Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje nárys součástky, jež bude třeba vyříznout z dřevěné desky. Jeho rozměry jsou v obrázku označeny násobky délky d. max. 2 body 1.1 Určete zjednodušený výraz S s kladnou proměnnou d, který představuje obsah vyznačeného obrazce. 1.2 Jakou největší celočíselnou délku může mít rozměr označený d, aby obsah obrazce byl méně než čtverečných jednotek? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V pravoúhlém trojúhelníku ABC pro jeho vnitřní úhly platí: < <. Jeho strany jsou v poměru 7 : 24 : Určete desetinné číslo X = sin + sin + sin. 1 bod 2 Maturita z matematiky 05

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána funkce y = k cos (l x) + m reálné proměnné x, jejíž graf je vykreslen na obrázku. 3 Která z reálných konstant k, l, m je největší? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Je dána rovnice s neznámou x: (x 1)! = 8 x!. (x 3)! (x 2)! 1 bod max. 4 body 4.1 Určete, pro která x je rovnice definována. Zapište množinu užitím charakteristické vlastnosti nebo výčtem prvků. 4.2 Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na číselné ose jsou vyznačeny obrazy racionálních čísel a a b. Vzdálenost těchto obrazů je rovna 4 9. Dále platí: a : b = 3 : 5. 5 Určete součet a + b. 1 bod Maturita z matematiky 05 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na výrobní lince pracují dva stroje lišící se výkonem, výkonnější stroj na výrobní lince by zvládl splnit novou zakázku za 12 hodin provozu, větší část zakázky ale vytvářel stroj s pomalejším výkonem. Dvě hodiny pracovaly stroje společně, poté se začal výkonnější stroj věnovat jiné práci a méně výkonný stroj pracoval na původní zakázce 13 hodin sám, než byla zakázka dokončena. 6 Vypočtěte, za jak dlouho by zvládl zakázku méně výkonný stroj zcela sám. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V kartézské soustavě souřadnic je zobrazen trojúhelník ABC, přičemž A[ 2; 1], B[0; 3], C[5; 1]. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro úsečku AC platí, že AC = 7, Těžnice t a na stranu BC je rovnoběžná se souřadnicovou osou x. 7.3 Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu B. 7.4 Bod T[1; 1] je těžištěm trojúhelníka ABC. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě rostoucí posloupnosti, geometrická s kvocientem q a aritmetická s diferencí d. Dále platí, že čísla 3,2 a 16 tvoří dva sousední členy těchto posloupností. 8 Která z uvedených možností A E vyjadřuje poměr d : q? A) 1 : 5 B) 2 : 1 C) 2,56 : 1 D) 5 : 1 E) 51,2 : 1 2 body 4 Maturita z matematiky 05

5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Těleso vzniklo spojením dvou kolmých rotačních kuželů se stejnými obsahy podstav, které jsou rovny 9π cm 2. Kužely se podstavami dotýkaly a jejich rotační osy splynuly v tutéž přímku. Svrchní kužel měl stranu délky 5 cm, spodní kužel výšku 4 cm. 9 Který z rovinných útvarů A E je osovým řezem takto vzniklého tělesa? A) čtverec B) kosočtverec C) obdélník D) kosodélník E) deltoid 2 body Maturita z matematiky 05 5

6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dána rovnice s reálnou neznámou x a reálným parametrem a: x x = a. a max. 4 body 10 Přiřaďte každé variantě řešení ( ) množinu hodnot parametru (A F), pro kterou a právě jen tu jedinou nastává Rovnice nemá řešení Rovnice má kladné řešení Rovnice má řešení x = Rovnice není definovaná. A) a {0} B) a { 1} C) a {1} D) a { 1; 1 2 } E) a ( ;1) F) a ( ; 0) (0; 1) KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky 05

7 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje nárys součástky, jež bude třeba vyříznout z dřevěné desky. Jeho rozměry jsou v obrázku označeny násobky délky d. max. 2 body 1.1 Určete zjednodušený výraz S s kladnou proměnnou d, který představuje obsah vyznačeného obrazce. S = 8d 15d Řešení: 74d 2 2πd 2 8d 4d π(2d) 2 5d 6d = 74d 2 2πd Jakou největší celočíselnou délku může mít rozměr označený d, aby obsah obrazce byl méně než čtverečných jednotek? d > 0 74d 2 2πd 2 < d > 0 d 2 (74 2π) < d > 0 d < π = 5,6 Největším takovým číslem d je d = 5. Řešení: d = 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V pravoúhlém trojúhelníku ABC pro jeho vnitřní úhly platí: < <. Jeho strany jsou v poměru 7 : 24 : Určete desetinné číslo X = sin + sin + sin. 1 bod Maturita z matematiky 05 7

8 Funkce sinus daného vnitřního úhlu je v pravoúhlém trojúhelníku definovaná jako poměr délky úhlu protilehlé odvěsny k délce přepony, sinus pravého úhlu je roven 1. Zároveň platí, že proti nejmenšímu úhlu leží v trojúhelníku strana nejmenší délky. Dosadíme tedy do vztahu a určíme číslo X: X = sin + sin + sin = = = 56 = 2, Řešení: X = 2,24 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána funkce y = k cos (l x) + m reálné proměnné x, jejíž graf je vykreslen na obrázku. 3 Která z reálných konstant k, l, m je největší? 1 bod Graf vykazuje poloviční frekvenci ( l = 1 2 ), je posunut o 1 směrem dolů (m = 1), je převrácen v osové souměrnosti s osou x (k < 0) a amplituda je dvojnásobné výšky (k = 2). Graf není posunut ve směru osy x. Největší je konstanta l. Řešení: l VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Je dána rovnice s neznámou x: (x 1)! = 8 x!. (x 3)! (x 2)! max. 4 body 4.1 Určete, pro která x je rovnice definována. Zapište množinu užitím charakteristické vlastnosti nebo výčtem prvků. Faktoriál je definován pro nezáporná celá čísla. Tedy x 3 x 2 x 1 x {3; 4; 5; } Řešení: {x Z; x 3} nebo x {3; 4; 5; } 8 Maturita z matematiky 05

9 4.2 Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. (x 1)(x 2)(x 3)! = 8 x(x 1)(x 2)! (x 3)! (x 2)! (x 1)(x 2) = 8 x(x 1) x 2 3x + 2 = 8 x 2 + x 2x 2 4x 6 = 0 x 2 2x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x 1 = 3 x 2 = 1 Protože x 2 = 1 není v definičním oboru, rovnice má jediné řešení, x = 3. Řešení: x = 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na číselné ose jsou vyznačeny obrazy racionálních čísel a a b. Vzdálenost těchto obrazů je rovna 4 9. Dále platí: a : b = 3 : 5. 5 Určete součet a + b. 1 bod Ze zadaného poměru čísel vyjádříme číslo a. a : b = 3 : 5 a = 3b 5 Dále víme, že vzdálenost obrazů těchto kladných čísel je rovna 4 9, tedy b a = 4 b 3b = 4 2b = 4 b = a = = 3 10 = Nyní, když už známe obě čísla a a b, vypočteme jejich součet. a + b = = = Řešení: a + b = 16 9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na výrobní lince pracují dva stroje lišící se výkonem, výkonnější stroj na výrobní lince by zvládl splnit novou zakázku za 12 hodin provozu, větší část zakázky ale vytvářel stroj s pomalejším výkonem. Dvě hodiny pracovaly stroje společně, poté se začal výkonnější stroj věnovat jiné práci a méně výkonný stroj pracoval na původní zakázce 13 hodin sám, než byla zakázka dokončena. 6 Vypočtěte, za jak dlouho by zvládl zakázku méně výkonný stroj zcela sám. 1 bod Maturita z matematiky 05 9

10 Výkonnější stroj provede zakázku za 12 hodin, za 1 hodinu tedy zvládne 1 12 díla, za 2 hodiny 2 12 díla. Celkově zakázku vytvářely 15 hodin, společně jen 2 hodiny. Méně výkonný stroj provede zakázku za x hodin, za 1 hodinu tedy zvládne 1 x díla, za 15 hodin 15 x díla. Platí tedy: 15 x = 1 Určíme x: 15 x = x =12x 180 = 10x x = 18 Méně výkonný stroj by zvládl zakázku sám za 18 hodin. Řešení: 18 hodin VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V kartézské soustavě souřadnic je zobrazen trojúhelník ABC, přičemž A[ 2; 1], B[0; 3], C[5; 1]. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro úsečku AC platí, že AC = 7, Těžnice t a na stranu BC je rovnoběžná se souřadnicovou osou x. 7.3 Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu B. 7.4 Bod T[1; 1] je těžištěm trojúhelníka ABC. ANO NE Řešení může být patrné z dobře narýsovaného zadání. 7.1 AC = (5 + 2) 2 + ( 1 1) 2 = = 53 = 7,28 7,5. Tvrzení je nepravdivé. 10 Maturita z matematiky 05

11 7.2 Těžnice t a je spojnicí bodu A a středu S úsečky BC. Pro vektor AS musí platit, že je násobkem vektoru (1, 0), který je směrovým vektorem souřadnicové osy x. S = B + C 2 [ ; ] = [ 5 ; 2 1] AS = ( 5 + 2; 1 2 1) = ( 9 ; 2 0) = 9 (1; 0) AS (1;0) 2 Tvrzení je pravdivé. 7.3 Abychom zjistili, zda je velikost úhlu při vrcholu B rovna 90, mohli bychom ji určit jako odchylku vektorů BC a BA. Bude ale stačit určit hodnotu skalárního součinu bude-li nulový, jsou strany BC a BA na sebe kolmé a trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu B. BC = C B = (5 0; 1 3) = (5; 4) a BA = ( 2 0; 1 3) = ( 2; 2) BC BA = 5 ( 2) + ( 4) ( 2) = = 2 BC a BA nejsou ortogonální (kolmé). Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Těžiště trojúhelníka lze určit jako průsečík těžnic (museli bychom sestavovat jejich rovnice) nebo dle vzorce. Využijeme jej. T = A + B + C = 3 [ ; ] = [1; 1] Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě rostoucí posloupnosti, geometrická s kvocientem q a aritmetická s diferencí d. Dále platí, že čísla 3,2 a 16 tvoří dva sousední členy těchto posloupností. 8 Která z uvedených možností A E vyjadřuje poměr d : q? A) 1 : 5 B) 2 : 1 C) 2,56 : 1 D) 5 : 1 E) 51,2 : 1 2 body Z definicí posloupností musí platit, že d = 16 3,2 a q = 16. 3,2 Určíme tedy poměr d : q. d : q = (16 3,2) : 16 = 12,8 : 5 = 128 : 50 = 2,56 : 1 3,2 Řešení: C Maturita z matematiky 05 11

12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Těleso vzniklo spojením dvou kolmých rotačních kuželů se stejnými obsahy podstav, které jsou rovny 9π cm 2. Kužely se podstavami dotýkaly a jejich rotační osy splynuly v tutéž přímku. Svrchní kužel měl stranu délky 5 cm, spodní kužel výšku 4 cm. 9 Který z rovinných útvarů A E je osovým řezem takto vzniklého tělesa? A) čtverec B) kosočtverec C) obdélník D) kosodélník E) deltoid 2 body Protože vzniklým osovým řezem je každopádně konvexní čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, rozhoduje o výběru jejich velikost, tedy velikost výšek a poloměru společné podstavy. Osovým řezem tohoto dvojkužele může být čtverec (výšky obou kuželů musí být stejné a stejně dlouhé jako poloměr podstavy), nebo kosočtverec (výšky budou u obou kuželů stejně dlouhé, ale kratší nebo delší než poloměr společné podstavy), nebo deltoid (budou-li se výšky obou kuželů lišit), kosodélník ani obdélník nepřichází v úvahu, neboť jejich úhlopříčky na sebe nejsou kolmé. U druhého z kuželů musíme pomocí Pythagorovy věty dopočítat chybějící výšku. Vypočteme poloměr r společné podstavy obou kuželů r = 9π cm 2 π r = 3 cm. Dále určíme výšku v svrchního kužele v = (5 cm) 2 (3 cm) 2 v = 4 cm. Protože úhlopříčky rovnoběžníku jsou na sebe kolmé, půlí se, ale nemají stejnou velikost, je osovým řezem kosočtverec. Správně je možnost B. Řešení: B 12 Maturita z matematiky 05

13 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dána rovnice s reálnou neznámou x a reálným parametrem a: x x = a. a max. 4 body 10 Přiřaďte každé variantě řešení ( ) množinu hodnot parametru (A F), pro kterou a právě jen tu jedinou nastává Rovnice nemá řešení Rovnice má kladné řešení Rovnice má řešení x = Rovnice není definovaná. A) a {0} B) a { 1} C) a {1} D) a { 1; 1 2 } E) a ( ;1) F) a ( ; 0) (0; 1) Napřed rozebereme jednotlivé varianty řešení, a poté vytvoříme správné dvojice dle zadání. a = 0 x x = a a Rovnice není definovaná. a 0 x ( 1 a 1 ) = a x ( 1 a a ) = a a = 1 x ( 0 1 ) = 1 x 0 = 1 Rovnice nemá řešení. a 0 a 1 x ( 1 a a ) = a a 1 a a 2 x = 1 a a 2 1 a > 0 a 2 > 0 1 a > 0 a 0 a < 1 a ( ; 0) (0; 1) a 2 = 1 2a 2 + a 1 = 0 (a + 1)(2a 1) = 0 a 1 a 2 { 1; 1 2 } Maturita z matematiky 05 13

14 10.1 Řešení: C 10.2 Řešení: F 10.3 Řešení: D 10.4 Řešení: A KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 05

15 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů d 2 2πd 2 1 bod 1.2 d = 5 1 bod 2 X = 2,24 1 bod 3 l 1 bod {x Z; x 3} nebo x {3; 4; 5; } 2 body 4.2 (x 1)(x 2)(x 3)! = 8 x(x 1)(x 2)! (x 3)! (x 2)! (x 1)(x 2) = 8 x(x 1) x 2 3x + 2 = 8 x 2 + x 2x 2 4x 6 = 0 x 2 2x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x 1 = 3 x 2 = 1 Protože x 2 = 1 není v definičním oboru, rovnice má jediné řešení, x = 3. Řešení: x = 3 max. 2 body 5 a + b = bod 6 18 hodin 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 ANO Maturita z matematiky 05 15

16 8 C 2 body 9 B 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b F 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b D 10.4 A 16 Maturita z matematiky 05

17 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod 2 1 bod 3 1 bod body 4.2 max. 2 body 5 1 bod 6 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 05 17

18 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 05