Zvyšování kvality výuky technických oborů

Transkript

1 Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami Kapitola 20 Rozklad výrazů na součin vytýkáním RNDr. Jana Nováková

2 Obsah ÚVOD - ANOTACE ROZKLAD VÝRAZŮ NA SOUČIN VYTÝKÁNÍM PRACOVNÍ LIST ROZKLAD VÝRAZŮ NA SOUČIN VYTÝKÁNÍM DOPORUČENÁ LITERATURA POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 7

3 Úvod - anotace Výukový materiál Rozklad výrazů na součin vytýkáním je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky. Výukový materiál se zabývá výkladem pravidel pro rozklad výrazů (mnohočlenů) na součin vytýkáním. Výklad je doplněn pracovním listem na procvičování. 1

4 1 Rozklad výrazů na součin vytýkáním Vytýkání před závorku se dá použít, když všechny členy výrazu jsou násobkem stejného činitele, jeho vytknutí před závorku rozloží daný výraz na součin. ac + bc = c(a + b) Rozložte na součin výrazy vzorové úlohy: a) 2a 2b = b) 4x 2y = c) 6x 9y = d) 5x - xy = e) x 3 + x 4 = f) a 2 ab = a) 2(a-b) b) 2(2x-y) c) 3(2x-3y) d) x(5 y) e) x 3 (1 + x) f) a(a b) Pozor! Vytýkáme-li před závorku celý člen výrazu, nezůstane po něm 0, ale 1. Poznámka: V případě přítomnosti více mocnin, vytýkáme mocninu s nejmenším mocnitelem. Procvičte si: a) 4x 5 8x 3 = b) 12x 18y = c) 25a 7-5a 3 = d) 36p 3 r 2 s + 48p 2 rs 2 = e) -5mn 2 + 4m 2 n mn = a) 4x 3 (x 2 2) b) 6(2x 3y) c) 5a 3 (5a 4 1) d) 6p 2 rs(6pr + 8s) e) mn(-5n + 4m 1) Poznámka: O správnosti vytýkání se můžeme přesvědčit roznásobením získaných výrazů. Často bývá výhodné vytknout -1. Dosáhneme tím změny znamének u všech členů daného výrazu. 2

5 Vytkněte -1 z výrazů: a) -u 2 + t 3 = b) -2a 5b = c) 1 4x 7x 2 = a) -1(u 2 - t 3 ) b) -1(2a + 5b) c) -1(-1 + 4x + 7x 2 ) Platí: x y = (-1)(-x + y) = -(-x + y) = -(y x) Někdy se z daného výrazu dá vytknout nejen jednočlen. Rozložte na součin: a) 3(a + 1) b(a + 1) = b) 2rs + 5r + 4s + 10 = c) 2a 3 + 3a 2 2a 3 = d) 2ax 3by 2bx + 3ay = a) oba členy výrazu obsahují (a + 1), tedy 3(a + 1) b(a + 1) = (a + 1)(3 b) b) 2 a 2 členy daného čtyřčlenu mají společné činitele (r; 2), tedy 2rs + 5r + 4s + 10 = r(2s + 5) + 2(2s + 5) = (2s + 5)(r + 2) c) 2a 3 + 3a 2 2a 3 a 2 (2a + 3) -1(2a + 3) = (2a + 3)(a 2 1) = (2a + 3)(a 1)(a + 1) d) 2ax 3by 2bx + 3ay = lépe změnit pořadí, tedy 2ax 2bx 3by + 3ay = 2x(a b) + 3y(-b + a) = (a b)(2x + 3y) Procvičte si: a) 5r + 5s rt st = b) x(5 y) + 5(y 5) = a) (r + s)(5 t) b) (5 y)(x 5) 3

6 1.1 Pracovní list Rozklad výrazů na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin: a-ab 10x-5 4p+6q 3r-6rs 2x 5 -x 4 2a 2 +4a 3mn 3-9n 2 xy 3 z 2 +x 2 yz 2 2. Rozložte na součin: 4ab+2bc-6bd 5a 2 +15a 4-20a 3 2a 2 b 2 c 3 -ab 2 c 2 +a 3 b 3 c 48a 2 b+32ab 2 +16a 2 b 2 3. Z daných výrazů vytkněte -1: -x-y 3x-2y 5m+9-8+3c -3r 2-5rs-1-2r+4s 2-8 -a 3 +2a 2 4. Rozložte na součin: a) x(m - n) + 5(m n) = b) (4 - p) 2q(4 p) = c) 3d(c + ab) 8(ab + c) = 5. Rozložte na součin: a) x(a 1) + 2(1 a) = b) 4(x y) - 7z(y x) = c) a 2 (2a 3) + (3 2a) = 6. Rozložte na součin: a) y(3 + z) z = b) u(2 v) 2 + v = c) a 3 a 2 + a - 1 = 4

7 Výsledky: 1. a-ab 10x-5 4p+6q 3r-6rs 2x 5 -x 4 2a 2 +4a 3mn 3-9n 2 xy 3 z 2 +x 2 yz 2 a(1-b) 5(2x-1) 2(2p+3q) 3r(1-2s) X 4 (2x-1) 2a(a+2) 3n 2 (mn-3) xyz 2 (y 2 +x) 2. 4ab+2bc-6bd 5a 2 +15a 4-20a 3 2a 2 b 2 c 3 -ab 2 c 2 +a 3 b 3 c 48a 2 b+32ab 2 +16a 2 b 2 2b(2a+c-3d) 5a 2 (1+3a 2-4a) ab 2 c(2ac 2 -c+a 2 b) 16ab(3a+2b+ab) 3. -x-y 3x-2y 5m+9-8+3c -3r 2-5rs-1-2r+4s 2-8 -a 3 +2a 2-1(x+y) -1(2y-3x) -1(-5m-9) -1(8-3c) -1(3r 2 +5rs+1) -1(2r-4s 2 +8) -1(a 3-2a 2 ) 4. a) (m n)(x + 5); b) (4 p)(1 2q); c) (c + ab)(3d 8) 5. a) (a 1)(x 2); b) (x y)(4 + 7z); c) (2a 3)(a 1)(a + 1) 6. a) (3 + z)(y + 1); b) (2 v)(u 1); c) (a 2 + 1)(a 1) 5

8 2 Doporučená literatura 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, ISBN Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN

9 3 Použitá literatura a zdroje 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, ISBN Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN RNDr. Hudcová, Milada, Mgr. Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN RNDr. Kubát, Josef, RNDr. RNDr. Hrubý, Dag, Mgr. Pilgr, Josef. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Maturitní minimum. Prometheus, spol. s r. o., Praha, ISBN