Aplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 11 (1966), No. 5, Persistent URL:

Transkript

1 Aplikce mtemtiky Krel Beneš Vliv driftu mřížkového proudu u počítcích stejnosměrných zesilovčů n přesnost řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstntními koeficienty Aplikce mtemtiky Vol. 11 (1966) No Persistent URL: Terms of use: Institute of Mthemtics AS CR 1966 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 SVAZEK 11 (1966) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 5 VLIV DRIFTU A MŘÍŽKOVÉHO PROUDU U POČÍTACÍCH STEJNOSMĚRNÝCH ZESILOVAČŮ NA PŘESNOST ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY KAREL BENEŠ (Došlo dne 20. květn 1965.) Vlivem změn nodových žhvících npětí dále vlivem změn hodnot součástí počítcích stejnosměrných zesilovčů i vlivem stárnutí elektronek nstává kolísání výstupního npětí zesilovče. N výstupu zesilovče se objevuje určité chybové npětí i při uzemněném vstupu zesilovče tzv. drift. Podobný účinek vyvolává i mřížkový proud prvé elektronky zesilovče. Tento drift mřížkový proud mjí vliv n přesnost řešení úlohy jk uvidíme dále tento vliv driftu mřížkového proudu závisí n výsledku řešení dné úlohy. 1. VLIV DRIFTU A MŘÍŽKOVÉHO PROUDU NA VÝSTUPNÍ NAPĚTÍ ZESILOVAČE Vzth mezi výstupním npětím počítcího zesilovče w 0 vstupním npětím u i9 rušivým npětím n mřížce zesilovče e 0 mřížkovým proudem i g určíme z obou Kirchhoffových zákonů (obr. 1) u = u 0 A (i) u 0 = - e< zi l + -<>)f i g Z 0 (z předpokldu A -> oo). Chy- Obr. 1. Náhrdní schém počítcí jednotky. bové npětí vlivem driftu mřížkového proudu v přípdě invertoru kdy vstupní zpětnovzební impednce jsou ohmické odpory je (-) 1 + ^1 399

3 v přípdě integrční jednotky kdy vstupní impednce Z x = R zpětnovzební impednce vyjádřen v operátorovém tvru Z 0 = IjCp je chybové npětí (3) Au = -e 0 - j e 0 át + - f i dt. Chybová npětí pro sčítcí jednotku sčítcí integrátor jsou potom dán výrzy (4) A«-=-e 0 (l+ i Í ^) + iro pro sčítcí jednotku " i r ř i r (5) Au = -e 0 - X e 0 dř + - i g át i=iricjo CJo pro sčítcí integrátor. Vliv prvého členu n prvé strně rovnice (3) (5) můžeme vůči druhému třetímu členu celkem znedbt. Ve výrzech (3) (5) pro e r se tím dopouštíme chyby e 0 (l/t) kde T je celková dob integrce. Nhrďme dále počítcí jednotku s driftem mřížkovým proudem ideální jednotkou bez driftu mřížkového proudu s tkovým rušivým npětím e r n vstupu by jeho účinek byl stejný jko účinek driftu mřížkového proudu reálné jednotky. Pro dříve uvžovné přípdy tedy pltí (2) e r = e 0 (1 H ) LR 0 pro invertor RJ (З) V 1 (e 0 Л e r = - [ i \ pro mtegrtor c V# 7 (4) e r e J] ) Ï 5^O P ro sðítcí jednotku í=1 V *Í/ (5) " 1 1 e r = У e 0 L pro sðítcí integrátor. I»l K;C C ' Ve všech těchto přípdech jsme předpokládli že vstupy počítcích jednotek s npětím e r mjí přenos resp. koeficient integrce roven VLIV DRIFTU A MŘÍŽKOVÉHO PROUDU NA PŘESNOST ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU ) S vynulovnou jednotkou: Řešením diferenciální rovnice 1. řádu ý + y

4 při počáteční podmínce y (0) = P 0 je funkce (6) y = P 0 e~ t. b) S roznulovnou jednotkou: Schém (obr. 2) je popsáno rovnicí po derivci podle čsu Y= - i Yát - e r \ át + Y (0) Jo Jo výstupní npětí jednotky r + Y= -e r (?) Y = Ce- Űí Obr. 2. Progrmové schém pro řešení rovnice 1. řádu s roznulovnou počítcí jednotkou. Zvedeme-li počáteční podmínku nstvením výstupního npětí integrátoru n poždovnou hodnotu počáteční podmínky potom výstupní npětí jednotky bude (8) Y=(P 0 + -' Є-«<-- r ] Chyb způsobená roznulováním jednotky je potom dán rozdílem výstupních npětí roznulovné jednotky jednotky znulovné. (9) õ(y)=y-y = ^(e-"-l). Z tohoto výsledku plyne že pro > 0 chyb nrůstá v bsolutní hodnotě s čsem ke své mximální hodnotě U reltivní chyby <5(y) mx = У P 0 je to ovšem obráceně: pro > 0 roste nd všechny meze pro < 0 konverguje k hodnotě 1 e r. P 0 Je-li < 0 potom bsolutní hodnot chyby s Čsem nrůstá neomezeně. 401

5 3. VLIV DRIFTU A MŘÍŽKOVÉHO PROUDU NA PŘESNOST ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2. ŘÁDU ) S vynulovnými jednotkmi: Řešením diferenciální ronvice 2. řádu y" + \y' + oy = 0 s počátečními podmínkmi y (0 ) = P2 > y(o> = - i při jednoduchých reálných kořenech chrkteristické rovnice je funkce (10) v = Ù: Z ^2^2 g A - ř _ jj Z ^lj^2 1 2 ^1 ^2 e A2ř při dvojnásobném kořenu A! = X 2 = X (11) j = [P 2 + (P. - XP 2 ) t] e u při komplexně sdružených kořenech X x = + ib X 2 = i'z> (6 #= 0) t (12) y = e p i [ P 2 COS bt + - «p 2 sin bt 1. Obr. 3. Progrmové schém pro řešení rovnice 2. řádu s roznulovnou prvou jednotkou. b) Vliv roznulováni pouze prvého integrátoru: Výstupní npětí jednotlivých jednotek podle obr. 3 oznčíme Y u Y 3. Schém n obr. 3 je potom popsáno následujícím systémem rovnic: Y = - У. dř + (0) г ř г* г = -! УJL dř - Y 3 dí - eл át + Y t (0). Jo Jo Jo

6 Po derivcích dostneme (o) y 2 ' = -Y (14) Y; = - x Y x - Y3 - e t = - x Y x e t. Tento systém rovnic se dá derivcí rovnice (13) doszením do rovnice (14) převést n diferenciální rovnici 2. řádu pro (15) YZ+ i Y i + «o = e r. Výstupní npětí má pro výše uvedené přípdy kořenů chrkteristické rovnice pro 0 =f= 0 při stejných počátečních podmínkách (0) = P 2 Yi(0) = P_ tvr (iб) P - T._- it P t - [ - (e r / flo )] 2 e r Al A 2 Al A 2 o (17) (18) r 2 = ÍP 2 - ^ + [ Pl _ (P 2 - fr\\ A e» + ^9 l «o L V o/j J «o y 2 = ^ [7p 2 _ ía cos bt +P i-«t P 2-( e rlo)] s m fe/l + ^ LV o/ 6 J 0o Chyb řešení (5^ = y vlivem roznulování počítcí jednotky pro jednotlivé přípdy kořenů chrkteristické rovnice (19) _ A 2 (e r / flo ) e A " A.fc/o) e 12 ' e r _ ) ^ -J- A! A 2 A_ A 2 0 (20) ЧУ) - ^ + -^t^яř + ^ 0 0 (21) Ö (У) ~~ e cos bt + sinbm e t 0 b n + Jsou-li v prvých dvou přípdech kořeny chrkteristické rovnice menší než nul. potom chyb nepřesáhne hodnotu e r / 0 - P~ přípd komplexních kořenů musí být Re (A) _g 0 by chyb s čsem neomezeně nenrůstl (pro = 0 ve třetím přípdě je to je konečné: 5 W = _ r -i (1 - cos Ьí) 0 <У mx 2--- ) 403

7 c) Vliv roznulování první třetí jednotky: Tento přípd se podobá předchozímu přípdu. Soustv n obr. 4 je popsán následujícím systémem rovnic: ^3 = -00^2 ~ e r3 y 2 = -fy x dí + (o) У. = -. ľydř Уз dř - e r dí + Y(0). Převedením této soustvy n diferenciální rovnici 2. řádu pro stejným postupem jko v předchozím přípdě dostneme (22) Y'i + x YÍ + 0 = e ri - e r3. Oznčíme-li součet rušivých npětí e ri e r3 = e n přejde rovnice (22) n dříve řešenou rovnici (15). Při r T3 = e ri nenstává v řešení žádná chyb. Obr. 4. Progrmové schém s roznulovnou první třetí jednotkou. d) Vliv roznulování druhé jednotky: Soustv n obr. 5 je popsán následujícími rovnicemi: y 3 = - 0 y 2 (23) Yi=-Y t - erj y 2 = -fy.dí-e fdí+ y 2 ( 0 ) Jo Jo y = --i fydí- fy 3 dí + y(o). Jo Jo (24) y = - Y - y 3 = -xy

8 Dlší úprvou dostneme (25) YZ+^ + oyo = - v e ri. Při počátečních podmínkách (0) = P 2 (0) = - Y x (0) - e r2 P l e r2 má rovnice (25) pro jednotlivé přípdy kořenů chrkteristické rovnice řešení (26) = Pí ~ e^~ [ P 2+(^i^r>o)]^2 ex it _ A_ X 2 P l ~ e n ~ Í P 2 + ( l e rj o)] Лi Яi _\ ea 2 t fl l^2 (27) Y - ÍF 2 + -í-_ + ГP. - e rг - A(P 2 + -_-Үl Я e (28) = ІЇi P l ~ Čr 2 ~ fl[p 2 + (fllg r2 /flo)] in bt] _ flř - ^. J o Obr. 5. Progrmové schém s roznulovnou druhou jednotkou. Chyby řešení 3 {y) y jsou pro jednotlivé přípdy kořenů chrkteristické rovnice (29) ö (y) = e r 2 ~ (ie r Jo)^2 Kt n ~e r 2 - ( l e rj o) h X 2 t Я_ л 2 Лi л 2 l e r. (30) i w = [--- - (^ + A ---).] e L «o V «o / J o /_1\ X T 1^2 ~^ 2 ~ ( l e rj o). 1 í (31) (3 (y) = cos bt +!-- i 2 y sin bt e t L 0 6 J «o fl l^r 2 405

9 Splňují-li v prvých dvou přípdech kořeny chrkteristické rovnice podmínku X u X 2 X < 0 ve třetím přípdě podmínku Re (A) ^ 0 potom chyb řešení s čsem neomezeně nenrůstá. V prvých dvou přípdech bsolutní hodnot chyby nepřesáhne hodnotu а л l*r е х 2 ve třetím přípdě hodnotu poněvdž funkce 2 ± e Г e r (32) ^-^ cos bt + ~ö sin bt splňuje podmínku (33) z < x e rг Є ~ r b e) Vliv roznulování první druhé třetí jednotky: Obr. 6. Progrmové schém s roznulovnou první druhou i třetí jednotkou. Soustv n obr. 6 je popsán rovnicemi Y 3 = -OQY2 - e r f Yidř- e r2 Pdí + (0) Jo Jo y = - fll fy dř - fy 3 dř - e n fát + y(o). Jo Jo Jo

10 Převedením tohoto systému rovnic n diferenciální rovnici 2. řádu pro dostneme (34) Y'i + 0l Yi + 0 Y 1 = e n - - e. Splňují-li reálné kořeny nebo reálné části kořenů chrkteristické rovnice podmínku A Re (X) < 0 potom chyb vlivem driftu mřížkového proudu nepřesáhne zse hodnotu l/ 0 (e ri e r3 ± e r^ v přípdě komplexních kořenů kdy reálné části kořenů Re (2) = 0 nepřesáhne bsolutní chyb hodnotu ( e n ~ Є r 3 ~ ЯiO e. Z rozboru uvedených přípdů vyplývá že drift mřížkový proud zesilovče mjí podsttný vliv n přesnost řešení pouze v přípdě kdy reálná část některého kořenu chrkteristické rovnice je kldná řešení probíhá delší dobu dále je velikost chyby nepřímo úměrná koeficientu při y n levých strnách řešených rovnic. Obr. 7. Progrmové schém pro řešení rovnice (32). Chyb v řešení nrůstá s čsem i v tom přípdě kdy je lespoň jeden kořen chrkteristické rovnice nulový nebo má-li chrkteristická rovnice několiknásobný nulový kořen. Poslední přípd nstává npř. při řešení kořenů polynomu kdy polynom tz-tého stupně modelujeme řešením diferenciální rovnice t?-tého řádu j ( n ) = = n n\ s vhodnými počátečními podmínkmi. Npř. polynom 3. stupně y = 3 t t 2 + x t + 0 vymodelujeme řešením diferenciální rovnice 3. řádu (35) /" = 6 3 s počátečními podmínkmi y (0) = 0 }> (0) = lf y ř { 0) = 2 2 (obr. 7). Obr. 8. Progrmové schém pro řešení rovnice (32) s roznulovnými jednotkmi. 407

11 Progrmové schém s roznulovnými jednotkmi které řeší rovnici (35) je n obr. 8 je popsáno rovnicemi V 2 dí-e r fdŕ + Y 3 (0) o J o = _ Г Y dí - e Г2 Гdí + (0) J o Jo Yi = -6 ř ŕ*t át - e Гí dř + Y!(0) 0 J 0 s počátečními podmínkmi Y 3 (0) = 09 (0) = í9 Yi(0) = 2 2. Postupným derivováním těchto rovnic dospějeme k diferenciální rovnici 3. řádu pro Y 3 (36) 7 3 " _ e n jejímž řešením je funkce "n t 2 \ t = (37) Y 3 = - (űзt ŕ + 2 í + 0 ) - (e n - Ş t + -^ ř 2 J Z výsledku je ptrno že chyb způsobená roznulováním rychle s čsem nrůstá. Je tedy nutno i v těchto přípdech dbát n vynulování zesilovčů. Jink se dá snížit vliv roznulování při řešení diferenciálních rovnic vhodnou čsovou trnsformcí (chyb je úměrná převrácené hodnotě koeficientu u y v diferenciální rovnici) využitím celého npěťového prcovního rozshu jednotlivých počítcích jednotek. V tomto přípdě se provádí mplitudová trnsformce pro kždou funkci Y l9... Y n zvlášť (tzv. normlizce měřítek nebo optimální progrmování). Seznm použité litertury [1] Nendl Z. Mirtes B.: Anlogové počítče. SNTL Prh [2] Mirtes B.: Číslicové měření. SNTL Prh [3] Mtyáš J.: Rozbor přesnosti elektronických diferenciálních nlyzátorů. Stroje n zprcování informcí Sborník V. NČSAV Prh [4] Adler H: Elektronische Anlogrecher. VEB Deutscher Verlg der Wissenschften Berlin

12 Резюме ВЛИЯНИЕ ДРЕЙФА И СЕТОЧНОГО ТОКА УСИЛИТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА НА ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ КАРЕЛ БЕНЕШ (КАЯЕЕ ВЕ^З) В настоящей статье описано влияние дрейфа и сеточного тока усилителей постоянного тока на точность решения некоторых дифференциальных уравнений. В статье выводятся соотношения определенные влиянием дрейфа и сеточного тока на напряжение на выходе инвертора сумматора интегратора и сумматорного интегратора и кроме того их влияние на способ решение некоторых дифференциальных уравнений. Оказывается что ошибка решения не возрастает беспредельно со временем в тех случаях когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательную в некоторых случаях нулевую действительную часть. Зиттагу ШРЬУЕ1ЧСЕ ОГ БК1РТ NN0 ОКГО ШК&ЕЭТ ОГ О-С АМРЫПЕКЗ ОN ТНЕ АСОТКАСУ ОГ 8ОЕШГКЖ ОГ ШЫЕК 01ГГЕКЕ ТАЕ Е(^АТЮШ ШТН ССЖЗТАКТ СОЕГИСШЭТЗ КАКЕЕ ВЕМЕЗ Тгш рарег (1еа15 ш1п 1пе шпиепсе о! 1Ье д.пй апё пс1 сиггепг ог О С атр1шег8 оп гпе ассигасу ог 8о1ийоп ог 8оте Нпеаг <ИгГегеп11а1 е^иа^^оп8. Тпеге аге с!ег^ес1 ге!айоп8 [ог Ше шпиепсе ог гпе дпй апс1 пё сиггепт он [Не оиьрит Vо11;а е ог 1ИУег1ег зиттайоп ипй т1е га1ог апс! 8иттаНоп-т1е га1:ог апс! 1пеп оп хпе 8о1иТюп о! 8оте е^иа^^оп8. II 18 8по^п [па! 1пе еггог ёое8 по! ехыых ипъоипа!ес1 ГОУУ1П II* 1пе гоо!8 ог ггю спагас1еп811с ециа1;юп Ьауе пе^аиуе (ог т 8оте сазез гего) геа1 раг!з. Айгева ашога: 1пг. Каге1 ВепеЗ Рпгоа^ёдеска ГакиИа Ра1аскепо ишуегзку Еептоуа 26 О1отоис. 409