KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura"

Transkript

1 Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/ KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2

2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α logicky implikuje β, neboli β logicky vyplývá z α, jestliže při jakémkoliv ohodnocení proměnných, pro které je pravdivá formule α, je pravdivá i formule β. Píšeme α β. Příklad 2.1 Ukážeme, že platí a (a b) a b. Je potřeba uvažovat všechna ohodnocení proměnných formulí α = a (a b) a β = a b. Je vidět, že jde o tři proměnné a, b a c. Nejefektivnější způsob je vypsat tato ohodnocení do tabulky konkrétně do pravdivostní tabulky těchto dvou formulí α a β. Protože máme ověřit pouze zda je pravdivá β za předpokladu pravdivosti α, lze si ušetřit práci tím, že vypočítáme pravdivostní hodnoty formule α pro všechna ohodnocení proměnných, přitom pravdivostní hodnoty formule β stačí vypočítat jen pro taková ohodnocení, pro které je α pravdivá. Viz tabulku. Vidíme, že jsme si ušetřili a b a b a (a b) a b Tabulka 1: Pravdivostní tabulka pro zjištění log. vyplývání dvou formulí práci a vypočítali pravdivostní hodnotu formule β pouze pro poslední pravdivostní ohodnocení. Protože ve sloupci napravo se nevyskytuje 0, dostáváme, že opravdu α logicky implikuje β. Pokud bychom v tabulce v předchozím příkladu přidali sloupec pro pravdivostní hodnotu formule (a (a b)) (a b), zjistili bychom, že jde o tautologii. To není náhoda. Dokonce obecně platí, že α β právě tehdy, když je formule α β tautologie. Logická ekvivalence Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α a β jsou logicky ekvivalentní, jestliže pro jakékoliv ohodnocení mají formule α i β stejnou pravdivostní hodnotu. Píšeme α β. Platí 2

3 α β právě tehdy, když α β je tautologie, α β právě tehdy, když α β a zároveň β α. Z kapitoly Tautologie z předchozí opory lze získat následující ekvivalence budeme je nazývat pravidly nahrazení 1 : Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Tyto ekvivalence často používáme k úpravě formulí na bud jednodušší formule, či formule v nějakém vhodném tvaru. Budou také potřeba v důkazech, viz dále. Úsudek (argument) Úsudkem budeme rozumět (konečnou) množinu výroků, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s dalším výrokem, kterému budeme říkat závěr. Závěr bývá uvozen slovy proto platí, že nebo pak apod. Úsudek je takovou základní jednotku usuzování. Příklad 2.2 Uvažujeme následující úsudek: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Proto platí, že Eva má dnes zkoušku z matematiky. Premisami jsou dva výroky: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Závěr je výrok: Eva má dnes zkoušku z matematiky. 1 Neplést si s pravidlem nahrazení z předchozí opory. 3

4 Označme F : Dnes má Eva zkoušku z fyziky. M: Dnes má Eva zkoušku z matematiky. Pak premisy našeho úsudku lze psát jako F M, F a závěr lze zapsat jako M. Zamyslíme-li se nad úsudkem z Příkladu 2.2, mohli bychom se shodnout na tom, že je správný budeme říkat platný. Tato platnost ovšem není a nesmí být závislá na konkrétních výrocích, ale k její platnosti musíme dospět pouze prostředky logiky. Abstrahovat od obsahu konkrétních výroků již umíme místo jednotlivých výroků budeme uvažovat příslušné formule. Takto přejdeme od konkrétního úsudku k pojmu úsudková forma. Úsudková forma Srovnejme úsudek z Příkladu 2.2 s následujícím úsudkem: Premisy jsou Dnes půjdu do kina nebo divadla, Dnes nepůjdu do kina se závěrem Dnes půjdu do divadla. Asi bude opět platný. Vidíme, že ačkoliv se v něm mluví úplně o jiných věcech, k intuitivnímu ověření jeho správnosti jsme došli stejnou logickou úvahou. Při usuzování je tedy důležitá struktura, nikoliv konkrétní výroky. To nás vede k zavedení pojmu úsudkové formy. Ta má vztah ke konkrétnímu úsudku stejný, jako má formule ke konkrétnímu výroku (jeho instanci). Úsudkovou formou budeme rozumět (konečnou) množinu formulí, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s další formulí, které budeme říkat závěr. Dosadíme-li do premis a závěru úsudkové formy za výrokové symboly konkrétní výroky, dostaneme úsudek, kterému budeme říkat instance úsudkové formy. Příklad 2.3 Uvažujme úsudkovou formu s premisami a b, a a závěrem b. Dosadímeli za proměnné a a b postupně výroky dnes má Eva zkoušku z fyziky a dnes má Eva zkoušku z matematiky, dostaneme úsudek z Příkladu 2.2, který je jeho instancí (jednou z mnoha). Následuje důležitá definice: Řekneme, že úsudková forma s premisami α 1, α 2,..., α n a závěrem β je platná, jestliže pro každé ohodnocení výrokových proměnných platí, že jsou-li všechny premisy pravdivé, je pravdivý i závěr. Pokud tomu tak není, říkáme, že úsudková forma je neplatná. Snadno lze nahlédnout, že úsudková forma je platná právě tehdy, když (α 1 α 2... α n ) β, 4

5 neboli, když je formule (α 1 α 2... α n ) β tautologií. Nyní můžeme konečně zadefinovat platnost úsudku: Řekneme, že úsudek je platný, jestliže je instancí platné úsudková formy. Snadno lze ověřit, že ((a b) a) b, tzn. úsudek z Příkladu 2.2 je skutečně platný! Nekonzistentní premisy Může se stát, že premisy úsudkové formy jsou takové, že nejsou zároveň všechny pravdivé při žádném pravdivostním ohodnocení tzn. konjunkce všech premis je kontradikcí. To pak ale má za následek, že implikace z definice platnosti úsudkové formy je vždy (tzn. při jakémkoliv pravdivostním ohodnocení) pravdivá. Jinak řečeno, z takových premis pak může vyplývat cokoliv. Příklad 2.4 Uvažujme například úsudek s premisami jestliže je Michal na dovolené, pak je na Bermudách, Michal je bud v kanceláři nebo na dovolené, Michal není v kanceláři a není ani na Bermudách a závěrem Michal má dovolenou. Zjistíme, že tento úsudek je platný (proved te!). Zajímavé ovšem je, že zaměníme-li v tomto úsudku závěr za jeho negaci, tj. Michal nemá dovolenou, dostaneme opět platný úsudek (ověřte sami)! Dokonce, vezmeme-li za závěr jakýkoliv (!) výrok (opravdu jakýkoliv, vůbec se nemusí týkat Michala), bude úsudek opět platný. Důvodem je fakt, že konjunkce všech premis příslušné úsudkové formy je kontradikce. Jestiže konjunkce všech premis dané úsudkové formy je kontradikce, říkáme, že premisy jsou nekonzistentní. Protože z nekonzistentních premis lze usoudit cokoliv, nebudou nás takové úsudkové formy (a jejich instance) zajímat! Formální důkaz platnosti úsudku Platnost úsudku jsme definovali prostřednictvím platnosti příslušné úsudkové formy. Ověřit platnost úsudkové formy pomocí pravdivostní tabulky je tak jednoduché, že je to možno provést i strojově. Problém ovšem nastává, když je počet výrokových proměnných v úsudkové formě větší. Jak lze snadno spočítat, objevuje-li se v úsudkové formě n výrokových proměnných, pak má pravdivostní tabulka 2 n řádků. V praxi se vyskytujících úsudkových formách by se ale mohly objevovat desítky proměnných, což už by časem nezvládaly ani superpočítače. Proto je potřeba platnost úsudku ověřit jinak důkazem. Půjde o seznam výroků, kde na začátku budou stát premisy, každý další řádek bude logicky vyplývat z předchozích řádků a na posledním řádku bude závěr úsudku. 5

6 Budou se používat následující pravidla odvozování 2 jde o platné úsudkové formy. Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d Nyní můžeme definovat metodu formálního důkazu úsudku. Ta nám umožní snáze pochopit definici důkazu matematické věty. Pro daný úsudek s premisami P 1,..., P n a závěrem Q, rozumíme formálním důkazem jeho platnosti seznam výroků, začínajícím premisami a končící závěrem. Přitom pro každý výrok z tohoto seznamu platí: je premisa, nebo může být odvozen pomocí pravidel odvození z předcházejících výroků, nebo je ekvivalentní pomocí pravidel nahrazení s některým z předcházejících výroků. Z této definice je vidět, že opět nezávisí na konkrétních výrocích ale struktuře premis a závěru. Proto místo o premisách a závěru můžeme místo o výrocích mluvit o příslušných formulích (jejichž jsou instancemi). Shrnutí V této opoře jsme si ukázali, co to znamená logické vyplývání formulí výrokové logiky a co je logická ekvivalence dvou formulí. Nejdůležitějšími pojmy této opory byly úsudek a jeho důkaz. Úsudek je seznam výroků, kterým říkáme premisy plus výrok navíc, kterému se říká závěr. Platnost úsudku se ověřuje takto: 1. Najdeme úsudkovou formu jejíž je úsudek instancí. 2. Označíme-li α 1,..., α n premisy úsudkové formy a β její závěr (nyní jde o formule!), pak platnost či neplatnost úsudkové formy závisí na tom, zda je či není formule (α 1... α n ) β tautologií. 2 Promyslete jejich smysl. Většinu těchto pravidel denně používáte automaticky. Zkuste je začít používat vědomě. 6

7 3. Úsudek je platný či neplatný, pokud je taková jeho úsudková forma. Na tomto postupu je potřeba si uvědomit fakt, že úsudek nejprve převedeme na úsudkovou formu, která nic neví o obsahu jednotlivých výroků našeho úsudku, pouze zachycuje vniřní logickou strukturu (realizovanou pomocí logických spojek). Platnost pak závisí pouze na pravidlech logiky. Dále jsme si ukázali dva způsoby jak ověřit platnost úsudku: 1. pomocí pravdivostní tabulky (potenciálně pracné, ale bez přemýšlení), 2. pomocí formálního důkazu (potenciálně méně pracné, ale vyžadující zkušenost, kreativitu a vhled do problému). Cvičení Úloha 2.1 Zjistěte platnost následujících úsudků. 1. Jestliže Tomáš přijede zítra, sním svůj klobouk. Tomáš zítra nepřijede. Proto nesním svůj klobouk. 2. Jestliže budu hodně pracovat, získám dobrou práci. Jestliže získám dobrou práci, stanu se váženým občanem. Proto, když budu hodně pracovat, stanu se váženým občanem. 3. Jestliže budou zbraně zakázány, budeme žít všichni v míru. Budeme žít v míru nebo lidská rasa vymře (pozor, zde je použito nebo ve vylučovacím smyslu!). Nebudeme žít v míru. Proto budou zbraně zakázány. 4. Jana přijde na mou párty právě tehdy, když Marek nepřijde. Jestliže Jana na mou párty nepřijde, pak Jirka na ni také nepřijde. Proto přijde bud Jirka nebo Marek ale ne oba současně. 5. Teplota roste právě tehdy, když slunce svítí. Slunce nesvítí a na obloze jsou mraky. Jestliže jsou na obloze mraky, pak teplota roste. Proto dnes nebude pršet. 6. Jestliže si koupím nové auto, nepojedu na dovolenou. Jestliže si nekoupím nové auto, koupím si motocykl. Proto bud pojedu na dovolenou nebo si koupím motocykl (nebo oboje). (Smyslem této úlohy je procvičení přepisu složených výroků do jazyka výrokové logiky a procvičení sémantiky logických spojek.) Úloha 2.2 Ověřte, že pravidla nahrazení jsou ekvivalence. Úloha 2.3 Ověřte, že pravidla odvozování jsou platné úsudková formy. Úloha 2.4 Zkonstruujte důkazy následujících úsudků. 1. Je-li Jarek v Paříži, pak je Maruška v New Yorku. Jarek je v Paříži a Franta je v Římě. Proto je Maruška v New Yorku. 7

8 2. Jestliže má Marek pravdu, nezaměstnanost se zvýší, a jestli má Anička pravdu, bude tuhá zima. Anička má pravdu. Proto se bude zvyšovat nezaměstnanost, nebo bude tuhá zima, nebo obojí. 3. Jestliže bude léto teplé, nepojedeme v srpnu na dovolenou. Pojedeme v srpnu na dovolenou nebo si koupíme nové auto (nebo obojí). Proto platí, že když bude léto teplé, koupíme si auto. 4. Jestliže bude pít víno nebo jíst sýr, bude ji bolet hlava. Bude pít víno a jíst čokoládu. Proto ji bude bolet hlava. 5. Vražda byla spáchána bud podezřelým A nebo oběma podezřelými B a C současně. Jestliže A nebo B spáchali vraždu, pak byla obět otrávena. Proto bud C spáchal vraždu nebo byla obět otrávena. (Vyřešením těchto cvičení si student osvojí pravidla nahrazení a odvození nezbytná pro další studium.) 8

9 Příloha A: Tabulka pravidel nahrazení a odvozování Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d 9

10 Příloha B: Metoda důkazu implikace Často se můžeme setkat s úsudky, jejichž závěry jsou výroky ve tvaru implikace, např. uvažujme úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q, kde P 1,..., P n, P, Q jsou nějaké výroky. Příslušný formální důkaz pak může vypadat nějak takto: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa. (n + k) P Q... komentář... To se může prakticky ukázat jako obtížné. Snazší by bylo dokazovat platnost úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q. Ukážeme si, že původní úsudek je platný právě tehdy, když je platný tento druhý úsudek. Provedeme následující úvahu: Úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q je platný právě tehdy, když příslušná úsudková forma je platná, tzn. formule (p 1... p n ) (p q) je tautologií (kde P 1,..., P n, P, Q jsou instancemi formulí p 1,..., p n, p, q). S využitím pravidla spojování předpokladů, tzn. ekvivalence p (q r) (p q) r zjištujeme, že je tato formule ekvivalentní s formulí (p 1... p n p) q. Poslední formule je ale tautologií právě tehdy, když úsudková forma s premisami p 1,..., p n, p a závěrem q je platná, tzn. právě tehdy když je úsudek s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q je platný. Formální důkaz úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q budeme zapisovat následovně: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa n + 1 P (CP). n + k Q... komentář... n + k + 1 P Q (CP), řádky n + 1 až n + k Zkratka (CP) znamená conditional proof. 10

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí Seminář IVT MS Excel, opakování funkcí Výuka Opakování z minulé hodiny. Založeno na výsledcích Vašich domácích úkolů, podrobné zopakování věcí, ve kterých děláte nejčastěji chyby. Nejčastější jsou následující

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Soustředí se na reprezentaci konceptů a vztahů (relací) mezi nimi. Používají grafickou reprezentaci, koncepty jsou uzly grafu, relace

Soustředí se na reprezentaci konceptů a vztahů (relací) mezi nimi. Používají grafickou reprezentaci, koncepty jsou uzly grafu, relace Sémantické sítě Soustředí se na reprezentaci konceptů a vztahů (relací) mezi nimi. Používají grafickou reprezentaci, koncepty jsou uzly grafu, relace jsou hrany (většinou se uvažují pouze binární relace).

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

TEST LOGIKY. Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích

TEST LOGIKY. Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích TEST LOGIKY Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích Forma: papír - tužka Čas na administraci: max. 25 min. Časový limit: ano Vyhodnocení: ručně cca 10 minut jeden testovaný

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Základy fuzzy logiky 1

Základy fuzzy logiky 1 A Tutorial Základy fuzzy logiky 1 George J. Klir Petr Osička State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA gklir@binghamton.edu Palacky University, Olomouc, Czech Republic prepared

Více

A7B36SI2 Tematický okruh SI11 Revidoval: Martin Kvetko

A7B36SI2 Tematický okruh SI11 Revidoval: Martin Kvetko Obsah Kvalita SW, jak zajistit kvalitu SW a jak ji ověřit Zabezpečení kvality, techniky řízení kvality SW. Potřeba kultivovat kvalitu, Cena za jakost Procesy pro řízení kvality, harmonogram řízení kvality

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Kopírování vzorců v mnoha případech je třeba provést stejný výpočet

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Informační

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

Návod pro klienty Home Creditu k založení účtu na PayPal

Návod pro klienty Home Creditu k založení účtu na PayPal Návod pro klienty Home Creditu k založení účtu na PayPal Otevřete si svůj internetový prohlížeč. Nejčastěji to je Internet Explorer, Firefox nebo Opera. Do adresního řádku napište www.paypal.com. Stránka

Více

2. Umístíme kurzor kamkoliv do tabulky, otevřeme nabídku Data Filtr a potvrdíme myší příkaz Rozšířený filtr.

2. Umístíme kurzor kamkoliv do tabulky, otevřeme nabídku Data Filtr a potvrdíme myší příkaz Rozšířený filtr. Rozšířený filtr Kromě automatického filtru existuje v MS Excel ještě rozšířený filtr. V čem se oba filtry liší? Pokud u automatického filtru nadefinujeme podmínky pro více sloupců, platí mezi nimi vždy

Více

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce Excel Matematické operátory a) Sčítání + příklad =A1+A2 sečte obsah buněk A1 a A2 b) Odčítání - příklad =A1-A2 odečte hodnotu buňky A2 od hodnoty buňky A1 c) Násobení * příklad =A1*A2 vynásobí obsah buněk

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah

FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu... 1 1 Úvod... 2 2 Po přihlášení... 2 3 Základní nastavení webu... 2 4 Menu... 2 5 Bloky... 5 6 Správa

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

Excel a externí data KAPITOLA 2

Excel a externí data KAPITOLA 2 Excel a externí data KAPITOLA 2 V této kapitole: Připojení databáze Microsoft Access Data z webových stránek a z textových souborů Data z databází Program Microsoft Query Práce se soubory typu XML Velkou

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP Doc. PhDr. Marta Volfová, CSc., Katedra matematiky Název úloh byl zvolen podle významného německého matematika G. L. Dirichleta (1805 59). Dirichletův princip pomáhá

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení

Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení Obrázek 1: Náčrt čepu Doporučuji založit si vlastní kótovací styl pomocí tlačítka Nový. Nový styl vznikne na základě předchozího aktivního stylu.

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

6. NEJVĚTŠÍ a) malý b) prťavý c) menší d) nejmenší e) miniaturní

6. NEJVĚTŠÍ a) malý b) prťavý c) menší d) nejmenší e) miniaturní Přijímací test - IBACO OSP VERZE CVIČNÁ V následujících úlohách vyberte z nabízených možností slovo či dvojici slov, která se nejlépe hodí na vynechaná místa ve větě v zadání. 1. Při napadení je člověk

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Výbor textů k moderní logice

Výbor textů k moderní logice Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Druhy poměrných čísel Aleš Drobník strana 1 5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Poměrná čísla neboli poměrní ukazatelé : Získáme srovnáním (podílem) 2 veličin stejnorodých. Srovnávaná veličina (čitatel)

Více

Číselné soustavy: Druhy soustav: Počítání ve dvojkové soustavě:

Číselné soustavy: Druhy soustav: Počítání ve dvojkové soustavě: Přednášející : Ing. Petr Haberzettl Zápočet : práce na doma hlavně umět vysvětlit Ze 120 lidí udělá maximálně 25 :D Literatura : Frištacký - Logické systémy Číselné soustavy: Nevyužíváme 10 Druhy soustav:

Více

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech 7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech Studijní cíl Tento studijní blok má za cíl pokračovat v základních prvcích jazyka Java. Konkrétně bude věnována pozornost formátovanému výstupu,

Více

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE!

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! část 2. RNDr. Ilja Kraval, září 2009 http://www.objects.cz ÚVOD V předešlém článku jsme otevřeli jeden ze základních problémů, který musí analytik řešit: Jak vypadá skladba

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ

POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ Barbora Tesařová Cíle kurzu Po ukončení tohoto kurzu budete schopni pochopit podstatu koncepce databází, navrhnout relační databázi s využitím pokročilých metod, navrhovat a

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Matematická témata matematický seminář A

Matematická témata matematický seminář A Vzdělávací oblast: ČLOVĚK A PŘÍRODA Vyučovací předmět: Matematický seminář A rozšiřující učivo Matematický seminář B procvičování základního učiva Ročník: 6. až 9. Cílová skupina: skupina žáků složená

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více