8 Matice a determinanty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8 Matice a determinanty"

Transkript

1 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij) i=1,,m, j=1,,n a m1 a m2 a mn kde a ij R, resp a ij C nazýváme prvky matice A Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp C n (C m ); m n matice A má m řádků a n sloupců; m = n mluvíme o čtvercové matici A stupně n Označení Množinu všech reálných matic rozměru m n budeme značit M m n (R), množinu všech komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (C) Úmluva: Zápisem M m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic rozměru m n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní Definice Rovnost matic: A M m n, B M r s Potom A = B právě tehdy, když m = r, n = s, a b ij = a ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Sčítání (odčítání) matic: A,B,C M m n,c = A ± B: c ij = a ij ± b ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Násobení skalárem: A M m n, (αa) ij = αa ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Poznámka Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách" M m n je lineární vektorový prostor dimenze mn Definice (Násobení matic) Bud A M m s, B M s n Matice C = A B M m n je definována takto: s C = (c ij ) i=1,,m, kde c ij := a ik b kj j=1,,n Poznámka (Einsteinova sumační konvence:) s a ik b kj a ik b kj (sčítání přes opakující se indexy) Pozor na interpretaci zápisů typu "a kk " apod k=1 k=1

2 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 2 Poznámka Pro A,B M n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj násobení matic není komutativní Uvažte například ( ) ( ) A =, B =, kdy A B = ( ), B A = ( Poznámka Násobení matic ovšem je asociativní, tj A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj pokud souhlasí rozměry matic) Dále platí (ověřte): A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, λ(a + B) = λa + λb, λ(a B) = (λa) B, ) pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj souhlasí rozměry matic) Definice (Jednotková matice stupně n) Jednotková matice stupně n je matice I M n n tvaru I = Poznámka: Jednotková matice je příkladem tzv diagonální matice (matice, pro kterou a ij = 0, pokud i j) Ověřte: je-li I M n n jednotková matice, pak A I = I A = A, pro všechny matice A M n n Definice Bud A M n n Řekneme, že A má inverzní matici (značíme ji A 1 ), pokud existuje A 1 M n n, taková, že A A 1 = A 1 A = I Pokud A M n n má inverzní matici, říkáme, že A je regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice Tvrzení 81 Je-li A M n n regulární, pak je A 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A Jsou-li A,B M n n regulární, pak i matice A B a B A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1 Množina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice Tvrzení 82 Bud A M n n Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN

3 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 3 Poznámka: Toto tvrzení ještě později rozšíříme o další ekvivalentní podmínky Definice Transponovanou maticí k matici A M m n nazvu matici A T M n m takovou, že pro její prvky a T ij platí: at ij = a ji pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Řeknu, že matice A M n n je symetrická, pokud A = A T (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z M n n ) Řeknu, že matice A M n n je ortogonální, pokud A A T = I Tvrzení 83 Bud A M n n ; potom A A T = I A T A = I Bud A M n n ; potom A je ortogonální (A je regulární a A 1 = A T ) Definice Hermitovsky sdruženou (někdo říká též "adjungovanou") maticí k matici A M m n (C) nazvu matici A H M n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A je matice, sestávající z prvků komplexně sdružených k prvkům matice A Řeknu, že matice A M n n (C) je hermitovská (případně "samoadjungovaná"), pokud A = A H Řeknu, že matice A M n n (C) je unitární, pokud A A H = I Tvrzení 84 Bud A M n n (C); potom A A H = I A H A = I Bud A M n n (C); potom A je unitární (A je regulární a A 1 = A H ) Poznámka: Pro A M n n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální" Někdy se používá pro A H též označení A Přesněji, A se užívá pro adjungovanou matici, A H pro matici Hermitovsky sdruženou Názvosloví pochází z teorie operátorů, kde tyto pojmy označují dvě různé vlastnosti Pro zobrazení, která jsou reprezentována konečnými maticemi, oba pojmy splynou Cvičení Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem který platí pro regulární matice A, B) (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H (A B) 1 = B 1 A 1,

4 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 4 82 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustava m lineárních algebraických rovnic (LAR) pro n neznámých x 1,,x n (přičemž "pravá strana" y 1, y m a "koeficienty" a ij jsou dány): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = y 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = y m Ax = y A x = y kde A M m n (R) (resp M m n (C)), x x R n (resp C n ), y y R m (resp C m ) Diskuse: 1 Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LAR Označme N A := { x R n (resp C n ); A x = 0} množinu řešení homogenní soustavy A x = 0 Potom platí: vždy je 0 N A, tedy N A ; pokud N A = {0}, říkáme, že homogenní soustava A x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x + β z N A 2 Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LAR Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y, pak všechna řešení soustavy A x = y mají tvar N x P + c J x J, (1) J=1 kde c J jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru N A a x J jsou (lineárně nezávislé) prvky báze prostoru N A Situaci z (1) někdy též formálně zachycujeme zápisem x P + N A Věta 85 Bud A M m n Potom y M m 1! x M n 1, A x = y N A = {0} Navíc platí: pokud N A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y M m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x M n 1 takové, že A x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x M n 1 takových, že A x = y (soustava má nekonečně mnoho řešení); tato řešení jsou pak tvaru x P + N A, kde x P je nějaké (jedno) řešení soustavy rovnic A x = y Definice Bud A M m n Hodností matice A (píšeme h(a)) nazveme maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A Tvrzení 86 Bud A M m n Potom h(a) = h(a T )

5 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 5 Důsledky: Definice hodnosti matice se nezmění, pokud v ní zaměníme slovo "sloupců" slovem "řádků" Pro A M m n je h(a) min(m,n) Definice Bud A M m n, y M m 1, x M n 1 Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) M m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y Věta 87 (Frobenius) Bud A M m n, y M m 1 Potom soustava A x = y je řešitelná (tj existuje alespoň jedno x M n 1 takové, že A x = y) h(a) = h(a; y) Poznámka: Vždy je h(a) h(a; y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A x = y nemá řešení h(a) < h(a; y) Věta 88 Bud A M m n (tedy n je počet sloupců matice A) Potom dimn A + h(a) = n Věta 89 (aneb 1 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dim N A = 0 Rekapitulace: Mějme soustavu rovnic A x = y, A M m n, y M m 1, tedy matice A má n sloupců Potom nastane právě jedna z těchto tří situací: 1 dim N A = 0:! x M n 1, A x = y 2 dim N A = n h(a) 1 & h(a) = h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y má nekonečně mnoho řešení tvaru x P + N A, kde x P je jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y 3 dim N A = n h(a) 1 & h(a) < h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y nemá žádné řešení (není řešitelná) Definice Matici A = (a ij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i > j Matici A = (a ij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i < j Poznámky: Matice je horní trojúhelníková a současně dolní trojúhelníková právě tehdy, když je diagonální Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení řešení soustavy A x = y jednoduché Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic A x = y: Upravujeme rozšířenou matici soustavy (A; y) s cílem obdržet na místě A horní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: prohození dvou řádků v matici (A; y) (odpovídá prohození pořadí rovnic v systému); vynechání řádku v matici (A; y), pokud tento řádek tvoří s některými dalšími řádky LZ množinu vektorů (odpovídá vynechání příslušných rovnic v systému);

6 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 6 vyškrtnutí nulových sloupců (odpovídá vynechání proměnné x j, která se nevyskytuje v soustavě rovnic, z vektoru řešení x); prohození dvou sloupců (odpovídá přečíslování proměnných x j ve vektoru řešení x); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y) Příklad 1 Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x + 3y+z= 5 (b) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x + 4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru [x, y, z] = [2, 0, 1] + c[1, 1, 5], c R, (dimn A = 1) (c) Právě jedno řešení: [x, y, z] = [ 12 5, 2 5, 1] 83 Determinanty a jejich výpočet Definice Determinant čtvercové matice A M n n, deta, definujeme induktivně takto: Pro A M 1 1, A = (a 11 ), definujeme deta := a 11 Pro A M n n, definujeme deta := n ( 1) j+1 a 1j detm 1j, kde M 1j je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1 řádku a j-tého sloupce j=1 Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A M 2 2, Sarusovo pravidlo pro A M 3 3 Poznámka Místo označení "det A" používáme někdy zkrácené značení: svislé čáry kolem prvků matice A Tedy a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Pravidla pro výpočet determinantů: Je: deta T = deta, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "řádek, řádky" slovy "sloupec, sloupce" Je-li à matice, kterou dostaneme z A prohozením (záměnou) dvou řádků, pak detã = deta Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, je det A = 0 Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant Vynásobíme-li nějaký řádek matice A číslem α, je determinant výsledné matice roven α det A

7 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 7 Tvrzení 810 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)) Označme M ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce Označme dále A ij := ( 1) i+j detm ij tzv algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A Potom platí: resp Poznámka n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij, j=1 j=1 n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij i=1 i=1 i = 1,,n, j = 1,,n Číslo detm ij nazýváme (i,j)-tým minorem matice A Pro všechna i = 1,,n resp j = 1,,n obecněji platí: n a ij A kj = δ ik deta, j=1 resp n a ij A ik = δ jk deta, i=1 kde δ ij je tzv Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1, δ ij = 0 pro všechna i j Tvrzení 811 Je-li A M n n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak n deta = a jj j=1 Bud te A,B M n n Potom det(a B) = deta detb Tvrzení 812 a 11 a 12 a 1n b k1 + c k1 b k2 + c k2 b kn + c kn = a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n = b k1 b k2 b kn + c k1 c k2 c kn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn

8 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 8 84 Použití determinantů k výpočtům 1 Regularita a hodnost matice Věta 813 (aneb 2 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0 Definice Subdeterminantem dané matice A M n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z matice A vyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupcůstupněm subdeterminantu detã nazveme stupeň (tj rozměr) příslušné (čtvercové) matice à Věta 814 Hodnost matice A M n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A 2 Výpočet inverzní matice Věta 815 Je-li A M n n regulární matice, pak prvky α ij její inverzní matice A 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji deta, kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji matice A i, j = 1,,n, 3 Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy A x = y Věta 816 Bud A M n n regulární matice, y M n 1 Potom složky x 1,,x n řešení rovnice A x = y jsou dány vzorci: kde matice A (i) y x i = deta(i) y deta, i = 1,,n, vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem y Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je = 5 0, = 2, = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1 Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 1 c)

9 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 9 4 Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům v R 3, jejich vektorový součin Definice (Kolmé vektory) Bud te x = (x 1,,x n ), y = (y 1,,y n ) dva vektory z R n Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud n x y := x j y j = 0 j=1 Výraz x y nazýváme skalárním součinem vektorů x y Poznámka Platí x y = y x Definice (Vektorový součin dvou vektorů z R 3 ) Bud te x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ) R 3 Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3 (2) Věta 817 Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y) x a y jsou lineárně nezávislé x y 0 Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y Poznámka Bud te x, y, z R 3 Potom z ( x y) = Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si) z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Označme i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) Definici vektorového součinu pak lze formálně zachytit i takto: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Poznámka Označme e 1 = (1,0,,0),, e n = (0,0,,1) R n Vektorový součin v R n lze definovat pro (n 1) vektorů x 1,, x n 1 R n pomocí následujícího determinantu: e 1 e 2 e n x 1 x 2 x n 1 x 1 1 x 1 2 x 1 n := x1 n 1 x2 n 1 xn n 1 Jsou-li vektory x 1,, x n 1 lineárně nezávislé v R n, je (nenulový) vektor x 1 x 2 x n 1 kolmý ke všem těmto vektorům 5 Objem rovnoběžnostěnu v R n Tvrzení 818 Necht a 1 = (a 1 1,,a1 n),, a n = (a n 1,,an n) je n lineárně nezávislých vektorů v R n Potom absolutní hodnota determinantu a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory

10 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty Závěrečné poznámky Věta 819 Bud A M m n (R) Potom zobrazení ϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x pro všechna x R n je lineární Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení Potom existuje právě jedna matice A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ Věta 820 Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. I. Základy lineární algebry

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. I. Základy lineární algebry MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. I. Základy lineární algebry 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet Vektorové prostory,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012 Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více