Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede z každé světové strany jedno svébytné schodiště. Schodiště bylo postaveno tak, že od země vycházelo šikmo vzhůru 24 schodů, poté schodiště změnilo směr a pokračovalo 22 schody, pak opět změnilo směr a pokračovalo 20 schody atd., až dosáhlo plošiny na vrcholu stavby, ke které vystoupaly poslední dva schody, neboť počet schodů v jednom směru se pravidelně zmenšoval. Stejným způsobem jsou postavena schodiště na všech čtyřech bocích zikkuratu. 1 Kolik celkem schodů vedlo na zikkurat na všech bocích stavby dohromady? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz tg 2 x + 1. tg x cotg x sin2 x 1 2 Určete hodnotu výrazu pro x ( 0; π 6 ). 1 bod 2 Maturita z matematiky 05

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na obrázku jsou dány přímky p a q v kartézské soustavě souřadnic. max. 3 body 3.1 Určete odchylku φ zobrazených přímek p a q. Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně. 3.2 Určete souřadnice bodu M, který je průsečíkem přímek p a q. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Na dřevěné hrací desce je 5 6 polí, na které jeden hráč umísťuje 15 stejných kamenů ve tvaru kosočtverce a druhý 15 identických kamenů oválných. Hráč si připíše body například za dvojici či trojici svých kamenů stojících vedle sebe, výše bodované jsou vedle sebe stojící čtveřice, ještě lépe čtveřice stojící tak, jak vlevo nahoře zobrazuje obrázek takových bodovaných kombinací nabízí hra více. Ve hře tedy rozhoduje vzájemná poloha kamenů vedle sebe. 1 bod 4 Určete, kolik možností rozložení kamenů na hrací ploše existuje, jsou-li kameny stejného tvaru zaměnitelné. Maturita z matematiky 05 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Čísla a, b a k jsou přirozená čísla. Nejmenším společným násobkem čísla a, které je k násobkem čísla 32, a čísla b, které je k násobkem čísla 24, je číslo Určete číslo k. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. max. 2 body 6 Řešte v množině racionálních čísel rovnici x = 1 2x. max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána krychle o hraně délky a. Do krychle je vepsána koule tak, že se dotýká krychle ve středech jejích stěn. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Objem koule je větší než 3 4 objemu krychle. 7.2 Povrch koule je větší než 1 2 povrchu krychle. 7.3 Tělesová úhlopříčka krychle je rovna čtyřnásobku poloměru koule. 7.4 Stěnová úhlopříčka krychle je rovna trojnásobku poloměru koule. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Výraz v = 1,2 (0,8 1,3x + 50) vyjadřuje, jak byl výrobek s původní cenou x postupně zdražován a zlevňován, až dosáhla jeho cena hodnoty v. Ceny jsou uvedeny v Kč. 2 body 8 Která z možností A E popisuje, jaké změny v ceně výrobku dle výrazu v proběhly? A) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 50 Kč, potom třikrát zvýšena, napřed o 130 %, potom o 80 % a nakonec o 120 %. B) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 30 %, poté o 20 % snížena, poté vrácena na původní výši a nakonec byla ještě navýšena o 50 Kč. C) Cena výrobku byla postupně zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 % a nakonec opět zvýšena o 20 %. D) Cena výrobku byla zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 Kč a nakonec opět zvýšena o 20 %. E) Cena výrobku byla zprvu zvýšena o 20 %, poté snížena o 20 %, následně zdražena o 30 % a nakonec navýšena ještě o 50 Kč. 4 Maturita z matematiky 05

5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Do čtverce o hraně délky 2r je vepsán kruh o poloměru r tak, že jejich středy splývají. V jednom z bodů jejich dotyku je střed dalšího kruhu, jehož obvodová kružnice prochází sousedními body dotyku původního kruhu a čtverce. 2 body 9 Který z výrazů A E vyjadřuje obsah vyšrafované části v závislosti na rozměru r? A) r 2 (π 1) B) 3r 2 C) πr 2 D) 4r 2 E) r 2 (π + 2) 10 Přiřaďte každé z funkcí ( ) její maximální definiční obor (A F). max. 4 body 10.1 y = log 3(3 x) x 10.2 y = log 3x x y = 3 x log3 x 10.4 y = log 3 (3 x) + x A) x (0; 3) (3; + ) B) x (0; 3) C) x ( ; 1) (1; 3) D) x ( ; 0) (0; 3) E) x (0; 1) (1; 3 F) x 0; 3) KONEC TESTU Maturita z matematiky 05 5

6 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede z každé světové strany jedno svébytné schodiště. Schodiště bylo postaveno tak, že od země vycházelo šikmo vzhůru 24 schodů, poté schodiště změnilo směr a pokračovalo 22 schody, pak opět změnilo směr a pokračovalo 20 schody atd., až dosáhlo plošiny na vrcholu stavby, ke které vystoupaly poslední dva schody, neboť počet schodů v jednom směru se pravidelně zmenšoval. Stejným způsobem jsou postavena schodiště na všech čtyřech bocích zikkuratu. 1 Kolik celkem schodů vedlo na zikkurat na všech bocích stavby dohromady? 1 bod Protože počty schodů představují členy po dvou (d = 2) klesající konečné aritmetické posloupnosti počínající členem a 1 = 24 a končící členem a n = 2, stačí jejich celkový počet s vypočítat jako čtyřnásobek součtu S n všech jejích členů. a n = a 1 + (n 1) d n = 1 + a n a 1 d S n = (a (a n + a 1 ) n n + a 1 ) (1 + a n a 1 d ) = 2 2 s = 4S n = 2(2 + 24) ( ) = = 624 Na zikkurat vede 624 schodů. Řešení: Maturita z matematiky 05

7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz tg 2 x + 1. tg x cotg x sin2 x 1 2 Určete hodnotu výrazu pro x ( 0; π 6 ). 1 bod Využijeme základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi, které jsou na daném intervalu x (0; π 6 ) definovány. tg x = sin x tg x cotg x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 cos x tg 2 x + 1 = tg x cotg x sin2 x 1 Řešení: 1 ( sin x cos x ) cos2 x VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 1 sin = 2 x + cos 2 x ( cos 2 x) = 1 cos2 x Na obrázku jsou dány přímky p a q v kartézské soustavě souřadnic. max. 3 body 3.1 Určete odchylku φ zobrazených přímek p a q. Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně. Maturita z matematiky 05 7

8 Odchylku přímek lze spočítat pomocí odchylky jejich směrových vektorů. Přímky jsou dle obrázku definovány takto: {[ 2; 1]; [1; 3]} p; {[ 2; 4]; [3; 2]} q Určíme jejich směrové vektory. s p = (1 ( 2); 3 1) = (3; 2); s q = (3 ( 2); 2 4) = (5; 6) Dosazením do vzorce pro výpočet odchylky přímek získáme hodnotu odchylku φ zobrazených přímek p a q. cos φ = s p s q = ( 6) s p s q ( 6) = φ = arccos = Přímky svírají úhel 84. Řešení: φ = Určete souřadnice bodu M, který je průsečíkem přímek p a q. Přímka p = {[ 2 + 3t; 1 + 2t; t R]}, přímka q = {[ 2 + 5s; 4 6s; s R]}. Budeme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých t = 2 + 5s 1 + 2t = 4 6s 4 6t = 4 10s 3 + 6t = 12 18s 7 = 16 28s s = 9 M[ ; ] M[ 11 ; ] M[ 11 ; ] Přímky se protínají v bodě M[ 11 ; ]. Řešení: M[ 11 ; ] VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Na dřevěné hrací desce je 5 6 polí, na které jeden hráč umísťuje 15 stejných kamenů ve tvaru kosočtverce a druhý 15 identických kamenů oválných. Hráč si připíše body například za dvojici či trojici svých kamenů stojících vedle sebe, výše bodované jsou vedle sebe stojící čtveřice, ještě lépe čtveřice stojící tak, jak vlevo nahoře zobrazuje obrázek takových bodovaných kombinací nabízí hra více. Ve hře tedy rozhoduje vzájemná poloha kamenů vedle sebe. 1 bod 4 Určete, kolik možností rozložení kamenů na hrací ploše existuje, kameny stejného tvaru jsou zaměnitelné. 8 Maturita z matematiky 05

9 Při hře vlastně kameny jenom přemísťujeme opakující se kameny (permutace s opakováním), konkrétně 15 kosočtvercových (k 1 = 15) a 15 oválných kamenů (k 1 = 15), tedy 30 kamenů celkem (n = 30). Použijeme tedy vztah P n (k 1 ; k 2 ) = n! k1! k 2!, kde k + k = n. 1 2 V našem případě tedy P 30 (15; 15) = 30! = ! 15! Řešení: VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Čísla a, b a k jsou přirozená čísla. Nejmenším společným násobkem čísla a, které je k násobkem čísla 32, a čísla b, které je k násobkem čísla 24, je číslo Určete číslo k. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. max. 2 body Vyjádříme obě čísla pomocí rozkladu na součin mocnin prvočísel a určíme jejich nejmenší společný násobek. Uvědomme si, že je-li číslo a násobkem čísla k a číslo b taktéž, je i jejich nejmenší společný násobek násobkem čísla k. a = 32k = 2 5 k; b = 24k = 2 3 3k; k N N(a, b) = 2 5 3k = = k = 3 5 = 15 Řešení: k = 15 6 Řešte v množině racionálních čísel rovnici x = 1 2x. max. 2 body x = 1 2x 2 x = 1 4x + 4x 2 1 5x + 4x 2 = 0 1 x 4x + 4x 2 = 0 (1 x)(1 4x) = 0 x = 1 x = 1 4 Provedeme zkoušku a na základě ní rozhodneme, že řešením je pouze x = 1 4. Řešení: x = 1 4 Maturita z matematiky 05 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána krychle o hraně délky a. Do krychle je vepsána koule tak, že se dotýká krychle ve středech jejích stěn. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Objem koule je větší než 3 4 objemu krychle. 7.2 Povrch koule je větší než 1 2 povrchu krychle. 7.3 Tělesová úhlopříčka krychle je rovna čtyřnásobku poloměru koule. 7.4 Stěnová úhlopříčka krychle je rovna trojnásobku poloměru koule. ANO NE 7.1 4π( a Krychle má povrch a 3. Koule má poloměr a 2 ) 3. Její objem je tedy = 2 3 Tvrzení je nepravdivé. 4π 24 a 3 = π 6 a 3 = 0,52a Krychle má povrch 6a 2. Koule má poloměr a. Její povrch je tedy 2 4π( 1 2 ) 2 = πa 2 = 3,14a 2. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Krychle má tělesovou úhlopříčku délky a 3. Koule má poloměr a. Poměr velikosti poloměru koule 2 a délky tělesové úhlopříčky krychle je a 3 = 2 3 = 3,46. Tvrzení je nepravdivé. a Krychle má stěnovou úhlopříčku délky a 2. Koule má poloměr a. Poměr velikosti poloměru koule 2 a délky tělesové úhlopříčky krychle je a 2 = 2 2 = 2,8. Tvrzení je nepravdivé. a 2 Řešení: NE, ANO, NE, NE 10 Maturita z matematiky 05

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Výraz v = 1,2 (0,8 1,3x + 50) vyjadřuje, jak byl výrobek s původní cenou x postupně zdražován a zlevňován, až dosáhla jeho cena hodnoty v. Ceny jsou uvedeny v Kč. 2 body 8 Která z možností A E popisuje, jaké změny v ceně výrobku dle výrazu v proběhly? A) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 50 Kč, potom třikrát zvýšena, napřed o 130 %, potom o 80 % a nakonec o 120 %. B) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 30 %, poté o 20 % snížena, poté vrácena na původní výši a nakonec byla ještě navýšena o 50 Kč. C) Cena výrobku byla postupně zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 % a nakonec opět zvýšena o 20 %. D) Cena výrobku byla zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 Kč a nakonec opět zvýšena o 20 %. E) Cena výrobku byla zprvu zvýšena o 20 %, poté snížena o 20 %, následně zdražena o 30 % a nakonec navýšena ještě o 50 Kč. Budeme-li postupovat dle výrazu, musíme si uvědomit, které operace byly provedeny dříve a které později. x 1,3x 0,8 1,3x 0,8 1,3x ,2 (0,8 1,3x + 50) = v Zvýšení ceny o 30 % Snížení ceny o 20 % Zvýšení ceny o 50 Kč Zvýšení ceny o 20 % Této posloupnosti kroků odpovídá pouze možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 05 11

12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Do čtverce o hraně délky 2r je vepsán kruh o poloměru r tak, že jejich středy splývají. V jednom z bodů jejich dotyku je střed dalšího kruhu, jehož obvodová kružnice prochází sousedními body dotyku původního kruhu a čtverce. 2 body 9 Který z výrazů A E vyjadřuje obsah vyšrafované části v závislosti na rozměru r? A) r 2 (π 1) B) 3r 2 C) πr 2 D) 4r 2 E) r 2 (π + 2) Zrekapitulujme si rozměry útvarů. Čtverec má stranu délky 2r, menší z kruhů má poloměr r a poloměr většího z kruhů si musíme dopočítat. I z obrázku je vypozorovatelné, že je úhlopříčkou ve čtverci s délkou strany r, má tedy rozměr r 2. Vyšrafovaná část představuje součet dvou ploch půlkruhu (polovina obsahu menšího z kruhů) a kruhové úseče oddělené od většího z kruhů (tětiva je střední příčkou čtverce odpovídá tedy dle zadání středovému úhlu 90 ). Obsah šrafované plochy získáme tedy ze vztahu: S = πr2 + (r 2)2 2 2 ( π 90 sin 90 a ) = πr2 + 2r2 2 2 ( π 2 1) = πr2 + 2πr2 2r2 = πr 2 r 2 = r 2 (π 1) Správně je možnost A. Řešení: A 12 Maturita z matematiky 05

13 10 Přiřaďte každé z funkcí ( ) její maximální definiční obor (A F). max. 4 body 10.1 y = log 3(3 x) x 10.2 y = log 3x x y = 3 x log3 x 10.4 y = log 3 (3 x) + x A) x (0; 3) (3; + ) B) x (0; 3) C) x ( ; 1) (1; 3) D) x ( ; 0) (0; 3) E) x (0; 1) (1; 3 F) x 0; 3) 10.1 y = log 3(3 x) x 3 x > 0 x 0 x ( ; 0) (0; 3) Řešení: D 10.2 y = log 3x x 3 x > 0 x 3 0 x (0; 3) (3; + ) Řešení: A 10.3 y = 3 x log3 x 3 x 0 log x 0 x > x x 1 x > 0 x (0; 1) (1; 3 Řešení: E 10.4 y = log 3 (3 x) + x 3 x > 0 x 0 x 0; 3) Řešení: F KONEC TESTU Maturita z matematiky 05 13

14 14 Maturita z matematiky 05

15 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod φ = 84 1 bod M[ 11 ; ] 2 body bod 5 Vyjádříme obě čísla pomocí rozkladu na součin mocnin prvočísel a určíme jejich nejmenší společný násobek. Uvědomme si, že je-li číslo a násobkem čísla k a číslo b taktéž, je i jejich nejmenší společný násobek násobkem čísla k. a = 32k = 2 5 k; b = 24k = 2 3 3k; k N N(a, b) = 2 5 3k = = k = 3 5 = 15 max. 2 body Řešení: k = 15 6 x = body 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 NE 8 D 2 body 9 A 2 body Maturita z matematiky 05 15

16 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b D 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b A 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b E 10.4 F 16 Maturita z matematiky 05

17 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod bod body 4 1 bod 5 max. 2 body 6 2 body 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body Maturita z matematiky 05 17

18 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 05