Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:"

Transkript

1 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a a 1k... a 1n a 21 a a 2k... a 2n... a j1 a j2... a jk... a jn (1... a m1 a m2... a mk... a mn Veličiny a 11, a 12,..., a mn ve schématu (1 nazýváme prvky matice a mohou to být čísla (reálná i komplexní i funkce. Index jk u prvku a jk určuje pozici (umístění prvku ve schématu. První index j udává pořadí řádku, druhý index k pořadí sloupce. Např. prvek a 32 je umístěn ve 3. řádku a ve 2. sloupci, tj. má pozici 32. Matici ( 1 budeme označovat A nebo (a ij. Chceme-li současně vyjádřit, že matice A je typu (m, n, zapíšeme A(m, n. Je-li matice tvořena jediným sloupcem, resp. jediným řádkem, můžeme k označení jejích prvků použít pouze jeden index, např. b 1 b 2 B., resp. C (c 1, c 2,..., c n. b m Prvky a ii matice diagonálu matice. (1 nazýváme diagonální prvky, všechny diagonální prvky tvoří hlavní 3.2 Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A (a ij a B (b ij, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n téhož typu (m, n jsou si rovny, jestliže prvky ve stejných pozicích si jsou rovny, tj. platí rovnost a ij b ij, pro každé i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n. Zapisujeme A B. V opačném případě řekneme, že matice A a B jsou různé a zapisujeme A B. ( ( Zřejmě matice A a B nejsou stejné, protože A je matice typu (2, 2, zatímco B je matice typu (2, 3. 1

2 Označíme-li D d 1 d 2 d 3 d 4, potom rovnost D je stručným zápisem čtyř rovností d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 4. Rovnost matic typu (3, 1 x + 5y 3z 2x 7y + z 6y z je jeden z možných zápisů soustavy tří lineárních rovnic Transponování matic x + 5y 3z 9 2x 7y + z 3 6y z 3. (2 Je-li dána matice A (a ij typu (m, n, potom matice B (b ji typu (n, m, pro jejíž prvky platí b ji a ij pro každé i 1,..., m, j 1,..., n, se nazývá transponovaná matice k matici A a značí se A T. Transponovaná matice k matici A 1, 3, 0 7, 4, 1 4, 3, 0 2, 1, 5 (a ij je matice A T 1, 7, 4, 2 3, 4, 3, 1 0, 1, 0, 5 tj. prvek z pozice (i, j se objeví v pozici (j, i. (a ji, 2

3 Z definice transponované matice vyplývá (A T T A. (3 Pomocí horního indexu T se dá matice typu (n, 1 zapsat ve tvaru x 1 x 2. (x 1, x 2,..., x n T. x n Je účelné si zvyknout na označování n-tic čísel právě naznačeným způsobem Význačné matice 1. Nulová matice má všechny prvky nulové; budeme ji značit Ø. 2. Čtvercová matice je matice, jejíž počet řádků je stejný jako počet sloupců (v opačném případě mluvíme o obdélníkové matici. Počet řádků (a tedy i počet sloupců u čtvercové matice se nazývá řád matice. Je zřejmé, že transponovaná matice ke čtvercové matici n-tého řádu je opět čtvercová matice stejného řádu. 3. Diagonální matice je čtvercová matice, jejíž prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou nulové. Zvláštním případem diagonální matice je jednotková matice, která má na diagonále všechny prvky rovné 1, tj. platí a ij 0 pro každé i j, i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n, a ii 1 pro každé i 1, 2,..., n. Jednotkovou matici značíme I. 4. Symetrická matice je čtvercová matice, pro jejíž prvky platí Snadno lze ověřit, že a ij a ji pro každé i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n. (a pro symetrickou matici je A T A; (b každá diagonální matice je symetrická; (c jednotková matice je symetrická. 3

4 5. Horní trojúhelníková matice U (u ij je čtvercová matice, jejíž prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí u ij 0 pro i > j. Dolní trojúhelníková matice L (l ij je čtvercová matice, jejíž prvky nad hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí Aritmetické operace s maticemi Součet matic l ij 0 pro i < j. Pro matice A (a ij a B (b ij téhož typu (m, n definujeme 1. součet matic jako matici S (s ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí s ij a ij + b ij ; 2. rozdíl matic jako matici R (r ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí pro i 1, 2,..., m a j 1, 2,..., n. r ij a ij b ij ; Krátce řečeno: sčítáme, resp. odečítáme, prvky ve stejných pozicích. Značíme A + B, resp. A B. Čtvercovou matici A (a ij lze zapsat jako součet horní a dolní trojúhelníkové matice. Pro matici 3. řádu je tedy a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 0 a 22 a a a a 31 a 32 0 Toto vyjádření se používá u numerických metod řešení soustav lineárních rovnic, zvláště u tzv. metody LU-rozkladu. Sčítání matic je definováno tak, že platí:. A + B B + A, (A + B + C A + (B + C, (A + B T A T + B T, 0 + A A + 0 A. (4 Násobení matice číslem 4

5 Pro libovolnou matici A (a ij typu (m, n definujeme r-násobek (r reálné nebo komplexní číslo matice A jako matici typu (m, n, jejíž prvky jsou r-násobky prvků a ij, tedy ra (r a ij pro i 1,..., m, j 1,..., n. Tedy matici vynásobíme číslem r tak, že číslem r vynásobíme všechny její prvky. Odtud plyne, že pro násobek matice platí: ra + sa (r + sa, r(a + B ra + rb, r(sa (rsa, (ra T ra T, kde r, s jsou čísla (reálná nebo komplexní. Je dána matice A (a ij třetího řádu. Vytvoříme matici λi A, kde λ je libovolné číslo (reálné nebo komplexní λi A λ a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 λ a 11 a 12 a 13 a 21 λ a 22 a 23 a 31 a 32 λ a 33. S maticí tohoto typu se setkáme při výpočtu vlastních čísel matice. Matici, obsahující komplexní čísla, můžeme vyjádřit pomocí matic s reálnými čísly: ( ( ( 2 + 3i 4 5i i. 2 6i Součin matic je definován složitějším způsobem než předchozí operace s maticemi, proto si nejdříve budeme postup ilustrovat na jednoduchém příkladě: ( , 2 ( , 9 ( , 5 (

6 Násobení dvou matic provedeme pro obecné matice A (a ij typu (3, 2 a B (b ij typu (2, 2: a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ( b11 b 12 b 21 b 22 a 11 b 11 + a 12 b 21, a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21, a 21 b 12 + a 22 b 22 a 31 b 11 + a 32 b 21, a 31 b 12 + a 32 b 22 Z uvedených dvou příkladů lze vypozorovat zásady, které platí pro součin dvou matic A a B : 1. Aby součin dvou matic A a B byl definován, musí být počet sloupců matice A stejný jako počet řádků matice B, tj. je-li matice A (a ik typu (m, p, musí být matice B (b kj typu (p, n, tj. 2. Prvek c ij výsledné matice C A B je A(m, p B(p, n C(m, n.. c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj p a ik b kj. (5 k1 3. Výsledná matice C je typu (m, n. Poznámka Pokud považujeme řádky (resp. sloupce matice za řádkové (resp. sloupcové aritmetické vektory, lze vztah ( 5 pro prvek c ij chápat jako skalární součin i-tého řádkového vektoru matice A a j-tého sloupcového vektoru matice B. Tím je také zdůvodněna podmínka pro typ matic, která musí být pro definici součinu splněna. Vlastnosti součinu matic 1. Násobení matic není komutativní. Je-li definován součin AB, nemusí být definován součin BA, protože nemusí být splněna podmínka pro počet řádků a sloupců. Ale i v případě, že součiny AB i BA jsou definovány, nemusí platit ABBA (viz následující příklad. ( ( ( ,

7 ale ( ( ( Obecně tedy je AB BA. Rovnost platí pouze pro některé speciální dvojice matic. 2. Pro libovolnou matici A platí 0A 0 a A0 0, kde 0 je nulová matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. Pro čtvercové matice platí A 0 0 A, kde A je libovolná čtvercová matice. 3. Pro libovolnou matici A je AI A a IA A, kde I je jednotková matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. 4. Součin dvou nenulových matic může být nulová matice. To znamená, že z rovnosti AB 0 nevyplývá, že musí být A nebo B nulová matice. Je třeba si uvědomit, že tuto vlastnost násobení čísel nemá. ( ( ( Jsou-li všechny následující součiny matic definovány (mají smysl, platí: 4. A(BC (ABC. 5. (A + BC AC + BC. 6. (AB T B T A T. 7. r(ab (rab A(rB, kde r je libovolné číslo. 8. Pomocí součinu matic můžeme definovat mocninu čtvercové matice: (a A 1 A; (b A n A n 1 A pro n N, n 2; (c Definujeme A 0 I Determinant čtvercové matice V tomto odstavci se budeme zabývat pouze čtvercovými maticemi.. Definice determinantu 7

8 Pojem determinant matice si nejdříve zavedeme pro (číselnou matici 2. a 3. řádu a pak teprve přistoupíme k definici determinantu matice n-tého řádu. Je dána čtvercová matice 2. řádu ( a11 a A 12. (6 a 21 a 22 Číslo a 11 a 22 a 21 a 12 se nazývá determinant matice A a značí se a ( 11 a 12 a 21 a 22, det a11 a 12, det A. a 21 a 22 Je dána čtvercová matice 3. řádu Číslo A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. a a 22 a a a 32 a 33 a 21 a a a 31 a 33 +a 21 a a 31 a 32. (7 }{{}}{{}}{{} A 11 A 12 A 13 se nazývá determinant matice A a značí se a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det A. Determinanty A 11, A 12, A 13 v ( 7 jsme vytvořili vynecháním prvního řádku a postupně prvního, druhého a třetího sloupce původní matice třetího řádu. Analogicky jako v (7 definujeme determinant čtvercové matice n-tého řádu pro n > 3 (pomocí determinantů (n 1-ho řádu: Determinant čtvercové matice (n-tého řádu A je číslo označované det A a definované takto: 1. Pro n 1 je det A a Pro n 2 je det A a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn 8

9 3. Pro n > 2 je det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1 n+1 a 1n det A 1n, (8 kde matice A 1i pro i 1, 2,..., n jsou matice (n 1-ho řádu a vzniknou z matice A vynecháním 1. řádku a i-tého sloupce, i 1, 2,..., n. Poznámka Vyjádření determinantu vztahem (8 se nazývá rozvoj determinantu podle 1. řádku. ( 3 4 Vypočtěte determinant matice ( Vypočtěte determinant matice ( Sarrusovo pravidlo. Aplikujeme-li předpis ( 7 na matici třetího řádu, dostaneme det A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31. (9 Pro zapamatování volby příslušných tří výběrů s kladným, případně záporným znaménkem se používá obvykle jedno z následujících dvou schémat. Matici A rozšíříme na matici typu (5, 3 (resp. typu (3, 5 tak, že pod (resp. za matici A připíšeme ještě první a druhý řádek (resp. první a druhý sloupec matice A. Dostaneme matice a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 v nichž výběry s kladným znaménkem jsou vyznačeny souvislými čarami a výběry se záporným znaménkem čárkovaně. 9

10 Nebezpečnost tohoto pravidla spočívá v tom, že je mnohdy aplikováno i na výpočet determinantů vyšších řádů. POZOR, je to hrubá CHYBA. Sarrusovým pravidlem vypočtěte determinant matice A Řešení: det A 0 2 ( ( 1 ( ( ( 1 0 ( Rozvojem podle 1. řádku vypočtěte determinant matice A det A 1 +( Převedli jsme výpočet determinantu 4. řádu na výpočet 4 determinantů 3. řádu. Pomocí ( 7 dostáváme det A 1 ( 49 0 ( 12 + ( Další způsoby výpočtu determinantu Postup výpočtu determinantu rozvojem podle prvního řádku lze modifikovat tak, že provedeme rozvoj podle libovolného řádku, popř. sloupce. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku zapíšeme det A ( 1 i+1 a i1 det A i1 + ( 1 i+2 a i2 det A i2 + + ( 1 i+n a in det A in, (10 a rozvoj podle j-tého sloupce zapíšeme det A ( 1 1+j a 1j det A 1j + ( 1 2+j a 2j det A 2j + + ( 1 n+j a nj det A nj. (11 10

11 Matice A ij je matice řádu n 1 vzniklá z původní matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Číslo (pro daná i 1, 2,..., n, j 1,..., n D ij ( 1 i+j det A ij, (12 se nazývá algebraický doplněk prvku a ij. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku (vztah 10 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru det A a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in, (13 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce (vztah 11 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru resp. podle det A a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj. (14 Nyní si při výpočtu determinantu můžeme vybrat takový řádek nebo sloupec, který má nejjednodušší prvky, nejlépe nuly. Umíme-li nyní provést rozvoj determinantu podle libovolného sloupce nebo řádku, pokusme se vypočítat determinant matice z předchozího příkladu kratším postupem. Provedeme-li rozvoj podle druhého sloupce, je zřejmé, že v rozvoji dostaneme pouze 2 nenulové sčítance a budeme tedy počítat pouze dva determinanty 3. řádu. det A ( det A 22 + ( det A ( ( Úplnou matematickou indukcí lze dokázat, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Důkaz provedeme pro horní trojúhelníkovou matici. Pro n 2 je u 11 u 12 0 u 22 u 11u 12. Předpokládejme, že tvrzení platí pro trojúhelníkovou matici (n 1-ho řádu. Rozvineme-li determinant horní trojůhelníkové matice n-tého řádu podle prvků n-to řádku, dostaneme u 11 u u 1n u 11 u u 1,n 1 0 u u 2n... ( 1 n+n u nn 0 u u 2,n u nn u n 1,n 1 u 11 u u n 1,n 1 u nn. Stejným způsobem lze dokázat tvrzení pro dolní trojúhelníkovou matici. 11

12 Vlastnosti determinantů 1. Pro libovolnou čtvercovou matici A platí det A T det A. Pro determinant matice 2. řádu je důkaz uvedeného tvrzení elementární. det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 det A T a 11 a 21 a 12 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. Je tedy det A det A T. Pro determinant matice A 3. řádu dostaneme rozvojem podle 1. řádku det A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a pro determinant matice transponované A T dostaneme rozvojem podle prvního sloupce a 11 a 21 a 31 det A T a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a a 22 a a 23 a 33 a 12 a 21 a 31 a 23 a 33 + a 13 a 21 a 31 a 22 a 32. Pro determinant matice 3. řádu tedy platí det A det A T. Úplnou matematickou indukcí lze analogickým postupem dokázat uvedenou vlastnost pro determinant matice n-tého řádu. Důsledkem uvedené vlastnosti je, že všechna tvrzení o determinantech, která platí pro řádky matice, platí i pro její sloupce. 2. Zaměníme-li v matici pořadí dvou řádků, změní se znaménko determinantu. Pro determinant matice 2. řádu je zřejmě a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 (a 12 a 21 a 11 a 22 a 21 a 22 a 11 a 12. Úplnou indukcí lze opět ukázat, že tvrzení platí i pro determinant matice řádu n > 2. Důsledkem tvrzení 2. je: Má-li matice dva řádky stejné, je determinant matice nulový. 12

13 3. Z definice determinantu vyplývá, že je-li jeden řádek matice A nulový, je det A Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jednoho řádku číslem k, je det B k det A. 5. Vznikne-li matice B z matice A přičtením k-násobku i-tého řádku k j-tému, je det B det A. Pro matici 2. řádu je a 11 a 12 a 21 + ka 11 a 22 + ka 12 a 11 (a 22 + k a 12 a 12 (a 21 + k a 11 a 11 a 22 a 12 a 21 + k(a 11 a 12 a 12 a 11 det A + k Jsou-li A a B čtvercové matice téhož řádu, pak det AB det A det B. Vypočtěte determinant Řešení: Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího a čtvrtého odečteme první řádek. Potom provedeme rozvoj determinantu podle prvního sloupce ( ( Od druhého řádku odečteme první řádek, od třetího dvojnásobek prvního řádku a provedeme rozvoj podle prvního sloupce: ( Je tedy

14 3.3 Inverzní matice Čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly, se nazývá regulární matice. Čtvercová matice, jejíž determinant je roven nule, se nazývá singulární matice. Definice Nechť A je regulární matice, I jednotková matice. Jestliže pro matici X platí AX XA I, (15 nazývá se matice X inverzní matice k matici A a značí se A 1. Vztah ( 15 lze psát tedy ve tvaru AA 1 A 1 A I. Inverzní matice X A 1 je tedy řešením maticové rovnice AX I. ( 1 1 Stanovte matici X takovou, že platí AX I, kde A a I 1 2 Řešení: Tedy ( ( ( 1 1 x11 x x 21 x 22 Z podmínky rovnosti matic řešíme soustavu rovnic x 11 + x 21 1, x 12 + x 22 0, x x 21 0, x x Řešení těchto dvou soustav snadno vypočteme: Tedy x 11 2, x 12 1 x 21 1, x X A 1 ( ( Vidíme, že stanovení inverzní matice je ekvivalentní k určení řešení soustav lineárních rovnic (viz kap. 3. Vlastnosti inverzní matice: 1. Ke každé čtvercové matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. 2. Ke každé regulární matici existuje právě jedna inverzní matice. 3. (A 1 1 A;.. 14

15 4. I 1 I; 5. (AC 1 C 1 A 1, jakmile je definována alespoň jedna strana této rovnosti; 6. (A T 1 (A 1 T ; 7. det A 1 1 det A. 8. Inverzní matice ( X k diagonální matici D (d i, d i 0 je opět diagonální matice X D 1 1 d i ; rozepsáno D 1 d 1, 0,..., 0 0, d 2,..., , 0,..., d n 1 1 d 1, 0,..., 0 1 0, d 2,..., , 0,..., d n. Odvoďte uvedená pravidla 1 8 pro matice druhého řádu. 15

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz http://home.zcu.cz/~lsroubov 3. 10. 2012 Základy práce s výpočetními systémy opakování a pokračování

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

rozumíme obdélníkovou tabulku

rozumíme obdélníkovou tabulku Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto

Více

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012 Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více