Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace"

Transkript

1 Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi Hodnost matice Carl Friedrich Gauss

2 Vektory Definice (vektor) Necht n je pevně zvolené přirozené číslo. Číselným vektorem a rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel, značíme a = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1,..., a n se nazývají složky (souřadnice) vektoru a, přirozené číslo n se nazývá rozměr (dimenze) vektoru a. Příklad (vektor) a = (2, 1), b = (1, 5, 4), c = ( 2, 1, 0, 4, 3, 1) Poznámka (sloupcový vektor) Jednotlivé složky vektoru lze uspořádat nejen do řádku, ale i do sloupce. Takový vektor se nazývá sloupcový vektor. a 1 a 2 a =.. a n Definice (nulový vektor) Vektor o = (0, 0,..., 0) se nazývá nulový vektor.

3 Poznámka (geometrický význam vektoru) Vektory rozměru 2 a 3 lze zobrazit jako orientované úsečky s počátečním bodem v počátku souřadnicového systému a koncovým bodem o souřadnicích [a 1, a 2 ] resp. [a 1, a 2, a 3 ]. Příklad (znázornění vektoru v rovině) y znázornění vektorů a = (3, 2), b = (1, 4) v rovině b a x Operace s vektory Definice (operace s vektory) Součtem vektorů a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) stejného rozměru nazýváme vektor a + b, pro který platí a + b = (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). Násobení vektoru a = (a 1, a 2,..., a n ) reálným číslem c definujeme jako c a = c(a 1, a 2,..., a n ) = (ca 1, ca 2,..., ca n ). Příklad (sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2), b = (3, 1, 2), c = (7, 3, 0, 1). Pak a + b = (1, 3, 2) + (3, 1, 2) = (1 + 3, 3 1, 2 2) = (4, 2, 0) 3 a = 3(1, 3, 2) = ( 3 1, 3 3, 3 2) = ( 3, 9, 6) 5 a + 2 b = (5, 15, 10) + (6, 2, 4) = (5 + 6, 15 2, 10 4) = (11, 13, 6) 0 c = (0 7, 0 ( 3), 0 0, 0 ( 1)) = (0, 0, 0, 0) Součet a + c nelze provést, protože vektory a, c mají různý rozměr

4 Definice (opačný vektor, rozdíl vektorů) Opačným vektorem k vektoru a = (a 1, a 2,..., a n ), nazýváme vektor a = ( 1) a = ( a 1, a 2,..., a n ). Rozdílem vektorů a, b rozumíme vektor a b = a + ( b) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Příklad (opačný vektor, rozdíl vektorů) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2, 4), b = (3, 1, 2, 2), c = (7, 3, 0). a = ( 1, 3, 2, +4) c = ( 7, 3, 0) a b = (1, 3, 2, 4) (3, 1, 2, 2) = (1 3, 3 + 1, 2 + 2, 4 2) = = ( 2, 4, 4, 6) Rozdíl a c nelze provést, protože vektory a, c mají různý rozměr Definice (skalární součin) Skalárním součinem vektorů a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) nazýváme reálné číslo a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. Vektory se nazývají ortogonální, právě když a b = 0. Příklad (skalární součin) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2, 1), b = (3, 1, 2, 0). a b = ( 1) + 2 ( 2) + ( 1) 0 = = 4

5 Definice (velikost vektoru) Velikostí vektoru rozumíme reálné číslo a = a1 2 + a a2 n. Příklad (velikost vektoru) Je dán vektor a = ( 2, 5, 1, 3). Vypočtěte jeho velikost. a = ( 2) ( 1) = = 39. = 6, 24 Věta Necht a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ), c = (c 1, c 2,..., c n ) jsou vektory stejné dimenze n N a necht k, m R jsou reálná čísla. Potom pro operaci sčítání vektorů a operaci násobení vektoru reálným číslem platí a + b = b + a a + ( b + c) = ( a + b) + c k a = a k k (m a) = (k m) a zákon komutativní pro sčítání zákon asociativní pro sčítání (k + m) a = k a + m a zákon distributivní k ( a + b) = k a + k b zákon distributivní zákon komutativní pro násobení konstantou zákon asociativní pro násobení konstantou

6 Lineární kombinace Definice (lineární kombinace) Říkáme, že vektor b je lineární kombinací vektorů a 1, a 2,..., a k R n, existují-li taková reálná čísla c 1, c 2,..., c k, že platí b = c1 a 1 + c 2 a c k a k. Příklad (lineární kombinace) Mějme vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (1, 2, 1). Vektory d = (4, 6, 6), e = (0, 7, 7), o = (0, 0, 0) jsou lineárními kombinacemi vektorů a, b, c : d = 2 a 1 b + 1 c = (4, 6, 2) (1, 2, 3) + (1, 2, 1) = (4, 6, 6) e = 1 a + 2 b + 0 c = ( 2, 3, 1) + (2, 4, 6) + (0, 0, 0) = (0, 7, 7) o = 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) Poznámka (triviální lineární kombinace) Jsou-li všechna reálná čísla c 1, c 2,..., c k v lineární kombinaci rovna nule, dostáváme triviální lineární kombinaci. Nulový vektor tak může být vždy vyjádřen jako lineární kombinace libovolných vektorů. Příklad (lineární kombinace) Vyjádřete vektor d = (8, 2, 4) jako lineární kombinaci vektorů a = (2, 2, 0), b = ( 1, 1, 1), c = (1, 1, 1). d = c 1 a + c 2 b + c3 c (8, 2, 4) = c 1 (2, 2, 0) + c 2 ( 1, 1, 1) + c 3 (1, 1, 1) Dostáváme soustavu tří lineárních rovnic. 2c 1 c 2 + c 3 = 8 2c 1 + c 2 + c 3 = 2 c 2 + c 3 = 4 Řešení je c 1 = 2, c 2 = 3, c 3 = 1. Máme tedy d = 2 a 3 b + c.

7 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice (lineární závislost a nezávislost) Říkáme, že vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, jestliže existují taková reálná čísla c 1, c 2,..., c k, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí c 1 a 1 + c 2 a c k a k = o. V opačném případě (c 1 = c 2 = = c k = 0) říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Příklad (lineární závislost a nezávislost) Vektory a = (2, 2, 0), b = (0, 2, 1), c = (2, 4, 3) jsou lineárně závislé, protože 1 a + ( 3) b + ( 1) c = o. Vektory e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) jsou lineárně nezávislé, protože 0 e e e 3 = o. Věta (souvislost lineární kombinace a lineární závislosti) Vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, právě když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních vektorů. Jestliže žádný vektor není lineární kombinací ostatních vektorů, jsou vektory lineárně nezávislé. Příklad (ověření lineární závislosti pomocí lineární kombinace) Vektory a = (2, 1, 3), b = (1, 1, 2), c = (3, 3, 4) jsou lineárně závislé, protože 2 a b c = (4, 2, 6) (1, 1, 2) (3, 3, 4) = o. V tomto případě lze dokonce každý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů: a = 1 2 b c, b = 2 a c, c = 2 a b.

8 Poznámka (lineární závislost) Dva vektory jsou lineárně závislé, právě když jeden z vektorů je násobkem druhého. Je-li mezi vektory některý vektor násobkem jiného vektoru, jsou tyto vektory lineárně závislé. Je-li mezi vektory některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. Je-li počet vektorů větší, než je rozměr vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. O lineární závislosti a nezávislosti vektorů budeme moci rozhodnout pomocí hodnosti matice sestavené z daných vektorů. Příklad (lineární závislost a nezávislost) Vektory a = (1, 3, 0, 2), b = ( 2, 6, 0, 4) jsou lineárně závislé, protože b = ( 2, 6, 0, 4) = ( 2) (1, 3, 0, 2) = 2 a, a = (5, 2), b = ( 5, 1) jsou lineárně nezávislé, a = (1, 3, 0, 2), b = ( 3, 8, 5, 0) jsou lineárně nezávislé, a = (2, 1, 4), b = (1, 0, 2), c = (4, 2, 8) jsou lineárně závislé, protože c = (4, 2, 8) = 2 (2, 1, 4) = 2 a, a = (5, 1, 3), b = ( 3, 4, 2), c = (0, 0, 0) jsou lineárně závislé, protože je mezi nimi nulový vektor, a = ( 1, 2, 5), b = (3, 0, 2), c = (0, 1, 4), d = (1, 1, 1) jsou lineárně závislé, protože jejich počet je 4, ale rozměr je 3.

9 Vektorový prostor Definice (vektorový prostor) Množinu V n všech n-rozměrných reálných vektorů, která obsahuje nulový vektor o, s libovolnými vektory a 1, a 2,..., a k obsahuje také jejich lineární kombinaci c 1 a 1 + c 2 a c k a k, nazýváme vektorovým prostorem dimenze n. Poznámka Vektorový prostor dimenze n obsahuje s libovolným vektorem a také všechny jeho násobky c a, s libovolnými vektory a, b obsahuje jejich součet a + b. Definice (báze vektorového prostoru) Každá skupina lineárně nezávislých vektorů e 1, e 2,..., e n V n taková, že každý vektor z V n je na ní lineárně závislý, se nazývá báze vektorového prostoru V n. Značíme ji B = e 1, e 2,..., e n. Poznámka Ve vektorovém prostoru dimenze n Příklad existuje alespoň jedna n-tice lineárně nezávislých vektorů (báze), mezi libovolnými vektory a 1, a 2,..., a k V n, k n, je nejvýše n lineárně nezávislých. Zbývajících k n vektorů je na nich lineárně závislých. Vektory e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru dimenze 3. Každý vektor tohoto vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Například pro vektor a = ( 3, 2, 1) platí a = 3 e e e 3.

10 Matice Definice (matice) Maticí typu (m, n) rozumíme obdélníkové schéma m n reálných čísel sestavených do m řádků a n sloupců a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Čísla a ij, (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) nazýváme prvky matice A. Poznámka (matice) Prvek a ij leží v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A. i = 1, 2,..., m je řádkový index, j = 1, 2,..., n je sloupcový index. Řádky nebo sloupce matice lze chápat jako vektory. Druhy matic Definice (čtvercová a obdélníková matice) Je-li m = n, pak matice A se nazývá čtvercová matice řádu n. Prvky a 11, a 22,..., a nn, tj. prvky se stejným řádkovým a sloupcovým indexem, se nazývají prvky hlavní diagonály. Je-li m n, matice A se nazývá obdélníková matice. Příklad (čtvercová a obdélníková matice) Obdélníkové matice A typu (2, 4) a B typu (4, 3), čtvercová matice C řádu 3: ( ) A =, B = , C = Matice typu (1, n) se nazývá řádkový vektor. Matice typu (m, 1) se nazývá sloupcový vektor.

11 Definice (nulová matice) Matice, jejíž všechny prvky jsou nulové, se nazývá nulová matice a značí se O. Definice (jednotková matice) Čtvercová matice řádu n, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly, se nazývá jednotková matice řádu n. Značí se I nebo I n. Definice (diagonální matice) Čtvercová matice, která má všechny prvky kromě hlavní diagonály rovny nule, se nazývá diagonální matice. Příklad (nulová, jednotková a diagonální matice) O = ( ) 0 0 0, I = ( ) 1 0, I = , A = Definice (transponovaná matice) Matice transponovaná k matici A = (a ij ) typu (m, n) je matice A T = (a ji ) typu (n, m), která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce v témže pořadí. Příklad (transponovaná matice) A = , A T = Definice (symetrická matice) Matice A se nazývá symetrická matice, platí-li A T = A. Příklad (symetrická matice) B = , B T =

12 Operace s maticemi Definice (rovnost dvou matic) Dvě matice A, B stejného typu (m, n) si jsou rovny, mají-li všechny odpovídající prvky stejné, tj. a ij = b ij pro všechna i, j (i = 1,..., m, j = 1,..., n). Píšeme A = B. Definice (součet matic) Součtem matic A a B stejného typu (m, n) rozumíme matici C typu (m, n), pro jejíž prvky platí c ij = a ij + b ij pro všechna i, j. Píšeme C = A + B. Příklad (součet matic) Mějme matice A = , B = , C = A + B = = = , součet A + C nelze určit, protože matice A a C nejsou stejného typu

13 Definice (násobení matice reálným číslem) Součinem reálného čísla α a matice A typu (m, n) rozumíme matici B typu (m, n), pro jejíž prvky platí b ij = α a ij pro všechna i, j. Píšeme B = αa. Poznámka (rozdíl matic) Rozdílem matic A, B rozumíme matici A B = A + ( 1)B. Příklad (rozdíl matic, násobení matice reálným číslem) Mějme matice A = ( ) ( 3 1 1, B = ). 3A 2B = = ( ( 1) ( ) ) ( 2 ( 3) ( 1) 2 1 ) ( = ( ), ) O 2I 3 = =

14 Věta (sčítání matic) Pro sčítání matic platí A + B = B + A zákon komutativní (A + B) + C = A + (B + C) zákon asociativní A + O = O + A = A existence nulové matice A + ( A) = ( A) + A = O existence opačné matice ( A) k matici A Věta (násobení matic reálným číslem) Pro násobení matic reálným číslem platí α A = A α zákon komutativní α 1 (α 2 A) = (α 1 α 2 ) A = α 1 α 2 A zákon asociativní (α 1 + α 2 ) A = α 1 A + α 2 A zákon distributivní α (A + B) = α A + α B zákon distributivní Násobení matic Definice (násobení matic) Necht matice A je typu (m, n) a matice B je typu (n, p). Součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C typu (m, p), pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj pro i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., p. Píšeme C = A B (resp. C = AB). Poznámka (násobení matic) Součin A B lze slovně charakterizovat řádek krát sloupec. Řádky matice A násobíme (skalárním součinem) sloupci matice B. Prvek c ij matice C se rovná skalárnímu součinu i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Počet sloupců první matice A se musí rovnat počtu řádků druhé matice B! Pro násobení matic neplatí komutativní zákon: obecně A B B A. Existuje-li součin A B, nemusí součin B A existovat. Chceme-li zdůraznit pořadí matic v součinu A B, říkáme, že matici A násobíme zprava maticí B nebo, že matici B násobíme zleva maticí A.

15 Příklad (násobení matic) Mějme matice A = , B = A B = = = B A = není definován Věta Pro násobení matic platí A(BC) = (AB)C zákon asociativní (A + B)C = AC + BC zákon distributivní zprava A(B + C) = AB + AC α(ab) = (αa)b = A(αB) Poznámka zákon distributivní zleva pro libovolné α R Protože pro součin matic neplatí komutativní zákon, rozlišujeme dva distributivní zákony pro násobení maticí zprava a zleva. Stejně tak musíme rozlišovat mezi vytýkáním matice doprava a doleva. Definice (k-tá mocnina matice) Součin A A A A (k-krát) označme A k a nazveme jej k-tou mocninou matice A.

16 Příklad (násobení matic) Pro A = ( ) je A 2 = A A = ( ) ( ) = ( ) Věta (vlastnost jednotkové matice) Pro čtvercovou matici A a jednotkovou matici I stejného řádu platí AI = I A = A. Příklad (vlastnost jednotkové matice) ( ) ( AI = ( ) ( I A = ) ( 2 3 = 4 5 ) ( 2 3 = 4 5 ) = A ) = A Hodnost matice Definice (hodnost matice) Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A značíme h(a). Poznámka (hodnost matice) Matice A má hodnost h(a) = k, jestliže mezi řádky této matice existuje k lineárně nezávislých řádků, ale každých k + 1 řádků matice je již lineárně závislých. Příklad (hodnost matice) Matice vektory a = (1, 2, 1), má hodnost 2, protože b = (0, 3, 1) jsou lineárně nezávislé, ale vektory a = (1, 2, 1), b = (0, 3, 1), c = (2, 4, 2) jsou lineárně závislé, nebot c = 2 a.

17 Definice (schodovitý tvar matice) Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Příklad (schodovitý tvar matice) Matice ve schodovitém tvaru , Matice, která není ve schodovitém tvaru Věta (hodnost matice ve schodovitém tvaru) Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru, je rovna počtu nenulových řádků této matice. Příklad (hodnost matice ve schodovitém tvaru) Mějme matice A = , B = Matice A má hodnost h(a) = 3. Matice B má hodnost h(b) = 4.

18 Ekvivalentní řádkové úpravy Definice (ekvivalentní řádkové úpravy) Následující úpravy se nazývají ekvivalentní řádkové úpravy: 1 záměna pořadí řádků, 2 vynásobení řádku nenulovým číslem, 3 přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku, 4 vynechání nulového řádku, 5 vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku. Definice (ekvivalentní matice) Matice A, B nazveme ekvivalentní a značíme A B, jestliže matici A lze převést na matici B konečným počtem ekvivaletních řádkových úprav. Věta Ekvivalentní řádkové úpravy zachovávají hodnost matice. Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Věta Libovolnou nenulovou matici lze konečným počtem ekvivalentních řádkových úprav převést na matici ve schodovitém tvaru. Poznámka (určení hodnosti matice) Při určování hodnosti matice, převedeme danou matici pomocí ekvivalentních řádkových úprav na schodovitý tvar. Hodnost původní matice se potom rovná počtu nenulových řádků matice ve schodovitém tvaru. Poznámka (kĺıčový prvek) Kĺıčovým prvkem rozumíme nenulový prvek matice, pomocí něhož ekvivalentními řádkovými úpravami vytváříme ve sloupci pod ním nuly. Řádek a sloupec obsahující kĺıčový prvek se nazývají kĺıčový řádek a kĺıčový sloupec.

19 Úprava matice do schodovitého tvaru Postup úpravy matice do schodovitého tvaru 1 Začneme s nenulovým sloupcem nejvíce vlevo, tzv. kĺıčový sloupec. V tomto sloupci vybereme nenulový prvek, tzv. kĺıčový prvek. Výhodné je za kĺıčový prvek zvolit číslo 1 nebo 1. 2 Kĺıčový řádek přemístíme pomocí záměny řádků na pozici prvního řádku v matici. 3 Pomocí ekvivalentních řádkových úprav vytvoříme pod kĺıčovým prvkem nuly - vhodné násobky kĺıčového řádku přičteme ke vhodným násobkům řádků pod ním. Vznikne-li nulový řádek nebo řádek, který je násobkem jiného řádku, vynecháme ho. 4 Úpravy 1 3 použijeme znovu na podmatici, která vznikne z původní matice vynecháním kĺıčového řádku. 5 Postup opakujeme tak dlouho, až dostaneme matici ve schodovitém tvaru. Příklad (hodnost matice) Učete hodnost matice A Ekvivalentní matice ve schodovitém tvaru má tři nenulové řádky, proto hodnost matice A je h(a) =

20 Věta Transponování matice nemění její hodnost, tj. pro libovolnou matici A platí Poznámka (hodnost matice) h(a) = h(a T ). Všechny uvedené ekvivalentní řádkové úpravy můžeme provádět nejen s řádky, ale i se sloupci, a to aniž by se tím změnila hodnost matice. Hodnost matice lze chápat také jako maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice. Poznámka Má-li matice A typu (m, n) hodnost h(a) = k, pak zřejmě platí k min{m, n}. Lineární závislost, nezávislost vektorů pomocí hodnosti Poznámka (lineární závislost a nezávislost vektorů) O lineární závislosti či nezávislosti vektorů můžeme rozhodnout pomocí hodnosti matice. Mějme m vektorů stejného rozměru n. Tyto vektory zapíšeme do matice A tak, že její řádky budou tvořit dané vektory. Dostaneme matici A typu (m, n). Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud h(a) = m, lineárně závislé, pokud h(a) < m. Příklad (lineární závislost a nezávislost vektorů) Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů a = (0, 0, 2, 1, 2), b = (3, 4, 5, 0, 1), c = (0, 1, 3, 2, 2), d = (0, 0, 0, 4, 3) A = Hodnost matice A je h(a) = 4, proto jsou vektory lineárně nezávislé.

21 Příklad (lineární závislost a nezávislost vektorů) Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů a = (2, 5, 1, 2, 2), b = (2, 1, 1, 2, 3), c = (3, 2, 1, 1, 2), d = (3, 1, 0, 1, 2) Hodnost matice A je h(a) = 3, proto jsou vektory lineárně závislé.

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

rozumíme obdélníkovou tabulku

rozumíme obdélníkovou tabulku Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic

Více

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více