Od Pythagorovy věty k super-počítání

Transkript

1 Od Pythagorovy věty k super-počítání MODAM,. dubna 5 Dalibor Lukáš Kat. aplikované matematiky, FEI& IT4Innovations VŠB TU Ostrava web: am.vsb.cz dalibor.lukas@vsb.cz

2 Od Pythagorovy věty k super-počítání Matematika pro řešení náročných technických úloh aplikace matematika fyzika informatika

3 Od Pythagorovy věty k super-počítání Soustavy lineárních rovnic: RL obvod rovnice/neznámá } (R+ıωL)Î= U i(t)=re {Î(cos(ωt)+ısin(ωt) R i(t) =? u(t)=ucos(ωt) u (t) L u (t)

4 Od Pythagorovy věty k super-počítání Soustavy lin. rovnic: ultrazvuková detekce ponorky

5 Od Pythagorovy věty k super-počítání Soustavy lin. r.: monitorování tech. stavu letadel, projekt s Honeywell piezo-aktuátor trhlina piezo-snímač

6 Od Pythagorovy věty k super-počítání Soustavy l.r.: mag. pole elektromagnetu 8 milionů rovnic/neznámých úroveň počet hran PCG iter. CPU Mem min3s 69MB mins 834MB min 5,4 GB h8min 39,64GB CPU [s] n.5 x 7 hodina na notebooku 8 GFlops: Multigrid vyřeší 4 milionů rovnic

7 Od Pythagorovy věty k super-počítání Osnova Geometrie soustav lineárních rovnic Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Kvíz

8 Od Pythagorovy věty k super-počítání Osnova Geometrie soustav lineárních rovnic Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Kvíz

9 Pohled po řádcích Geometrie soustav lineárních rovnic.5. rovnice.5 x x + x = x x = x.5. rovnice x

10 Pohled po sloupcích Geometrie soustav lineárních rovnic.5 b x a x a x + x = x x = a ) ( x +x =:a ( ) =:a = ( ) =:b x.5.5 a x

11 Geometrie soustav lineárních rovnic Nejjednoduššísoustavy: x, x řešíme nezávisle.8 x a x = x =.6.4. ) ( x +x =:a ( ) =:a = ( ) =:b x a. a = x a x

12 Geometrie soustav lineárních rovnic x, x řešímenezávisle a a.8 b x a x x = x + x = ) ( x +x =:a ( ) =:a = ( ) =:b x a a x a x

13 Od Pythagorovy věty k super-počítání Osnova Geometrie soustav lineárních rovnic Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Kvíz

14 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Pythagorova věta.8 c b a + b = c,.6.4 kde a = a a jenormavektorua x y:= x y +x y +... x b a je skalární součin vektorů x

15 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Kolmost neboli ortogonalita t.j. a+b=c,.8 c b (a+b) (a+b)=c c,.6 t.j. a + b +a b= c. x.4. b Tedyproa,b : a b a b= a Míra kolmosti: cosα= a b a b..5.5 x

16 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Ortogonální projekce vektoru b na vektor(přímku) a.8 b e Hledám x R:.6 t.j. t.j. b xa=:e a, (b xa) a=, x= b a a a, P a(b):= xa. x a P a (b) x

17 Geometrie soustav lineárních rovnic x, x řešímenezávisle a a x x = x + x = ) ( x +x =:a ( ) =:a = ( ) =:b x a b a x a = P a (b) x a = P a (b) x = b a a, x = b a a x

18 Pythagorova věta a JPEG Projekce vektoru do(hyper)roviny: JPEG komprese bitmapa 5%-komprese Fourierovou bází

19 Pythagorova věta a JPEG JPEG: Fourierova L ortogonální báze fjk (x, y) := eıω(jx+ky) Re f(x, y) Re f(x, y) Re f(x, y) Re f(x, y) Re f3(x, y)..4. Re f3(x, y) Re f3(x, y) Re f3(x, y) Ortogonalita (v L skalárním soue inu) = rychlá komprese.4.

20 Pythagorova věta a JPEG Projekce vektoru do(hyper)roviny: Lena první dáma internetu Lena Sjööblom, playmate 97 Lena Söderberg, 997

21 Metoda nejmenších čtverců Ortogonální projekce vektoru b na vektor(přímku) a x= x=.8.6 b e x ( ) =:a = ( ) =:b x.4..8 a P a (b) Nejlepší kandidát na řešení je x R: xa=p a (b) x

22 Proložení EKG signálu lékařským modelem Projekce vektoru do(hyper)roviny: zpracování EKG signálu model EKG signálu fitování naměřeného signálu modelem.8 R 5.6 T 5.4 P Q S

23 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Přibližné řešení soustav metodou prostých iterací. iterace ( ) ( ) cosα x +x sinα =:a =:a = ( ) =:b x e b r x a x a +x a x := r :=b x a x. a e k:= a while r k / r.8 > εdo x k+ :=x k +r k.6 r k+ :=b x k+ a x k+ a.4 k:= k+. end while a =e = x e x k jepřibližnéřešení.5.5

24 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Přibližné řešení soustav metodou prostých iterací. iterace ( ) ( ) cosα x +x sinα =:a =:a = ( ) =:b. e a x := r :=b x a x a k:= while r k / r > εdo x k+ :=x k +r k r k+ :=b x k+ a x k+ a k:= k+ end while x k jepřibližnéřešení r r a +r a r a = r e r e r a a =e

25 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Přibližné řešení soustav metodou prostých iterací 3. iterace ( ) ( ) cosα x +x sinα =:a =:a = ( ) =:b e a x := r :=b x a x.6 a.5 k:= while r k / r.4 > εdo x k+ :=x k +r k.3 r k+ :=b x k+ a x k+ a. k:= k+.... a =e end while x k jepřibližnéřešení

26 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Analýza konvergence metody prostých iterací a := ( ),a := ( ) cosα sinα : r k+ =b x k+ a x k+ a =b (x k +r k )a (x k +r k )a =r k ra k ra k ( ) cosα = r k sinα r k+ =r k+ r k+ = ( ) r k [ cos α+( sinα) ] =( sinα)=:k α Metodakonvergujepro α (π/6,5π/6) ( 5π/6,π/6): rk+ r k Přesnosti εjedosaženovk logε/log K α iteracích. r k K α Zpřesnění řešení o řád vyžaduje konstantní počet iterací. ( sinα) <.

27 Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Zlepšení konvergence metody prostých iterací předpodmínění x a +x a =b Hledámedvarůznésměryc,c tak,abymodifikovanáekvivalentnísoustavaměla kolmější sloupce ( ) ( ) ( ) c a x c a +x c b c =. a c a c b

28 Od Pythagorovy věty k super-počítání Osnova Geometrie soustav lineárních rovnic Souvislost Pythagorovy věty a superpočítání Kvíz

29 Kvíz Kramerovo pravidlo pro řešení soustav lin. rovnic Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz počítač na světě, čínský Tianhe-, Kramerovým pravidlem bez použití řádkových úprav, uvažujeme-li pouze instrukce sčítání, odčítání, násobení a dělení,kterýchprovede33,8 5 zasekundu?

30 Kvíz Kramerovo pravidlo pro řešení soustav lin. rovnic: počet operací Uvažujme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých mající právě jedno řešení. Kramerovo pravidlo x i = D i pro i=,,...,n D vyžaduje nděleníavýpočet n+determinantůřádu n.např.pro n=3 3 D= = = ( ) ( )+3 ( ) jetřeban(3)=3+3n()=3+3 násobeníam(3)=+3m()sčítání/odčítání. Kramerovo pravidlo s výpočtem determinantů rozvojem podle řádků vyžaduje ndělení, (n+)n(n)násobení,kden(n)=n(+n(n ))an()=a (n+)m(n)sčítání/odčítání,kdem(n)=n +nm(n )am()=.

31 Kvíz Kramerovo pravidlo pro řešení soustav lin. rovnic: počet operací Kramerovo pravidlo s výpočtem determinantů rozvojem podle řádků vyžaduje Op(n)=n+(n+)(N(n)+M(n))operací, CPU(n)= Op(n) 33,8e5 [s], kden(n)=n(+n(n )),N()=aM(n)=n(+M(n )),M()=. n N(n) M(n) Op(n) CPU(n) 3,e-7,5e-6 5,e-6,e-5 9,7e-5 5,8e-4 4,e-3 3,e-,9e-,9e- n N(n) 6,9e7 8,e8,e,5e,e...,e6,e7 4,e8 8,8e9 M(n) 4,e7 4,8e8 6,e9 8,7e,3e...,6e6,e7,4e8 5,e9 Op(n),e8,3e9,7e,4e 3,6e...,7e6 3,3e7 6,6e8,4e CPU(n) 3,e-9 3,9e-8 5,e-7 7,e-6,e-4...,5 9,8 95,7 4,e3

32 Kvíz Kramerovo pravidlo pro řešení soustav lin. rovnic Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz počítač na světě, čínský Tianhe-, Kramerovým pravidlem bez použití řádkových úprav, uvažujeme-li pouze instrukce sčítání, odčítání, násobení a dělení,kterýchprovede33,8 5 zasekundu? rovnic

33 Motto na závěr Raději budu počítat na starém počítači novou metodou než naopak. Prof. Philippe Toint