39. Případ velryba. XII. Vývoj pojmů? 117

Transkript

1 39. Případ velryba Pojmy jsou jakožto konstrukce abstraktní, tj. nejsou principiálně lokalizovatelné v čase a prostoru. Zdá se, že problém vývoje pojmů je takto jednoduše vyřešen: prostě pojmy se nepohybují, tím spíše se nevyvíjejí. A přece se zdá, jako by skutečnost byla v rozporu s tímto řešením. Námitky uvádějí případy údajného vývoje pojmů. Zkusme posoudit nosnost následující námitky: Pojem velryby přece prodělal změny, ta nejznámější spočívá v tom, že dříve šlo o největší rybu, dnes víme, že to není ryba, nýbrž savec. Jak s touto námitkou naložíme, jestliže přijímáme pojetí pojmu v této knížce? Přijměme jádro této námitky a formulujme schematicky její podstatu. Zjednodušené schéma (nesnažící se o historickou reprodukci tohoto vývoje ) vypadá takto: Mořeplavci objevovali na svých cestách mnoho neznámých jevů včetně živočichů. Nemohli než konstatovat, že v moři plave obrovská ryba, větší než kterákoli jiná ryba. Pojem velryby spočíval z našeho hlediska v konstrukci této vlastnosti. (Při tehdejších znalostech nemohla být struktura takového pojmu příliš bohatá a takto konstruovaná vlastnost byla velmi nápadná.) Mimochodem zde není důležitá etymologie, podle které jde skutečně o rybu, resp. fisch v němčině (Walfisch). V jiných jazycích ( whale, kit apod.) etymologie nepoukazuje na spojitost s rybou, přesto ten pojem takto zřejmě fungoval. Víme, že biologové zjistili (později), že nejde o rybu, což se navenek zřetelně projevuje plicním dýcháním. Vyvinul se tedy pojem vyjádřený výrazem velryba? Uvažujme dva pojmy (konstrukce!): původní (velryba jako ryba), řekněme velryba1, a současný, velryba2. Můžeme přece uvažovat homonymii, tj. případ, kdy (viz část XI, bod 38) velryba1 konstruoval jinou vlastnost než velryba2. Byla zde možnost zachovat výraz velryba jako výraz mající týž fyzický objekt (např. jako zde slovo) a různý význam. Pojem velryba1 mohl být přiřazen výrazu velryba, který by takto označoval vlastnost nej XII. Vývoj pojmů? 117

2 větší ryba, a najít jiný výraz pro velryba2, nebo ovšem zapomenout na původní pojem a obdařit výraz velryba pojmem velryba2. Jak patrno, byla zvolena tato druhá možnost. Důsledně vzato, bychom mohli výraz velryba pokládat za homonymum a jako jiný než současný pojem chápat pojem největší ryba, což jistě je některá z ryb, nikoli velryba. Co je však důležité z hlediska našeho problému: došlo k vývoji pojmu? Nikoli, oba pojmy zůstávají jako identifikátory různých vlastností. Došlo ke změně jazyka, který ten poslední pojem přiřadil témuž výrazu jako výrazu pro předchozí pojem. Ten však nezmizel, nevyvinul se, a pokud se ukáže nějaká potřeba pro název největší ryby, bude tento pojem k dispozici. 40. Vývoj pojmu jako expanze? A přece se zdá, že lze mluvit rozumným způsobem o vývoji pojmů. Nejprve uvedu fiktivní dialog, který by měl přiblížit ideu expanze. A: Tak jsem si před týdnem udělal u Karla dluh 5000 Kč. B: No to tě lituju. A: No jenže předevčírem jsem splatil 3500 Kč. B: Výborně. Takže mu dlužíš jen 1500 Kč. A: Ano, ale dnes mám příležitost zaplatit 2000 Kč. B: Tak to udělej, bude ti on dlužen 500 Kč. A: Jak to? B: To je jednoduché. Odečti 2000 od A: Copak mohu? B: A proč ne? A: Od menšího větší? B: Samozřejmě. A: Ale přece můžeme odečítat jen od většího menší! B: Kdepak, jakékoli číslo od jakéhokoliv čísla. A: A je to těžké? B: ne, je to skoro stejné jako předtím. A víte, kolik budete dlužen Karlovi, když mu zaplatíte přesně 1500? A: No asi nic. B: A to jste odečetl stejné od stejného. A: A kolik vyšlo? B: Právě nic. Říkáme tomu nula. 118 Hovory o pojmu

3 Zůstaňme u naší definice pojmu. Na základě té definice a všeho, co jsme si o pojmu řekli, bychom nyní měli tvrdit, že jsme dospěli ke třem různým pojmům odčítání, z nichž každý konstruuje jinou operaci: měli by - chom rozlišit 1, tj. odčítání na kladných celých číslech (které zřejmě zná A), 2, tj. odčítání na nezáporných číslech, a 3, tj. odčítání na všech celých číslech. Nejen to, odčítat můžeme na racionálních i na reálných číslech, proč ne na komplexních Všimněme si: Všechny tyto pojmy jsou různé, konstruují různé operace. Pomocí 1 neodečteme 5 od 3 ani 5 od 5. Není to tedy případ, kdy prostě máme tři různé pojmy a netrápí nás otázka vývoje od k 1 3 atd.? Odpověď zní: Nikoliv, toto není případ, kdy porovnáváme pojem odčítání s pojmem např. sčítání. Operace konstruovaná pojmem (řekněme rovnou některým z pojmů) sčítání je odlišná od operace odčítání jiným způsobem než od operace sčítání dané jiným pojmem sčítání. V obou případech je zřejmé, že příslušné pojmy konstruují operaci, která jistým způsobem navazuje na operaci konstruovanou předchozím pojmem: pojmy (!) odčítání konstruují operace proveditelné v různých množinách (kladná celá čísla, přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla atd.) právě tak jako pojmy sčítání konstruují operace proveditelné v různých množinách. V obou případech není náhodou, že mluvíme o pojmech odčítání, resp. o pojmech sčítání. Pokud budeme fakt různých množin, v nichž jsou příslušné operace proveditelné, zachycovat typem, budeme mít možnost např. odlišit 1 od 4, můžeme příslušný pojem odlišit tím, že první konstruuje operaci typu (nnn), kde n je typ přirozených čísel, a druhý konstruuje operaci typu (ttt). Fakt takovýchto návazností má však hlubší význam, jak prokázal Meir Buzaglo z Hebrejské univerzity, jehož kniha The Logic of Concept Expansion (Cambridge University Press 2002) přispěla k našemu tématu (vývoj pojmů) tak podstatně, že pokládám za nutné narušit v tomto případě princip nepřerušovat text odkazy na literaturu. Některé úvahy v následujícím textu jsou ovlivněny Buzaglovou vysoce zajímavou teorií. Co je na případech expanze pojmů podstatné je to, že k této expanzi (ilustrované uvedeným příkladem) dochází nutně a že jde o nikoli libovolnou, nýbrž vynucenou (často jednoznačně vynucenou) změnu, kterou lze sledovat jako jakýsi strom, kde původní pojem je následován jeho expanzí, takže bychom za pojem mohli pokládat teprve ten ukončený strom. Toto pojetí je však spojeno s podstatným problémem: často nemů- XII. Vývoj pojmů? 119

4 žeme dopředu vědět, kdy je strom ukončený, tj. kdy dospíváme k takovému pojmu, který už nelze expandovat. Bylo by však nesprávné interpretovat fakt návaznosti pojmů jako odčítání, sčítání, dělení apod. prostě tak, že každý z těchto pojmů dostane definici v příslušné množině. Takto interpretovat expanzi těchto pojmů znamená ztratit moment dynamiky, který je dán tím, že tyto pojmy expandují s tím, jak narůstají určité problémy, které je třeba řešit a které si vynucují nové prostředky, nové prostředí. Takže oproti navrženému schématu můžeme spíše konstatovat, že expanze příslušných pojmů si vynucuje definovat nové a nové množiny, které pak nazýváme těmi různými druhy čísla. Příklad expanze (viz Buzaglo): Mějme fragment aritmetiky s pojmy vyjádřenými výrazy 1, 0, +,, x (pro kladná celá čísla), :, 2 x tedy umožňující jako exponent kladné celé číslo. Dovedeme tedy vypočítat 2 1, 2 8 atd. Chceme expandovat pojem exponentu tak, aby bylo možno vypočítat i 2 0, 2 3 apod., tj. expandovat jej pro každé celé číslo. Řešení je vynucené, tj. každá expanze není řešení: musí vyhovovat určitým zásadám aritmetiky. Z nich lze jít cestou 2 0 = 1, 2 a b = 2 a : 2 b (Proč?) takže např. 2 3 = = 2 0 : 2 3 = 1 : 2 3 = 1 : 8. Vycházíme tedy při expanzi z určitého pojmu, který konstruuje určitou operaci, a rozšiřujeme oblast uplatnění této operace tak, že v původní oblasti je nezměněná. Expanze není libovolná, tj. je vynucená, což svědčí o tom, že tu je objektivní nutnost, jak daný pojem expandovat. Příklad: Ukážeme si, že pokus o expanzi snadno selže, pokud nedbá důsledků pro výsledný systém: Zkusme expandovat faktoriál (a!) následujícím způsobem: n! pro přirozená čísla je definován: 0! = 1, pro n > 0 = n. 120 Hovory o pojmu

5 Chceme jej expandovat pro racionální čísla, tj. pro čísla konstruovatelná jako m/n. Náš pokus: (m/n)! = m!/n!. Tento pokus selže: např. pro (3/6)! bychom dostali 3!/6!, tj. 6/720, tedy 1/120. Avšak 3/6 = 1/2, takže (1/2)! by mělo vyjít stejně. Ve skutečnosti (1/2)! vyjde jako 1!/2!, tj. 1/2. Jak je to tedy s naší otázkou: Vyvíjejí se pojmy? Respektive mohou se pojmy vyvíjet? Na příkladu expanze jsme viděli, že popřít tuto možnost by znamenalo ochudit se o velmi podstatný rys pojmového poznání. Je tedy jev expanze slučitelný s abstraktní povahou pojmu? Naše odpověď je ano a dodáváme, že nejde o překvapivou odpověď, protože se s podobnou situací setkáváme běžně a není nám to divné: Například kdykoli počítáme, zacházíme s abstraktními (a tedy nehybnými ) čísly a nedivíme se, že proces počítání je velice pohyblivá záležitost. A nejen to: kdykoli přemýšlíme, řešíme problémy, užíváme abstraktní pojmy, přičemž přemýšlení, řešení problémů je vždy pohyb naší mysli. Myšlení není možné bez užití pojmů, a užití pojmů je konkrétní proces, v němž figurují abstraktní pojmy. Tak je tomu vždy. To nevylučuje použití konkrétních objektů v procesu myšlení (viz např. experiment), ale podstata je dána pohybem od předpokladů k důsledkům. I tento pohyb lze staticky reprezentovat: porovnejme proces dokazování a abstraktní důkaz. Porozumění této souvislosti pohybu a nehybné abstrakce je usnadněno procedurálním pojetím abstrakcí. 41. Od nejasného k přesnému Můžeme tedy mluvit o vývoji pojmů bez obav, že tak budeme ve sporu s naší definicí pojmu. Mluvili jsme o jedné podobě vývoje, tzv. expanzi. Říkat ovšem o expanzi (pojaté v tom smyslu, jak ji vidí Buzaglo), že je to vlastně vývoj pojmu, není příliš výstižné, pokud máme na mysli, co se chápe jako vývoj. Normálně se vývojem rozumí proces, v němž vyvíjející se objekt (např. dítě) prodělává určité (jednosměrné) změny. Jestliže mluvíme v případě expanze o vývoji pojmu, pak ne v tom smyslu, že by vyvíjející se pojem odčítání prodělával změny. Původní pojem odčítání se nezměnil, na rozdíl od vyvíjejícího se dítěte. Mohli bychom se ovšem přiblížit k tomu normálnímu pojmu vývoje, pokud bychom za vyvíjející se pojem pokládali sérii jednotlivých expanzí pů XII. Vývoj pojmů? 121

6 vodního pojmu. Pak vývojovým stadiím např. dítěte by odpovídaly jednotlivé fáze expanze. Přesně vzato nejde ovšem o vývoj pojmu: jde o to, že vývoj poznání, který je vždy určitým reálným, v čase probíhajícím procesem, zahrnuje i přechody od pojmů k jiným, na ně navazujícím pojmům a tyto přechody jsou rovněž reálným procesem, zatímco abstraktní pojmy jsou abstraktní procedury a ptát se na vývoj abstraktních procedur je nedorozumění. Reálný proces přechodu od jednoho pojmu k pojmu expandujícímu lze zřejmě rovněž explikovat pomocí určitých pojmů (o to usiluje např. Buzaglova kniha). Výsledkem takové explikace není ovšem (zpátky) ten reálný proces expanze, nýbrž abstraktní konstrukce, která tento proces zachycuje nehybnou strukturou, jako takto nehybně zachycen reálný pohyb matematickými vzorci. V části IX, bodě 29a jsme se setkali s jiným případem jevu, který bychom mohli chápat jako vývoj pojmu. Vyjdeme z pojmu, který můžeme charakterizovat jako nejasný, neurčitý. Jako klasický příklad jsme uvedli pojem, který je vyjadřován výrazem mechanická (výpočetní) metoda. Pojmy tohoto druhu konstruují objekt způsobem, který neumožňuje přesnou identifikaci. Takové pojmy jistě vycházejí z určité intuice, v daném případě si máme představit pracovníka, který provádí určité úkony bez jakékoli účasti myšlenkové námahy. Jeho činnost připomíná činnost člověka, který řeší numerické úlohy na základě znalosti malé násobilky a algoritmu násobení a dělení. Pojem založený na takovéto intuici nedokáže rozhodnout, zda určitá konkrétní činnost skutečně odpovídá takové intuici. Je -li takový pojem jednoduchý (viz část XI, bod 36), neposkytuje přesná kritéria. Je -li složený, pak příslušné podpojmy (tamtéž, Intermezzo) nejsou dostatečně určité. Zde jsme ukázali na uvedeném místě úlohu explikace. Explikace může být více či méně adekvátní. V našem případě došlo k zajímavému jevu: bylo nalezeno více explikátů (Turingův stroj, l-definovatelnost, částečně rekurzívní funkce a jiné). Ukázalo se, že všechny tyto explikáty jsou dokazatelně ekvivalentní. V analogii k expanzi můžeme říci, že přechod ke kterémukoliv uvedenému explikátu byl vynucený, tj. nikoli libovolný, ale ta vynucenost nebyla jednoznačná. Máme tedy několik větví vynucených intuitivním pojmem mechanické výpočetní metody, mohli bychom tedy každou tuto větev pokládat za vývoj pojmu mechanická metoda s tím, že tato formulace je nepřesná ve shora naznačeném smyslu a že tím vyvíjejícím se pojmem vlastně míníme celou větev, tj. 1., popř. 2. či 3. apod. 122 Hovory o pojmu

7 1. mechanická metoda Turingův stroj, 2. mechanická metoda částečně rekurzívní funkce, 3. mechanická metoda Markovův normální algoritmus, kde každé šipce odpovídá proces (opět abstraktně zachytitelný) přechodu k příslušnému přesnému pojmu. Ve všech těchto a v řadě dalších případů platí, že tento vývojový strom je hotový v tom smyslu, že každá další explikace je redukovatelná na kteroukoli již známou explikaci, alespoň pokud platí Churchova teze (či její ekvivalent), tj. Je li funkce kladných celých čísel mechanicky ( efektivně ) vyčíslitelná, pak je rekurzivní. Speciálním případem nejasných (neurčitých) pojmů jsou pojmy vágní. Ty konstruují vlastnosti či modifikátory (viz část IX, bod 30d) takovým způsobem, že u části objektů bude jasné, že tu vlastnost mají, u části objektů bude zřejmé, že tu vlastnost nemají, a hranice mezi těmito dvěma oblastmi je neurčitá, nelze ji přesně vymezit. Jako klasický příklad vágního pojmu lze uvést pojem vyjádřený výrazem velký. Tento výraz označuje buď vlastnost, když vypovídáme o nějakém objektu, že je velký (typ této vlastnosti je tedy (oi) tw ), nebo modifikátor. O některých objektech jistě řekneme, že jsou velké (i když například Eiffelova věž je velká, ale zeměkoule je tak velká, že Eiffelova věž je vlastně malá ), a o některých objektech řekneme, že jsou malé (blecha je malá, ale zase proti svým buňkám je to obr ), a o řadě objektů budeme váhat. V některých případech to řešíme tak, že vytvoříme (jazykově) umělou hranici tam, kde žádná není. Vágnost pojmu mladý překonáme tímto způsobem: zavedeme výraz mladistvý a přesně vymezíme, dokdy jsme mladiství; např. aby nás nezkazil pochybný film, řekneme, že mladistvý je ještě ten, kdo je mladší než 16 let, a přestane být mladistvý okamžikem, kdy dovršil 16 let. Takže ten, kdo bude zítra slavit 16. narozeniny, dnes do kina nesmí, a jeho kamarád, který tyto narozeniny slaví dnes, tam již dnes může, čímž je dokumentována nepřirozenost tohoto zásahu do jazyka. Ještě jasněji je problém vágních pojmů patrný, když příslušný pojem konstruuje modifikátor, tj. funkci typu ((oi) tw (oi) tw ). Vágnost je zachována: Víme sice, kdy je určitý slon velký, a určíme také, kdy o některém slonu řekneme, že není velký, ale o řadě slonů nebudeme schopni toto určit. Na druhé straně jsme schopni naprosto přesně konstatovat, že malý slon je větší než velká myš, v každém světě a vždy. S vágními pojmy jsou spojeny i paradoxy typu hromada. Konstruujme příslušnou vlastnost následovně: Hromadou (písku) je celek složený z n zrnek, kde n je velké číslo. Neexistence hranic mezi tím, co určitě je XII. Vývoj pojmů? 123

8 hromada, a tím, co určitě není hromada, vede k následujícímu paradoxu. Přijmeme tyto dva zdánlivě neproblematické principy: i) Pro n = 1 platí, že celek složený z n zrnek není hromada. ii) Přidáme -li k celku, který není hromada, jedno zrnko, nevznikne hromada. Zrodil se paradox: zkuste řešit, při kolikátém zrnku vznikne hromada. Zde není místo na další analýzu problémů spjatých s vágností. Rozsáhlá literatura věnovaná vágnosti zahrnuje výzkumy způsobů, jak zacházet s vágními pojmy, zejména studium tzv. fuzzy -logik. Z našeho hlediska je zajímavé, kde hledat vágnost: Jsou vágní vlastnosti, nebo pojmy? V literatuře se obvykle mluví o vágnosti pojmů, ale tady si musíme uvědomit, že rozšířená tradice pokládá za pojmy právě vlastnosti, resp. obecniny, takže podle běžného pojetí je vágní vlastnost. Je -li ovšem vlastnost funkce z možných světů -časů do tříd, těžko si představíme, kde by se v takových množinových objektech vzala ta neurčitost. Proto jsme vágnost připsali pojmu, tj. způsobu, jakým je tato vágní vlastnost konstruována. Z radikálního hlediska můžeme o vágních pojmech uvažovat jako o předpojmových prostředcích identifikace objektu. 42. Vývoj pojmů ve vědě. Shrnutí O vývoji pojmů ať ve smyslu expanze (bod 40), nebo ve smyslu zpřesňování (bod 41) můžeme rozumně mluvit převážně v kontextu (dané) vědy. Naše příklady byly vesměs z takového kontextu: v případě expanze šlo o aritmetiku, zpřesňování jsme ilustrovali příkladem z matematické teorie vyčíslitelnosti, problémy s vágností jsou řešeny logikou. Snad až na zmínku v případě vágnosti mohl vzniknout dojem, že vědy, které tvoří kontext pro vývoj pojmů, jsou v podstatě matematické, tj. apriorní vědy, že celý problém se netýká empirických věd. Myslet si to by byl obrovský omyl. Je to právě fyzika, jejíž vývoj inspiroval (nejen) filozofy k pokusům o řešení problémů formulovaných zhruba následovně: Běžně se má za to, že relativistická (Einsteinova) fyzika je vyšším vývojovým stupněm než Newtonova, ale vždyť pojmy, které užívá Newton, jsou ne 124 Hovory o pojmu

9 souměřitelné (incommensurable) s pojmy, které užívá Einstein. Jde o to, že v řadě případů užívá Einstein stejný výraz jako Newton pro odlišný pojem (jiné chápání, tj. definování, síly, rychlosti, gravitace ), tj. je užit určitý výraz, ale definice mu přiřadí jiný pojem. Přesto můžeme mluvit o vývoji: relativistická fyzika řeší více problémů než Newtonova a opravuje newtonovské řešení některých problémů, takže dochází k jevu, který je analogický procesu expanze u Buzagla. Aby mohly být řešeny problémy formulované novou fyzikou, musely být některé funkce předefinovány (tj. některé pojmy měly být nahrazeny jinými) s tím, že co bylo přesné v době newtonovské fyziky, zůstalo zachováno jako přibližné v podmínkách nové fyziky, která uvažuje svět velkých rychlostí. Nové (relativistické) pojmy (konstrukce!) navazují na pojmy dosavadní a nejsou v tom smyslu popřením starých pojmů (tak jako odčítání reálných čísel není popřením odčítání přirozených čísel). Nesouměřitelnost jako prostý fakt je neškodná z tohoto hlediska: nemůžeme dokazovat pokrok užitím stejného výrazu pro různé pojmy, ale cesta od původního pojmu k novému není libovolná a relativistická, revize newtonovských pojmů neznamená, že Newton se mýlil: pro svět malých rychlostí jeho analýzy platí a uvedená revize říká jenom, že generalizace newtonovských tvrzení na oblast velkých rychlostí vyžaduje nové pojmy. Fakt nesouměřitelnosti je výrazem této nutnosti. XII. Vývoj pojmů? 125