [0, 0], [0, 1], [1, 0] a [1, 1]. Pro (trojrozměrnou) krychli umístěnou analogickým způsobem do trojrozměrné kartézské soustavy dostávám souřadnice vrcholů [0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 0, 1], [1, 1, 0] a [1, 1, 1]. Jestliže očíslujeme analogickým způsobem vrcholy teseraktu, dostaneme jich celkem 16. 5
Hrací plochu pro teseraktové minipiškvorky pak může představovat devět čtverců 3 3 pole uspořádaných také do matice 3 x 3. Popíšeme-li rohová pole stejnými souřadnicemi jako na obrázku nahoře, dostáváme následující model tesetraktu složeného z 3 3 3 3 = 81 4D-krychliček: [0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, ½] [0, 0, 0, 1] [0, 0, ½, 0] [0, 0, ½, ½] [0, 0, ½, 1] [0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, ½] [0, 0, 1, 1] [0, ½, 0, 0] [0, ½, 0, ½] [0, ½, 0, 1] [0, ½, ½, 0] [0, ½, ½, ½] [0, ½, ½, 1] [0, ½, 1, 0] [0, ½, 1, ½] [0, ½, 1, 1] [0, 1, 0, 0] [0, 1, 0, ½] [0, 1, 0, 1] [0, 1, ½, 0] [0, 1, ½, ½] [0, 1, ½, 1] [0, 1, 1, 0] [0, 1, 1, ½] [0, 1, 1, 1] [½,, 0, 0, 0] [½, 0, 0, ½] [½,, 0, 0, 1] [½, 0, ½, 0] [½, 0, ½, ½] [½, 0, ½, 1] [½,, 0, 1, 0] [½, 0, 1, ½] [½, 0, 1, 1] [½, ½, 0, 0] [½, ½, 0, ½] [½, 0, 0, 1] [½, ½, ½, 0] [½, ½, ½, ½] [½, 0, ½, 1] [½, ½, 1, 0] [½, ½, 1, ½] [½, 0, 1, 1] [½, 1, 0, 0] [½, 1, 0, ½] [½, 1, 0, 1] [½, 1, ½, 0] [½, 1, ½, ½] [½, 1, ½, 1] [½, 1, 1, 0] [½, 1, 1, ½] [½, 1, 1, 1] [1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, ½] [1, 0, 0, 1] [1, 0, ½, 0] [1, 0, ½, ½] [1, 0, ½, 1] [1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, ½] [1, 0, 1, 1] [1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, ½] [1, 0, 0, 1] [1, 0, ½, 0] [1, 0, ½, ½] [1, 0, ½, 1] [1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, ½] [1, 0, 1, 1] [1, 1, 0, 0] [1, 1, 0, ½] [1, 1, 0, 1] [1, 1, ½, 0] [1, 1, ½, ½] [1, 1, ½, 1] [1, 1, 1, 0] [1, 1, 1, ½] [1, 1, 1, 1] Červeně označená pole odpovídají vrcholům teseraktu. Je jich 16. Spojnice vrcholů tesetraktu pak odpovídají buď hranám, nebo úhlopříčkám. Jak je vidět z grafu, z každého vrcholu vycházejí právě čtyři hrany. Každou hranu ale počítám z obou konců, takže počet hran je 16. 4. ½ = 32 hran. Každá piškvorka rovnoběžná s některou hranou (včetně piškvorek na hranách) se skládá ze tří bodů, které mají tři souřadnice konstantní a jedna souřadnice nabývá postupně hodnot 0, ½ a 1. Ke změně může docházet na jedné ze čtyř pozic a různých konstantních možností pro tři zbývající souřadnice je 3. 3. 3 = 27. Tedy máme celkem 4. 27 = 108 různých piškvorek rovnoběžných s některou z hran teseraktu. Zbývající spojnice vrcholů představují úhlopříčky. Jejich celkový počet získám, jestliže odečtu od počtu všech spojnic vrcholů počet hran: u = 16 2 32 = 120 32 = 108 6
Protože úhlopříčné piškvorky musí ležet pouze na úhlopříčkách teseraktu, je jich celkem také 108, stejně jako piškvorek rovnoběžných s hranami teseraktu. V teseraktových minipiškvorkách můžeme tedy potenciálně vytvořit 108 + 108 = 216 různých minipiškvorek. Správná strategie prvního hráče vychází ze strategie v krychlových piškvorkách. Manévrovací prostor je ještě mnohem větší než u krychlových minipiškvorek, takže : Jako první je třeba obsadit nejsilnější pole [½, ½, ½, ½] (střed teseraktu). Ve druhém tahu obsadit některé pole B teseraktu, jehož tři souřadnice jsou celočíselné a právě jedna ze souřadnic je rovna ½, které není vzdáleno od pole A obsazeného více než 2, přičemž vzdálenost bodů A = [a 1, a 2, a 3, a 4 ] a B = [b 1, b 2, b 3, b 4 ] chápeme 2 v běžném smyslu jako AB = n=1 4 a n b n 2. Po vynuceném obranném tahu hráče vytvořit obsazením pole D, jehož tři celočíselné souřadnice jsou stejné jako celočíselné souřadnice bodu B, obsazeného ve druhém tahu a jehož čtvrtou souřadnici získáme změnou z ½ na 0, nebo 1. Po jakémkoliv dalším tahu hráče vytvořit piškvorku (díky vidličce tomu hráč nemohl zabránit). Jak je vidět teserakt je zajímavým objektem z hlediska abstraktní matematické představivosti, ale teseraktové minipiškvorky oproti krychlovým piškvorkám v podstatě nepřinášejí nic nového. První hráč má opět díky výhodě prvního tahu k dispozici vyhrávající strategii. 7