Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Transkript

1 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a a 1i a D i = 21 a a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna i=1,2,...,n. Ajenegativnědefinitní,právěkdyž D i >0 provšechnasudá iad i <0provšechnalichá i. Existuje-lisudé i,že D i <0,nebodvělichá j,kže, D j <0,D k >0,pakje Aindefinitní Maticová algebra Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1

2 2 Násobení matice reálným číslem: vynásobíme každý prvek tímto číslem: c A=c (a ij ) m n =(c a ij ) m n, c R. Platí: A, B, C -maticestejnéhotypu, k, l- čísla (1) A+B= B+A, (2) (A+B)+C= A+(B+C), (3) k(a+b)=ka+kb, (4) (k+l)a=ka+la, (5) k(la) =(kl)a. Skalárnísoučinvektorů ā, bječíslo: ā b= (a 1,a 2,...,a n ) (b 1,b 2,...,b n )=a 1 b 1 +a 2 b a n b n. Součin matic.dvě matice lze vynásobit pouze tehdy, má-li první matice tolik sloupců, kolik druhářádků: je-limatice Atypu m n,matice Btypu n p,paklzeprovéstsoučin A B(a výsledkem bude matice typu m p). Označímeliprvkymatice A Bjako c ij,pakplatí,žeprvek 2

3 c ij jeskalárnímsoučinem i-téhořádkumatice A a j-tého sloupce matice B: 3 A B= a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a m1 a m2... a mn b b 1j... b 1p b b 2j... b 2p b n1... b nj... b np tedy c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a in b nj. Vlastnosti násobení matic Platí: A, B, C, J-maticevhodnýchtypů, c- číslo (1) Násobení matic není komutativní. (2) J-jednotkovámatice; A m n J n n = A m n, J m m A m n = A m n, (3) cab= AcB= ABc, (4) A(BC) =(AB)C, (5) A(B+C)=AB+AC, (6) (A+B)C= AC+BC. 3

4 4 Regulární matice, singulární matice Čtvercová matice se nazývá regulární, má-li lineárně nezávislé řádky. Matice typu n n je tedy regulární, je-li h = n. Čtvercová matice, která má lineárně závislé řádky, se nazývá singulární. Matice typu n n je tedy singulární, je-li h < n. Platí: Součin regulárních matic je regulární matice. Inverzní matice Nechť A je čtvercová matice. Inverzní maticí k matici A nazvemematici A 1,prokterouplatí A A 1 = J. Platí: A 1 existuje,právěkdyž Ajeregulární. Ke každé regulární matici existuje právě jedna inverzní matice. Poznámka.Ksingulárnímaticitedyinverzní matice neexistuje. 4

5 5 Platí:Je-li Aregulární,pak A 1 jetakéregulární. Platí: A, B - regulární matice stejného řádu, c R, c 0 (1) (A 1 ) 1 = A,tedymatice Ajeinverzní kmatici A 1 -matice AaA 1 jsounavzájem inverzní. (2) AA 1 = A 1 A=J, (3) (AB) 1 = B 1 A 1, (4) (ca) 1 = 1 c A 1. Výpočet inverzní matice Vpravo od matice A napíšeme jednotkovou matici stejného řádu, oddělíme svislou čarou a úpravami na řádcích této dvojmatice převedeme matici A na jednotkovou matici(jordanova metoda). Se sloupci matice žádné úpravy neprovádíme. Pokud je A regulární, vznikne na místějednotkovématicematice A 1 : (A J)... (J A 1 ). 5

6 6 Maticové rovnice Uvažujme maticovou rovnici AX = B, resp. XA=Bkde A n n, B n p jsoudanématice, X je neznámá matice. Vynásobíme rovnici maticí inverzní k matici A, pokud A je regulární. Protože násobení matic není komutativní, je třeba rozlišovat násobení rovnice maticí zprava nebo zleva. Platí:Je-li Aregulární,márovnice AX = B právějednořešení X= A 1 B,rovnice XA=B právějednořešení X= BA 1. Je-li A singulární, neznamená to, že rovnice nemá řešení, ale musí se řešit jiným způsobem ( členpočlenu ). Nelze-li z rovnice vyjádřit X, protože nelze vytknout(např. AX= XA),musíseřešit člen počlenu. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Každou soustavu lze zapsat jako maticovou rovnici A x= b,kde A m n jematicesoustavy, 6

7 x=(x 1,...,x n ) T (tj.sloupcovývektor)jevektor neznámýcha b=(b 1,...,b m ) T (sloupcovývektor) je vektor pravých stran soustavy. Homogennísoustavulzezapsatjakorovnici A x=ō. Řešení soustavy užitím inverzní matice SoustavuA x= blzetedyřešitjakomaticovou rovnici.je-li Aregulárnímatice,pak x=a 1 b. Vlastní(charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x=λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci(sloupcový vektor) a λ je neznámé komplexní číslo. Komplexní číslo λ, pro které má rovnice nenulové řešení x, se nazývá vlastní(charakteristické) číslo matice A. Nenulový vektor x, který je řešením rovnice, se nazývá vlastní(charakteristický) vektor matice A. 7 7

8 8 Maticovou rovnici lze upravit na tvar A x λ x=ō (A λj) x=ō, jedná se nyní o homogenní soustavu lineárních rovnic. Ta má nenulové(netriviální) řešení, právě když její matice je singulární, neboli když má nulový deteminant. Vlastní čísla lze tedy získat řešením charakteristické rovnice: A λj =0. Vlastní čísla k. f. Platí: Symetrickou matici A lze převést na kanonickýtvar D,kdenadiagonále Djsouvlastní čísla A. Pak můžeme podle vlastních čísel určit typ KF. Maticový zápis kvadratické formy k( x)=k(x 1,x 2,...,x n )= xa x T. 8