2. kapitola: Euklidovské prostory

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. kapitola: Euklidovské prostory"

Transkript

1 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru u z V n přiřazuje bod a + u E n tak, že jsou splněny následující dvě podmínky: (a) a + 0 = 0, (a + u) + v = a + (u + v) pro každé dva vektory u, v V n a každý bod a E n ; (b) pro každé dva body a, b E n existuje právě jeden vektor u V takový, že a + u = b. Tento jednoznačně určený vektor u budeme značit symbolem b a. 2.2 Definice. Říkáme, že podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem, jestliže existuje podprostor W V n takový, že pro každé dva body a, b M a každý vektor u W je a+u M a b a W. Dimenzí podprostoru M rozumíme dimenzi podprostoru W. 2.3 Věta. Podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem právě když je tvaru M = a+w pro nějaký (libovolný) bod a M a nějaký (vhodný) podprostor prostoru V n. 2.4 Definice. Jednorozměrný euklidovský prostor se nazývá přímka. Dvourozměrný euklidovský prostor se nazývá rovina. Podprostor dimenze n 1 v E n se nazývá nadrovina. 2.5 Příklad. Ověřte, že množina E n = V n je vzhledem k obvyklým operacím sčítání a násobení vektorů n-rozměrným euklidovským prostorem. Přesvědčte se na obrázku, že přímky p = [0, 1] + (1, 1) a q = [0, 1] + (1, 1) jsou rovnoběžné. 2.6 Definice. Řekneme, že podprostory a + W, b + W euklidovského prostoru E n jsou - rovnoběžné, jestliže buď W W nebo W W ; - různoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a mají alespoň jeden společný bod; - mimoběžné, jestliže nejsou ani rovnoběžné ani různoběžné, tj. jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. 2. Věta. Buďte A = a + W, B = b + W, W W, dva rovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou disjunktní; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b / W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b / W. 2.8 Věta. Buďte A = a + W, B = b + W dva nerovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou různoběžné; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b W + W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b W + W, tj. a b = u + u, kde u W a u W. 2.9 Důsledek. Dvě přímky a + u a b + v v E 3 jsou mimoběžné právě když a b, u, v = V 3, tj. právě když vektory {a b, u, v } tvoří bázi vektorového prostoru V 3. 1

2 Příklady. 1) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 1] + (1, 2) a q = [4, 4] + (2, 1) v euklidovské rovině E 2. Řešení: Vektory u = (1, 2) a v = (2, 1) jsou zřejmě lineárně nezávislé, takže u, v = V 2. Podle věty 2.8 jsou tedy přímky p a q různoběžné (neboť jistě a b u, v ). Nalezněme průsečík c přímek p a q. Zřejmě musí platit c = a + tu = b + sv pro vhodné parametry t a s. Porovnáním ve složkách dostaneme nehomogenní soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 1 + t = 4 + 2s, t 2s = 3, 1 + 2t = 4 + s, 2t s = 3, která má řešení t = 1, s = 1 a tedy c = [2, 3] je hledaným průsečíkem přímek p a q. 2) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 2, 3] + (2, 1, 2) a q = [4, 3, 4] + (1, 2, 1) v E 3. Řešení: Přímky p a q zřejmě nejsou rovnoběžné. Přitom a b = ( 3, 1, 1) a matice má hodnost 3, takže přímky p a q jsou mimoběžné podle důsledku ) Určeme vzájemnou polohu přímky p = [4, 3, 1] + (1, 1, 1) a roviny ϱ = [9, 10, 4] + (2, 3, 4), (4, 3, 2). Řešení: Označme a = [4, 3, 1], b = [9, 10, 4], u = (1, 1, 1), v = (2, 3, 4), w = (4, 3, 2). Jelikož dim u, v, w = 3 (ověřte!), je zcela jistě a b u + v, w, takže přímka p a rovina ϱ jsou různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body přímky p a roviny ϱ musí platit 9 + 2α + 4β = 4 + γ, α + 3β = 3 γ, 4 + 4α + 2β = 1 + γ. Přepišme soustavu v maticovém tvaru a proveďme elementární úpravy Odtud již snadno spočteme, že γ = 1, β = 1, α = 1, takže přímka p protíná rovinu ϱ v jediném bodě c = [3, 4, 2]. 4) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [1, 13, 4, 12] + (2, 1, 4, 3), ( 1, 3, 2, 1) a σ = [2, 3, 5, 4] + (3, 2, 6, 2), (1, 4, 2, 4) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Označme a, b body určující postupně roviny ϱ a σ a W, W příslušné podprostory prostoru V 4. Jest

3 takže dimw = 2, dimw = 2, dim(w + W ) = 2, odkud ihned plyne, že W = W a roviny ϱ a σ jsou rovnoběžné. Dále b a = (1, 10, 1, 8), , odkud je patrné, že vektor b a neleží ve W = W, takže roviny ϱ a σ jsou disjunktní podle věty 2.. 5) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [5, 6, 2, 6] + (1, 2, 2, 1), (2, 3, 1, 3) a σ = [4, 1, 4, 1] + (3, 1, 2, 2), ( 1, 1, 1, 1) v E 4. Řešení: Podobně jako v předchozím příkladu máme , , odkud již vidíme, že dim(w + W ) = 4 a roviny ϱ a σ jsou nutně různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body obou rovin máme soustavu rovnic Tedy 5 + α + 2β = 4 + 3γ δ, 6 + 2α + 3β = 1 + γ δ, 2 + 2α β = 4 + 2γ + δ, 6 + α + 3β = 1 2γ + δ , 43 odkud postupně dostáváme δ = 1, γ = 1, β = 1, α = 1, takže roviny ϱ a σ se protnou v jediném bodě c = [2, 1, 1, 2]. 6) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [6, 3, 9, 4] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 5, 3) a σ = [8, 3,, 6] + (3, 1, 2, 3), (4, 3, 4, 4) v E 4. 3

4 4 Řešení: Jest , takže dim(w +W ) = 3 a dim(w W ) = 1 podle věty o dimenzi spojení a průniku Kromě toho a b = ( 2, 0, 2, 2), , takže a b W + W a roviny ϱ a σ jsou různoběžné podle věty 2.8. Protože dim(w W ) = 1, mají obě roviny společnou přímku. Podobně jako v předchozím příkladu řešíme nehomogenní soustavu lineárních rovnic , která má řešení [ 1, 1, 1, 1] + ( 1, 1, 1, 1) pro koeficienty α, β, γ, δ. Pro průsečnici rovin ϱ a σ tudíž máme a + ( 1 t)u + ( 1 + t)v = b + ( 1 t)w + ( 1 + t)z = [1, 1, 1, 1] + t(1, 2, 2, 1), což je parametrická rovnice průsečnice rovin ϱ a σ Definice. Příčkou mimoběžek p = a + u a q = b + v v euklidovském prostoru E 3 rozumíme každou přímku r = c + w, která obě přímky protíná. V tomto případě mluvíme speciálně o příčce ve směru w nebo o příčce procházející bodem c Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď 0 w V 3 libovolný vektor. Příčka mimoběžek p a q o směru w existuje právě když vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, tj. právě když vektor w neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně Postup. Příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v ve směru w lze nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že w / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná příčka mimoběžek p a q.

5 2.14 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [1, 2, 1] + (1, 1, 1) a q = [0, 9, 2] + (1, 0, 0) o směru w = (1, 2, 0). Řešení: 1) Při označení z předcházející věty máme: a b = [1, 2, 1] [0, 9, 2] = (1,, 1), u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 0). Protože jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme , vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé a hledaná příčka existuje a je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určená přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [1, 2, 1] + α(1, 1, 1) + β(1, 2, 0). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 1 + α + β = γ α + β γ = 1 2 α + 2β = 9 α + 2β = 1 + α = 2, α = 1. Vidíme tedy, že α = 1, β = 3 a γ = 3, takže c = [3, 9, 2]. 5) Hledaná příčka tedy je r = [3, 9, 2] + (1, 2, 0) Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď c E 3 libovolný bod, neležící na žádné z nich. Příčka mimoběžek p a q procházející bodem c existuje právě když ani jeden z vektorů c a, c b neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně Postup. Příčku mimoběžek p = a+ u a q = b+ v bodem c můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že c a, c b / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + c a, u proloženou přímkou p a bodem c; 4) nalezněte průsečík d roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = d; 5) přímka r = d + c d = c + c d je hledaná příčka mimoběžek p a q. 2.1 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [3, 3, 3]+ (2, 2, 1) a q = [0, 5, 1] + (1, 1, 1) procházející bodem c = [4, 5, 3]. Řešení: 1) Při označení z předchozí věty máme: a b = (3, 2, 4), u = (2, 2, 1), v = (1, 1, 1). Protože , , 5

6 6 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = (1, 1, 0), (0, 0, 1), c a = (1, 2, 0), c b = (4, 0, 4), takže zřejmě ani c a ani c b neleží v u, v a hledaná příčka je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a bodem c má tedy parametrickou rovnici ϱ = [3, 3, 3] + α(1, 2, 0) + β(2, 2, 1). 4) K nalezení průsečíku d roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 3 + α + 2β = γ α + 2β γ = α + 2β = 5 + γ 2α + 2β γ = β = 1 + γ, β γ = 4, odkud postupně dostaneme α = 5, β = 4 a γ = 0. Průsečík d má souřadnice d = [0, 5, 1]. 5) Hledaná příčka je r = [0, 5, 1] + (4, 0, 4) = [0, 5, 1] + (1, 0, 1) Definice. Nechť u = (u 1,..., u n ) a v = (v 1,..., v n ) jsou dva vektory z V n. Číslo u v = n i=1 u iv i nazýváme skalárním součinem vektorů u a v. Vektory u a v se nazývají ortogonální nebo kolmé, u v, je-li jejich skalární součin roven nule. Jeli M E n libovolná podmnožina, pak M = {v V n v u pro každé u M} se nazývá ortogonální doplněk množiny M. Nezáporné reálné číslo u = u u se nazývá velikost vektoru u Definice. Nechť p = a+ u a q = b+ v jsou dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E n a buď r = c + w jejich příčka taková, že r p = a, r q = b. Pak číslo a b se nazývá délka příčky r Věta. Přímka r = c + w je nejkratší příčkou mimoběžek p = a + u, q = b+ v, právě když w = u, v, tj. právě když vektor w je kolmý k oběma vektorům u a v Definice. Velikost nejkratší příčky mimoběžek p a q se nazývá vzdálenost mimoběžek p a q Postup. Nejkratší příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) najděte ortogonální doplněk w = u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná nejkratší příčka mimoběžek p a q; 6) nalezněte průsečík d přímky c + w s přímkou p, (c + w ) p = d; ) velikost c d vektoru c d je vzdálenost mimoběžek p a q Příklad. Nalezněme nejkratší příčku a určeme vzdálenost mimoběžek p = [6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) a q = [ 1,, 4] + ( 3, 3, 8). Řešení: 1) Při obvyklém označení máme: a b = (, 10, ), u = ( 3, 2, 4), v = ( 3, 3, 8). Protože , 0 44

7 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = ( 3, 2, 4), (0, 1, 4), takže řešením homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádky jsou právě uvedené vektory, snadno dostaneme generátor ortogonálního doplňku w = (4, 12 3) vektorů u a v. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [6, 3, 3] + α( 3, 2, 4) + β(4, 12, 3). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 6 3α + 4β = 1 3γ 3 + 2α + 12β = + 3γ 3 + 4α 3β = 4 + 8γ, odkud elementárními úpravami postupně dostaneme , takže ϱ q = c = b = [ 1,, 4]. 5) Hledaná nejkratší příčka tedy je r = [ 1,, 4] + (4, 12, 3). 6) Nalezneme průsečík d přímek r a p, ([ 1,, 4]+ (4, 12, 3) ) ([6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) ), a to řešením následující nehomogenní soustavy lineárních rovnic: 1 + 4s = 6 3t + 12s = 3 + 2t 4 3s = 3 + 4t. Elementárními úpravami dostaneme , takže s = t = 1 a d = [3, 5, 1]. ) Vzdálenost mimoběžek p a q vypočteme snadno. Jest c d = [ 1,, 4] [3, 5, 1] = ( 4, 12, 3) = = 169 = 13. Příklady ke kapitole Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 2 : (a) p = [1, 3] + (2, 1), q = [5, 4] + ( 4, 2) ; (b) p = [1, 2] + (3, 2), q = [, 2] + (9, 6) ; (c) p = [3, 2] + (2, 1), q = [2, 3] + (1, 2). 2. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 3 :

8 8 (a) p = [4, 6, 1] + (1, 3, 2), q = [5, 3, 4] + ( 2, 6, 4) ; (b) p = [2, 3, 1] + (4, 1, 2), q = [10, 5, 3] + ( 8, 2, 4) ; (c) p = [, 0, 5] + (2, 1, 2), q = [6, 8, 4] + (1, 2, 1) ; (d) p = [ 2, 4, 3] + (1, 2, 3), q = [2, 6, 1] + (3, 2, 1). 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 3 : (a) ϱ : [2, 3, 4] + (2, 1, 3), (1, 3, 4), σ : [4, 1, 10] + (3, 2, 1), (1, 4, ) ; (b) ϱ : [, 2, 5] + (1, 3, 2), (4, 2, 1), σ : [1, 6, 2] + (5, 1, 1), (3, 5, 3) ; (c) ϱ : [6, 4, 11] + (1, 2, 3), (3, 1, 5), σ : [10, 4, ] + (3, 2, 1), (5, 1, 3). 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ϱ v euklidovském prostoru E 3 : (a) p : [6, 5, 4] + (3, 1, 5), ϱ : [4, 4, 2] + (2, 3, 1), (1, 2, 4) ; (b) p : [3, 1, 2] + (2, 3, 1), ϱ : [11, 1, 12] + (3, 1, 2), ( 1, 2, 3) ; (c) p : [6, 5, 3] + (2, 1, 2), ϱ : [6, 9, 1] + (3, 1, 5), (1, 5, 3). 5. Určete vzájemnou polohu rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 4 : (a) ϱ : [4, 6, 6, 4] + (2, 1, 4, 3), (1, 3, 2, 4), σ : [2, 5, 4, 3] + (3, 4, 6, ), (1, 2, 2, 1) ; (b) ϱ : [4, 5,, 3] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 5, 5), σ : [6, 4, 4, 5] + (3, 2, 3, 1), (5, 3, 1, 4) ; (c) ϱ : [5, 11, 10, 12] + (1, 3, 2, 4), (2,, 5, 3), σ : [3, 2, 9, 2] + ( 2, 4, 1, 1), (3, 5,, 8) ; (d) ϱ : [, 5, 10, 10] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 4, 3), σ : [2, 9,, 13] + ( 1, 2, 1, 3), (1, 6, 3, 5) ; (e) ϱ : [6, 2, 4, 9] + (4,, 8, 11), ( 1,, 2, 6), σ : [5, 1, 2, 5] + (3, 14, 6, 1), (1, 8, 2, 9). 6. Určete vzájemnou polohu podprostorů v euklidovském prostoru E 4 : (a) p : [4, 5, 6, ] + (2, 9, 9, 15), σ : [3, 3, 2, 4] + (1, 3, 2, 4), ( 1, 1, 2, 4), (2, 5, 5, ) ; (b) p : [3, 5, 3, ] + (1, 2, 4, 3), σ : [6, 21, 1, 34] + (1, 6,, 11), (3, 8,, 11), (0, 1, 1, 2) ; (c) ϱ : [1, 2, 3, 4] + (1, 2, 1, 2), (2, 4, 3, 5), σ : [, 9, 11, 13] + (3, 1, 4, 2), (5, 5,, ), (4, 3, 5, 4) ; (d) ϱ : [5, 12,, 13] + (1, 4, 4, 5), (3, 5, 1, 4), σ : [9, 6, 1, 11] + (2, 1, 1, 3), (5, 2, 3, 3), (1, 2, 1, 1) ; (e) ϱ : [11, 2, 6, 1] + (1, 2, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), σ : [3, 4, 4, 3] + (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), (4, 1, 1, 1) ; (f) ϱ : [5, 4, 4, 4] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), σ : [11, 6, 4, 4] + (4, 3, 1, 2), (6, 2, 2, 1), (5, 4, 0, 3).. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q o směru w: (a) p = [4, 5, 8] + (2, 1, 3), q = [4, 3, 2] + (1, 1, 1), w = ( 1, 2, 2); (b) p = [1, 2, 3] + (3, 5, 1), q = [3, 2, 1] + (2, 2, 3), w = (3, 1, 8); (c) p = [3, 5, 6] + (3, 2, 2), q = [4, 0, 3] + (1, 4, 0), w = (1, 3, 5); (d) p = [2, 1, 1] + (1, 2, 3), q = [4, 6, 1] + (1, 1, 1), w = (2, 1, 2). 8. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q procházející bodem c: (a) p = [6, 2, 6] + (1, 1, 2), q = [5, 1, 8] + (3, 5, 3), c = [ 3, 11, 6];

9 9 (b) p = [2, 0, 3] + (1, 2, 3), q = [4, 2, 3] + (2, 3, 1), c = [1, 4, 2]; (c) p = [2, 2, 0] + (3, 4, 1), q = [4, 4, 0] + (2, 3, 1), c = [ 4, 1, 5]; (d) p = [4, 2, 2] + (1, 2, 3), q = [6, 4, 2] + (4, 1, 3), c = [ 1, 2, 3]. 9. V E 3 nalezněte nejkratší příčku mimoběžek p a q a spočtěte jejich vzdálenost: (a) p = [3, 6, 6] + (4, 1, 3), q = [3, 6, ] + (2, 1, 6) ; (b) p = [8, 5, 9] + (4, 2, 3), q = [ 3, 2, 4] + (4, 3, 6). Řešení: 1. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [1, 1]. 2. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [3, 2, 1]; (d) mimoběžné. 3. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3] + (2, 1, 2). 4. (a) Přímka je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní; (b) přímka leží v rovině; (c) přímka protíná rovinu v bodě [2, 3, 1]. 5. (a) Rovnoběžné různé; (b) mimoběžné; (c) různoběžné, průsečík [2, 1, 3, 5]; (d) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3, 5] + (1, 2, 1, 1) ; (e) roviny splývají. 6. (a) Rovnoběžné různé; (b) různoběžné, průsečík [2, 3, 1, 4]; (c) rovina ϱ leží v nadrovině σ; (d) různoběžné, průsečnice je přímka [1, 3, 2, 4]+ (2, 1, 3, 1) ; (e) rovnoběžné různé; (f) různoběžné, průnik je rovina [1, 1, 1, 1]+ (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).. (a) [3, 2, 3] + ( 1, 2, 2) ; (b) neexistuje; (c) [5, 4, 3] + (1, 3, 5) ; (d) [2, 4, 3] + (2, 1, 2). 8. (a) Neexistuje; (b) [1, 4, 2] + (1, 3, 4) ; (c) [ 4, 1, 5] + (3, 1, 2) ; (d) [ 1, 2, 3] + (3, 1, 2). 9. (a) [, 5, 3] + (3, 6, 2), vzdálenost 14; (b) [1, 5, 2] + (3, 12, 4), vzdálenost 13.

10 10 3. kapitola: Podprostory euklidovských prostorů 3.1 Definice. Nechť u = (x 1, x 2, x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Vektorovým součinem těchto vektorů rozumíme vektor u v = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 3.2 Příklad. Vektorový součin vektorů u = ( 3, 2, 4) a v = ( 3, 3, 8) je podle předchozí definice vektor w = (4, 12, 3). 3.3 Definice. Připomeňme, že pro čtvercovou matici A = (a ij ) stupně n algebraickým doplňkem prvku a ij rozumíme číslo A ij = ( 1) i+j M ij, kde M ij je subdeterminant dílčí matice matice A stupně n 1 vzniklé z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 3.4 Poznámka. Nechť u = (x 1, x 2 x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z E 3. Označíme-li symbolem A matici A = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 a 31 a 32 a 33, pak ve světle předcházejících dvou definic vidíme, že u v = (A 31, A 32, A 33 ). 3.5 Věta. Nechť u, v jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Pak platí: (i) u v = (v u) = ( v) u = v ( u); (ii) u v = 0 právě když vektory u, v jsou lineárně závislé; (iii) (u v) u; (u v) v; (iv) jestliže vektory u a v jsou lineárně nezávislé, pak u, v = u v 3.6 Věta. Množina všech řešení netriviální nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b je nadrovina v E n. Přitom je-li tato nadrovina tvaru a+w, kde a = [z 1, z 2,..., z n ], pak (z 1, z 2,..., z n ) je řešením rovnice ( ) a W je množina všech řešení příslušné homogenní rovnice a 1 x a n x n = 0. Jinými slovy: W = (a 1,..., a n ). 3. Věta. Nechť a+w je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Je-li ortogonální doplněk W generován vektorem (a 1, a 2,..., a n ), pak a + W je množinou všech řešení nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, kde b = a 1 z a n z n, a = [z 1,..., z n ].

11 Příklady. 1) Najděme nadrovinu danou rovnicí 2x + 3y 4z + t = 2. Řešení: Hledáme (2, 3, 4, 1), neboli řešíme příslušnou homogenní rovnici, tj. rovnici s pravou stranou 0 místo 2. Vektory ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), a ( 3, 2, 0, 0) jsou zřejmě lineárně nezávislá řešení této rovnice, takže ϱ = [1, 1, 1, 1]+ ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), ( 3, 2, 0, 0) vzhledem k tomu, že bod [1, 1, 1, 1] je zřejmě řešením dané rovnice. Poznamenejme, že místo bodu [1, 1, 1, 1] bychom mohli vzít bod [0, 1, 0, 1], či [1, 0, 0, 0], či kterékoliv jiné řešení dané nehomogenní rovnice. 2) Najděme rovnici nadroviny ϱ = a + W, jestliže a = [3, 2, 1, 1] a W = (1, 2, 3, 20), (2, 1, 4, 1), (3, 2, 2, 4). Řešení: Ortogonální doplněk W nalezneme jako řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádkové vektory jsou právě dané generátory nadroviny W. Tedy , takže W = (2, 3, 4, 1) a hledaná rovnice je 2x + 3y + 4z t =, kde pravou stranu dostaneme dosazením bodu a do levé strany rovnice. 3.9 Věta. Je-li a + W podprostor dimenze n k v euklidovském prostoru E n, pak existuje k nadrovin ϱ 1,..., ϱ k tak, že a + W = ϱ 1 ϱ k. Speciálně tedy lze podprostor a + W popsat nehomogenní soustavou k lineárně nezávislých lineárních rovnic Postup. Nehomogenní soustavu lineárních rovnic, která popisuje daný n krozměrný podprostor a + W v E n lze nalézt například touto metodou: 1) Nalezneme W = u 1,..., u k, kde u i = (a i1,..., a in ); 2) Napíšeme rovnice a i1 x a in x n = a i, kde a i1 z a in z n = a i, a = [z 1,..., z n ]; 3) i-tá rovnice této soustavy je rovnicí nadroviny ϱ i Věta. Je-li n j=1 a ijx j = a i, i = 1,... k, nehomogenní soustava lineárních rovnic hodnosti k, pak množina všech řešení této soustavy je podprostor a + W euklidovského prostoru E n dimenze n k Příklady. 1) Popišme rovnicemi rovinu ϱ = [2, 1, 1, 3]+ (1, 3, 2, 4), (2, 4, 1, 3) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Pomocí elementárních úprav na dané vektory dostaneme ( ) ( ) ( )

12 12 Řešením této soustavy dostáváme W = (, 5, 0, 2), (5, 3, 2, 0), takže rovina ϱ je popsána soustavou dvou rovnic x 5y + 2t = 15 5x 3y + 2z = 9, kde pravé strany rovnic dostaneme dosazením souřadnic daného bodu a = [2, 1, 1, 3] do levých stran soustavy. 2) V euklidovském prostoru E 4 nalezněme podprostor ϱ popsaný nehomogenní soustavou lineárních rovnic: 2x + 3y + z + 2t = 4 3x + 2y + 4y + t = 3. Řešení: Pomocí elementárních úprav na matici soustavy dostaneme ( ) ( ) ( ) Vidíme tedy, že bod a = [0, 2, 0, 1] je řešením nehomogenní soustavy, zatímco (1, 4, 0, 5) a ( 2, 1, 1, 0) jsou dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní soustavy a hledaný podprostor je rovina ϱ = [0, 2, 0, 1]+ (1, 4, 0, 5), ( 2, 1, 1, 0) Definice. Nechť ϱ = a + W je nadrovina v E n. Pak W = w nazýváme směrem normály nadroviny ϱ a každý nenulový vektor z w nazýváme vektorem normály nadroviny ϱ. Je-li b bod nadroviny ϱ, pak přímku b + w nazýváme normálou nadroviny ϱ v bodě b Poznámka. Je-li a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny ϱ = a + W v E n, pak víme, že W = (a 1,..., a n ), tedy (a 1,..., a n ) = W. Jinými slovy, w = (a 1,..., a n ) je vektor normály nadroviny ϱ Definice. Buď a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny ϱ v E n a buď c = (z 1,..., z n ) bod neležící v ϱ. Pak w = (a 1,..., a n ) je normálový vektor nadroviny ϱ a přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d. Velikost c d vektoru c d se nazývá vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ Poznámka. Při označení z předchozí definice přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d = c + tw, kde t dostaneme z rovnice: tedy i=1 a 1 (z 1 + ta 1 ) + + a n (z n + ta n ) = b, n n a i z i + t a 2 i = b a t = b n i=1 a iz i. i=1 n i=1 a2 i Máme tedy: n d c = tw = t w = i=1 a iz i b n n i=1 a2 a 2 i = n i=1 a iz i b. i i=1 n i=1 a2 i

13 Příklady. 1) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v E 4 dané rovnicí: 2x y + 3z 5u = 11. Řešení: Vektor normály je w = (2, 1, 3, 5). 2) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v euklidovském prostoru E 4 dané parametricky ϱ = [1, 8, 3, 2] + (2, 3, 1, 4), (3, 1, 4, 2), (1, 4, 3, 2). Určeme dále normálu nadroviny ϱ procházející bodem c = [11, 15, 0, 4] a nalezněme její průsečík d s nadrovinou ϱ. Řešení: Musíme nalézt ortogonální doplněk W. Jest , odkud snadno dostaneme, že w = (4, 2, 2, 3) je hledaný vektor normály. Parametrická rovnice normály nadroviny ϱ procházející bodem c je [11, 15, 0, 4] + (4, 2, 2, 3). Kromě toho nadrovina ϱ má rovnici 4x + 2y 2z 3u = 20, takže parametr t 0 průsečíku dostaneme snadno dosazením: 4(11+4t)+2(15+2t) 2(0 2t) 3( 4 3t) = 20. Tedy t = 20, t 0 = 2 a d = [3, 11, 4, 2]. 3) Určeme vzdálenost bodu [2, 1, 2, 2] od nadroviny ϱ euklidovského prostoru E 4 dané rovnicí 2x 4y 8z + 4t = 12. Řešení: Dosazením do vzorce dostáváme n i=1 a iz i b ( 1) 8 ( 2) n = = 20 = 2. i=1 a2 i ) Určeme vzdálenost bodu [3, 2, 2, 2] od nadroviny ϱ dané parametricky ϱ = [4, 3, 2, 1] + (8,,, ), (4,,, ), (16,,, ) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Nejprve nalezneme vektor normály w a rovnici dané nadroviny. Jest Tedy w = (, 2, 10, 4), x 2y + 10z 4t = 6 je rovnice dané nadroviny a dosazením do vzorce dostaneme hledanou vzdálenost: n i=1 a iz i b n = = 39 i=1 a2 i = 3.

14 14 Příklady ke kapitole Spočtěte vektorový součin vektorů z E 3 : (a) u = (2, 3, 5) a v = (3, 2, 4); (b) u = (2, 1, 3) a v = ( 1, 3, 2); (c) u = (2, 4, 3) a v = (1, 6 5, 2 5 ). 2. Nalezněte parametrické vyjádření nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x 2y + z = 3; (b) 2x 3y + z 2t = 5; (c) 3x y + 2z t 2u =. 3. Nalezněte rovnici nadroviny v E n dané parametricky: (a) ϱ: [2, 1, 1] + (4, 1, 3), (1, 1, 1) ; (b) ϱ: [1, 1, 3, 1] + (4, 1, 2, 2), (2, 5, 4, 3), (1, 2, 1, 2) ; (c) ϱ: [2, 1, 1, 2] + (2, 1, 1, 3), (1, 3, 5, ), (3, 2, 4, 2). 4. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný parametricky popište soustavou lineárních rovnic: (a) ϱ : [1, 1, 1, 1] + (5, 4, 22, 11), (5, 29, 11, 22) ; (b) ϱ : [1, 2, 3, 4, 5] + (2, 1, 3, 2, 1), ( 1, 3, 2, 4, 3), (3, 2, 1, 3, 2) ; (c) ϱ : [1, 1, 1, 0, 2] + (2, 3, 1, 2, 2), (1, 1, 2, 1, 3). 5. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný soustavou lineárních rovnic popište parametricky: (a) x 2y + 3z + 2t = 4, 2x y + 5z + 3t = 9; (b) 2x 3y + z 2t + u = 1, 3x + y z + 2t 3u = 2; (c) 2x + y z 2t + 3u = 3, 3x y + 2z + 3t 2u = 5, x y + 2z t + u = Nalezněte vektor normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) 2x y + 3z = 1; (b) 3x y + 2z 2t = 5; (c) 2x 3y z 3t = 4.. Nalezněte vektor normály nadroviny v E n zadané parametricky: (a) [1, 1, 2] + (1, 2, 3), (1, 1, 1) ; (b) [2, 1, 1, 3] + (3, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (1, 2,, 1) ; (c) [ 2, 1, 1, 2] + ( 2, 1, 1, 9), (1, 2, 1, 4), (3, 2, 2, 5). 8. Nalezněte směr normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x + 2y + 3z = 9; (b) 2x y 3z + t = 15; (c) 3x + y 2z 4t = Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n dané rovnicí, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) x 3y + 2z =, c = [ 2,, 6];

15 15 (b) 2x + 4y z 3t = 3 c = [5, 10, 1, 4]; (c) 4x + y 3z + 2t = 4, c = [13, 4, 8, ]. 10. Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n zadané parametricky, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) [4, 1, 2] + (4, 2, 1), (1, 4, 5), c = [5, 5, 5]; (b) [5, 4, 3, 2] + (2, 3, 4, 5), (3, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2), c = [ 2,, 8, 13]; (c) [1, 1, 5, 4] + (4, 2, 8, 3), (1, 1, 3, 1), ( 2, 3, 1, 2), c = [0, 8, 2, 6]. 11. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ dané rovnicí: (a) 4x y + 4z = 1, c = [6, 1, 5]; (b) 2x y + 4z 2u = 2, c = [ 5, 6, 15, 11]; (c) 4x 10y + z 2u = 40, c = [13, 10, 10, 20]. 12. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ zadané parametricky: (a) [1, 1, 1] + (4, 1, 3), (2, 2, 3), c = [20, 10, 13]; (b) [1, 2, 1, 5] + (4, 5, 1, 3), ( 4, 3, 2, 10), (2, 6, 4, 5), c = [20, 11, 14, 8]; (c) [1, 2, 3, 2] + (1, 1, 0, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 1, 2, 2), c = [1,, 5, ]. Řešení: 1. (a) u v = (22, 23, 5); (b) u v = ( 11, 1, ); (c) u v = (2, 11 5, 8 5 ). 2. (a) [3, 0, 0]+ (1, 0, 1), (2, 1, 0) ; (b) [2, 0, 1, 0] + (1, 0, 0, 1), ( 1, 0, 2, 0), (3, 2, 0, 0) ; (c) [1, 0, 2, 0, 0] + (2, 0, 0, 0, 3), (1, 0, 0, 3, 0), (2, 0, 3, 0, 0), (1, 3, 0, 0, 0). 3. (a) 2x + y 3z = 2; (b) 3x + 2y + z 4t = 4; (c) 2x y + 3z 2t = (a) x+5y +5t = 1, 18x+5y +5z = 28; (b) y u = 3, x+y z = 0; (c) x+5y z = 1, x + 4y u = 1, x + t = (a) [6, 0, 0, 1] + (, 1, 3, 0), ( 4, 1, 0, 3) ; (b) [3, 0, 0,, ] + (2, 5, 11, 0, 0), (4, 10, 0, 11, 0), (8, 9, 0, 0, 11) ; (c) [1, 1, 1, 1, 1]+ (2, 15, 9, 1, 0), (3, 29, 1, 0, 2). 6. (a) (2, 1, 3); (b) (3, 1, 2, 2); (c) (2, 3, 1, 3).. (a) (1, 2, 1); (b) (2, 3, 1, 1); (c) (3, 2, 5, 1). 8. (a) (1, 2, 3) ; (b) (2, 1, 3, 1) ; (c) (3, 1, 2, 4). 9. (a) [ 2,, 6] + (1, 3, 2), d = [1, 2, 0]; (b) [5, 10, 1, 4] + (2, 4, 1 3), d = [1, 2, 1, 2]; (c) [13, 4, 8, ] + (4, 1, 3, 2), d = [1, 1, 1, 1]. 10. (a) [5, 5, 5] + (2, 3, 2), d = [1, 1, 1]; (b) [ 2,, 8, 13] + (1, 2, 3, 4), d = [1, 1, 1, 1]; (c) [0, 8, 2, 6] + (2, 3, 1, 2), d = [4, 2, 4, 2]. 11. (a) 18; (b) 20; (c) (a) 21; (b) 2; (c) 20.

16 16 4. kapitola: Konvexní množiny 4.1 Definice. Podmnožina M euklidovského prostoru E n obsahující alespoň dva body se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva různé body a, b M je celá úsečka ab obsažena v množině M. Mezi konvexní množiny budeme z důvodu jednodušší formulace výsledků počítat i jednoprvkové podmnožiny prostoru E n a množinu prázdnou. Nechť a, b jsou dva různé body z E n. Pak b a je nenulový vektor z V n a přímka p určená body a a b má parametrickou rovnici p = a+ b a, tj. každý bod x přímky p lze zapsat ve tvaru x = a + t(b a) pro nějakou reálnou hodnotu parametru t. Přitom bodu a odpovídá hodnota parametru t = 0 a bodu b hodnota parametru t = 1. Úsečka s krajními body a, b je tedy popsána následovně: ab = {x E n x = a + t(b a), 0 t 1}. Provedeme-li formálně naznačené úkony, dostaneme a + t(b a) = (1 t)a + tb, kde 1 t + t = 1 a 1 t, t 0. Jinak řečeno, jsou-li a, b dva různé body z E n, pak množina je právě úsečka ab. {λa + µb λ, µ 0, λ + µ = 1} 4.2 Příklady. 1) Množina bodů M = {[x, y] x 2 +y 2 9} v E 2 je zřejmě uzavřený kruh o poloměru 3 se středem v počátku. Ukažme, že M je konvexní množina. Řešení: Buďte a = [x 1, y 1 ], b = [x 2, y 2 ] libovolné body z kruhu M a buď c = [λx 1 + µx 2, λy 1 + µy 2 ] libovolný bod úsečky ab. Máme tedy x y1 2 9, x y2 2 9 a ze známe Cauchyovy nerovnosti také x 1 x 2 +y 1 y 2 x y2 x y Pak ale (λx 1 +µx 2 ) 2 +(λy 1 +µy 2 ) 2 =λ 2 x λµx 1 x 2 +µ 2 x 2 2 +λ 2 y1 2 +2λµy 1 y 2 +µ 2 y2 2 = λ 2 (x y1) 2 + 2λµ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + µ 2 (x y2) 2 9λ λµ + 9µ 2 = 9(λ + µ) 2 = 9, bod c leží v uzavřeném kruhu M a množina M je konvexní. 2) Ukažme, že množina M popsaná soustavou nerovností y 2x 0, 2y x 0, xy 2 v euklidovské rovině E 2 není konvexní. Řešení: V množině M zřejmě leží body a = [1, 2] a b = [2, 1] (načrtněte obrázek!). Střed s úsečky ab má zřejmě souřadnice s = 1 2 a b = [ 3 2, 3 2 ]. Tento bod vyhovuje první nerovnosti, neboť = 3 2 < 0, vyhovuje i druhé nerovnosti = 3 2 > 0, avšak = 9 4 > 2 takže třetí nerovnost není splněna. Střed úsečky ab tedy neleží v M a množina M tudíž není konvexní. 4.3 Definice. Buďte a 1,..., a k body z euklidovského prostoru E n. Každý bod x E n takový, že x = k i=1 λ ia i, k i=1 λ i = 1, λ i 0, se nazývá konvexní lineární kombinace bodů a 1,..., a k. 4.4 Věta. Průnik libovolného systému konvexních množin je konvexní množina. 4.5 Věta. Je-li M E n konvexní podmnožina a a 1,..., a k jsou libovolné prvky množiny M, pak každá konvexní lineární kombinace těchto bodů leží v množině M.

17 1 4.6 Definice. Buď K E n libovolná podmnožina. Průnik všech konvexních podmnožin prostoru E n obsahujících množinu K budeme nazývat konvexní obal množiny K. Konvexní obal množiny K budeme označovat symbolem K(K). 4. Věta. Je-li K libovolná podmnožina v E n, pak konvexní obal K(K) je právě množina všech konvexních lineárních kombinací konečných počtů bodů z množiny K. 4.8 Definice. Buď M E n neprázdná podmnožina. Bod a E n se nazývá hraniční bod množiny M, jestliže každé jeho ε-okolí obsahuje jak body z M, tak body z komplementu E n \ M. Připomeňme, že pro kladné reálné číslo ε, ε-okolím bodu a E n rozumíme množinu {b E n a b < ε}. Podmnožina M prostoru E n se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Nakonec říkáme, že podmnožina M v E n je ohraničená (omezená), jestliže existuje takové kladné reálné číslo ε, že množina M je obsažena v ε-okolí bodu [0,..., 0]. 4.9 Definice. Bod c konvexní podmnožiny M euklidovského prostoru E n se nazývá krajní bod (extremální bod, vrchol) množiny M, jestliže c není vnitřním bodem žádné úsečky ab, a, b M, tj. c nelze vyjádřit ve tvaru c = λa + µb, a, b M, λ > 0, µ > 0, λ + µ = Věta. Nechť M je konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina v E n a buď M množina všech jejích extremálních bodů. Pak K(M ) = M Definice. Konvexní polyedr je neprázdná, konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina euklidovského prostoru E n mající pouze konečný počet extremálních bodů Věta. Je-li M konvexní polyedr v E n s krajními body a 1,..., a k, pak každý bod a M lze vyjádřit jako konvexní lineární kombinaci jeho krajních bodů, tj. k a = λ i a i, i=1 k λ i = 1, λ i 0, i = 1,..., k. i=1 Poznamenejme, že toto vyjádření není obecně jednoznačné, jak je patrné z příkladu obdélníka o vrcholech a, b, c, d, jehož střed s lze vyjádřit jednak jako s = 1 2 a c, jednak jako s = 1 2 b d Věta. Každá neprázdná, ohraničená, uzavřená a konvexní množina v E n má alespoň jeden extremální bod Věta. Konvexní obal množiny {a 1,..., a m } v E n je konvexní polyedr o nejvýše m krajních bodech Definice. Nechť ϱ je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Nadrovina ϱ dělí E n na dva poloprostory, jejichž společnou hranicí je nadrovina ϱ. Tyto poloprostory jsou buď otevřené nebo uzavřené podle toho, zda k nim hraniční nadrovina patří, či nikoliv. Tedy, je-li w normálový vektor nadroviny ϱ, pak je jeden z uzavřených poloprostorů a P 1 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ} P 2 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ}

18 18 je druhý z nich. Podobně Q 1 = {b E n b = a + tw, t > 0, a ϱ} je jeden z otevřených poloprostorů a Q 2 = {b E n b = a + tw, t < 0, a ϱ} je druhý z nich Věta. Buď a 1 x a n x n = b rovnice nadroviny v E n. Pak množina P 1 = {(z 1,..., z n ) E n tvoří jeden z uzavřených poloprostorů a n a i z i b} i=1 P 2 = {(z 1,..., z n ) E n n a i z i b} tvoří druhý z nich. Nahradíme-li neostré nerovnosti ostrými, dostaneme popis příslušných otevřených poloprostorů. 4.1 Věta. Konvexní polyedr v E n je průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Naopak, je-li průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů euklidovského prostoru E n ohraničený, je tento průnik konvexní polyedr Poznámka. Předchozí dvě věty nám vlastně dávají možnost popsat každý konvexní polyedr pomocí (konečné) soustavy nerovností. Stačí totiž napsat rovnice jednotlivých hraničních nadrovin a poté vybrat příslušnou nerovnost, tj. příslušný poloprostor. Podrobný postup spolu s obrácenou úlohou je popsán v následujících dvou příkladech Příklady. 1) V euklidovské rovině popišme soustavou nerovností konvexní obal bodů: i=1 a 1 = [1, 1], a 2 = [3, 0], a 3 = [4, 2], a 4 = [2, 4]. Řešení: Označme u ij = a i a j směrový vektor přímky p ij procházející body a i a a j a n ij vektor normály této přímky. Máme tedy: u 12 = ( 2, 1), n 12 = (1, 2), u 23 = ( 1, 2), n 23 = (2, 1), u 34 = (2, 2), n 34 = (1, 1), u 41 = (1, 3), n 41 = (3, 1), takže odpovídající přímky mají rovnice p 12 : x + 2y = 3, p 23 : 2x y = 6, p 34 : x + y = 6, p 41 : 3x y = 2. Snadno se nyní nahlédne (načrtněte obrázek), že daný konvexní polyedr je popsán soustavou nerovností: p 12 : x + 2y 3, p 23 : 2x y 6,

19 19 p 34 : x + y 6, p 41 : 3x y 2. 2) Podmnožina euklidovského prostoru E 2 popsaná soustavou nerovností 1 x + y 1, 2x y 0, 2x y 0 je konvexní, ale není polyedrem, neboť, jak se snadno přesvědčíte z obrázku, není ohraničená Definice. Bod, který je průnikem n lineárně nezávislých hranic konvexní množiny K se nazývá pseudovrchol. Každý krajní bod konvexní množiny je pseudovrchol, ale nikoliv naopak Příklad. Ověřme, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněme všechny jeho vrcholy a pseudovrcholy: 2x y 2; x + y ; x + 4y 10; x 2y 10; 2x + 5y 38. Řešení: Nahradíme-li nerovnosti rovnostmi, dostaneme celkem 5 přímek, které označíme p 1, p 2, p 3, p 4 a p 5. Označíme-li P ij průsečík přímek p i a p j, dostaneme celkem 10 pseudovrcholů. P 12 = [3, 4] P 24 = [8, 1] P 13 = [2, 2] P 25 = [ 1, 8] P 14 = [ 2, 6] P 34 = [10, 0] P 15 = [4, 6] P 35 = [34, 6] P 23 = [6, 1] P 45 = [14, 2] Snadno se nahlédne (načrtněte obrázek), že P 12, P 23, P 34, P 45, P 15 všechny vrcholy daného konvexního polyedru. jsou právě 4.22 Definice. Body a 0, a 1,..., a r z E n se nazývají lineárně nezávislé, jsou-li vektory a 1 a 0,..., a r a 0 z V n lineárně nezávislé Poznámka. Není obtížné ověřit, že v předchozí definici není nutné odečítat bod a 0 od bodů ostatních, ke stejnému výsledku dospějeme, jestliže použijeme kterýkoliv z bodů a 0,..., a r Definice. Nechť a 0,..., a r jsou lineárně nezávislé body z euklidovského prostoru E n. Množina r ϕ r (a 0,..., a r ) = {x = λ i a i i=0 r λ i = 1, λ i 0} i=0 se nazývá r-rozměrný simplex. Body a 0,..., a r se nazývají vrcholy simplexu a (r + 1)-tice (λ 0,..., λ r ) jednoznačně určená bodem x jsou barycentrické souřadnice bodu x. Každá s-tice vrcholů, s < r určuje s-rozměrný simplex, tzv. s-rozměrnou stěnu simplexu ϕ r (a 0,..., a r ).

20 Věta. Každý simplex je konvexní polyedr Poznámka. Podle definice sestává simplex ϕ r (a 0,..., a r ) právě ze všech bodů x = r i=0 λ ia i, kde λ i 0 a r i=0 λ i = 1. Speciálně tedy je λ 0 = 1 λ 1 λ r, takže x = a 0 + λ 1 (a 1 a 0 ) + + λ r (a r a 0 ). Odtud ihned vidíme, že x ϕ r (a 0,..., a r ) právě tehdy, když x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), kde λ 1,..., λ t, λ λ t 0, 1. Naopak tedy bod x E n nenáleží simplexu ϕ r (a 0,..., a r ) právě když buď vektor x a 0 není lineární kombinací vektorů a 1 a 0,..., a r a 0, nebo takovou lineární kombinací jest, x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), avšak aspoň jedno z čísel λ 1,..., λ r, λ λ r nenáleží intervalu 0, Příklad. Ukažme, že body a 0 = [1, 2, 3, 4], a 1 = [2, 3, 2, 3], a 2 = [2, 1, 2, 5], a 3 = [0, 1, 5, 6], a 4 = [0, 3, 4, 5] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E 4. (a) Zjistěme, zda bod a = [1, 2, 23, 32 ] je bodem simplexu; (b) zjistěme, zda bod b = [ 11, 16, 2, 6] je bodem simplexu; (c) určeme, kolik stěn má daný simplex; (d) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 1, a 3, a 4 ; (e) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 0, a 1, a 3, a 4 ; (f) určeme barycentrické souřadnice bodu c = [ 9, 16 9, 11 3, 44 9 ]; (g) určeme barycentrické souřadnice bodu d = [1, 1 9, 35 9, 49 9 ]; (h) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 3 bodu e = [ 9 8, 13 8, x 3, 19 4 ], aby tento bod ležel ve stěně simplexu určené body a 0, a 1, a 2, a 3 ; (i) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 2 bodu f = [ 13 8, x 2, 29 8, 45 8 ], aby tento bod byl bodem simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). Řešení: Máme ověřit, že dané body jsou lineárně nezávislé, tj. že vektory a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 2 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 3 a 0 = ( 1, 1, 2, 2), a a 4 a 0 = ( 1, 1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Tedy a vektory jsou skutečně lineárně nezávislé , (a) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vektor a a 0 = (0, 0, 2, 4 ) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u i = a i a 0, i = 1, 2, 3, 4. Z rovnosti λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4 = (0, 0, 2, 4 ) dostaneme nehomogenní soustavu lineárních rovnic, kterou řešíme: Tedy λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3 = 2, λ 4 = 1, λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 6, takže bod a náleží danému simplexu.

21 (b) Podobně jako v v případě (a) máme Nyní je již zřejmé, že bod bod b nenáleží danému simplexu, neboť z třetího řádku vidíme, že koeficient λ 3 = 10 neleží v intervalu < 0, 1 >. (c) Každá trojrozměrná stěna je určena čtveřicí bodů z množiny {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 }, takže celkem máme ( ( 5 4) = 5 trojrozměrných stěn. Podobně je 5 3) = 10 stěn dvojrozměrných, ( ( 5 2) = 10 stěn jednorozměrných a 5 1) = 5 stěn dimenze nula, tj. bodů. Celkem tedy má daný simplex 30 stěn. (d) Bodová rovnice má tvar x = αa 1 +βa 3 +γa 4, kde α, β, γ 0 a α+β+γ = 1. Tedy α = 1 β γ a vektorová rovnice má tvar x = a 1 + β(a 3 a 1 ) + γ(a 4 a 1 ), β, γ, β + γ 1, neboť β + γ = 1 α < 0, 1 >. (e) Podobně jako prve máme x = λ 0 a 0 +λ 1 a 1 +λ 3 a 3 +λ 4 a 4 = a 0 +λ 1 (a 1 a 0 )+ λ 3 (a 3 a 0 ) + λ 4 (a 4 a 0 ), λ 1, λ 3, λ 4, λ 1 + λ 3 + λ 4 < 0, 1 >. (f) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vyjádřit vektor c a 0 = ( 2 9, 2 9, 6 9, 8 9 ), jako lineární kombinaci vektorů u 1, u 2, u 3, u 4, tj. máme řešit nehomogenní soustavu lineárních rovnic. Jest Odtud již postupně dostáváme λ 3 = 4 9, λ 2 = 1 9, λ 4 = 1 9, λ 1 = 2 9, λ 0 = 1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 = 1 9, takže c = [ 1 9, 2 9, 1 9, 4 9, 1 9 ]. (g) Podobně jako v (f) máme Tedy λ 3 = 8 9, λ 2 = Pak ale λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 λ 2 + λ 3 = > 1, takže bod d nenáleží simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). (h) Má-li bod e ležet ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3, musí být vektor e a 0 = ( 1 8, 3 8, x 3 3, 3 4 ) ležet v lineárním obalu u 1, u 2, u 3. Odtud dostáváme nehomogenní soustavu lineárních rovnic x x Tedy z druhého řádku máme λ 2 = 1 4, odkud z posledního řádku λ 3 = 3 8. Třetí řádek nyní dává x = 3 8, tedy x 3 = Konečně z prvního řádku dostaneme.. 21

22 22 λ 1 = = 1 4, λ 1 + λ 2 + λ 3 = 8, takže ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3 leží bod e = [ 9 8, 13 8, 13 4, 19 4 ]. (Kromě toho jsme zjistili, že tento bod má barycentrické souřadnice e = [ 1 8, 1 4, 1 4, 3 8, 0].) (i) Podobně jako v předchozím případě máme x Vidíme, že λ 3 = > 1, takže bod f = [ 8, x 29 2, ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) pro žádné reálné číslo x 2. 8, x ] nenáleží simplexu Příklady ke kapitole V euklidovské rovině popište soustavou nerovností konvexní obal bodů: (a) a 1 = [ 2, 2], a 2 = [ 1, 2], a 3 = [ 1, 2], a 4 = [1, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [2, 4], a = [4, 2], a 8 = [3, 1]; (b) a 1 = [ 3, 2], a 2 = [1, 4], a 3 = [1, 2], a 4 = [4, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [ 1, 1], a = [ 1, 3]; (c) a 1 = [ 1, 2], a 2 = [1, 2], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 1], a 5 = [1, 1], a 6 = [ 1, 3], a = [1, 4]; (d) a 1 = [ 1, 1], a 2 = [ 2, 4], a 3 = [1, 1], a 4 = [4, 3], a 5 = [ 4, 2], a 6 = [ 2, 2], a = [1, 2], a 8 = [ 1, 2]; (e) a 1 = [ 4, 3], a 2 = [3, 1], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 3], a 5 = [1, 4], a 6 = [1, 1], a = [ 2, 3]. 2. Ověřte, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněte všechny její vrcholy a pseudovrcholy: (a) x + y 3, 2x y 3, 2x + 3y 1, x y 3, y 2; (b) x + 2y 5, 2x y 5, y 1, x 1, x 2y 3; (c) x + 3y 5, 3x y 5, x + 3y 5, 2x + y 5, x 2y 5; (d) x + y 4, 3x + y 8, x 4y, 3x + y 5, 2x 3y ; (e) 2x 3y 10, x y 4, 2x + y 5, x + 5y ; (f) x + 2y 5, x + y 3, 2x y 3, x 3y 4, 3x + 2y 10, 2x 3y Ukažte, že body a 0 = [2, 1, 4, 3], a 1 = [3, 2, 3, 4], a 2 = [3, 3, 5, 2], a 3 = [4, 0, 5, 5], a 4 = [1, 2, 6, 4] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E Zjistěte, zda daný bod leží v simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 13 5, 8 5, 23 5, 18 5 ]; (b) b = [ 5 2, 2, 21 4, 4]; (c) c = [ 11 4, 4, 19 4, 15 4 ]. 5. Určete souřadnice daného bodu v E 4, víte-li, že jeho barycentrické souřadnice vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 jsou: (a) a = [ 2 9, 2 9, 1 9, 2 9, 2 9 ];

23 23 (b) b = [ 1, 2, 1, 2, 1 ]; (c) c = [ 1 4, 1 8, 1 4, 1 8, 1 4 ] 6. Určete barycentrické souřadnice daného bodu vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 23 8, 13 8, 9 2, 29 8 ]; (b) b = [ 16, 11, 33, 25 ]; 9 ]; (c) c = [ 26 9, 16 9, 41 9, 31. Určete neznámou souřadnici bodu a tak, aby bod ležel ve stěně simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 určené danou množinou bodů: (a) a = [3, 3 2, x, 2 ], {a 0, a 1, a 2, a 3 }; (b) a = [ 13 5, x, 21 5, 4], {a 0, a 1, a 3, a 4 }; (c) a = [ 5 2, 13 6, 13 3, x], {a 0, a 1, a 2, a 4 }. Řešení: 1. (a) x 2y 6, x + y 6, 3x y 10, x 4y, 4x + y 6; (b) 5x 2y 11, x 2y, x + y 5, x y 3, x 5y ; (c) x + 2y 5, 3x + y 5, 3x y, 2x + 3y 10, 5x y 8; (d) x + 2y 3, 4x + 3y, x 6y 22, x + y 6, 4x 3y 10; (e) x 5y 19, x + y 5, 4x + y 11, 2x 5y 11, 3x + y 9; 2. (a) vrcholy: [1, 2], [2, 1], [1, 1], [ 2, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [10, ], [0, 3], [6, 9], [ 5 2, 2], [ 2, 2]; (b) vrcholy: [1, 2], [3, 1], [2, 1], [ 1, 1], [ 1, 1], pseudovrcholy: [, 1], [ 1, 3], [ 1, ], [ 13 3, 11 3 ], [ 5, 1]; (c) vrcholy: [2, 1], [1, 2], [ 2, 1], [ 3, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [ 4, 3], [0, 5], [3, 4], [ 5, 0]; (d) vrcholy: [2, 2], [1, 3], [3, 1], [ 1, 2], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 23 5, 3 5 ], [ 9 2, ], [ 11, 3 11 ], [ 49 5, 21 5 ]; (e) není konvexní polyedr (není ohraničená), vrcholy: [ 2, 2], [ 3, 1], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 25 8, ], [ 13, 4 13 ], [ 9 2, 1 2 ]; (f) vrcholy: [1, 2], [ 1, 3], [2, 1], [1, 1], [ 2, 2], [ 4, 1], pseudovrcholy: [ 11 5, 5 ], [ 23 5, 1 5 ], [ 15 2, 25 4 ], [ 13 4, 1 4 ], [ 16, 19], [ 2 5, 1 5 ], [ 4, 29 ], [5, ], [ 15, 19 3 ]. 3. Vektory u 1 = a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), u 2 = a 2 a 0 = (1, 2, 1, 1), u 3 = a 3 a 0 = (2, 1, 1, 2), u 4 = a 4 a 0 = ( 1, 1, 2, 1), jsou lineárně nezávislé. 4. (a) Ano (a a 0 = i=1 u i); (b) ne (b a 0 = 1 4 u u u u 4); (c) ano (c a 0 = i=1 u i). 5. (a) a = [ 23 9, 13 9, 41 9, ]; (b) b = [, 10, 31, 2 19 ]; (c) c = [ 8, 4, 19 4, 2 8 ]. 6. (a) a = [ 1 8, 1 4, 1 4, 1 4, 1 8 ]; (b) b = [ 2, 1, 1, 1, 2 ]; (c) c = [ 1 9, 2 9, 1 3, 2 9, 1 9 ].. (a) x = 1 4 ; (b) x = 19 5 ; (c) x = 6.

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Rovnice přímky v prostoru

Rovnice přímky v prostoru Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocn y uˇ cebn ı text Miroslav L aviˇ cka Plzeˇ n, z aˇ r ı 2008

KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocn y uˇ cebn ı text Miroslav L aviˇ cka Plzeˇ n, z aˇ r ı 2008 KMA/G1 GEOMETRIE 1 Pomocný učební text Miroslav Lávička Plzeň, září 2008 KMA/G1 Geometrie 1 2 Předmluva Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů Fakulty aplikovaných věd a Fakulty

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Projektivní prostor a projektivní zobrazení

Projektivní prostor a projektivní zobrazení Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.

Více

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Brno, 017 Předmluva Text pokrývá látku, která je přednášena v učitelském studiu matematiky v předmětu M5510 "Teorie kuželoseček a kvadrik".

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více