6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Transkript

1 Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných čísel. Bod A je určen jednoznačně trojicí reálných čísel a1, a2, a3. Píšeme A [ a1, a2, a3 ]. Vzdálenost dvou bodů Mějme v prostoru dány dva body A [ a1, a2, a3 ], B [ b 1, b 2, b 3 ]. Vzdáleností dvou bodů nazveme velikost úsečky AB a vypočteme ji podle vztahu: d ( b a ) ( b a ) ( b a ) Vektory v prostoru 6.1. Definice Vektor u je množina všech souhlasně orientovaných rovnoběžných úseček stejné délky. Je-li vektor u v prostoru určen orientovanou úsečkou AB, kde A [ a1, a2, a3 ], B [ b1, b2, b3 ], nazývají se čísla u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2, u 3 = b 3 a 3 souřadnice vektoru u Věta Pro velikost vektoru u u, u, u platí u u u u Pozn: Nulovým vektorem o nazýváme vektor, jehož počáteční a koncový bod splývají, takže jeho velikost se rovná nule. Jednotkovým vektorem nazýváme vektor, který má velikost rovnu jedné Věta Pro libovolné dva vektory u u, u, u, v v, v, v u v u v, u v, u v u v u v, u v, u v cu cu1, cu2, cu platí: 29

2 Operace s vektory Skalární součin 6.2. Definice Skalárním součinem u v dvou nenulových vektorů u, v v prostoru je číslo, pro které platí: u v u v cos, kde je úhel vektorů u, v. Jestliže jeden z vektorů u, v je nulový, definujeme: u v Věta Jsou-li vektory u, v dány svými souřadnicemi u ( u1, u2, u3) u v u v u v u v. platí: , v v, v, v, pak pro ně Vlastnosti skalárního součinu: 1) u v v u komutativní zákon, u v w u v u w distributivní zákon, 2) 3) dva vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je roven nule. Pozn. Vektory u, v, které jsou lineárně závislé, tj. u kv, kde k R se nazývají kolineární. Vektorový součin 6.3. Definice Nechť jsou dány vektory u ( u1, u2, u3), v v, v, v. Vektor který značíme u v, se nazývá vektorový součin vektorů u, v. u u u u u u,, v v v v v v , Pozn. vektorový součin vektorů u, v lze zapsat pomocí determinantu: i j k w u v u u u v v v Pozn. u v o u, v jsou LZ, u, v o vektorový součin vektorů u, v je vektor kolmý na vektory u, v velikost vektorového součinu vektorů u, v je roven ploše rovnoběžníka, který je tvořen vektory u, v 30

3 6.4. Věta Pro každé dva vektory u, v V3 platí u v u v sin, kde je úhel vektorů u, v. Smíšený součin 6.4. Definice Číslo u v w se nazývá smíšený součin vektorů u, v, w V 3 Pozn: smíšený součin lze vyjádřit jako determinant u u u u v w v v v w w w Věta Nechť u, v, w V3 jsou lineárně nezávislé vektory. Pak u v w je rovna objemu šikmého hranolu (rovnoběžnostěnu). Šestina tohoto objemu je rovna objemu čtyřstěnu určeného vektory u, v, w. Pozn: Lineárně závislé vektory u, v, w se nazývaji komplanární (leží v jedné rovině). Lineární útvary v prostoru Rovina Obr. 1. vektorová rovnice roviny: X A r u sv, u, v jsou lineárně nezávislé vektory r, s R 31

4 2. parametrické rovnice roviny: x x ru sv y y ru sv z z ru sv 0 3 3,,, X x, y, z, A x y z nezávislé vektory, r, s R, u, v jsou lineárně 3. obecná rovnice roviny: ax by cz d 4. zápis obecné rovnice roviny pomocí determinantu: 0, n a, b, c x x y y z z u u u v v v A x0, y0, z0 x y z 5. úsekový tvar rovnice roviny: 1, m,n,p jsou úseky vyťaté rovinou na osách m n p x,y,z. 0 Přímka 1. vektorová rovnice přímky: X A tu, u je směrový vektor přímky, t R 2. parametrické rovnice přímky: x x tu 0 1 y y tu 0 2 z z0 tu3 A x0, y0, z0, X x, y, z,, u ( u1, u2, u3) přímky, t R je směrový vektor 3. přímka je dána jako průsečnice dvou různoběžných rovin p 1 2 : a x b y c z d : a x b y c z d

5 Vzájemná poloha lineárních útvarů v prostoru 1. vzájemná poloha 2 přímek dvě přímky v prostoru mohou být : rovnoběžné různoběžné mimoběžné 1.1 řešíme pomocí směrových vektorů obou přímek (viz. kap. vektorová algebra) 1.2 řešíme společné body 2 přímek pomocí soustavy rovnic a : X A tu b : Y B rv A tu B rv, rozepíšeme do složek a b rv tu a b rv tu a b rv tu o soustava nemá žádné řešení a u, v jsou LZ přímky a,b jsou rovnoběžné různé o soustava nemá žádné řešení a u, v jsou LN přímky a,b jsou mimoběžné o soustava má právě 1 řešení a u, v jsou LN přímky a,b jsou různoběžné o soustava má nekonečně mnoho řešení a u, v jsou LZ přímky a,b jsou 2. vzájemná poloha 2 rovin dvě roviny v prostoru mohou být : rovnoběžné různé různoběžné, mají společnou přímku 2.1 roviny jsou dány obecnými rovnicemi 1 : a1 x b1 y c1 z d1 0 řešíme jako soustavu rovnic : a x b y c z d o soustava nemá žádné řešení roviny jsou rovnoběžné, různé o soustava má nekonečně mnoho řešení závislé na 1 parametru roviny jsou různoběžné o soustava má nekonečně mnoho řešení závislé na 2 parametrech roviny jsou 33

6 2.2 roviny jsou dány vektorovými rovnicemi 1 : X A ka lb 2 : Y B mc nd po rozepsání do složek dostaneme 3 rovnice o 4 neznámých k,l,m,n. o soustava nemá žádné řešení roviny jsou rovnoběžné, různé o soustava má nekonečně mnoho řešení závislé na 1 parametru roviny jsou různoběžné o soustava má nekonečně mnoho řešení závislé na 2 parametrech roviny jsou 3. vzájemná poloha přímky a roviny rovnice přímky a rovnice roviny určují soustavu o soustava nemá žádné řešení přímka je rovnoběžná s rovinou o soustava má právě 1 řešení přímka má s rovinou společný právě jeden bod o soustava má nekonečně mnoho řešení přímka leží v rovině Metrické vlastnosti lineárních útvarů v prostoru 1. vzdálenost bodu od roviny X, = d a x b y c z d a b c, : ax by cz d 0, X x, y, z 2. vzdálenost bodu od přímky nejčastěji řešíme pomocí vlastností vektorového součinu a plochy rovnoběžníka u v X, p, v AX u 3. vzdálenost 2 rovnoběžných rovin : ax by cz d 0 : ax by cz d 0 2 1, d d 2 1 a b c

7 4. odchylka dvou přímek - definujeme pomocí směrových vektorů daných přímek: u v cos u v 5. odchylka dvou rovin - definujeme pomocí normálových vektorů daných rovin: n n cos n n 6. odchylka přímky od roviny - definujeme pomocí směrového vektoru přímky a u n normálového vektoru roviny: sin cos, u n 2 35