Shodná zobrazení v rovině

Transkript

1 Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech bodů útvaru U označíme U a nazýváme obraz útvaru U. Body, pro které platí X = X, nazýváme samodružnými body zobrazení. Je-li U = U, nazýváme útvar U samodružným útvarem zobrazení. Zobrazení v rovině je shodné zobrazení, právě když obrazem každé úsečky AB je úsečka A B shodná s úsečkou AB. V každém shodném zobrazení platí: 1) Obrazem přímky AB je přímka A B ; obrazem rovnoběžek jsou rovnoběžky. 2) Obrazem polopřímky AB je polopřímka A B ; obrazem opačných polopřímek jsou opačné polopřímky. 3) Obrazem úhlu AVB je úhel A V B s ním shodný. 4) Obrazem útvaru U je obraz U s ním shodný. Osová souměrnost Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení O(o), které přiřazuje: 1. každému bodu X o bod X tak, že přímka XX je kolmá k přímce o a střed úsečky XX leží na ose o, 2. každému bodu Y o bod Y = Y. Osová souměrnost je shodnost nepřímá. Samodružné jsou všechny body osy o. Slabě samodružné jsou všechny přímky kolmé k ose o. Osa souměrnosti o je silně samodružná.

2 Příklad 1) V kartézské soustavě souřadnic zobrazte čtyřúhelník ABCD, A[0; 1], B[5; 4], C[5; 3], D[ 1; 2] v osové souměrnosti s osou o: 2x y + 1 = 0. Příklad 2) Jsou dány dvě polopřímky AB, CD s různými počátky ležící ve dvou různých přímkách. Určete osovou souměrnost, která zobrazuje polopřímku AB na polopřímku CD. Příklad 3) Na obrázku jsou dva hokejisti A, B. Hokejista A má na hokejce puk P. Určete, kam může hokejista poslat puk tak, aby se odrazil od mantinelu m k hokejistovi B. Hráč B je schopen zachytit puk v případě, že dráha puku prochází vymezeným dosahem jeho hokejky (kruh K).

3 Středová souměrnost Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení S(S), které přiřazuje: 1. každému bodu X S bod X tak, že bod S je středem úsečky XX. 2. bodu S bod S = S. Bod S se nazývá střed souměrnosti, o bodech X, X říkáme, že jsou souměrně sdružené podle středu souměrnosti. Středová souměrnost je přímá shodnost. Bod S je jediný samodružný bod ve středové souměrnosti S(S). Všechny přímky procházející středem S jsou slabě samodružné v S(S). Obrazem přímky p ve středové souměrnosti je přímka p s ní rovnoběžná. Příklad 4 Jsou dány dvě soustředné kružnice k 1 (O; r 1 ), k 2 (O; r 2 ), r 1 > r 2 a bod S ležící na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích. Příklad 5 Jestliže se ve čtyřúhelníku úhlopříčky půlí, je čtyřúhelník rovnoběžníkem. Dokažte. Příklad 6 V kartézské soustavě souřadnic je dán trojúhelník ABC; A = [ 2; 2], B = [3; 1], C = [0; 4]. Zobrazte trojúhelník ABC ve středové souměrnosti se středem S = [1; 1]. Otočení (rotace) Orientovaný úhel uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem. První polopřímka se zve počáteční rameno, druhá koncové rameno orientovaného úhlu. Polopřímky VA a VB mohou vytvářet dva orientované úhly. Orientovaný úhel si můžete představit jako počáteční a koncovou polohu polopřímky, která se otáčí kolem svého počátku. Otáčet můžeme proti směru hodinových ručiček otáčení v kladném smyslu, nebo po směru hodinových ručiček otáčení v záporném smyslu.

4 Základní velikost orientovaného úhlu AVB je velikost toho úhlu, který vytvoří polopřímka VA otočením do polopřímky VB v kladném smyslu. Je to vždy číslo z intervalu 0 ; 360. Označíme-li písmenem α základní velikost orientovaného úhlu AVB, pak velikost orientovaného úhlu AVB je každá z hodnot α k, kde k Z. Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je φ, a bod S. Otočení neboli rotace je shodné zobrazení R(S; φ), které přiřazuje: 1. každému bodu X S bod X tak, že X S = XS a orientovaný úhel XSX má velikost φ, 2. bodu S bod S = S. Bod S zveme střed rotace (je to jediný samodružný bod rotace), orientovaný úhel o velikosti φ zveme úhel rotace. Rotace je přímá shodnost. Příklad 7 Sestrojte obraz trojúhelníku ABC v rotaci R(S; 75 ). Otázka: Co vznikne otočením o φ = 180? Otázka: Co vznikne otočením o φ = 360? Příklad 8 V kartézské soustavě souřadnic je dán čtyřúhelník KLMN, K[2; 4], L[3; 1], M[0; 5], N[ 1; 2]. Sestrojte obraz čtyřúhelníku KLMN v otočení R(S; 1280 ), je-li S = [ 1; 1].

5 Posunutí (translace) Orientovaná úsečka je úsečka, jejíž jeden krajní bod zveme počáteční, druhý koncový. Orientovanou úsečku s krajním bodem A a koncovým bodem B značíme: Grafické znázornění: Otázka: Jaká bude délka orientované úsečky? Otázka: Co to je nulová orientovaná úsečka? Nenulové orientované úsečky mají stejný směr, jsou-li rovnoběžné a šipky směřují na stejnou stranu. Je dána nenulová orientovaná úsečka AB. Posunutí (translace) je shodné zobrazení T(AB), které každému bodu X přiřadí bod X tak, že orientované úsečky XX a AB mají stejnou délku a stejný směr. V posunutí neexistují samodružné body. Všechny přímky rovnoběžné s orientovanou úsečkou AB jsou slabě samodružné. Obrazem přímky v posunutí je přímka s ní rovnoběžná. Posunutí je shodnost přímá. Příklad 9 Zobrazte trojúhelník ABC v posunutí T (MN). Příklad 10 Jsou dány dvě různoběžky a, b a úsečka MN. Sestrojte úsečku AB shodnou a rovnoběžnou s úsečkou MN tak, aby její krajní body A, B ležely po řadě na přímkách a, b.