Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů

Transkript

1 Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) Připomeňme, že konečná posloupnost u 1, u 2,, u n vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže vektory u 1, u 2,, u n jsou lineárně nezávislé a přitom vektory u 1, u 2,, u n generují celý prostor V, což znamená, že u 1, u 2,, u n = V Poznamenejme ale, že bez dalších předpokladů není ničím zaručeno, že by v daném vektorovém prostoru musela nějaká báze existovat Rovněž odnikud neplyne, že by taková báze snad měla být jen jediná, pokud existuje Existuje-li ve vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) konečná podmnožina M V taková, že M = V, říkáme, že vektorový prostor je konečně generovaný Je-li přitom (V, +, ) nenulový konečně generovaný vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), pak z každé podmnožiny N V takové, že N = V, lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ) Navíc tvoří-li za tohoto předpokladu posloupnosti vektorů f 1, f 2,, f m a g 1, g 2,, g n dvě báze vektorového prostoru (V, +, ), pak platí rovnost m = n Všechny báze nenulového konečně generovaného vektorového prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) mají tedy stejný počet vektorů Pak počet n vektorů kterékoliv báze tohoto vektorového prostoru se nazývá dimenze vektorového prostoru (V, +, ) O prostoru (V, +, ) samotném pak říkáme, že je to vektorový prostor konečné dimenze, anebo že je to konečněrozměrný vektorový prostor Báze konečněrozměrných vektorových prostorů označujeme malými řeckými písmeny z počátku abecedy Takže je-li například konečná posloupnost u 1, u 2,, u n vektorů z vektorového prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) bází tohoto vektorového prostoru, zapisujeme to kupříkladu ve tvaru α = (u 1, u 2,, u n ) Nechť (V, +, ) je nenulový konečněrozměrný vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a nechť β = (f 1, f 2,, f n ) je některá báze 1

2 tohoto prostoru Pak pro každý vektor u V existují jednoznačně určené prvky s 1, s 2,, s n T takové, že u = s 1 f 1 + s 2 f s n f n Prvky s 1, s 2,, s n se pak nazývají souřadnice vektoru u v bázi β vektorového prostoru (V, +, ) Pro posloupnost těchto souřadnic (s 1, s 2,, s n ) vektoru u zapsanou ovšem jako sloupec používáme označení (u) β Předchozí rovnost pak můžeme zapsat ve tvaru s 1 u = ( ) f 1 f 2 f n s 2, s n anebo stručně ve tvaru u = β (u) β Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ) Připomeňme dále, že, zobrazení ϕ : V W splňující podmínky: ( u, v V)(ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)), ( s T )( u V)(ϕ(s u) = s ϕ(u)) se nazývá lineární zobrazení nebo též homomorfismus vektorového prostoru (V, +, ) do vektorového prostoru (W, +, ) Navíc víme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky: ϕ(o) = o a ( u V)(ϕ( u) = ϕ(u)) Nechť nyní (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem (T, +, ), nechť posloupnosti vektorů γ = (g 1, g 2,, g n ) a δ = (h 1, h 2,, h m ) jsou báze těchto vektorových prostorů a nechť ϕ : V W je lineární zobrazení mezi těmito prostory Nechť pro každé j {1, 2,, n} jsou prvky a 1j, a 2j,, a mj T souřadnice vektoru ϕ(g j ) v bázi δ, takže platí ϕ(g j ) = a 1j h 1 + a 2j h a mj h m Pak matice A = (a ij ) typu m/n nad tělesem (T, +, ) se nazývá matice lineárního zobrazení ϕ v bázích γ a δ Pro tuto matici A zavádíme označení (ϕ) δγ 2

3 Zavedeme-li ještě označení ϕ(γ) = (ϕ(g 1 ), ϕ(g 2 ),, ϕ(g n )) pro posloupnost obrazů vektorů báze γ při lineárním zobrazení ϕ, pak právě uvedená definice matice (ϕ) δγ lineárního zobrazení ϕ v bázích γ a δ znamená, že platí rovnost ϕ(γ) = δ (ϕ) δγ Nechť dále v této situaci u je libovolný vektor z V, nechť (u) γ jsou souřadnice (x 1, x 2,, x n ) vektoru u v bázi γ zapsané do sloupce a nechť (ϕ(u)) δ jsou souřadnice (y 1, y 2,, y m ) vektoru ϕ(u) v bázi δ zapsané do sloupce Pak platí y 1 neboli, zapsáno stručně, platí x 1 y 2 = (ϕ) δγ x 2, y m x n (ϕ(u)) δ = (ϕ) δγ (u) γ Nechť opět (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ) a nechť ϕ : V W je lineární zobrazení těchto vektorových prostorů Pak množina vektorů Ker ϕ = {u V ϕ(u) = o} se nazývá jádro lineárního zobrazení ϕ Toto jádro Ker ϕ lineárního zobrazení ϕ je podprostor vektorového prostoru (V, +, ) Dále množina vektorů ϕ(v) = {ϕ(u) u V} se nazývá obraz při lineárním zobrazení ϕ Užívá se pro ni též označení Im ϕ Tento obraz Im ϕ při lineárním zobrazení ϕ je podprostor ve vektorovém prostoru (W, +, ) Předchozí formule poskytuje prostředek, jak tyto podprostory vypočíst v případě, jsou-li (V, +, ) a (W, +, ) vektorové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ) Nechť nyní (U, +, ), (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ) a nechť β, γ a δ jsou báze těchto vektorových prostorů Nechť ϕ : U V a ψ : V W jsou lineární zobrazení uvedených vektorových prostorů Nechť (ϕ) γβ je matice zobrazení ϕ v bázích β a γ a nechť (ψ) δγ je matice zobrazení 3

4 ψ v bázích γ a δ Potom pro matici (ψ ϕ) δβ složeného lineárního zobrazení ψ ϕ : U W v bázích β a δ platí (ψ ϕ) δβ = (ψ) δγ (ϕ) γβ Tuto skutečnost lze nahlédnout následovně S využitím výše zavedeného označení podle definice matic (ϕ) γβ a (ψ) δγ máme rovnosti Odtud postupně vychází ϕ(β) = γ (ϕ) γβ a ψ(γ) = δ (ψ) δγ (ψ ϕ)(β) = ψ(ϕ(β)) = ψ(γ (ϕ) γβ ) = ψ(γ) (ϕ) γβ = δ (ψ) δγ (ϕ) γβ, neboť ψ je lineární zobrazení, takže jeho aplikací na jednotlivé vektory posloupnosti ϕ(β) obdržíme prostřední z výše uvedených rovností To dokazuje, že (ψ) δγ (ϕ) γβ je maticí složeného lineárního zobrazení ψ ϕ : U W v bázích β a δ Nechť dále (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť α a β jsou dvě báze tohoto vektorového prostoru Maticí přechodu od báze α k bázi β rozumíme matici (id V ) βα identické lineární transformace id V vektorového prostoru (V, +, ) vzhledem k jeho bázím α a β Identická transformace zobrazuje každý vektor z V na něj sám Podle dříve odvozeného vztahu pro posloupnost obrazů vektorů báze při aplikaci lineárního zobrazení pak tedy máme α = β (id V ) βα Všimněme si nyní ještě té okolnosti, že v uvedené situaci pro libovolný vektor u z V, pro jeho souřadnice (u) α v bázi α a pro jeho souřadnice (u) β v bázi β podle dříve odvozeného vztahu pro výpočet souřadnic obrazu vektoru při aplikaci lineárního zobrazení platí (u) β = (id V ) βα (u) α Věnujme se nyní otázce, jak se změní matice daného lineárního zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory konečných dimenzí, přejdeme-li k jiným bázím těchto vektorových prostorů 4

5 Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ) Nechť α a β jsou dvě báze prostoru (V, +, ) a nechť γ a δ jsou dvě báze prostoru (W, +, ) Nechť (id V ) βα je matice přechodu od báze α k bázi β a nechť (id W ) δγ je matice přechodu od báze γ k bázi δ Nechť ϕ : V W je lineární zobrazení mezi uvedenými vektorovými prostory, nechť (ϕ) γα je matice zobrazení ϕ v bázích α a γ a nechť (ϕ) δβ je matice zobrazení ϕ v bázích β a δ Pak pro tyto matice platí vztah (ϕ) δβ = (id W ) δγ (ϕ) γα (id V ) 1 βα Tento vztah lze odvodit následovně Podle definice zmíněných matic lineárního zobrazení ϕ máme rovnosti ϕ(α) = γ (ϕ) γα a ϕ(β) = δ (ϕ) δβ Podle definice zmíněných matic přechodů a podle jejich vlastností odvozených výše máme dále rovnosti α = β (id V ) βα a γ = δ (id W ) δγ Z první z těchto rovností plyne též rovnost β = α (id V ) 1 βα Poněvadž navíc ϕ je lineární zobrazení, z předchozích rovností postupně vyplývá, že ϕ(β) = ϕ(α (id V ) 1 βα ) = ϕ(α) (id V) 1 βα = γ (ϕ) γα (id V ) 1 βα = δ (id W) δγ (ϕ) γα (id V ) 1 βα To ovšem znamená, že matice (id W ) δγ (ϕ) γα (id V ) 1 βα je maticí zobrazení ϕ v bázích β a δ Z jednoznačnosti takové matice potom plyne výše uvedená rovnost 5