Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Transkript

1 Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1

2 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi Zadání Řešení Závěr Pohyb tělesa noční oblohou 5.1 Zadání Řešení Závěr Obsah trojúhelníku Zadání Řešení Závěr Seznam obrázků 1 Grafické zadání Náčrtek

3 1 Průlet tělesa skrz Zemi 1.1 Zadání Zemí (homogenní koule) je provrtán otvor procházející od pólu skrz zemský střed k druhému pólu. Nad tímto otvorem pustíme těleso o hmotnosti m a necháme ho padat. Určete rychlost tělesa v a dobu průletu t(r-) z jednoho pólu na druhý za předpokladu, že na těleso působí pouze gravitační síla F závislá na vzdálenosti r od středu Země a Zemi můžeme po dobu pádu považovat za nerotující inerciální vztažnou soustavu. Odpor prostření zanedbejte km, g9,83m/s na pólech. Počáteční podmínky: v(t0)0, r(t0). 1. Řešení Ze symetrie vyplývá, že gravitační síla ve středu Země je nulová. Na jejím povrchu je dána vztahem Fmg a mezi středem a povrchem narůstá přímo úměrně vzdálenosti od středu Země F mgr. (Pro sféricky symetrická tělesa platí, že pod jejich povrchem se uplatňuje gravitační síla pouze z kulové části o poloměru od pozorovatele ke středu koule.) ma mgr a gr dv dx dr dt gr dv dr v gr vdv g r rdr 1 v g [1 r ] r 1 v 1 g ( r ) zákon zachování energie g v ( r ) (1) dr g dt ( r ) dt r dr g[1 ( r ) ] 3

4 t [arcsin( r )]r g t g [arcsin( r ) arcsin( ) ] }{{} () π arcsin( r g ) t + π r g sin( t + π ) g r sin( t + π ) g r cos(t ) (3) Do rovnice (1) dosadíme r0 a vypočítáme tak maximální rychlost tělesa. g v max ( ) g v max 9, v max 790 m/s (4) Pro výpočet doby průletu t z jednoho pólu na druhý dosadíme do rovnice () r-. t g [arcsin( ) π ] t 9, 83 [ π π ] t 530 s 4 minut (5) 1.3 Závěr Z odvozeného vztahu (1) plyne, že maximální rychlosti dosahuje těleso právě ve středu Země, kdežto při pólech na jejím povrchu je rychlost nulová. A pohybová rovnice tělesa - rovnice (3) - nám říká, že se jedná o harmonické kmitání. 4

5 Pohyb tělesa noční oblohou.1 Zadání Po noční obloze se konstantní rychlostí po přímce pohybuje těleso, které v pravidelných intervalech vysílá světelný signál. Jestliže jsme zaznamenali tři vyslané signály, určete odkud přijde následující; tj. jestliže známe velikost úhlu α a β, určete úhel γ viz obrázek (1). zadání.jpg Obrázek 1: Grafické zadání. Řešení Z obrázku (1) vyplývají následující vztahy: x sin(α + β) 3x sin(α + β + γ) x sin β b sin A c sin A b sin(a + α) (6) (7) (8) 5

6 x sin(β + γ) c sin(a + α) (9) Ze vztahů (6) a (7) vyjádříme sin A a položíme je sobě rovny. b sin(α + β) x b c c sin(α + β + γ) 3x sin(α + β + γ) 3 sin(α + β) (10) Ze vztahů (8) a (9) vyjádříme sin(a + α) a položíme je sobě rovny. b sin β x b c c sin(β + γ) x sin(β + γ) sin β (11) Vztahy (10) a (11) položíme sobě rovny. sin(α + β + γ) 3 sin(α + β) sin(β + γ) sin β 4 sin(α + β + γ) sin β 3 sin(α + β) sin(β + γ) 4[sin(α + β) cos γ + cos(α + β) sin γ] sin β 3 sin(α + β)(sin β cos γ + cos β sin γ) 4(sin(α + β) + cos(α + β) tan γ) sin β 3 sin(α + β)(sin β + cos β tan γ) tan γ 4 sin(α + β) sin β 3 sin(α + β) sin β 3 sin(α + β) cos β 4 cos(α + β) sin β tan γ 4 sin(α + β) sin β 3 sin(α + β) sin β 3 sin(α + β) cos β 4 cos(α + β) sin β tan γ sin(α + β) sin β 3 sin α sin β cos α cos β + sin α sin β tan γ sin(α + β) sin β 3 sin α sin β cos(α + β) (1).3 Závěr Odvodila jsem vztah (1) pro výpočet úhlu γ, kde nám stačí pouze dosadit známé velikosti úhlů α a β. 6

7 3 Obsah trojúhelníku 3.1 Zadání Mějme kružnici se středem S a poloměrem r. Body A a B leží na kružnici. Úhel ASB se rovná α. Úsečka AB rozděluje kruh se středem S a poloměrem r na dvě části o velikosti S 1 a S 4 a platí, že S 1 je menší nebo rovno S 4. Mějme bod C ležící na kružnici k takový, že úsečka AC rozdělí plochu S 4 na dvě stejně velké plochy, a bod D ležící na kružnici k takový, že úsečka BD taktéž rozdělí plochu S 4 na dvě stejně velké plochy. Průsečík úsečky AC a BD nazvěme E. Pomocí úhlu α vyjádřete obsah S 3 trojúhelníku ABE. Obrázek : Náčrtek 3. Řešení kde β je velikost úhlu ASC. S ABS r sin( α )r cos(α ) (13) S 1 πr 360 α r sin( α ) cos(α ) (14) S πr S 1 (15) S πr 360 β r sin( β ) cos(β ), (16) 7

8 Dosazením S 1 ze vztahu (14) do vztahu (15) a následným porovnáním vztahů (15) a (16) dostáváme: πr πr 360 α r sin( α ) cos(α ) πr 180 β r sin( β ) cos(β ) (17) π π 360 α sin(α ) cos(α ) π 180 β sin(β ) cos(β ) (18) Součet úhlů BAS a SAE označíme γ (velikost úhlu BAE). 3.3 Závěr γ 180 α β ( 360 α β ) (19) S 3 [r sin( α )] [r sin(α ) tan γ] (0) S 3 r sin ( α ) tan(360 α β ) (1) Vyjádřením úhlu β z rovnice (18) a dosazením do rovnice (1) získáme rovnici pro výpočet obsahu S 3 trojúhelníku ABE závislou pouze na velikosti úhlu α. Závislost β na α získáme zadáním příkazu Solve[π π 360 α sin(α ) cos(α ) π 180 β sin(β ) cos(β ), β]. () A graf závislosti S 3 na α zadáním příkazu Plot[r sin ( α ) tan(360 α β ), {α, 0, π}, AxesLabel {S 3, α}, Plotange Full], (3) za β dosadíme řešení z (). 8