7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

Transkript

1 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě os jsou navájem kolmé 2. jejich průsečíku O odpovídá na obou osách číslo 0. Př. : Pomocí definice pro kartéskou soustavu souřadnic v rovině aveď soustavu kartéských souřadnic v prostoru. jsme v prostoru potřebujeme tři souřadné os,, (prostor má tři roměr) každé dvě os na sebe musí být kolmé nemáme ajištěno, že se os protnou (v rovině je průsečík dvou kolmic jistý) musíme si přidat podmínku společného průsečíku všech tří přímek Souřadnice v prostoru Kartéskou soustavou souřadnic v prostoru naýváme trojici číselných os,, v prostoru, pro které platí:. každé dvě nich jsou navájem kolmé 2. všechn tři procháejí jedním bodem O 3. bod O odpovídá na všech osách číslu 0. Terminologie: bod O počátek kartéské soustav souřadnic přímk,, souřadné os rovin,, souřadné rovin Pedagogická ponámka: Studenti často místo první podmínk píší všechn tři přímk jsou navájem kolmé. Vsvětlujeme si, že taková věta je sice hlediska pochopení jasná, ale není příliš přesná, protože odchlku (a ted i kolmost) určujeme poue pro dvojici přímek.

2 Pedagogická ponámka: Ptám se studentů, da jim nepřijde na obráku něco divného. Vžd si někdo rchle všimne, že vdálenost na ose je menší než na ostatních osách. Připomínáme si, že jde o důsledek přenesení prostorové situace do rovin pomocí volného rovnoběžného promítání. Jednotková vdálenost na ose je samořejmě stejná, ale úhel, e kterého ji vidíme, nám ji při kreslení kracuje. Pedagogická ponámka: Předchoí obráek je nutné studentům ukáat, protože někteří mají tendenci popisovat os jinak. Navíc je nutné u dalších příkladů kontrolovat, da mají os popsané působem nakresleným výše. Pokud jsou os popsané jinak, jsou souřadnice bodů samořejmě jiné. Př. 2: Na obráku je ve volném rovnoběžném promítání obraena krchle o délce hran. Urči souřadnice všech jejích vrcholů. počátku se do budu dostaneme posunutím ;0;0 o ve směru os počátku se do bodu dostaneme posunutím o ve směru os a o ve směru os počátku se do bodu dostaneme posunutím o ve směru os, o ve směru os a o ;; ve směru os 2

3 [ 0;;] [ ;0;0], [ ;;0], [ 0;;0], [ 0;0;0] [ ;0;], [ ;;], [ 0;;], [ 0;0;] Pedagogická ponámka: Velká většina studentů chápe, jak mají souřadnice bodů najít. U té slabší menší je pak btečné vsvětlovat souřadnice jako průsečík rovin s osami nebo průmět bodu do souřadných rovin. Použité důvodnění souřadnic pomocí vektorů posunutí ve směrech jednotlivých os je pro daleko přístupnější (o vektorech v této situaci samořejmě nemluvíme). Př. 3: o obráku krchle minulého příkladu akresli bod K [ 2;;], L [ ;3;], M [ ; 2;0], N [ 2;;] a [ 0; 2; ] O. U bodů, které leží mimo hran krchle, nakresli prodloužení příslušných hran nebo přímk, které jsou rovnoběžné s osami, tak, ab blo řejmé, kde bod leží. N L K O M Př. : Na obráku je ve volném rovnoběžném promítání obraena krchle o délce hran. Průsečík hran se souřadnými osami jsou onačen eleným křížk. Urči souřadnice všech vrcholů a bodů P, Q, R (předpokládej, že všechn souřadnice 3

4 jsou celočíselné). R P Q [ ; 2; ], [ ;2; ], [ 0;2; ], [ 0; 2; ] [ ; 2;3], [ ;2;3], [ 0;2;3], [ 0; 2;3] P [ 2;2;3], R[ ; ;3], Q[ ;2; ] Pedagogická ponámka: Studentů, kteří mají s příkladem problém, se ptám, jak je krchle oproti příkladu 2 posunutá. Pedagogická ponámka: Zbývající dva příklad nestíhají všichni. lavně poslední příklad je třeba brát jako spíše bonusový, tak dobrou představivost studenti nebudou příliš často potřebovat. Př. 5: Zvol v prostoru soustavu kartéských souřadnic O. o obráku akresli krchli 0;;0 0;0; a o hraně cm, jestliže náš souřadnice vrcholů, [ ;0; ]. Urči souřadnice ostatních vrcholů krchle.

5 [ 0;;0], [ 0;0;0], [ 0;0; ], [ 0;; ] [ ;;0], [ ;0;0], [ ;0; ], [ ;; ] Př. 6: Zvol v prostoru soustavu kartéských souřadnic O. o obráku akresli kvádr 2; ; 2;3; ;?; a, jestliže náš souřadnice vrcholů [ ],, [?;?;3]. Urči souřadnice ostatních vrcholů kvádru a jeho roměr. Zakreslíme vrchol jejichž souřadnice náme: [ 2; ;], [ 2;3;] a [ ;?; ], všechn mají stejnou -vou souřadnici stěna je vodorovná přímka je rovnoběžná s osou přímka na ní musí být kolmá a vodorovná -vá souřadnice bodů a je stejná ;3; přímka ní musí být kolmá a vodorovná -vá souřadnice bodů a je stejná ; ; přímka je svislá souřadnice bodů a se liší poue v -vé souřadnici -vá souřadnice bodů a je stejná 2; ;3 stejným působem souvisí souřadnice a, a a a. [ 2; ;], [ 2;3;], [ ;3; ] [ ; ;] [ 2; ;3], [ 2;3;3] ;3;3 [ ; ;3],, a =, b = 3, c = 2, Shrnutí: 5