Politická síla. Semestrální práce MAB. Jakub Štaif A08B0116P

Transkript

1 Semestrální práce MAB A08B0116P

2 Obsah 1 Úvod Shapley-Shubikův index síly (Shapley-Shubik index of power) Teorie hlasovacích bloků Banzhafův index síly (The Banzhaf index of power) Evropské společenství Poslanecká sněmovna Parlamentu České republiky Zdroje: Další odkazy:... 9 Stránka 2

3 1 Úvod Moc je základním subjektem studia politických věd. Jak ale spolehlivě určit, kdo má jakou moc? Intuitivní řešení nemusí být vždy správné, což se pokusím rozebrat v této práci. Uvažujme standardní hlasovací systém, kde se hlasuje o přijetí nebo zamítnutí návrhu ( Yes- No voting ). Dále zavedeme sílu hlasu tak, že hlas některých členů má větší hodnotu než hlas jiných členů. To v praxi není nijak neobvyklé, jak bude ukázáno dále na příkladech. Předem určený počet hlasů (obvykle nejmenší možná většina, nebo více) je potřebný pro schválení návrhu. Na první pohled se tedy může zdát, že člen A, který má dvojnásobný počet hlasů než člen B má dvakrát větší moc než člen B. To ovšem nemusí být ve všech příkladech pravda. Proč to není vždy pravda, je hlavním tématem této práce. 2 Shapley-Shubikův index síly (Shapley-Shubik index of power) Shapley-Shubikův index síly je jedním ze základních způsobů, jak určit celkovou sílu jednotlivce ve váženém hlasovacím systému, kde pro přijetí je potřebná určitá hranice hlasů. Napřed ale některé důležité pojmy. Permutace n prvků je počet všech možných různých n-prvkových uspořádání. V matematice se obvykle značí! a nazývá se faktoriál. Je zřejmé, že pro =1 je! = 1, pro =2 je! = 2, ale třeba pro =5 je! = 120. S rostoucím počtem prvků tedy počet permutací roste velmi rychle, dokonce rychleji než exponenciálně. Pivot je člen, jehož připojení k nevýherní koalici z ní učiní koalici výherní. Nevýherní koalice je množina členů, jejichž celkový součet hlasů nestačí k prosazení návrhu. Výherní koalice je opak. Nejlépe je funkce pivota vidět na příkladu. Uvažujme hlasovací útvar o 7 členech, označme je p1,p2,,p7. Každý člen tohoto útvaru má jeden hlas. Pro přijetí návrhu je potřebná nadpoloviční většina, tedy 4 hlasy. Počet všech možných uspořádání (permutací) této 7-prvkové množiny je Pro ukázku zvolíme pouze jedno uspořádání, například: Jelikož prázdná koalice je nevýherní a úplná koalice výherní je, musí existovat nějaký člen, který je pivotem. Postupujeme zleva doprava a postupně sčítáme hlasy vznikající koalice. Jednočlenná koalice 3, dvoučlenná koalice 3 5 ani tříčlenná koalice dohromady většinu nedají. Připojením člena 7 získáme čtyřčlennou koalici , která již má 4 hlasy a je tedy výherní. Pivotem je tedy člen 7. Stránka 3

4 Nyní již můžeme definovat způsob, jakým se vypočte Shapley-Shubikův index (SSI). Pro každé možné uspořádání členů určíme pivota. V našem případě, kde bylo 5040 různých uspořádání, bude stejný počet pivotů. = Je zřejmé, že pro každé p platí: =1 č řá á í, ý h č š h ž ý h řá á í Není příliš náročné vypozorovat, že pro člena, který má většinu sám platí: =1. Ostatní členové tedy nemají žádnou sílu, přestože mají hlasy. Příklad: Uvažujme tříčlenný hlasovací systém takový, že člen A má 50 hlasů, člen B 49 hlasů a člen C 1 hlas. Pro přijetí návrhu je potřeba většina 51 hlasů. Celkem tedy existuje 6 různých uspořádání členů, které je znázorněno níže. Tučně je v každém uspořádání vyznačen pivot.,,,,, A je tedy pivotem celkem ve 4 případech. B a C vždy v jednom. Platí tedy: = 4 6, =1 6, =1 6 Může se tedy zdát zvláštní, že ačkoliv B má 49 krát více hlasů než C, síla jeho hlasů je stejná. 3 Teorie hlasovacích bloků Zajímavého výsledku dosáhneme, pokud budeme uvažovat uskupení několika členů, kteří vždy hlasují stejně, takzvaný blok. Uvažujme USA jako hlasovací orgán se 100 členy (2 za každý stát). Každý člen má jeden hlas a pro přijetí návrhu je potřebná většina 51 hlasů. Nyní nastane situace, že 12 členů se rozhodne, že bude vždy hlasovat společně, utvoří tedy blok. Lze je tedy brát za jednoho člena, který má 12 hlasů. Počet hlasujících tedy klesne na 89. Když spočteme SSI pro takto utvořený blok, dostaneme hodnotu 12/89. Tento blok má tedy podíl hlasů 12/100, ale síla jeho hlasů je 12/89, což je větší číslo. Lze tedy tvrdit, že řetěz je víc, než součet jeho článků. Stránka 4

5 4 Banzhafův index síly (The Banzhaf index of power) Banzhafův index síly je další způsob, jak určit sílu hlasů člena. Postup je obdobný jako u Shapley-Shubikova indexu. Při výpočtech budeme používat takzvanou celkovou Banzhafovu sílu člena. podmínky: Celková Banzhafova síla člena, značena jako, je počet koalic C, splňujících 1. p je členem koalice C 2. C je výherní koalice 3. Pokud p opustí koalici C, stane se koalice C nevýherní Ztráta člena p je pak nazývána jako kritická. Na rozdíl od Shapley-Shubikova indexu je TBP celé číslo. Pro srovnání konstruujeme zlomek, kde v čitateli je Banzhafova síla člena p a ve jmenovateli počet všech možných výherních koalic. Tento zlomek budeme značit BI. Opět platí, že 0 1 a součet všech TBP je 1. Příklad: Uvažujme stejný systém, jako v předchozím příkladu. Máme tedy tříčlenný hlasovací systém. A má 50 hlasů, B má 49 hlasů a C má hlas jeden. Všechny výherní koalice jsou: Platí tedy: = 1, 2, 3 = 1, 2 = 1, 3 1 =3, 2 =1, 3 =1 1 = 3 5, 2 =1 5, 3 =1 5 Je tedy vidět, že počet přípustných kombinací, které jsou brány v úvahu při výpočtu BI je menší než u SSI (uvažujeme pouze výherní koalice). Tato metoda bere v úvahu pouze kritickou ztrátu člena ve výherní koalici. Nebere v potaz, kolik členů koalice má takovou vlastnost. Řekněme, že pokud pouze ztráta člena p z koalice je kritická, tak jeho moc bude větší, než když ztráta každého člena uvnitř koalice je kritická. Úpravou Banzhafova indexu tak, aby bral v úvahu počet členů, jejichž ztráta je kritická, získáme Johnstonův index moci. Navíc můžeme uvažovat pouze minimální koalice splňující výše uvedené vlastnosti. Je logické, že je výhodnější utvořit dvoučlennou koalici, která má většinu, než tvořit koalici tříčlennou, která Stránka 5

6 bude mít také většinu. Tato úprava spolu s dalšími podmínkami modelu definuje takzvaný Deegan- Packelův index moci. 5 Evropské společenství Velmi jednoduchým praktickým příkladem, na kterém lze demonstrovat výpočet moci je původní Evropské společenství z roku ES bylo tehdy tvořeno 6 státy Německo, Francie, Itálie, Belgie, Nizozemsko a Lucembursko. Pro hlasování bylo zavedeno, že Německo, Itálie a Francie budou mít 4 hlasy. Belgie a Nizozemsko budou mít 2 hlasy a Lucembursko bude mít 1 hlas. Pro přijetí byla potřebná většina 12 hlasů z celkových 17. Při výpočtu pomocí SSI Francie je potřeba brát v potaz, jak musí být uspořádány hlasy, aby Francie byla pivotem. Jelikož Francie má 4 hlasy, pak aby byla pivotem, musí počet hlasů před Francií být mezi 8 až 11. Pro každý z těchto 4 případů lze dopočítat různé možnosti rozdělení daného počtu hlasů. Celkem dostaneme, že Francie je pivotem celkem ve 168 případech ze 720 celkových (6!). Totéž platí pro Francii a Itálii, jelikož mají také 4 hlasy. Aby se Lucembursko stalo pivotem, muselo by mu předcházet celkem 11 hlasů, což z čísel 4,4,4,2,2 není možné. Lucembursko tedy nikdy nebude pivotem a jeho SSI = 0. Z podmínek pro výpočet SSI lze dopočítat hodnoty pro Belgii a Nizozemsko, jelikož mají stejný počet hlasů a jejich podíl na moci bude tudíž také stejný. Výsledky jsou v následující tabulce: Země Hlasy Procento hlasů SSI Síla hlasů BI Síla hlasů Francie / / Německo / / Itálie / / Belgie / / Nizozemsko / / Lucembursko Je tedy vidět, že ačkoliv Lucembursko má při hlasování 1 hlas, síla jeho hlasu je nulová, protože svým jedním hlasem nikdy nemůže rozhodnout o přijetí nebo nepřijetí návrhu (není tedy pivotem). Stránka 6

7 Nyní uvažujme případ, že dojde k rozšíření unie, hlasy budou přepočteny, ale procentuální minimum pro přijetí návrhu zůstane přibližně stejné. Přesně to se stalo v roce 1973, kdy do unie vstoupila Velká Británie, Dánsko a Irsko. V tabulce je nové rozložení hlasů: Francie 10 Belgie 5 Velká Británie 10 Německo 10 Nizozemsko 5 Dánsko 3 Itálie 10 Lucembursko 2 Irsko 3 Na první pohled by se mohlo zdát, že vstupem nových zemí, byla síla původních zemí oslabena, díky zvětšení počtu hlasujících a tedy i možností, jak utvořit výherní koalici. To nemusí být vždy pravda, jak je vidět na příkladě Lucemburska. Při takovémto rozložení hlasů již není problém, najít alespoň 1 uspořádání takové, že Lucembursko bude pivotem (bude jich dokonce více, než jedno). Jeho síla, která byla dosud 0, tedy vzrostla navzdory tomu, že do unie vstoupili noví členové. Lze ukázat, že síla Lucemburska by vzrostla stejnou měrou, i kdyby počet jeho hlasů zůstal stejný, jako předtím (tedy 1). Zatímco síla Německa, Itálie, Francie, Nizozemska a Belgie tedy příchodem nových členů poklesla (jak by se na první pohled zdálo zřejmé), síla Lucemburska vzrostla (což už tak zřejmé být nemusí). Tento zajímavý jev se nazývá Paradox nových členů (Paradox of New Members). 6 Poslanecká sněmovna Parlamentu České republiky Podobné zkoumání, jako v případě Evropského společenství lze udělat na příkladu Poslanecké sněmovny PČR. Poslance jedné strany budeme uvažovat jako jednoho hlasujícího, jehož váha hlasu bude počet poslanců. Pro výpočet indexu bude použita jednodušší Banzhafova metoda. Samozřejmě se jedná pouze o orientační případ, který nebere v úvahu názorové rozdělení (levice a pravice) a ochotu stran tvořit koalice. V následující tabulce jsou vypočtené údaje podle výsledků voleb v roce 2006: Strana Volební zisk Zisk mandátů Procento mandátů Síla mandátů (podle BI) ČSSD 32.32% ODS 35.38% KSČM 12.81% KDU-ČSL 7.22% SZ 6.29% Z tabulky je dobře vidět, že ačkoliv má KDU-ČSL téměř dvojnásobek hlasů než SZ, síla jejich hlasů je úplně stejná. Stejně tak ČSSD, které má 3 krát více hlasů než KSČM, má stejnou sílu hlasů. Stránka 7

8 V další tabulce jsou stejné údaje pro volby v roce 2010: Strana Volební zisk Zisk mandátů Procento mandátů Síla mandátů (podle BI) ČSSD 22.08% ODS 20.22% TOP % KSČM 11.27% VV 10.88% Opět lze pozorovat několik zajímavých faktů. TOP 09 má téměř o polovinu více hlasů než VV a KSČM, síla hlasů je u těchto 3 stran ale shodná. Paradox nových členů se neprojevil, jelikož počet členů zůstal stejný. Noví členové vystřídali ty staré. Ve srovnání obou tabulek si lze všimnout, že ačkoliv KSČM má stejný počet hlasů v obou obdobích, její síla hlasů klesla zhruba o 10%. Stránka 8

9 7 Zdroje: Taylor, Alan D. Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power and Proof, Springer-Verlag, New York, algoritmy pro výpočet indexu síly 8 Další odkazy: - stránka věnující se teorii her a volebnímu systému v EU - oficiální stránka profesora Johna F. Banzhafa III. Stránka 9