Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou pohybů rozlišujeme: 1. vrh svislý vzhůru 2. vodorovný vrh 3. šikmývrh Vrhsvislývzhůrujesloženýpohyb,přiněmžmárychlost v 0 rovnoměrného pohybu opačný směr než tíhové zrychlení g(viz čl. 5.3). R5.1 Vodorovný vrh Vodorovnývrhkonátěleso,kterébylovrženorychlostí v 0 vodorovnýmsměrem. Vektor rychlosti v 0 tedy svírá s vektorem tíhového zrychlení g úhel α=90.působenímtíhovésílysetrajektorie pohybu zakřivuje a tvoří ji část paraboly s vrcholem v místě vrhu. Popíšeme trajektorii vodorovného vrhu v souřadnicové soustavě Oxy (obr. R5-1). Těleso je v počátečním okamžikuvbodě Avevýšce hnadvodorovnou rovinou. Za dobu t urazí těleso ve vodorovném směru dráhu rovnoměrného pohybu v 0 t a ve svislém směrudráhuvolnéhopádu 1 2 gt2,takže souřadnice x, ytělesavbodě Bjsou: x= v 0 t y= h 1 2 gt2 h y A O v 0 x= v 0 t B d 1 2 gt2 y= h 1 2 gt2 D x Obr. R5-1 V místě dopadu má těleso souřadnice x = d a y = 0. To znamená, že na vodorovnou rovinu těleso dopadne za dobu 2h t d = g,
R5.1 Vodorovný vrh 21 což je doba volného pádu tělesa z výšky h. Vzdálenost, do které těleso dopadne, čili délka vodorovného vrhu: 2h d= v 0 t d = v 0 g Příklad Těleso je vrženo vodorovným směrem z výšky 80 m počáteční rychlostí 20m s 1.Určete:a)souřadnicepolohytělesaza3sodpočátkupohybu; b) vzdálenost, do které těleso dopadne. Řešení h=80m, v 0 =20m s 1, t=3s; x=?, y=?, d=? a) Výpočet souřadnic: x= v 0 t=20 3m=60m y= h 1 2 gt2 = (80 1 ) 2 10 32 m=35m b) Výpočet délky vodorovného vrhu: 2h d= v 0 g =20 2 80 10 m=80m Otázky a úlohy Úlohyřeštepro g=10m s 2. 1 Míčvrženývodorovnýmsměremrychlostí12m s 1 dopadlnazemza 3s.Zjakévýškybylhozen?Jakdalekodopadl? [45m,36m] 2 Určete, jakou rychlostí dopadl kámen vržený z výšky 5 m vodorovným směrem, když dopadl do vzdálenosti 10 m vodorovně od místa, z něhož bylvržen. [14m s 1 ] 3 Z vodorovné trubky umístěné ve výšce 1,25 m stříká voda do vzdálenosti 1,5modústítrubky.Určetevýtokovourychlostvody. [3,0m s 1 ] 4 Střela vystřelená z armádní pušky AK-47 opouští hlaveň rychlostí 715m s 1.Ojakouvzdálenoststřelaminecíl,jestližejevystřelenavodorovnýmsměremnacílvevzdálenosti100m,kterýjevestejnévýšce jako puška? Odpor vzduchu je zanedbatelný. [ 9,6 cm]
R5 GRAVITAČNÍ POLE 22 R5.2 Šikmý vrh vzhůru Šikmývrhvzhůrukonátěleso,jehožvektorpočátečnírychlosti v 0 svírásvodorovnou rovinou elevační úhel α. Opět si představíme, že těleso se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem ve směru šikmo vzhůru a současně se pohybuje volným pádem ve směru svislém. Trajektorie pohybu je část paraboly, jejížvrchol Cjevjejímnejvyššímbodě(obr.R5-2). y v 0 sinα O= A v 0 α v 0 cosα x= v 0 tcos α v 0 tsinα C d B 1 2 gt2 y= v 0 tsinα 1 2 gt2 D x Obr. R5-2 Trajektorii znázorníme v souřadnicové soustavě Oxy tak, že místo vrhu Amásouřadnice x 0 =0, y 0 =0.Souřadnicebodu B,vněmžseocitnetěleso v čase t od počátku pohybu, jsou: x= v 0 tcos α y= v 0 tsinα 1 2 gt2 Délku šikmého vrhu d určíme ze souřadnic bodu D, do kterého těleso dospějezadobupohybu t d.pro x D = dje y D =0aplatí: v 0 t d cos α= d v 0 t d sin α 1 2 gt2 d =0 Odtud najdeme, že doba pohybu tělesa t d = 2v 0sinα, g apodosazenídovztahupro dnajdemeprodélkuvrhuvztah d= 2v2 0 g sinαcos α= v2 0 g sin2α.
R5.2 Šikmý vrh vzhůru 23 Délka vrhu závisí na druhé mocnině velikosti počáteční rychlosti v 0 a na elevačním úhlu α. Při téže počáteční rychlosti je délka vrhu největší pro elevačníúhel45 (sin2α =1).Přimenších,popř.většíchelevačníchúhlech jedélkavrhumenší.jevšakstejnáprodvojicedoplňkovýchúhlů(např.30 a60,obr.r5-3). y 20 70 15 60 10 5 20 30 45 0 10 20 30 40 x Obr. R5-3 Příklad Tělesobylovrženošikmovzhůrupočátečnírychlostí30m s 1 podúhlem 60.Určetea)polohutělesavčase t =2s,b)výškuvrhu,c)délkuvrhu. Řeštepro g=10m s 2. Řešení v 0 =30m s 1, α=60 ; x=?, y=?; h=?; d=? a) Polohu tělesa určují souřadnice: x= v 0 tcos α=30 2 cos60 m=30m y= v 0 tsinα 1 2 gt2 = (30 2 sin60 1 ) 2 9,81 4 m 32m b)kurčenívýškyvrhupotřebujemezjistitdobuvýstupu t v dotétovýšky, čili čas, v němž bude rychlost ve svislém směru nulová: v 0 sin α gt v =0 t v = v 0sin α g Výškavrhu hodpovídánejvětšíhodnotěsouřadnice y(h=y max ),kterou
R5 GRAVITAČNÍ POLE 24 dosáhne za dobu výstupu: c) Délka vrhu: h=v 0 t v sinα 1 2 gt2 v = v2 0 sin2 α g = v2 0 sin2 α 2g d= v2 0 g = 302 sin 2 60 2 10 1 2 v 0 m 34m sin2α= 302 10 sin120 m 78m ( v0 sin α ) 2= g Šikmý vrh ve vzduchu je ovlivněn působením odporové síly a parabolická trajektorie se deformuje. Při střelbě se tato trajektorie označuje jako balistická křivka.největšídélkavrhu d sedosahujepřielevačnímúhlu45 (obr.r5-4) a nazývá se dostřel. y ve vakuu v 0 ve vzduchu O d d x Obr. R5-4 Otázky a úlohy Úlohyřeštepro g=10m s 2. 1 Přivýstřelusvíráhlaveňpuškyúhel30 astřelahlaveňopouštírychlostí 500m s 1.Určetecelkovoudobupohybustřelyavzdálenost,dokteré dopadne. [50 s; 22 km] 2 Helena Fibingerová vytvořila v roce 1977 světový halový rekord ve vrhu koulí 22,50 m. Určete optimální podmínky pro vytvoření tohoto atletického výkonu, pokud by vrh probíhal podle zákonitosti šikmého vrhu. [α=45, v 0 15m s 1 ] 3 Do jaké vzdálenosti by koule z úlohy 2 doletěla na Měsíci, jestliže zrychlení volného pádu na Měsíci je přibližně g/6? [136 m]
R5.3 Kruhová r ychlost 25 4 Chlapec hodil míč rychlostí 10m s 1 pod úhlem 45. Míč se odrazil odsvisléstěnyvevzdálenosti3modchlapce.vjakévýšcevzhledem kmístu,zněhožbylhozen,míčnarazilnastěnu? [2,1m] 5 Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu vzhůru, aby výška vrhu byla rovnadélcevrhu? [α 76 ] 6 Napište vztahy pro souřadnice x, y tělesa, které bylo z výšky h vrženo šikmo dolů. R5.3 Kruhová rychlost V článku 5.4 je uveden zjednodušený výpočet kruhové rychlosti, které musí dosáhnout umělá družice Země, aby začala kroužit v malé vzdálenosti nad povrchemzemě,kdeještěmůžemeuvažovat,žegravitačnízrychlení a g se příliš neliší od tíhového zrychlení g. Nyní odvodíme obecnější vztah pro velikost kruhové rychlosti, který platí i pro větší vzdálenosti od Země. Velikost kruhové rychlosti v k určíme následující úvahou. Na družici o hmotnosti m, která je ve vzdálenosti rodstředuzeměohmotnosti M Z,působígravitačnísíla F g ovelikosti F g = MZm r 2. Tato síla směřuje stále do středu Země (obr. R5-5), a vytváří tak dostředivou sílu F d ovelikosti F d = mv2 k, r r m R Z v k F g S M Z Obr. R5-5 která zakřivuje trajektorii družice do kružnice. Oba vztahy vyjadřují tedy tutéž sílu,proto F d = F g apodosazení mv 2 k r Odtud po úpravě v k = = M Zm r 2. M Z. r
R5 GRAVITAČNÍ POLE 26 Velikostkruhovérychlosti v k nezávisínahmotnosti mdružice.závisívšakna její vzdálenosti r od středu Země, tj. na poloměru trajektorie, kterou družice při pohybu opisuje. S rostoucí vzdáleností od Země se velikost kruhové rychlosti družice zmenšuje. Největší kruhovou rychlost by měla družice, která by se pohybovala v blízkostipovrchuzeměpokružniciopoloměru r blízkémpoloměruzemě R Z. Velikost kruhové rychlosti je pak v k = M Z R Z. Dovýrazudosadíme =6,67 10 11 N m 2 kg 2, M Z =5,98 10 24 kg, R Z = = 6,37 10 6 madostávámerychlost v k 7,9km s 1.Tojevelikostprvní kosmické rychlosti, tedy nejmenší rychlosti potřebné k tomu, aby raketa s družicí překonala zemskou gravitaci a pronikla do vesmíru. Pro technickou praxi jsou důležité tzv. stacionární družice, které setrvávají stále nad jedním místem povrchu Země a slouží pro telekomunikační účely (telekomunikační družice), především pro šíření televizního signálu, který přijímáme pomocí paraboly satelitního přijímače. Stacionární družice se umísņují nad rovníkem a pokrývají signálem rozsáhlé území. K pokrytí téměř celého povrchu Země v podstatě postačují tři stacionární družice(obr. R5-6). 120 120 pól Země 120 Obr. R5-6 Určíme, v jaké výšce nad rovníkem se stacionární družice nachází. Aby setrvávala stále nad jedním místem povrchu Země, musí být její oběžná doba totožnásperiodouotáčenízemě,tzn. T. =24h=86400s.Družicevevýšce h
R5.3 Kruhová r ychlost 27 nadpovrchemzeměopoloměru R Z márychlost v= 2π(R Z+ h), T které odpovídá kruhová rychlost v dané výšce M Z v k = R Z + h. Poněvadž v= v k,dostanemepodosazeníaúpravěvztahprovýškustacionární družice h= 3 M Z T 2. R 4π 2 Z =36000km. Stacionárnídružicesepohybujívevýšcepřibližně h 5,6R Z. Otázky a úlohy 1 Jak velkou rychlostí se pohybuje Měsíc kolem Země? Jaká je doba jeho oběhu? Předpokládejte pohyb Měsíce po kružnici o poloměru r = =3,84 10 8 m. [1km s 1,27,4dne] 2 Jak velká rychlost by se musela udělit Měsíci na jeho současné trajektorii, aby se trvale vzdaloval od Země? Použijte výsledek úlohy 1. [1,4km s 1 ] 3 JakbysezměnilaoběžnádobaumělédružiceZemě,kdybysejejíhmotnost zvětšila na dvojnásobek? [ ] 4 Jakou rychlost má umělá družice Země ve vzdálenosti 2R Z od středu Země? [5,6km s 1 ] 5 V jaké výšce nad povrchem Země obíhá po kruhové dráze družice, která má poloviční rychlost, než je 1. kosmická rychlost? [ ] 6 Doba oběhu umělé družice, která se pohybuje v blízkosti povrchu planety, je T. Jaká je průměrná hustota planety? [ ] 7 Jakou polohu mají u nás antény pro satelitní příjem? Vysvětlete. [ ]
R5 GRAVITAČNÍ POLE 28 R5.4 Sluneční soustava Největším tělesem sluneční soustavy je Slunce(obr. R5-7). Jeho průměr je přibližně 109krát větší než průměr Země. Hmotnost Slunce činí přes 9% hmotnosti celé sluneční soustavy a je 333 000krát větší než hmotnost Země. Obr. R5-7 Slunce je jedna z mnoha hvězd naší Galaxie. Je hvězdou střední velikosti. Jehozářícípovrchovávrstvazvanáfotosféramáteplotuasi6000K.Veslunečnímnitruseodhadujeteplotaažna15 10 6 K. Kolem Slunce obíhají planety. Pět planet(merkur, Venuše, Mars, Jupiter a Saturn) lze pozorovat za vhodných podmínek pouhým okem. Z hlediska fyzikálních vlastností planet rozlišujeme planety podobné Zemi(Merkur, Venuše, Mars) a obří planety(jupiter, Saturn, Uran, Neptun). Z tohoto rozdělení planet se vymyká Pluto, který byl považován za nejvzdálenější planetu sluneční soustavy. Jeho rozměry i hmotnost jsou malé a za dráhou planety Neptun obíhá kolem Slunce více podobných těles, která mají srovnatelnou, nebo i větší hmotnost. Proto astronomové v roce 2006 rozhodli, že Pluto nebude řazen mezi základní planety sluneční soustavy a je považován za součást skupiny těles označovaných také jako transneptunická tělesa. Poměrné velikosti a trajektorie planet jsou zobrazeny v zeměpisných atlasech a údaje o planetách najdeme také v MFChT. Kolem většiny planet se pohybují měsíce. Největší počet měsíců mají planety Jupiter,SaturnaUran,bezměsícůjsouMerkuraVenuše.Vsoučasnédoběje v naší sluneční soustavě registrováno několik desítek měsíců.
R5.4 Sluneční soustava 29 Obr. R5-8 Obr. R5-9 Nejlépe prozkoumaným měsícem je náš Měsíc. Poněvadž doba rotace MěsícejestejnájakodobajehooběhukolemZemě,obracíknámMěsícstálestejnou polokouli(obr. R5-8). Odvrácená strana Měsíce byla zmapována teprve ve 2. polovině 20. století pomocí fotografií z kosmických sond(obr. R5-9). První snímky byly získány v roce 1959 pomocí kosmické sondy Luna 3. Významnou událostívevýzkumuměsícebylavroce1969americkámiseapollo11,při níždne20.červencevstoupilinapovrchměsíceprvnílidé N.Armstronga B. Aldrin(obr. R5-10). Obr. R5-10
R5 GRAVITAČNÍ POLE 30 Další tělesa sluneční soustavy jsou planetky. Velký počet planetek se pohybuje mezi dráhami Marsu a Jupiteru. Planetky mají průměry od několika metrů do několika set kilometrů. Jedna z největších planetek Ceres má průměr asi1000km. Pozoruhodnými tělesy naší sluneční soustavy jsou komety (obr. R5-11), které se pohybují kolem Slunce po velmi protáhlých elipsách(s velkou výstředností). Podstatnou částí komety je jádro o průměru několika kilometrů. Je tvořeno shlukem menších těles, z něhož se v blízkosti Slunce uvolňují prachové částice a plyny, které pak vytvářejí ve sluneční záři rozsáhlou svítící atmosféru komety zvanou koma. Při větším množství prachových částic vzniká zářící chvost komety, dlouhý až několik milionů kilometrů. Nejznámější kometou je Halleyova kometa, jejíž oběžná doba je 76 let. Naposledy byla tato kometa nejblíže ke Slunci v roce 1986. Obr. R5-11 Obr. R5-12 Komety mají omezenou životnost. Postupně se rozpadají a vytvářejí tak meteorické roje. Ty jsou tvořeny tělesy o velikosti drobných zrnek až velkých kusů o hmotnosti několika tun a označujeme je jako meteoroidy. Pohybují se po eliptických drahách, které protínají dráhu Země. Jestliže Země prochází průsečíkem těchto drah, vnikají meteoroidy velkou rychlostí do zemské atmosféry, rozžhavují se a jejich zářící stopu na noční obloze nazýváme meteor (obr. R5-12). Menší částice se v atmosféře vypaří. Zbytky větších meteoroidů někdy dopadnou na zemský povrch a nazýváme je meteority. Rozsáhlý prostor mezi jednotlivými tělesy sluneční soustavy není zcela prázdný, ale obsahuje velmi drobné částice prachu a plynů, převážně vodíku. Tyto částice tvoří tzv. meziplanetární látku. Kromě přirozených těles se nachází ve sluneční soustavě velký počet umělých těles. Jsou to zejména umělé družice Země, orbitální stanice, kosmické
R5.4 Sluneční soustava 31 sondy, raketoplány, kosmické lodi. Tato tělesa plní nejrůznější výzkumné a praktické úkoly. Pomocí nich získáváme nové poznatky o Měsíci, o nejbližších planetách, o složení meziplanetární látky. Díky nim mohou být studovány podmínky pobytu člověka mimo Zemi. Meteorologické družice Země umožňují spolehlivější předpovědi počasí, telekomunikační družice zajišņují přenos televizního signálu. Systém 24 nestacionárních družic obíhajících ve výšce přibližně 20 000 km je základem pro určování polohy pomocí navigace GPS (Global Positioning System),(obr. R5-13). Využívání umělých kosmických těles výrazně ovlivňuje rozvoj vědeckého poznání, kultury a techniky. Otázky a úlohy S použitím fyzikálních tabulek řešte následující úlohy. Obr. R5-13 1 Které planety sluneční soustavy mají větší hmotnost než je hmotnost Země? 2 Která planeta má nejkratší a která nejdelší oběžnou dobu? 3 Na které planetě je největší zrychlení volného pádu? 4 U kterých tří planet je největší úniková rychlost? 5 Ve kterém nejbližším roce můžeme opět spatřit Halleyovu kometu? 6 Vytvořte přehled klíčových událostí při kosmickém výzkumu Měsíce. 7 Z internetových zdrojů zjistěte údaje o družicích navigace GPS.