Vybrané kapitoly z matematiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vybrané kapitoly z matematiky"

Transkript

1 Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava Vybrané kapitoly z matematiky / 19

2 Základní informace předmět: , 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: A826 Organizace předmětu 20 bodů na cvičeních (písemné testy 14, program 6) test na každém cvičení za dva body, započítává se 7 nejlepších cvičení jsou povinná, 20%-ní neúčast lze omluvit 80 bodů na zkoušce (písemka 60, ústní část 20) Literatura skripta Matematika I, II, III jsou na adrese: mdg.vsb.cz/portal prezentace z přednášek: homel.vsb.cz/ kuc14/teach VKM Vybrané kapitoly z matematiky / 19

3 Základy vektorového počtu v R 3 Vybrané kapitoly z matematiky / 19

4 Připomenutí některých značení Přirozená čísla: N = {1, 2,... } Celá čísla: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Reálná čísla: R = čísla s nekonečným desetinným rozvojem Uspořádané dvojice reálných čísel: R 2 = {v = [v 1, v 2 ] : v 1, v 2 R} Uspořádané trojice reálných čísel: R 3 = {v = [v 1, v 2, v 3 ] : v 1, v 2, v 3 R} Uspořádané n-tice reálných čísel: R n = {v = [v 1,..., v n ] : v i R i} Nulový prvek: 0 = 0 = [0,..., 0] Vybrané kapitoly z matematiky / 19

5 Připomenutí determinantu Pro matici 2x2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Pro matici 3x3 a 11 a 12 a 13 { a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 23 a 32 a 11 Pro větší matice se používá Laplaceův rozvoj. Je-li determinant nulový jsou řádky lineárně závislé vektory. Je-li determinant nenulový jsou řádky lineárně nezávislé vektory.... a co je to vlastně vektor? Vybrané kapitoly z matematiky / 19

6 Vektor ve fyzice Vektor u je množina souhlasně orientovaných úseček stejné délky. Každé umístění téhož vektoru AB u určené počátečním a koncovým bodem A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ] má stejný rozdíl: B A = [b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ] Vektor ztotožňujeme proto s uspořádanou trojicí reálných čísel. Definice vektoru (v matematice) Vektor u je uspořádaná trojice reálných čísel: u = [u 1, u 2, u 3 ], u R 3 Vektor kreslíme jako šipku. Rozlišujeme: vektor u R 3, skalár nebo-li číslo u R Vybrané kapitoly z matematiky / 19

7 Základní operace s vektory Násobení vektoru skalárem: ku = [ku 1, ku 2, ku 3 ], k R, u R 3 u = ( 1)u je opačný vektor Sčítání vektorů: u + v = [u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ], u, v R 3 u v = u + ( v) je rozdíl vektorů Výpočet délky vektoru (Euklidovská norma): u = u1 2 + u2 2 + u2 3, u R3 Platí: ku = k u, u + v u + v Vybrané kapitoly z matematiky / 19

8 Lineární závislost vektorů Vektory u 1,..., u m R 3 jsou lineárně závislé (LZ), jestliže existují skaláry k 1,..., k m R ne všechny nulové takové, že platí k 1 u k m u m = 0 (t.j. některý vektor lze vyjádřit pomocí ostatních vektorů). V opačném případě jsou vektory lineárně nezávislé (LNZ). Kdy jsou vektory LZ v R 3? 1 vektor : je-li nulový 2 vektory: leží-li na stejné přímce (kolineární vektory) 3 vektory: leží-li v jedné rovině (komplanární vektory) 4 vektory: jsou LZ vždy (v R 3 ) Vybrané kapitoly z matematiky / 19

9 Definice Skalárním součinem vektorů u, v R 3 je skalár: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Vlastnosti skalárního součinu 1 u = u u, u v = v u, u (v + w) = u v + u w 2 ϕ je úhel, který svírají vektory u a v. Platí: u v = u v cos ϕ 3 skalární součin vektorů na sebe kolmých se rovná nule 4 cos ϕ 1 u v u v (Cauchyova nerovnost) Vybrané kapitoly z matematiky / 19

10 Důkaz druhé vlastnosti Použijeme kosinovou větu: u 2 + v 2 2 u v cos ϕ = u v 2 = (u v) (u v) = u u 2u v + v v = u 2 2u v + v 2 Odečetním stejných výrazů dostaneme: 2 u v cos ϕ = 2u v Úloha za domácí úkol Pomocí Cauchyovy nerovnosti dokažte podobným postupem trojúhelníkovou nerovnost: u + v u + v Návod: dokažte u + v 2 ( u + v ) 2 0 Vybrané kapitoly z matematiky / 19

11 Příklady a) Jaký úhel svírají vektory u = [1, 1, 0], v = [0, 1, 0]. cos ϕ = u v u v = 1 2 = ϕ = π 4 (45 ) b) Jsou na sebe kolmé vektory p = [1, 2, 3], q = [ 3, 0, 1]? p q = = 0 jsou kolmé c) Jsou na sebe kolmé vektory r = [1, 1, 1], s = [2, 2, 2]? r s = = 6 nejsou kolmé Vybrané kapitoly z matematiky / 19

12 Definice Vektorovým součinem vektorů u, v R 3 nazýváme vektor: [ ] u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 Vlastnosti 1 Vektor u v je kolmý na vektory u, v (nebo je nulový). 2 u v = u v sin ϕ 3... a proto u v vyjadřuje velikost rovnoběžníka, který kreslíme, když graficky sčítáme u + v. Vybrané kapitoly z matematiky / 19

13 Důkaz první vlastnosti Použijeme: jsou-li dva řádky shodné, pak je determinant nulový, a rozvoj. u 1 u 2 u 3 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + u 2 u 3 u 1 v 3 v 1 + u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 = u (u v) Důkaz druhé vlastnosti Výrazy na obou stranách se umocní na druhou, dosadí se složky vektorů a po úpravě se zjistí, že levá i pravá strana jsou shodné. Vybrané kapitoly z matematiky / 19

14 Formální definice - vhodná pro ruční výpočet i j k i = [1, 0, 0] u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3, kde j = [0, 1, 0] k = [0, 0, 1] Příklad Necht u = [2, 1, 1], v = [1, 2, 0]. Vypočtěte kolmý vektor. i j k u v = = (0 2)i + ( 1 0)j + ( 4 1)k = [ 2, 1, 5] Vybrané kapitoly z matematiky / 19

15 Příklad Vypočtěte velikost trojúhelníka o vrcholech: A = [1, 0, 1], B = [2, 1, 1], C = [1, 1, 1]. Řešení: u = B A = [1, 1, 0], v = C A = [0, 1, 2] u v = i j k = [2, 2, 1] Velikost trojúhelníka je 3/2. u v = = 3 Vybrané kapitoly z matematiky / 19

16 Definice Smíšený součin vektorů u, v, w R 3 je skalár: Vlastnosti 1 Platí: u (v w) u (v w) = (plyne z rozvoje podle prvního řádku) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 2 Velikost smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu určeného vektory u, v, w (nakreslíme si obrázek). Vybrané kapitoly z matematiky / 19

17 Důkaz druhé vlastnosti Viz obrázek: Objem = Podstava krát Výška Podstava = v w Výška = u (v w) u cos ϕ = u u v w kde ϕ je úhel, který svírají vektory u a v w. Dosadíme do první rovnosti a dostaneme: Objem = u (v w) Vybrané kapitoly z matematiky / 19

18 Příklad Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu určeného vrcholy: A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 1], C = [2, 1, 0], D = [4, 0, 1]. Řešení: u = B A = [1, 1, 1], v = C A = [2, 1, 0], w = D A = [4, 0, 1] u (v w) = = 7 Objem rovnoběžnostěnu je 7 = 7. Vybrané kapitoly z matematiky / 19

19 Shrnutí Zdroj vektory v R 3 (jsou šipky) skalární součin umožňuje určit úhel mezi dvěma vektory vektorový součin umožňuje spočítat kolmý vektor na dva vektory smíšený součin umožňuje spočítat objem rovnoběžnostěnu určeného třemi vektory skripta Matematika I str Vybrané kapitoly z matematiky / 19

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN

1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN .4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více