Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Transkript

1 Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní učíme od sedmé třídy, přitom je stará přes 2600 let. Také mě zajímalo jak se dá použít v životě a jak vznikala. Cíle: Hlavním cílem je výpočet chybějící strany v pravoúhlém trojúhelníku Egypťané při vytyčování pravých úhlů svých staveb sestrojovali trojúhelník o stranách 3, 4 a 5, stejně jako dnešní zedníci. Pythagoras a jeho žáci však tuto poučku dokázali a našli způsob, jak určit všechny pravé trojúhelníky s celočíselnými délkami stran Metody: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). Součet obsahů čtverců nad odvěsnami (modrá plus červená plocha) se rovná obsahu čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníka (fialová plocha).

2 Pythagorovi žáci objevili např., že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 Pythagorejské trojúhelníky Jsou pravoúhlé trojúhelníky se stranami o celočíselných délkách. Trojúhelník s odvěsnami 3 a 4 a přeponou délky 5- je jediným trojúhelníkem pythagorejským trojúhelníkem, jehož strany mají délky vyjádřené následnými čísly, a také jediný trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž součet (12) se rovná dvojnásobku jeho obsahu (6). Po trojúhelníku je dalším trojúhelníkem s délkově sousedícími odvěsnami Desátý takový trojúhelník je Zobecnění: Nahrazení čtverců jinými obrazci Při vysvětlování Pythagorejského trojúhelníku můžeme požít jakýkoliv jiný obrazec (kružnici, pětiúhelník, kružnice, atd..). Součet obsahů těchto obrazců nad odvěsnami bude opět shodný s obsahem obrazce nad přeponou. Každý obrazec by měl mít stejný poměr jako strana ku obsahu čtverci Zobecnění na 3 obecné v Hilbertově prostoru Pythagorovu větu lze zobecnit na jakýkoliv vektorový prostor se skalárním součinem (Hilbertův prostor). Trojúhelníkem v tomto případě myslíme tři vektory a, b, c takové, že c = b - a a že a a b jsou na sebe kolmé. Pak platí podobný vztah mezi normami těchto vektorů, jako v případě rovinného trojúhelníku a 2 + b 2 = c 2 - značí normu na daném vektorovém prostoru. Z této obecnější formulace lze odvodit i původní rovinnou verzi věty. Pokud rovinu chápeme jako 2-rozměrný Euklidův prostor s obyčejným skalárním součinem a v trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C označíme a = B - C, b = A - C a c = A - B (= b - a), plyne původní Pythagorova formulace ze vztahu norem vektorů, uvědomíme-li si, že v tomto případě je norma vektoru pouze délka odpovídající strany. Zobecnění na více dimenzí

3 Větu lze zobecnit i na více než dvě dimenze. Například pokud umocníme délku tělesové úhlopříčky kvádru (např. cihly) na druhou, bude se toto číslo rovnat součtu čtverců délek všech tří rozměrů kvádru. Analogické vztahy platí i v euklidovských prostorech vyšších rozměrů. Matematicky řečeno je zde čtverec délky (normy) vektoru roven součtu čtverců jeho souřadnic v libovolné ortonormální bázi. Tuto představu lze zobecnit i na prostory nekonečné dimenze. Důkazy: č.1 Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b můžeme složit dvěma způsoby: ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délkách stran a a b ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta. č.2 Jde jen o zápis Důkazu č. 1 pomocí rovnic. Obsah celého čtverce lze vyjádřit dvěma způsoby takto (jen pravý obrázek z pohledu čtenáře): Strana čtverce je složena ze stran trojúhelníku a i b. Pro obsah tedy platí: S = (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Čtverec je tvořen 4 barevnými pravoúhlými trojúhelníky a bílým čtvercem se stranou c uprostřed. Obsah celého čtverce je tedy součtem obsahu 4 pravoúhlých trojúhelníků (4ab/2=2ab) a bílého čtverce uprostřed se stranou c (c c = c 2 ) S = 2ab + c 2 Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah spočtený oběma způsoby rovnat, a tedy a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 z čehož dostáváme tvrzení a 2 + b 2 = c 2

4 č.3 Lze se snadno přesvědčit, že pokud jsou zeleně vyznačené úhly v obrázku dole (DCB a DAC - jenž se rovná BAC) shodné, jsou si trojúhelníky ABC, CBD a ACD navzájem podobné (velikosti jejich stran jsou ve stejném poměru, jejich úhly jsou stejně velké). Výsledky: Díky tomuto projektu jsem se naučil, že Pythagorova věta není jen vzoreček a 2 + b 2 = c 2, ale je mnohem složitější a má uplatnění v mnoha oborech. Závěr: Použití: Lze s ním vypočítat: např. výšku zdí, stromů, atd Lze ji uplatnit v trojrozměrných tělesech Zobecněná pythagorova věta se používá ve speciální teorii relativity Tento projekt se mi docela líbil Zdroje: Wikipedia.org Cliffor A. Pickover- Matematická kniha

5