2. kapitola: Euklidovské prostory

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. kapitola: Euklidovské prostory"

Transkript

1 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru u z V n přiřazuje bod a + u E n tak, že jsou splněny následující dvě podmínky: (a) a + 0 = 0, (a + u) + v = a + (u + v) pro každé dva vektory u, v V n a každý bod a E n ; (b) pro každé dva body a, b E n existuje právě jeden vektor u V takový, že a + u = b. Tento jednoznačně určený vektor u budeme značit symbolem b a. 2.2 Definice. Říkáme, že podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem, jestliže existuje podprostor W V n takový, že pro každé dva body a, b M a každý vektor u W je a+u M a b a W. Dimenzí podprostoru M rozumíme dimenzi podprostoru W. 2.3 Věta. Podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem právě když je tvaru M = a+w pro nějaký (libovolný) bod a M a nějaký (vhodný) podprostor prostoru V n. 2.4 Definice. Jednorozměrný euklidovský prostor se nazývá přímka. Dvourozměrný euklidovský prostor se nazývá rovina. Podprostor dimenze n 1 v E n se nazývá nadrovina. 2.5 Příklad. Ověřte, že množina E n = V n je vzhledem k obvyklým operacím sčítání a násobení vektorů n-rozměrným euklidovským prostorem. Přesvědčte se na obrázku, že přímky p = [0, 1] + (1, 1) a q = [0, 1] + (1, 1) jsou rovnoběžné. 2.6 Definice. Řekneme, že podprostory a + W, b + W euklidovského prostoru E n jsou - rovnoběžné, jestliže buď W W nebo W W ; - různoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a mají alespoň jeden společný bod; - mimoběžné, jestliže nejsou ani rovnoběžné ani různoběžné, tj. jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. 2. Věta. Buďte A = a + W, B = b + W, W W, dva rovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou disjunktní; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b / W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b / W. 2.8 Věta. Buďte A = a + W, B = b + W dva nerovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou různoběžné; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b W + W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b W + W, tj. a b = u + u, kde u W a u W. 2.9 Důsledek. Dvě přímky a + u a b + v v E 3 jsou mimoběžné právě když a b, u, v = V 3, tj. právě když vektory {a b, u, v } tvoří bázi vektorového prostoru V 3. 1

2 Příklady. 1) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 1] + (1, 2) a q = [4, 4] + (2, 1) v euklidovské rovině E 2. Řešení: Vektory u = (1, 2) a v = (2, 1) jsou zřejmě lineárně nezávislé, takže u, v = V 2. Podle věty 2.8 jsou tedy přímky p a q různoběžné (neboť jistě a b u, v ). Nalezněme průsečík c přímek p a q. Zřejmě musí platit c = a + tu = b + sv pro vhodné parametry t a s. Porovnáním ve složkách dostaneme nehomogenní soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 1 + t = 4 + 2s, t 2s = 3, 1 + 2t = 4 + s, 2t s = 3, která má řešení t = 1, s = 1 a tedy c = [2, 3] je hledaným průsečíkem přímek p a q. 2) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 2, 3] + (2, 1, 2) a q = [4, 3, 4] + (1, 2, 1) v E 3. Řešení: Přímky p a q zřejmě nejsou rovnoběžné. Přitom a b = ( 3, 1, 1) a matice má hodnost 3, takže přímky p a q jsou mimoběžné podle důsledku ) Určeme vzájemnou polohu přímky p = [4, 3, 1] + (1, 1, 1) a roviny ϱ = [9, 10, 4] + (2, 3, 4), (4, 3, 2). Řešení: Označme a = [4, 3, 1], b = [9, 10, 4], u = (1, 1, 1), v = (2, 3, 4), w = (4, 3, 2). Jelikož dim u, v, w = 3 (ověřte!), je zcela jistě a b u + v, w, takže přímka p a rovina ϱ jsou různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body přímky p a roviny ϱ musí platit 9 + 2α + 4β = 4 + γ, α + 3β = 3 γ, 4 + 4α + 2β = 1 + γ. Přepišme soustavu v maticovém tvaru a proveďme elementární úpravy Odtud již snadno spočteme, že γ = 1, β = 1, α = 1, takže přímka p protíná rovinu ϱ v jediném bodě c = [3, 4, 2]. 4) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [1, 13, 4, 12] + (2, 1, 4, 3), ( 1, 3, 2, 1) a σ = [2, 3, 5, 4] + (3, 2, 6, 2), (1, 4, 2, 4) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Označme a, b body určující postupně roviny ϱ a σ a W, W příslušné podprostory prostoru V 4. Jest

3 takže dimw = 2, dimw = 2, dim(w + W ) = 2, odkud ihned plyne, že W = W a roviny ϱ a σ jsou rovnoběžné. Dále b a = (1, 10, 1, 8), , odkud je patrné, že vektor b a neleží ve W = W, takže roviny ϱ a σ jsou disjunktní podle věty 2.. 5) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [5, 6, 2, 6] + (1, 2, 2, 1), (2, 3, 1, 3) a σ = [4, 1, 4, 1] + (3, 1, 2, 2), ( 1, 1, 1, 1) v E 4. Řešení: Podobně jako v předchozím příkladu máme , , odkud již vidíme, že dim(w + W ) = 4 a roviny ϱ a σ jsou nutně různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body obou rovin máme soustavu rovnic Tedy 5 + α + 2β = 4 + 3γ δ, 6 + 2α + 3β = 1 + γ δ, 2 + 2α β = 4 + 2γ + δ, 6 + α + 3β = 1 2γ + δ , 43 odkud postupně dostáváme δ = 1, γ = 1, β = 1, α = 1, takže roviny ϱ a σ se protnou v jediném bodě c = [2, 1, 1, 2]. 6) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [6, 3, 9, 4] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 5, 3) a σ = [8, 3,, 6] + (3, 1, 2, 3), (4, 3, 4, 4) v E 4. 3

4 4 Řešení: Jest , takže dim(w +W ) = 3 a dim(w W ) = 1 podle věty o dimenzi spojení a průniku Kromě toho a b = ( 2, 0, 2, 2), , takže a b W + W a roviny ϱ a σ jsou různoběžné podle věty 2.8. Protože dim(w W ) = 1, mají obě roviny společnou přímku. Podobně jako v předchozím příkladu řešíme nehomogenní soustavu lineárních rovnic , která má řešení [ 1, 1, 1, 1] + ( 1, 1, 1, 1) pro koeficienty α, β, γ, δ. Pro průsečnici rovin ϱ a σ tudíž máme a + ( 1 t)u + ( 1 + t)v = b + ( 1 t)w + ( 1 + t)z = [1, 1, 1, 1] + t(1, 2, 2, 1), což je parametrická rovnice průsečnice rovin ϱ a σ Definice. Příčkou mimoběžek p = a + u a q = b + v v euklidovském prostoru E 3 rozumíme každou přímku r = c + w, která obě přímky protíná. V tomto případě mluvíme speciálně o příčce ve směru w nebo o příčce procházející bodem c Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď 0 w V 3 libovolný vektor. Příčka mimoběžek p a q o směru w existuje právě když vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, tj. právě když vektor w neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně Postup. Příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v ve směru w lze nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že w / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná příčka mimoběžek p a q.

5 2.14 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [1, 2, 1] + (1, 1, 1) a q = [0, 9, 2] + (1, 0, 0) o směru w = (1, 2, 0). Řešení: 1) Při označení z předcházející věty máme: a b = [1, 2, 1] [0, 9, 2] = (1,, 1), u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 0). Protože jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme , vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé a hledaná příčka existuje a je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určená přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [1, 2, 1] + α(1, 1, 1) + β(1, 2, 0). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 1 + α + β = γ α + β γ = 1 2 α + 2β = 9 α + 2β = 1 + α = 2, α = 1. Vidíme tedy, že α = 1, β = 3 a γ = 3, takže c = [3, 9, 2]. 5) Hledaná příčka tedy je r = [3, 9, 2] + (1, 2, 0) Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď c E 3 libovolný bod, neležící na žádné z nich. Příčka mimoběžek p a q procházející bodem c existuje právě když ani jeden z vektorů c a, c b neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně Postup. Příčku mimoběžek p = a+ u a q = b+ v bodem c můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že c a, c b / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + c a, u proloženou přímkou p a bodem c; 4) nalezněte průsečík d roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = d; 5) přímka r = d + c d = c + c d je hledaná příčka mimoběžek p a q. 2.1 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [3, 3, 3]+ (2, 2, 1) a q = [0, 5, 1] + (1, 1, 1) procházející bodem c = [4, 5, 3]. Řešení: 1) Při označení z předchozí věty máme: a b = (3, 2, 4), u = (2, 2, 1), v = (1, 1, 1). Protože , , 5

6 6 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = (1, 1, 0), (0, 0, 1), c a = (1, 2, 0), c b = (4, 0, 4), takže zřejmě ani c a ani c b neleží v u, v a hledaná příčka je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a bodem c má tedy parametrickou rovnici ϱ = [3, 3, 3] + α(1, 2, 0) + β(2, 2, 1). 4) K nalezení průsečíku d roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 3 + α + 2β = γ α + 2β γ = α + 2β = 5 + γ 2α + 2β γ = β = 1 + γ, β γ = 4, odkud postupně dostaneme α = 5, β = 4 a γ = 0. Průsečík d má souřadnice d = [0, 5, 1]. 5) Hledaná příčka je r = [0, 5, 1] + (4, 0, 4) = [0, 5, 1] + (1, 0, 1) Definice. Nechť u = (u 1,..., u n ) a v = (v 1,..., v n ) jsou dva vektory z V n. Číslo u v = n i=1 u iv i nazýváme skalárním součinem vektorů u a v. Vektory u a v se nazývají ortogonální nebo kolmé, u v, je-li jejich skalární součin roven nule. Jeli M E n libovolná podmnožina, pak M = {v V n v u pro každé u M} se nazývá ortogonální doplněk množiny M. Nezáporné reálné číslo u = u u se nazývá velikost vektoru u Definice. Nechť p = a+ u a q = b+ v jsou dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E n a buď r = c + w jejich příčka taková, že r p = a, r q = b. Pak číslo a b se nazývá délka příčky r Věta. Přímka r = c + w je nejkratší příčkou mimoběžek p = a + u, q = b+ v, právě když w = u, v, tj. právě když vektor w je kolmý k oběma vektorům u a v Definice. Velikost nejkratší příčky mimoběžek p a q se nazývá vzdálenost mimoběžek p a q Postup. Nejkratší příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) najděte ortogonální doplněk w = u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná nejkratší příčka mimoběžek p a q; 6) nalezněte průsečík d přímky c + w s přímkou p, (c + w ) p = d; ) velikost c d vektoru c d je vzdálenost mimoběžek p a q Příklad. Nalezněme nejkratší příčku a určeme vzdálenost mimoběžek p = [6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) a q = [ 1,, 4] + ( 3, 3, 8). Řešení: 1) Při obvyklém označení máme: a b = (, 10, ), u = ( 3, 2, 4), v = ( 3, 3, 8). Protože , 0 44

7 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = ( 3, 2, 4), (0, 1, 4), takže řešením homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádky jsou právě uvedené vektory, snadno dostaneme generátor ortogonálního doplňku w = (4, 12 3) vektorů u a v. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [6, 3, 3] + α( 3, 2, 4) + β(4, 12, 3). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 6 3α + 4β = 1 3γ 3 + 2α + 12β = + 3γ 3 + 4α 3β = 4 + 8γ, odkud elementárními úpravami postupně dostaneme , takže ϱ q = c = b = [ 1,, 4]. 5) Hledaná nejkratší příčka tedy je r = [ 1,, 4] + (4, 12, 3). 6) Nalezneme průsečík d přímek r a p, ([ 1,, 4]+ (4, 12, 3) ) ([6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) ), a to řešením následující nehomogenní soustavy lineárních rovnic: 1 + 4s = 6 3t + 12s = 3 + 2t 4 3s = 3 + 4t. Elementárními úpravami dostaneme , takže s = t = 1 a d = [3, 5, 1]. ) Vzdálenost mimoběžek p a q vypočteme snadno. Jest c d = [ 1,, 4] [3, 5, 1] = ( 4, 12, 3) = = 169 = 13. Příklady ke kapitole Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 2 : (a) p = [1, 3] + (2, 1), q = [5, 4] + ( 4, 2) ; (b) p = [1, 2] + (3, 2), q = [, 2] + (9, 6) ; (c) p = [3, 2] + (2, 1), q = [2, 3] + (1, 2). 2. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 3 :

8 8 (a) p = [4, 6, 1] + (1, 3, 2), q = [5, 3, 4] + ( 2, 6, 4) ; (b) p = [2, 3, 1] + (4, 1, 2), q = [10, 5, 3] + ( 8, 2, 4) ; (c) p = [, 0, 5] + (2, 1, 2), q = [6, 8, 4] + (1, 2, 1) ; (d) p = [ 2, 4, 3] + (1, 2, 3), q = [2, 6, 1] + (3, 2, 1). 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 3 : (a) ϱ : [2, 3, 4] + (2, 1, 3), (1, 3, 4), σ : [4, 1, 10] + (3, 2, 1), (1, 4, ) ; (b) ϱ : [, 2, 5] + (1, 3, 2), (4, 2, 1), σ : [1, 6, 2] + (5, 1, 1), (3, 5, 3) ; (c) ϱ : [6, 4, 11] + (1, 2, 3), (3, 1, 5), σ : [10, 4, ] + (3, 2, 1), (5, 1, 3). 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ϱ v euklidovském prostoru E 3 : (a) p : [6, 5, 4] + (3, 1, 5), ϱ : [4, 4, 2] + (2, 3, 1), (1, 2, 4) ; (b) p : [3, 1, 2] + (2, 3, 1), ϱ : [11, 1, 12] + (3, 1, 2), ( 1, 2, 3) ; (c) p : [6, 5, 3] + (2, 1, 2), ϱ : [6, 9, 1] + (3, 1, 5), (1, 5, 3). 5. Určete vzájemnou polohu rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 4 : (a) ϱ : [4, 6, 6, 4] + (2, 1, 4, 3), (1, 3, 2, 4), σ : [2, 5, 4, 3] + (3, 4, 6, ), (1, 2, 2, 1) ; (b) ϱ : [4, 5,, 3] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 5, 5), σ : [6, 4, 4, 5] + (3, 2, 3, 1), (5, 3, 1, 4) ; (c) ϱ : [5, 11, 10, 12] + (1, 3, 2, 4), (2,, 5, 3), σ : [3, 2, 9, 2] + ( 2, 4, 1, 1), (3, 5,, 8) ; (d) ϱ : [, 5, 10, 10] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 4, 3), σ : [2, 9,, 13] + ( 1, 2, 1, 3), (1, 6, 3, 5) ; (e) ϱ : [6, 2, 4, 9] + (4,, 8, 11), ( 1,, 2, 6), σ : [5, 1, 2, 5] + (3, 14, 6, 1), (1, 8, 2, 9). 6. Určete vzájemnou polohu podprostorů v euklidovském prostoru E 4 : (a) p : [4, 5, 6, ] + (2, 9, 9, 15), σ : [3, 3, 2, 4] + (1, 3, 2, 4), ( 1, 1, 2, 4), (2, 5, 5, ) ; (b) p : [3, 5, 3, ] + (1, 2, 4, 3), σ : [6, 21, 1, 34] + (1, 6,, 11), (3, 8,, 11), (0, 1, 1, 2) ; (c) ϱ : [1, 2, 3, 4] + (1, 2, 1, 2), (2, 4, 3, 5), σ : [, 9, 11, 13] + (3, 1, 4, 2), (5, 5,, ), (4, 3, 5, 4) ; (d) ϱ : [5, 12,, 13] + (1, 4, 4, 5), (3, 5, 1, 4), σ : [9, 6, 1, 11] + (2, 1, 1, 3), (5, 2, 3, 3), (1, 2, 1, 1) ; (e) ϱ : [11, 2, 6, 1] + (1, 2, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), σ : [3, 4, 4, 3] + (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), (4, 1, 1, 1) ; (f) ϱ : [5, 4, 4, 4] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), σ : [11, 6, 4, 4] + (4, 3, 1, 2), (6, 2, 2, 1), (5, 4, 0, 3).. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q o směru w: (a) p = [4, 5, 8] + (2, 1, 3), q = [4, 3, 2] + (1, 1, 1), w = ( 1, 2, 2); (b) p = [1, 2, 3] + (3, 5, 1), q = [3, 2, 1] + (2, 2, 3), w = (3, 1, 8); (c) p = [3, 5, 6] + (3, 2, 2), q = [4, 0, 3] + (1, 4, 0), w = (1, 3, 5); (d) p = [2, 1, 1] + (1, 2, 3), q = [4, 6, 1] + (1, 1, 1), w = (2, 1, 2). 8. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q procházející bodem c: (a) p = [6, 2, 6] + (1, 1, 2), q = [5, 1, 8] + (3, 5, 3), c = [ 3, 11, 6];

9 9 (b) p = [2, 0, 3] + (1, 2, 3), q = [4, 2, 3] + (2, 3, 1), c = [1, 4, 2]; (c) p = [2, 2, 0] + (3, 4, 1), q = [4, 4, 0] + (2, 3, 1), c = [ 4, 1, 5]; (d) p = [4, 2, 2] + (1, 2, 3), q = [6, 4, 2] + (4, 1, 3), c = [ 1, 2, 3]. 9. V E 3 nalezněte nejkratší příčku mimoběžek p a q a spočtěte jejich vzdálenost: (a) p = [3, 6, 6] + (4, 1, 3), q = [3, 6, ] + (2, 1, 6) ; (b) p = [8, 5, 9] + (4, 2, 3), q = [ 3, 2, 4] + (4, 3, 6). Řešení: 1. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [1, 1]. 2. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [3, 2, 1]; (d) mimoběžné. 3. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3] + (2, 1, 2). 4. (a) Přímka je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní; (b) přímka leží v rovině; (c) přímka protíná rovinu v bodě [2, 3, 1]. 5. (a) Rovnoběžné různé; (b) mimoběžné; (c) různoběžné, průsečík [2, 1, 3, 5]; (d) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3, 5] + (1, 2, 1, 1) ; (e) roviny splývají. 6. (a) Rovnoběžné různé; (b) různoběžné, průsečík [2, 3, 1, 4]; (c) rovina ϱ leží v nadrovině σ; (d) různoběžné, průsečnice je přímka [1, 3, 2, 4]+ (2, 1, 3, 1) ; (e) rovnoběžné různé; (f) různoběžné, průnik je rovina [1, 1, 1, 1]+ (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).. (a) [3, 2, 3] + ( 1, 2, 2) ; (b) neexistuje; (c) [5, 4, 3] + (1, 3, 5) ; (d) [2, 4, 3] + (2, 1, 2). 8. (a) Neexistuje; (b) [1, 4, 2] + (1, 3, 4) ; (c) [ 4, 1, 5] + (3, 1, 2) ; (d) [ 1, 2, 3] + (3, 1, 2). 9. (a) [, 5, 3] + (3, 6, 2), vzdálenost 14; (b) [1, 5, 2] + (3, 12, 4), vzdálenost 13.

10 10 3. kapitola: Podprostory euklidovských prostorů 3.1 Definice. Nechť u = (x 1, x 2, x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Vektorovým součinem těchto vektorů rozumíme vektor u v = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 3.2 Příklad. Vektorový součin vektorů u = ( 3, 2, 4) a v = ( 3, 3, 8) je podle předchozí definice vektor w = (4, 12, 3). 3.3 Definice. Připomeňme, že pro čtvercovou matici A = (a ij ) stupně n algebraickým doplňkem prvku a ij rozumíme číslo A ij = ( 1) i+j M ij, kde M ij je subdeterminant dílčí matice matice A stupně n 1 vzniklé z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 3.4 Poznámka. Nechť u = (x 1, x 2 x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z E 3. Označíme-li symbolem A matici A = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 a 31 a 32 a 33, pak ve světle předcházejících dvou definic vidíme, že u v = (A 31, A 32, A 33 ). 3.5 Věta. Nechť u, v jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Pak platí: (i) u v = (v u) = ( v) u = v ( u); (ii) u v = 0 právě když vektory u, v jsou lineárně závislé; (iii) (u v) u; (u v) v; (iv) jestliže vektory u a v jsou lineárně nezávislé, pak u, v = u v 3.6 Věta. Množina všech řešení netriviální nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b je nadrovina v E n. Přitom je-li tato nadrovina tvaru a+w, kde a = [z 1, z 2,..., z n ], pak (z 1, z 2,..., z n ) je řešením rovnice ( ) a W je množina všech řešení příslušné homogenní rovnice a 1 x a n x n = 0. Jinými slovy: W = (a 1,..., a n ). 3. Věta. Nechť a+w je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Je-li ortogonální doplněk W generován vektorem (a 1, a 2,..., a n ), pak a + W je množinou všech řešení nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, kde b = a 1 z a n z n, a = [z 1,..., z n ].

11 Příklady. 1) Najděme nadrovinu danou rovnicí 2x + 3y 4z + t = 2. Řešení: Hledáme (2, 3, 4, 1), neboli řešíme příslušnou homogenní rovnici, tj. rovnici s pravou stranou 0 místo 2. Vektory ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), a ( 3, 2, 0, 0) jsou zřejmě lineárně nezávislá řešení této rovnice, takže ϱ = [1, 1, 1, 1]+ ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), ( 3, 2, 0, 0) vzhledem k tomu, že bod [1, 1, 1, 1] je zřejmě řešením dané rovnice. Poznamenejme, že místo bodu [1, 1, 1, 1] bychom mohli vzít bod [0, 1, 0, 1], či [1, 0, 0, 0], či kterékoliv jiné řešení dané nehomogenní rovnice. 2) Najděme rovnici nadroviny ϱ = a + W, jestliže a = [3, 2, 1, 1] a W = (1, 2, 3, 20), (2, 1, 4, 1), (3, 2, 2, 4). Řešení: Ortogonální doplněk W nalezneme jako řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádkové vektory jsou právě dané generátory nadroviny W. Tedy , takže W = (2, 3, 4, 1) a hledaná rovnice je 2x + 3y + 4z t =, kde pravou stranu dostaneme dosazením bodu a do levé strany rovnice. 3.9 Věta. Je-li a + W podprostor dimenze n k v euklidovském prostoru E n, pak existuje k nadrovin ϱ 1,..., ϱ k tak, že a + W = ϱ 1 ϱ k. Speciálně tedy lze podprostor a + W popsat nehomogenní soustavou k lineárně nezávislých lineárních rovnic Postup. Nehomogenní soustavu lineárních rovnic, která popisuje daný n krozměrný podprostor a + W v E n lze nalézt například touto metodou: 1) Nalezneme W = u 1,..., u k, kde u i = (a i1,..., a in ); 2) Napíšeme rovnice a i1 x a in x n = a i, kde a i1 z a in z n = a i, a = [z 1,..., z n ]; 3) i-tá rovnice této soustavy je rovnicí nadroviny ϱ i Věta. Je-li n j=1 a ijx j = a i, i = 1,... k, nehomogenní soustava lineárních rovnic hodnosti k, pak množina všech řešení této soustavy je podprostor a + W euklidovského prostoru E n dimenze n k Příklady. 1) Popišme rovnicemi rovinu ϱ = [2, 1, 1, 3]+ (1, 3, 2, 4), (2, 4, 1, 3) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Pomocí elementárních úprav na dané vektory dostaneme ( ) ( ) ( )

12 12 Řešením této soustavy dostáváme W = (, 5, 0, 2), (5, 3, 2, 0), takže rovina ϱ je popsána soustavou dvou rovnic x 5y + 2t = 15 5x 3y + 2z = 9, kde pravé strany rovnic dostaneme dosazením souřadnic daného bodu a = [2, 1, 1, 3] do levých stran soustavy. 2) V euklidovském prostoru E 4 nalezněme podprostor ϱ popsaný nehomogenní soustavou lineárních rovnic: 2x + 3y + z + 2t = 4 3x + 2y + 4y + t = 3. Řešení: Pomocí elementárních úprav na matici soustavy dostaneme ( ) ( ) ( ) Vidíme tedy, že bod a = [0, 2, 0, 1] je řešením nehomogenní soustavy, zatímco (1, 4, 0, 5) a ( 2, 1, 1, 0) jsou dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní soustavy a hledaný podprostor je rovina ϱ = [0, 2, 0, 1]+ (1, 4, 0, 5), ( 2, 1, 1, 0) Definice. Nechť ϱ = a + W je nadrovina v E n. Pak W = w nazýváme směrem normály nadroviny ϱ a každý nenulový vektor z w nazýváme vektorem normály nadroviny ϱ. Je-li b bod nadroviny ϱ, pak přímku b + w nazýváme normálou nadroviny ϱ v bodě b Poznámka. Je-li a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny ϱ = a + W v E n, pak víme, že W = (a 1,..., a n ), tedy (a 1,..., a n ) = W. Jinými slovy, w = (a 1,..., a n ) je vektor normály nadroviny ϱ Definice. Buď a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny ϱ v E n a buď c = (z 1,..., z n ) bod neležící v ϱ. Pak w = (a 1,..., a n ) je normálový vektor nadroviny ϱ a přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d. Velikost c d vektoru c d se nazývá vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ Poznámka. Při označení z předchozí definice přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d = c + tw, kde t dostaneme z rovnice: tedy i=1 a 1 (z 1 + ta 1 ) + + a n (z n + ta n ) = b, n n a i z i + t a 2 i = b a t = b n i=1 a iz i. i=1 n i=1 a2 i Máme tedy: n d c = tw = t w = i=1 a iz i b n n i=1 a2 a 2 i = n i=1 a iz i b. i i=1 n i=1 a2 i

13 Příklady. 1) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v E 4 dané rovnicí: 2x y + 3z 5u = 11. Řešení: Vektor normály je w = (2, 1, 3, 5). 2) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v euklidovském prostoru E 4 dané parametricky ϱ = [1, 8, 3, 2] + (2, 3, 1, 4), (3, 1, 4, 2), (1, 4, 3, 2). Určeme dále normálu nadroviny ϱ procházející bodem c = [11, 15, 0, 4] a nalezněme její průsečík d s nadrovinou ϱ. Řešení: Musíme nalézt ortogonální doplněk W. Jest , odkud snadno dostaneme, že w = (4, 2, 2, 3) je hledaný vektor normály. Parametrická rovnice normály nadroviny ϱ procházející bodem c je [11, 15, 0, 4] + (4, 2, 2, 3). Kromě toho nadrovina ϱ má rovnici 4x + 2y 2z 3u = 20, takže parametr t 0 průsečíku dostaneme snadno dosazením: 4(11+4t)+2(15+2t) 2(0 2t) 3( 4 3t) = 20. Tedy t = 20, t 0 = 2 a d = [3, 11, 4, 2]. 3) Určeme vzdálenost bodu [2, 1, 2, 2] od nadroviny ϱ euklidovského prostoru E 4 dané rovnicí 2x 4y 8z + 4t = 12. Řešení: Dosazením do vzorce dostáváme n i=1 a iz i b ( 1) 8 ( 2) n = = 20 = 2. i=1 a2 i ) Určeme vzdálenost bodu [3, 2, 2, 2] od nadroviny ϱ dané parametricky ϱ = [4, 3, 2, 1] + (8,,, ), (4,,, ), (16,,, ) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Nejprve nalezneme vektor normály w a rovnici dané nadroviny. Jest Tedy w = (, 2, 10, 4), x 2y + 10z 4t = 6 je rovnice dané nadroviny a dosazením do vzorce dostaneme hledanou vzdálenost: n i=1 a iz i b n = = 39 i=1 a2 i = 3.

14 14 Příklady ke kapitole Spočtěte vektorový součin vektorů z E 3 : (a) u = (2, 3, 5) a v = (3, 2, 4); (b) u = (2, 1, 3) a v = ( 1, 3, 2); (c) u = (2, 4, 3) a v = (1, 6 5, 2 5 ). 2. Nalezněte parametrické vyjádření nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x 2y + z = 3; (b) 2x 3y + z 2t = 5; (c) 3x y + 2z t 2u =. 3. Nalezněte rovnici nadroviny v E n dané parametricky: (a) ϱ: [2, 1, 1] + (4, 1, 3), (1, 1, 1) ; (b) ϱ: [1, 1, 3, 1] + (4, 1, 2, 2), (2, 5, 4, 3), (1, 2, 1, 2) ; (c) ϱ: [2, 1, 1, 2] + (2, 1, 1, 3), (1, 3, 5, ), (3, 2, 4, 2). 4. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný parametricky popište soustavou lineárních rovnic: (a) ϱ : [1, 1, 1, 1] + (5, 4, 22, 11), (5, 29, 11, 22) ; (b) ϱ : [1, 2, 3, 4, 5] + (2, 1, 3, 2, 1), ( 1, 3, 2, 4, 3), (3, 2, 1, 3, 2) ; (c) ϱ : [1, 1, 1, 0, 2] + (2, 3, 1, 2, 2), (1, 1, 2, 1, 3). 5. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný soustavou lineárních rovnic popište parametricky: (a) x 2y + 3z + 2t = 4, 2x y + 5z + 3t = 9; (b) 2x 3y + z 2t + u = 1, 3x + y z + 2t 3u = 2; (c) 2x + y z 2t + 3u = 3, 3x y + 2z + 3t 2u = 5, x y + 2z t + u = Nalezněte vektor normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) 2x y + 3z = 1; (b) 3x y + 2z 2t = 5; (c) 2x 3y z 3t = 4.. Nalezněte vektor normály nadroviny v E n zadané parametricky: (a) [1, 1, 2] + (1, 2, 3), (1, 1, 1) ; (b) [2, 1, 1, 3] + (3, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (1, 2,, 1) ; (c) [ 2, 1, 1, 2] + ( 2, 1, 1, 9), (1, 2, 1, 4), (3, 2, 2, 5). 8. Nalezněte směr normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x + 2y + 3z = 9; (b) 2x y 3z + t = 15; (c) 3x + y 2z 4t = Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n dané rovnicí, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) x 3y + 2z =, c = [ 2,, 6];

15 15 (b) 2x + 4y z 3t = 3 c = [5, 10, 1, 4]; (c) 4x + y 3z + 2t = 4, c = [13, 4, 8, ]. 10. Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n zadané parametricky, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) [4, 1, 2] + (4, 2, 1), (1, 4, 5), c = [5, 5, 5]; (b) [5, 4, 3, 2] + (2, 3, 4, 5), (3, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2), c = [ 2,, 8, 13]; (c) [1, 1, 5, 4] + (4, 2, 8, 3), (1, 1, 3, 1), ( 2, 3, 1, 2), c = [0, 8, 2, 6]. 11. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ dané rovnicí: (a) 4x y + 4z = 1, c = [6, 1, 5]; (b) 2x y + 4z 2u = 2, c = [ 5, 6, 15, 11]; (c) 4x 10y + z 2u = 40, c = [13, 10, 10, 20]. 12. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ zadané parametricky: (a) [1, 1, 1] + (4, 1, 3), (2, 2, 3), c = [20, 10, 13]; (b) [1, 2, 1, 5] + (4, 5, 1, 3), ( 4, 3, 2, 10), (2, 6, 4, 5), c = [20, 11, 14, 8]; (c) [1, 2, 3, 2] + (1, 1, 0, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 1, 2, 2), c = [1,, 5, ]. Řešení: 1. (a) u v = (22, 23, 5); (b) u v = ( 11, 1, ); (c) u v = (2, 11 5, 8 5 ). 2. (a) [3, 0, 0]+ (1, 0, 1), (2, 1, 0) ; (b) [2, 0, 1, 0] + (1, 0, 0, 1), ( 1, 0, 2, 0), (3, 2, 0, 0) ; (c) [1, 0, 2, 0, 0] + (2, 0, 0, 0, 3), (1, 0, 0, 3, 0), (2, 0, 3, 0, 0), (1, 3, 0, 0, 0). 3. (a) 2x + y 3z = 2; (b) 3x + 2y + z 4t = 4; (c) 2x y + 3z 2t = (a) x+5y +5t = 1, 18x+5y +5z = 28; (b) y u = 3, x+y z = 0; (c) x+5y z = 1, x + 4y u = 1, x + t = (a) [6, 0, 0, 1] + (, 1, 3, 0), ( 4, 1, 0, 3) ; (b) [3, 0, 0,, ] + (2, 5, 11, 0, 0), (4, 10, 0, 11, 0), (8, 9, 0, 0, 11) ; (c) [1, 1, 1, 1, 1]+ (2, 15, 9, 1, 0), (3, 29, 1, 0, 2). 6. (a) (2, 1, 3); (b) (3, 1, 2, 2); (c) (2, 3, 1, 3).. (a) (1, 2, 1); (b) (2, 3, 1, 1); (c) (3, 2, 5, 1). 8. (a) (1, 2, 3) ; (b) (2, 1, 3, 1) ; (c) (3, 1, 2, 4). 9. (a) [ 2,, 6] + (1, 3, 2), d = [1, 2, 0]; (b) [5, 10, 1, 4] + (2, 4, 1 3), d = [1, 2, 1, 2]; (c) [13, 4, 8, ] + (4, 1, 3, 2), d = [1, 1, 1, 1]. 10. (a) [5, 5, 5] + (2, 3, 2), d = [1, 1, 1]; (b) [ 2,, 8, 13] + (1, 2, 3, 4), d = [1, 1, 1, 1]; (c) [0, 8, 2, 6] + (2, 3, 1, 2), d = [4, 2, 4, 2]. 11. (a) 18; (b) 20; (c) (a) 21; (b) 2; (c) 20.

16 16 4. kapitola: Konvexní množiny 4.1 Definice. Podmnožina M euklidovského prostoru E n obsahující alespoň dva body se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva různé body a, b M je celá úsečka ab obsažena v množině M. Mezi konvexní množiny budeme z důvodu jednodušší formulace výsledků počítat i jednoprvkové podmnožiny prostoru E n a množinu prázdnou. Nechť a, b jsou dva různé body z E n. Pak b a je nenulový vektor z V n a přímka p určená body a a b má parametrickou rovnici p = a+ b a, tj. každý bod x přímky p lze zapsat ve tvaru x = a + t(b a) pro nějakou reálnou hodnotu parametru t. Přitom bodu a odpovídá hodnota parametru t = 0 a bodu b hodnota parametru t = 1. Úsečka s krajními body a, b je tedy popsána následovně: ab = {x E n x = a + t(b a), 0 t 1}. Provedeme-li formálně naznačené úkony, dostaneme a + t(b a) = (1 t)a + tb, kde 1 t + t = 1 a 1 t, t 0. Jinak řečeno, jsou-li a, b dva různé body z E n, pak množina je právě úsečka ab. {λa + µb λ, µ 0, λ + µ = 1} 4.2 Příklady. 1) Množina bodů M = {[x, y] x 2 +y 2 9} v E 2 je zřejmě uzavřený kruh o poloměru 3 se středem v počátku. Ukažme, že M je konvexní množina. Řešení: Buďte a = [x 1, y 1 ], b = [x 2, y 2 ] libovolné body z kruhu M a buď c = [λx 1 + µx 2, λy 1 + µy 2 ] libovolný bod úsečky ab. Máme tedy x y1 2 9, x y2 2 9 a ze známe Cauchyovy nerovnosti také x 1 x 2 +y 1 y 2 x y2 x y Pak ale (λx 1 +µx 2 ) 2 +(λy 1 +µy 2 ) 2 =λ 2 x λµx 1 x 2 +µ 2 x 2 2 +λ 2 y1 2 +2λµy 1 y 2 +µ 2 y2 2 = λ 2 (x y1) 2 + 2λµ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + µ 2 (x y2) 2 9λ λµ + 9µ 2 = 9(λ + µ) 2 = 9, bod c leží v uzavřeném kruhu M a množina M je konvexní. 2) Ukažme, že množina M popsaná soustavou nerovností y 2x 0, 2y x 0, xy 2 v euklidovské rovině E 2 není konvexní. Řešení: V množině M zřejmě leží body a = [1, 2] a b = [2, 1] (načrtněte obrázek!). Střed s úsečky ab má zřejmě souřadnice s = 1 2 a b = [ 3 2, 3 2 ]. Tento bod vyhovuje první nerovnosti, neboť = 3 2 < 0, vyhovuje i druhé nerovnosti = 3 2 > 0, avšak = 9 4 > 2 takže třetí nerovnost není splněna. Střed úsečky ab tedy neleží v M a množina M tudíž není konvexní. 4.3 Definice. Buďte a 1,..., a k body z euklidovského prostoru E n. Každý bod x E n takový, že x = k i=1 λ ia i, k i=1 λ i = 1, λ i 0, se nazývá konvexní lineární kombinace bodů a 1,..., a k. 4.4 Věta. Průnik libovolného systému konvexních množin je konvexní množina. 4.5 Věta. Je-li M E n konvexní podmnožina a a 1,..., a k jsou libovolné prvky množiny M, pak každá konvexní lineární kombinace těchto bodů leží v množině M.

17 1 4.6 Definice. Buď K E n libovolná podmnožina. Průnik všech konvexních podmnožin prostoru E n obsahujících množinu K budeme nazývat konvexní obal množiny K. Konvexní obal množiny K budeme označovat symbolem K(K). 4. Věta. Je-li K libovolná podmnožina v E n, pak konvexní obal K(K) je právě množina všech konvexních lineárních kombinací konečných počtů bodů z množiny K. 4.8 Definice. Buď M E n neprázdná podmnožina. Bod a E n se nazývá hraniční bod množiny M, jestliže každé jeho ε-okolí obsahuje jak body z M, tak body z komplementu E n \ M. Připomeňme, že pro kladné reálné číslo ε, ε-okolím bodu a E n rozumíme množinu {b E n a b < ε}. Podmnožina M prostoru E n se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Nakonec říkáme, že podmnožina M v E n je ohraničená (omezená), jestliže existuje takové kladné reálné číslo ε, že množina M je obsažena v ε-okolí bodu [0,..., 0]. 4.9 Definice. Bod c konvexní podmnožiny M euklidovského prostoru E n se nazývá krajní bod (extremální bod, vrchol) množiny M, jestliže c není vnitřním bodem žádné úsečky ab, a, b M, tj. c nelze vyjádřit ve tvaru c = λa + µb, a, b M, λ > 0, µ > 0, λ + µ = Věta. Nechť M je konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina v E n a buď M množina všech jejích extremálních bodů. Pak K(M ) = M Definice. Konvexní polyedr je neprázdná, konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina euklidovského prostoru E n mající pouze konečný počet extremálních bodů Věta. Je-li M konvexní polyedr v E n s krajními body a 1,..., a k, pak každý bod a M lze vyjádřit jako konvexní lineární kombinaci jeho krajních bodů, tj. k a = λ i a i, i=1 k λ i = 1, λ i 0, i = 1,..., k. i=1 Poznamenejme, že toto vyjádření není obecně jednoznačné, jak je patrné z příkladu obdélníka o vrcholech a, b, c, d, jehož střed s lze vyjádřit jednak jako s = 1 2 a c, jednak jako s = 1 2 b d Věta. Každá neprázdná, ohraničená, uzavřená a konvexní množina v E n má alespoň jeden extremální bod Věta. Konvexní obal množiny {a 1,..., a m } v E n je konvexní polyedr o nejvýše m krajních bodech Definice. Nechť ϱ je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Nadrovina ϱ dělí E n na dva poloprostory, jejichž společnou hranicí je nadrovina ϱ. Tyto poloprostory jsou buď otevřené nebo uzavřené podle toho, zda k nim hraniční nadrovina patří, či nikoliv. Tedy, je-li w normálový vektor nadroviny ϱ, pak je jeden z uzavřených poloprostorů a P 1 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ} P 2 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ}

18 18 je druhý z nich. Podobně Q 1 = {b E n b = a + tw, t > 0, a ϱ} je jeden z otevřených poloprostorů a Q 2 = {b E n b = a + tw, t < 0, a ϱ} je druhý z nich Věta. Buď a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny v E n. Pak množina P 1 = {(z 1,..., z n ) E n tvoří jeden z uzavřených poloprostorů a n a i z i b} i=1 P 2 = {(z 1,..., z n ) E n n a i z i b} tvoří druhý z nich. Nahradíme-li neostré nerovnosti ostrými, dostaneme popis příslušných otevřených poloprostorů. 4.1 Věta. Konvexní polyedr v E n je průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Naopak, je-li průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů euklidovského prostoru E n ohraničený, je tento průnik konvexní polyedr Poznámka. Předchozí dvě věty nám vlastně dávají možnost popsat každý konvexní polyedr pomocí (konečné) soustavy nerovností. Stačí totiž napsat rovnice jednotlivých hraničních nadrovin a poté vybrat příslušnou nerovnost, tj. příslušný poloprostor. Podrobný postup spolu s obrácenou úlohou je popsán v následujících dvou příkladech Příklady. 1) V euklidovské rovině popišme soustavou nerovností konvexní obal bodů: i=1 a 1 = [1, 1], a 2 = [3, 0], a 3 = [4, 2], a 4 = [2, 4]. Řešení: Označme u ij = a i a j směrový vektor přímky p ij procházející body a i a a j a n ij vektor normály této přímky. Máme tedy: u 12 = ( 2, 1), n 12 = (1, 2), u 23 = ( 1, 2), n 23 = (2, 1), u 34 = (2, 2), n 34 = (1, 1), u 41 = (1, 3), n 41 = (3, 1), takže odpovídající přímky mají rovnice p 12 : x + 2y = 3, p 23 : 2x y = 6, p 34 : x + y = 6, p 41 : 3x y = 2. Snadno se nyní nahlédne (načrtněte obrázek), že daný konvexní polyedr je popsán soustavou nerovností: p 12 : x + 2y 3, p 23 : 2x y 6,

19 19 p 34 : x + y 6, p 41 : 3x y 2. 2) Podmnožina euklidovského prostoru E 2 popsaná soustavou nerovností 1 x + y 1, 2x y 0, 2x y 0 je konvexní, ale není polyedrem, neboť, jak se snadno přesvědčíte z obrázku, není ohraničená Definice. Bod, který je průnikem n lineárně nezávislých hranic konvexní množiny K se nazývá pseudovrchol. Každý krajní bod konvexní množiny je pseudovrchol, ale nikoliv naopak Příklad. Ověřme, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněme všechny jeho vrcholy a pseudovrcholy: 2x y 2; x + y ; x + 4y 10; x 2y 10; 2x + 5y 38. Řešení: Nahradíme-li nerovnosti rovnostmi, dostaneme celkem 5 přímek, které označíme p 1, p 2, p 3, p 4 a p 5. Označíme-li P ij průsečík přímek p i a p j, dostaneme celkem 10 pseudovrcholů. P 12 = [3, 4] P 24 = [8, 1] P 13 = [2, 2] P 25 = [ 1, 8] P 14 = [ 2, 6] P 34 = [10, 0] P 15 = [4, 6] P 35 = [34, 6] P 23 = [6, 1] P 45 = [14, 2] Snadno se nahlédne (načrtněte obrázek), že P 12, P 23, P 34, P 45, P 15 všechny vrcholy daného konvexního polyedru. jsou právě 4.22 Definice. Body a 0, a 1,..., a r z E n se nazývají lineárně nezávislé, jsou-li vektory a 1 a 0,..., a r a 0 z V n lineárně nezávislé Poznámka. Není obtížné ověřit, že v předchozí definici není nutné odečítat bod a 0 od bodů ostatních, ke stejnému výsledku dospějeme, jestliže použijeme kterýkoliv z bodů a 0,..., a r Definice. Nechť a 0,..., a r jsou lineárně nezávislé body z euklidovského prostoru E n. Množina r ϕ r (a 0,..., a r ) = {x = λ i a i i=0 r λ i = 1, λ i 0} i=0 se nazývá r-rozměrný simplex. Body a 0,..., a r se nazývají vrcholy simplexu a (r + 1)-tice (λ 0,..., λ r ) jednoznačně určená bodem x jsou barycentrické souřadnice bodu x. Každá s-tice vrcholů, s < r určuje s-rozměrný simplex, tzv. s-rozměrnou stěnu simplexu ϕ r (a 0,..., a r ).

20 Věta. Každý simplex je konvexní polyedr Poznámka. Podle definice sestává simplex ϕ r (a 0,..., a r ) právě ze všech bodů x = r i=0 λ ia i, kde λ i 0 a r i=0 λ i = 1. Speciálně tedy je λ 0 = 1 λ 1 λ r, takže x = a 0 + λ 1 (a 1 a 0 ) + + λ r (a r a 0 ). Odtud ihned vidíme, že x ϕ r (a 0,..., a r ) právě tehdy, když x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), kde λ 1,..., λ t, λ λ t 0, 1. Naopak tedy bod x E n nenáleží simplexu ϕ r (a 0,..., a r ) právě když buď vektor x a 0 není lineární kombinací vektorů a 1 a 0,..., a r a 0, nebo takovou lineární kombinací jest, x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), avšak aspoň jedno z čísel λ 1,..., λ r, λ λ r nenáleží intervalu 0, Příklad. Ukažme, že body a 0 = [1, 2, 3, 4], a 1 = [2, 3, 2, 3], a 2 = [2, 1, 2, 5], a 3 = [0, 1, 5, 6], a 4 = [0, 3, 4, 5] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E 4. (a) Zjistěme, zda bod a = [1, 2, 23, 32 ] je bodem simplexu; (b) zjistěme, zda bod b = [ 11, 16, 2, 6] je bodem simplexu; (c) určeme, kolik stěn má daný simplex; (d) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 1, a 3, a 4 ; (e) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 0, a 1, a 3, a 4 ; (f) určeme barycentrické souřadnice bodu c = [ 9, 16 9, 11 3, 44 9 ]; (g) určeme barycentrické souřadnice bodu d = [1, 1 9, 35 9, 49 9 ]; (h) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 3 bodu e = [ 9 8, 13 8, x 3, 19 4 ], aby tento bod ležel ve stěně simplexu určené body a 0, a 1, a 2, a 3 ; (i) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 2 bodu f = [ 13 8, x 2, 29 8, 45 8 ], aby tento bod byl bodem simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). Řešení: Máme ověřit, že dané body jsou lineárně nezávislé, tj. že vektory a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 2 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 3 a 0 = ( 1, 1, 2, 2), a a 4 a 0 = ( 1, 1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Tedy a vektory jsou skutečně lineárně nezávislé , (a) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vektor a a 0 = (0, 0, 2, 4 ) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u i = a i a 0, i = 1, 2, 3, 4. Z rovnosti λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4 = (0, 0, 2, 4 ) dostaneme nehomogenní soustavu lineárních rovnic, kterou řešíme: Tedy λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3 = 2, λ 4 = 1, λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 6, takže bod a náleží danému simplexu.

21 (b) Podobně jako v v případě (a) máme Nyní je již zřejmé, že bod bod b nenáleží danému simplexu, neboť z třetího řádku vidíme, že koeficient λ 3 = 10 neleží v intervalu < 0, 1 >. (c) Každá trojrozměrná stěna je určena čtveřicí bodů z množiny {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 }, takže celkem máme ( ( 5 4) = 5 trojrozměrných stěn. Podobně je 5 3) = 10 stěn dvojrozměrných, ( ( 5 2) = 10 stěn jednorozměrných a 5 1) = 5 stěn dimenze nula, tj. bodů. Celkem tedy má daný simplex 30 stěn. (d) Bodová rovnice má tvar x = αa 1 +βa 3 +γa 4, kde α, β, γ 0 a α+β+γ = 1. Tedy α = 1 β γ a vektorová rovnice má tvar x = a 1 + β(a 3 a 1 ) + γ(a 4 a 1 ), β, γ, β + γ 1, neboť β + γ = 1 α < 0, 1 >. (e) Podobně jako prve máme x = λ 0 a 0 +λ 1 a 1 +λ 3 a 3 +λ 4 a 4 = a 0 +λ 1 (a 1 a 0 )+ λ 3 (a 3 a 0 ) + λ 4 (a 4 a 0 ), λ 1, λ 3, λ 4, λ 1 + λ 3 + λ 4 < 0, 1 >. (f) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vyjádřit vektor c a 0 = ( 2 9, 2 9, 6 9, 8 9 ), jako lineární kombinaci vektorů u 1, u 2, u 3, u 4, tj. máme řešit nehomogenní soustavu lineárních rovnic. Jest Odtud již postupně dostáváme λ 3 = 4 9, λ 2 = 1 9, λ 4 = 1 9, λ 1 = 2 9, λ 0 = 1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 = 1 9, takže c = [ 1 9, 2 9, 1 9, 4 9, 1 9 ]. (g) Podobně jako v (f) máme Tedy λ 3 = 8 9, λ 2 = Pak ale λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 λ 2 + λ 3 = > 1, takže bod d nenáleží simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). (h) Má-li bod e ležet ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3, musí být vektor e a 0 = ( 1 8, 3 8, x 3 3, 3 4 ) ležet v lineárním obalu u 1, u 2, u 3. Odtud dostáváme nehomogenní soustavu lineárních rovnic x x Tedy z druhého řádku máme λ 2 = 1 4, odkud z posledního řádku λ 3 = 3 8. Třetí řádek nyní dává x = 3 8, tedy x 3 = Konečně z prvního řádku dostaneme.. 21

22 22 λ 1 = = 1 4, λ 1 + λ 2 + λ 3 = 8, takže ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3 leží bod e = [ 9 8, 13 8, 13 4, 19 4 ]. (Kromě toho jsme zjistili, že tento bod má barycentrické souřadnice e = [ 1 8, 1 4, 1 4, 3 8, 0].) (i) Podobně jako v předchozím případě máme x Vidíme, že λ 3 = > 1, takže bod f = [ 8, x 29 2, ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) pro žádné reálné číslo x 2. 8, x ] nenáleží simplexu Příklady ke kapitole V euklidovské rovině popište soustavou nerovností konvexní obal bodů: (a) a 1 = [ 2, 2], a 2 = [ 1, 2], a 3 = [ 1, 2], a 4 = [1, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [2, 4], a = [4, 2], a 8 = [3, 1]; (b) a 1 = [ 3, 2], a 2 = [1, 4], a 3 = [1, 2], a 4 = [4, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [ 1, 1], a = [ 1, 3]; (c) a 1 = [ 1, 2], a 2 = [1, 2], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 1], a 5 = [1, 1], a 6 = [ 1, 3], a = [1, 4]; (d) a 1 = [ 1, 1], a 2 = [ 2, 4], a 3 = [1, 1], a 4 = [4, 3], a 5 = [ 4, 2], a 6 = [ 2, 2], a = [1, 2], a 8 = [ 1, 2]; (e) a 1 = [ 4, 3], a 2 = [3, 1], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 3], a 5 = [1, 4], a 6 = [1, 1], a = [ 2, 3]. 2. Ověřte, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněte všechny její vrcholy a pseudovrcholy: (a) x + y 3, 2x y 3, 2x + 3y 1, x y 3, y 2; (b) x + 2y 5, 2x y 5, y 1, x 1, x 2y 3; (c) x + 3y 5, 3x y 5, x + 3y 5, 2x + y 5, x 2y 5; (d) x + y 4, 3x + y 8, x 4y, 3x + y 5, 2x 3y ; (e) 2x 3y 10, x y 4, 2x + y 5, x + 5y ; (f) x + 2y 5, x + y 3, 2x y 3, x 3y 4, 3x + 2y 10, 2x 3y Ukažte, že body a 0 = [2, 1, 4, 3], a 1 = [3, 2, 3, 4], a 2 = [3, 3, 5, 2], a 3 = [4, 0, 5, 5], a 4 = [1, 2, 6, 4] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E Zjistěte, zda daný bod leží v simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 13 5, 8 5, 23 5, 18 5 ]; (b) b = [ 5 2, 2, 21 4, 4]; (c) c = [ 11 4, 4, 19 4, 15 4 ]. 5. Určete souřadnice daného bodu v E 4, víte-li, že jeho barycentrické souřadnice vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 jsou: (a) a = [ 2 9, 2 9, 1 9, 2 9, 2 9 ];

23 23 (b) b = [ 1, 2, 1, 2, 1 ]; (c) c = [ 1 4, 1 8, 1 4, 1 8, 1 4 ] 6. Určete barycentrické souřadnice daného bodu vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 23 8, 13 8, 9 2, 29 8 ]; (b) b = [ 16, 11, 33, 25 ]; 9 ]; (c) c = [ 26 9, 16 9, 41 9, 31. Určete neznámou souřadnici bodu a tak, aby bod ležel ve stěně simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 určené danou množinou bodů: (a) a = [3, 3 2, x, 2 ], {a 0, a 1, a 2, a 3 }; (b) a = [ 13 5, x, 21 5, 4], {a 0, a 1, a 3, a 4 }; (c) a = [ 5 2, 13 6, 13 3, x], {a 0, a 1, a 2, a 4 }. Řešení: 1. (a) x 2y 6, x + y 6, 3x y 10, x 4y, 4x + y 6; (b) 5x 2y 11, x 2y, x + y 5, x y 3, x 5y ; (c) x + 2y 5, 3x + y 5, 3x y, 2x + 3y 10, 5x y 8; (d) x + 2y 3, 4x + 3y, x 6y 22, x + y 6, 4x 3y 10; (e) x 5y 19, x + y 5, 4x + y 11, 2x 5y 11, 3x + y 9; 2. (a) vrcholy: [1, 2], [2, 1], [1, 1], [ 2, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [10, ], [0, 3], [6, 9], [ 5 2, 2], [ 2, 2]; (b) vrcholy: [1, 2], [3, 1], [2, 1], [ 1, 1], [ 1, 1], pseudovrcholy: [, 1], [ 1, 3], [ 1, ], [ 13 3, 11 3 ], [ 5, 1]; (c) vrcholy: [2, 1], [1, 2], [ 2, 1], [ 3, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [ 4, 3], [0, 5], [3, 4], [ 5, 0]; (d) vrcholy: [2, 2], [1, 3], [3, 1], [ 1, 2], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 23 5, 3 5 ], [ 9 2, ], [ 11, 3 11 ], [ 49 5, 21 5 ]; (e) není konvexní polyedr (není ohraničená), vrcholy: [ 2, 2], [ 3, 1], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 25 8, ], [ 13, 4 13 ], [ 9 2, 1 2 ]; (f) vrcholy: [1, 2], [ 1, 3], [2, 1], [1, 1], [ 2, 2], [ 4, 1], pseudovrcholy: [ 11 5, 5 ], [ 23 5, 1 5 ], [ 15 2, 25 4 ], [ 13 4, 1 4 ], [ 16, 19], [ 2 5, 1 5 ], [ 4, 29 ], [5, ], [ 15, 19 3 ]. 3. Vektory u 1 = a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), u 2 = a 2 a 0 = (1, 2, 1, 1), u 3 = a 3 a 0 = (2, 1, 1, 2), u 4 = a 4 a 0 = ( 1, 1, 2, 1), jsou lineárně nezávislé. 4. (a) Ano (a a 0 = i=1 u i); (b) ne (b a 0 = 1 4 u u u u 4); (c) ano (c a 0 = i=1 u i). 5. (a) a = [ 23 9, 13 9, 41 9, ]; (b) b = [, 10, 31, 2 19 ]; (c) c = [ 8, 4, 19 4, 2 8 ]. 6. (a) a = [ 1 8, 1 4, 1 4, 1 4, 1 8 ]; (b) b = [ 2, 1, 1, 1, 2 ]; (c) c = [ 1 9, 2 9, 1 3, 2 9, 1 9 ].. (a) x = 1 4 ; (b) x = 19 5 ; (c) x = 6.

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocn y uˇ cebn ı text Miroslav L aviˇ cka Plzeˇ n, z aˇ r ı 2008

KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocn y uˇ cebn ı text Miroslav L aviˇ cka Plzeˇ n, z aˇ r ı 2008 KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocný učební text Miroslav Lávička Plzeň, září 2008 KMA/G1 Geometrie 1 2 Předmluva Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů Fakulty aplikovaných věd a Fakulty

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Projektivní prostor a projektivní zobrazení

Projektivní prostor a projektivní zobrazení Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Brno 2009

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Brno 2009 Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta 1 Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE Brno 2009 2 Předmluva Tento učební text pokrývá látku semestrálního kurzu "M3521 Geometrie 2", který je zařazen

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více