Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz

Transkript

1 Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz (2 + 5) * (13-4) * listy stromu obsahují operandy (čísla) - vnitřní uzly obsahují operátory (znaménka) - závorky ve stromě nejsou, pořadí vyhodnocení je určeno strukturou stromu Pavel Töpfer, 2019 Programování

2 type Uk = ^Uzel; Uzel = record Znam: char; {znaménko + - * /} Hod: real; {hodnota uložená v listu} L, R: Uk {levý a pravý syn} end; - neukládají se závorky (uzávorkování je kódováno strukturou stromu) - je třeba odlišit listy (např. položka Znam nebo stačí L = nil) (2 + 5) * (13-4) * Pavel Töpfer, 2019 Programování

3 Vyhodnocení aritmetického výrazu reprezentovaného binárním stromem rekurzívně (metoda Rozděl a panuj): function Vyhodnot(K: uzel): real; {K je ukazatel na kořen stromu} begin if K je list then Vyhodnot := hodnota listu K else begin L := Vyhodnot(levý podstrom uzlu K); R := Vyhodnot(pravý podstrom uzlu K); Vyhodnot := s hodnotami podstromů proveď operaci určenou znaménkem v uzlu K; end end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

4 function Vyhodnot(K: Uk): real; {K je ukazatel na kořen stromu} begin with K^ do case Znam of Vyhodnot := Hod; '+': Vyhodnot := Vyhodnot(L) + Vyhodnot(R); '-': Vyhodnot := Vyhodnot(L) - Vyhodnot(R); '*': Vyhodnot := Vyhodnot(L) * Vyhodnot(R); '/': Vyhodnot := Vyhodnot(L) / Vyhodnot(R) end end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

5 Notace aritmetického výrazu - průchod binárním stromem reprezentujícím aritmetický výraz - v navštívených uzlech vypisujeme uloženou hodnotu (2 + 5) * (13-4) * průchod preorder PREFIX * průchod inorder INFIX (bez závorek!) * 13-4 průchod postorder POSTFIX * Pavel Töpfer, 2019 Programování

6 průchod preorder PREFIX * průchod inorder INFIX (bez závorek!) * 13-4 průchod postorder POSTFIX * - vždy stejné pořadí operandů listy stromu procházíme ve všech případech zleva doprava - v prefixovém zápisu operátor bezprostředně předchází své dva operandy, v postfixovém je následuje - v prefixovém a postfixovém zápisu výrazu nejsou závorky, pořadí vyhodnocování je plně určenou strukturou výrazu - inorder průchod stromem vytvořil chybný infixový zápis bez závorek, z něhož není zřejmé pořadí vyhodnocování výrazu Terminologická poznámka: prefix = polská notace (Polish notation) Łukasiewicz postfix = reverzní polská notace (reverse Polish notataion, RPN) Pavel Töpfer, 2019 Programování

7 Získání správného infixového zápisu výrazu: procedure Infix(K: uzel); begin if K je list then write(hodnota uzlu K - číslo) else begin write('('); Infix(levý syn uzlu K); write(hodnota uzlu K - znaménko); Infix(pravý syn uzlu K); write(')') end end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

8 Vyhodnocení výrazu v postfixové notaci - snadné, využití např. u kalkulaček, v překladačích - jeden průchod zápisem výrazu zleva doprava - zásobník na ukládání číselných hodnot Postup zpracování postfixového zápisu: číslo vložit do zásobníku znaménko vyzvednout ze zásobníku horní dvě čísla provést s nimi operaci určenou znaménkem výsledek operace vložit do zásobníku konec na zásobníku je jediné číslo = hodnota výrazu - pozor na pořadí operandů u nekomutativních operátorů (na vrcholu zásobníku je pravý operand, pod ním levý) - časová složitost O(N), kde N je délka výrazu Pavel Töpfer, 2019 Programování

9 Vyhodnocení výrazu v prefixové notaci 1. možnost: - průchod výrazem odzadu, postup jako u postfixu - pouze se změní pořadí operandů při vyzvednutí ze zásobníku: na vrcholu zásobníku je levý operand, pod ním pravý - časová složitost O(N), kde N je délka výrazu Pavel Töpfer, 2019 Programování

10 2. možnost: - jeden průchod zápisem výrazu zleva doprava - zásobník na ukládání znamének a číselných hodnot Postup zpracování prefixového zápisu odpředu: - znaménko nebo číslo vložit do zásobníku - když se na vrcholu zásobníku sejdou dvě čísla vyzvednout je ze zásobníku, dále vyzvednout znaménko uložené pod nimi, provést s čísly operaci určenou znaménkem a výsledek operace vložit do zásobníku (což může opětovně vyvolat tentýž proces vyhodnocení) - konec na zásobníku je jediné číslo = hodnota výrazu - pozor na pořadí operandů u nekomutativních operátorů (na vrcholu zásobníku je pravý operand, pod ním levý) - časová složitost O(N), kde N je délka výrazu Pavel Töpfer, 2019 Programování

11 3. možnost: rekurze - rekurzivní funkce na vyčíslení prefixového zápisu od zadaného indexu - když je prvním znakem výrazu číslice, výrazem je jen jedno číslo funkce vrátí jeho hodnotu (a posune index za něj) - když je prvním znakem znaménko, funkce provede dvě rekurzivní volání a s výsledky vykoná operaci naznačenou tímto znaménkem - celkem se provede jeden průchod zápisem výrazu zleva doprava - časová složitost O(N), kde N je délka výrazu Pavel Töpfer, 2019 Programování

12 Převod infix postfix - jeden průchod zápisem výrazu zleva doprava, časová složitost O(N) - zásobník na ukládání znamének - v postfixovém zápisu jsou čísla ve stejném pořadí jako v infixovém, znaménka je třeba pozdržet na zásobníku Postup zpracování infixového zápisu: číslo zapsat přímo na výstup levá ( do zásobníku pravá ) ze zásobníku postupně přenést na výstup všechna znaménka až k nejbližší uložené levé závorce, pak levou ( ze zásobníku i pravou ) ze vstupu zrušit znaménko do zásobníku předtím ale ze zásobníku postupně přenést na výstup všechna znaménka vyšší nebo stejné priority, nejvýše ale k první uložené levé ( konec ze zásobníku přenést na výstup všechna znaménka Pavel Töpfer, 2019 Programování

13 Vyhodnocení výrazu v infixové notaci - spojení dvou předchozích algoritmů: * převod výrazu z infixu do postfixu v čase O(N) * vyhodnocení postfixové notace v čase O(N) celková časová i paměťová složitost O(N) - obě fáze výpočtu se mohu provádět * buď postupně (s uložením vytvořené postfixové notace výrazu) * nebo souběžně (vznikající postfixová notace se neukládá, ale rovnou průběžně vyhodnocuje) algoritmus používá dva zásobníky jeden na znaménka a druhý na čísla Pavel Töpfer, 2019 Programování

14 Postavení binárního stromu ze zápisu výrazu postfixová nebo prefixová notace algoritmus podobný jako při vyhodnocování výrazu, do zásobníku se vždy ukládá odkaz (adresu) na nově vytvořený uzel a místo provádění operací se uzly s operandy zapojují pod uzel s operátorem jako jeho synové infixová notace nejprve ji převedeme na postfixovou notaci Pavel Töpfer, 2019 Programování

15 Binární vyhledávací strom BVS (BST - binary search tree) - datová struktura pro ukládání a vyhledávání dat podle klíče - pro každý uzel platí: všechny záznamy uložené v levém podstromu mají menší klíč všechny záznamy uložené v pravém podstromu mají větší klíč (platí pro všechny záznamy v podstromu, nestačí jen pro syny!) při vyhledávání není třeba procházet celý strom, stačí projít jednu cestu od kořene k listu časová složitost vyhledávání je v nejhorším případě určena výškou stromu Pavel Töpfer, 2019 Programování

16 Výška H binárního stromu o N uzlech = délka nejdelší cesty z kořenu do listu minimum vyvážený strom N = H = 2 H+1 1 maximum degenerovaný strom H N H log 2 N v průměrném případě výška O(log N) Pavel Töpfer, 2019 Programování

17 Hledání hodnoty v BVS function Hledej(P: Uk; H: integer): Uk; {v BVS s kořenem P hledá hodnotu H, vrací odkaz na nalezený uzel, resp. nil} var Sestup: boolean; begin Sestup := P <> nil; while Sestup do begin if H = P^.Hodnota then Sestup := false else if H < P^.Hodnota then P := P^.L else {H > P^.Hodnota} P := P^.R; if P = nil then Sestup := false end; Hledej := P; end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

18 Rekurzivní řešení téže funkce: function Hledej(P: Uk; H: integer): Uk; {v BVS s kořenem P hledá hodnotu H, vrací odkaz na nalezený uzel, resp. nil} begin if P = nil then Hledej := nil else if H = P^.Hodnota then Hledej := P else if H < P^.Hodnota then Hledej := Hledej(P^.L, H) else {H > P^.Hodnota} Hledej := Hledej(P^.R, H) end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

19 Přidání hodnoty do BVS - novou hodnotu musíme přidat tam, kde ji budeme hledat - přidává se vždy do nového listu - postupuje se stejně jako při hledání hodnoty v BVS, dokud se nenarazí na nil-ový ukazatel a do toho místa se přidá nový uzel - technická realizace: při průchodu stromem od kořene k listu udržovat pomocný ukazatel o jeden krok pozadu, pomocí něj pak připojit do stromu nový uzel - časová složitost je opět dána výškou stromu, v průměrném případě O(log N) Pavel Töpfer, 2019 Programování

20 Vypuštění hodnoty z BVS - nejprve průchodem od kořene směrem k listu najít uzel s vypouštěnou hodnotou (a jeho předchůdce ve stromě) - pokud je to list, zruší se (v předchůdci nastavit nil) - pokud má jen jednoho následníka, uzel se zruší a jeho následník se přepojí místo něj (předchůdce tedy bude místo na rušený uzel ukazovat na jeho jediného následníka) - pokud má dva následníky, uzel se nemůže fyzicky zrušit; smaže se jen jeho dosavadní hodnota a nahradí se jinou vhodnou hodnotou ze stromu. Tou je buď nejmenší hodnota z pravého podstromu nebo naopak největší hodnota z levého podstromu rušeného uzlu. Tato náhradní hodnota leží jistě v listu nebo v uzlu s jediným následníkem, její původní uzel tedy umíme snadno zrušit. Pavel Töpfer, 2019 Programování

21 - časová složitost vypuštění uzlu z BVS je opět dána výškou stromu, v průměrném případě O(log N) celkově se prošlo stromem pouze jednou od kořene k listu Pavel Töpfer, 2019 Programování

22 Hledání hodnoty v BVS s použitím zarážky (alternativa k předchozímu řešení) - jeden speciální uzel navíc slouží jako zarážka při hledání (vkládá se do něj hledaná hodnota) - všechny ukazatele L, R v uzlech stromu s hodnotou nil nahradíme ukazateli směřujícími na tento uzel function Hledej(P, Zarazka: Uk; H: integer): Uk; begin Zarazka^.Hodnota := H; while P^.Hodnota <> H do if H < P^.Hodnota then P := P^.L else {H > P^.Hodnota} P := P^.R; if P = Zarazka then Hledej := nil else Hledej := P; end; Pavel Töpfer, 2019 Programování

23 Vyvážené stromy cíl: zajistit výšku stromu O(log N) v případě BVS časová složitost všech operací O(log N) Dokonale vyvážený binární strom pro každý uzel platí: počet uzlů v jeho levém a pravém podstromu se liší nejvýše o 1 - nejlepší možné vyvážení, výška stromu s N uzly je log N - lze snadno postavit z předem známé množiny hodnot - je obtížné udržovat strom dokonale vyvážený při přidávání a odebírání hodnot proto se v praxi používají jiné (slabší) definice vyváženosti, strom nebude tak dokonale vyvážený, ale půjde snadněji udržovat Pavel Töpfer, 2019 Programování

24 AVL strom (G. M. Adeľson-Velskij, E. M. Landis, 1962) pro každý uzel platí: výška jeho levého a pravého podstromu se liší nejvýše o 1 - slabší požadavek, ale stačí: AVL-strom je maximálně o 45% vyšší než dokonale vyvážený strom se stejným počtem uzlů - každý dokonale vyvážený strom je AVL-stromem - AVL-strom nemusí být dokonale vyvážený Příklad: Pavel Töpfer, 2019 Programování

25 Postavení dokonale vyváženého binárního stromu s N uzly function DVBS(N: integer): Uk; var S: Uk; begin if N = 0 then DVBS:=nil else begin new(s); S^.L:=DVBS((N-1) div 2); S^.R:=DVBS(N-1 (N-1) div 2); DVBS:=S end end; Funkce vrací ukazatel na kořen sestrojeného stromu. Info-hodnoty uzlů ve stromu zatím nejsou definovány. Pavel Töpfer, 2019 Programování

26 Postavení dokonale vyváženého binárního vyhledávacího stromu s danými N hodnotami v uzlech 1. varianta řešení: - nejprve postavit dokonale vyvážený binární strom s N uzly pomocí předchozí funkce DVBS (hodnoty uzlů zatím nejsou definovány) - hodnoty setřídit - projít sestrojený strom metodou inorder a přitom do uzlů stromu postupně zapisovat hodnoty v pořadí od nejmenší po největší 2. varianta řešení: - hodnoty nejprve setřídit v poli A[1..N] - při konstrukci stromu rovnou vkládat do Info-položek uzlů hodnoty - parametry funkce Strom určují rozsah indexů v poli A (které hodnoty z pole A patří do příslušného podstromu) - funkce bude volána Strom(1,N), vrací ukazatel na kořen sestrojeného stromu Pavel Töpfer, 2019 Programování

27 function Strom(X, Y: integer): Uk; var S: Uk; begin if X > Y then Strom:=nil else begin new(s); S^.Info:=A[(X+Y) div 2]; S^.L:=Strom(X, (X+Y) div 2 1); S^.R:=Strom((X+Y) div 2 +1, Y); Strom:=S end end; Pavel Töpfer, 2019 Programování