(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
|
|
- Otto Novák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n ) má v bodě a G lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že f(x) f(a), resp. f(x) f(a), pro x U(a) G. Platí-li pro body x a ostrá nerovnost, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. ostrém lokálním minimu. Říkáme, že funkce má v bodě lokální extrém, má-li lokální maximum či lokální minimum. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Budeme nejdříve uvádět podmínky a způsob výpočtu pro funkci dvou proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G R 2. Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f(x, y), tj. Jestliže platí: (a) = (a) = 0. resp. ( ) ( 1 = 2 f x (a) < 0 a 2 2 = 2 f f 2 ) 2 2 (a) 2 x (a) f 2 x (a) > 0, ( ) x (a) > 0 a 2 ( f f 2 ) 2 2 x 2 (a) 2 (a) f 2 x (a) > 0, pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je 2 ( f f 2 ) 2 x 2 (a) 2 (a) f 2 x (a) < 0, pak funkce f = f(x, y) nemá v bodě a lokální extrém. Řešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, 39
2 která má řešení x = 1, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 x = 1, = 2. 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = ( 2, 1) lokální minimum a f( 2, 1) = f(x, y) = 6xy x 3 8y Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 6y 3x2, = 6x 24y2. 3x 2 6y = 0 6x 24y 2 = 0, která má řešení x 1 = 0, y 1 = 0 a x 2 = 1, y 2 = 1. Vypočteme parciální derivace 2. 2 řádu a dostaneme, že x 2 = 6x, x = 6, 2 = 48y. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a 1 = (0, 0) je 1 = 0, 2 = 36 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a 1 = (0, 0) lokální extrém. V bodě a 2 = (1, 1 2 ) je 1 = 6 < 0, 2 = 108 > 0 má tedy funkce f v tomto bodě lokální maximum a f(1, 1 2 ) = f(x, y) = x 2 2y 2 4x + 8y 6. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 2x 4, = 4y x 4 = 0 4y + 8 = 0, která má řešení x = 2, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 x = 0, = 4. 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (2, 2) je 1 = 2 > 0, 2 = 8 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 2) lokální extrém. 40
3 4. f(x, y) = 3lnx + xy 2 y 3. Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x > 0} a funkce f má spojité parciální x = 3 x + y2, = 2xy 3y2. 3 x + y2 = 0 y(2x 3y) = 0, která má řešení x = , y = 3 2. Tento bod není v definičním oboru. Funkce nemá žádný stacionární bod, tudíž nemá lokální extrémy. 5. f(x, y) = x 3 + y 3 18xy Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 3x2 18y, = 3y2 18x. x 2 6y = 0 y 2 6x = 0, která má řešení x 1 = 0, y 1 = 0 a x 2 = 6, y 2 = 6. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x 2 = 6x, x = 18, 2 = 6y. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a 1 = (0, 0) je 1 = 0, 2 = 324 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (0, 0) lokální extrém. V bodě a 2 = (6, 6) je 1 = 36 > 0, 2 = 972 > 0, tudíž má funkce f v bodě a 2 = (6, 6) lokální minimum a f(6, 6) = f(x, y) = ln(x 3 ) + 2lny + ln(12 x y). Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 12} a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je x = 3 x 1 12 x y, = 2 y 1 12 x y. 3 1 x 2 1 y 12 x y = 0 12 x y 4x + 3y = 36 = 0 2x + 3y = 24 41
4 která má řešení x = 6, y = 4. Bod a = (6, 4) je bodem definičního oboru. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 3 2 x 1 2 (12 x y), 2 x = 1 (12 x y), 2 = 2 2 y 1 2 (12 x y). 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (6, 4) je 1 = 1 3 < 0, 2 = 1 16 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = (6, 4) lokální maximum a je f(6, 4) = ln6912. Neřešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy x y + 3. = 2x y 1, = 2y x 1.] [stacionární bod a = (1, 1), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 2. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 9y. = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 3. f(x, y) = 6xy + x 3y 2x 2 5y = 6y + 1 4x, = 6x 3 10y.] [stacionární bod a = ( 2, 3 2 ), 1 = 4 < 0, 2 = 4 > 0, lokální maximum.)] 4. f(x, y) = x 2 y 2 + 2x + 6y + 5. = 2x + 2, = 2y 6.] [stacionární bod a = ( 1, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 5. f(x, y) = 3x + 6y x 2 xy + y 2. = 3 2x y, = 6 x + 2y.] [stacionární bod a = ( 12 5, 9 5 ), 1 = 2 < 0, 2 = 5 < 0, není lokální extrém.)] 6. f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ). x = e x 2 ( x 2 + y ), = 2ye x 2.] [stacionární bod a = ( 2, 0), 1 = 1 2 e 1 > 0, 2 = e 2 > 0, lokální minimum.)] 7. f(x, y) = 1 x + 1 y xy. [D f = {(x, y); x 0, y 0}, x = 1 x 2 y, = 1 y 2 x.] [stacionární bod a = ( 1, 1), 1 = 2 < 0, 2 = 3 > 0, lokální maximum.)] 42
5 8. f(x, y) = 2x 3 y x 2 y x + 5. x = 6x2 y 2xy , = 2x3 2x 2 y.] [stacionární bod a = ( 2, 2), 1 = 24 > 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] 9. f(x, y) = 2x 3 + xy 2 24x + 5. x = 6x2 + 2y 2 24, = 2xy.] [stacionární bod a 1 = (2, 0), 1 = 24 > 0, 2 = 96 > 0, lokální minimum.)] [stacionární bod a 2 = ( 2, 0), 1 = 24 < 0, 2 = 96 > 0, lokální maximum.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] 10. f(x, y) = 3x 2 2x y + y 8x [D f = {(x, y); y > 0}, x = 6x 2 y 8, [stacionární bod a = (2, 4), 1 = 6 > 0, 2 = f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5. = x y + 1.] > 0, lokální minimum.)] [D f = R 2, = x 3x2 6y, = 24y2 6x.] [stacionární bod a = (0, 0), 1 = 0, 2 = 36 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (1, 1 2 ), 1 = 6 > 0, 2 = 108 > 0, lokální minimum.)] 12. f(x, y) = x 2 + xy + y 2 6x 9y. [D f = R 2, = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 13. f(x, y) = 2xy 2x 4y. [D f = R 2, = 2y 2, = 2x 4.] [stacionární bod a = (2, 1), 1 = 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 14. f(x, y) = x y x 2 y + 6x + 3. [D f = {(x, y); y > 0}, [stacionární bod a = (4, 4), 1 = 2 < 0, 2 = 3 16 x = y 2x + 6, = x 2 1.] y > 0, lokální maximum.)] Lokální extrémy funkce tří proměnných. Nyní uvedeme podmínky a způsob výpočtu pro funkci tří proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f(x, y, z) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G R 3. Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f(x, y, z), tj. x (a) = (a) = (a) = 0. z 43
6 Označme 1 = 2 f x 2, 2 =, x 2, x x, 3 = 2, x 2, x, x z, x, 2, z x z z. z 2 Jestliže v bodě a platí: ( ) 1. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální minimum 2. 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální maximum a nenastane-li žádná z možností z 1 a 2, pak funkce f v bodě a lokální extrém nemá. Řešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z xy + xz. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x y + z, = 2y x, z = 2 + x. 2x y + z = 0 2y x = x = 0, která má řešení x = 2, y = 1, z = 3. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 0, 2 x = 1, x z = 1, z = 0. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1, 3) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, 3 = 2 < 0 tudíž funkce f nemá lokální extrém. 2. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xz z + x 2y + 5. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x + z + 1, = 2y 2, z = 2z + x 1. 2x + z + 1 = 0 x + 2z 1 = 0 2y 2 = 0, která má řešení x = 1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 2, 2 44
7 x = 0, x z = 1, z = 0. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 1, 1, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 6 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 1, 1, 1) lokální minimum. 3. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 3yz + xz 8x 3z. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x + 2y + z 8, = 2y + 2x 3z, z = 2z 3y + x 3. 2x + 2y + z 8 = 0 2x + 2y 3z = 0 x 3y + 2z 3 = 0, která má řešení x = 2, y = 1, z = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 2, 2 x = 2, x z = 1, z = 3. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (2, 1, 2) je 1 = 2 > 0, 2 = 0, 3 = 32 < 0 tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 1, 2) lokální extrém. 4. f(x, y, z) = x + y2 + z2 + 2, x > 0, y > 0, z > 0. 4x y z Funkce f má spojité parciální derivace všech řádů v uvažované množině a je x = 1 y2 4x 2, = 2y 4x z2 y, 2 z = 2z y 2 z. 2 4x 2 y 2 = 0 2y 3 4xz 2 = 0 2z 3 2y = 0, která má řešení x = 1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a 2 dostaneme, že x 2 = y2 2x 3, x = 2y 4x 2, = 1 2 2x + 2z2 y, 3 x z = 0, z 2 = 2 y + 4 z 3, z = 2z y 2. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 1, 1, 1) je 2 1 = 4 > 0, 2 = 8 > 0, 3 = 32 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 1, 1, 1) lokální minimum. 2 Neřešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 45
8 1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y 6z. [D f = R 3, = 2x + 2, = 2y + 4, = 2z 6.] z [stacionární bod a = ( 1, 2, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 8 > 0, lokální minimum.] 2. f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z xy + 2z. [D f = R 3, x = 3x2 + 12y, = 2y + 12x, z = 2z + 2.] [stacionární bod a 1 = (0, 0, 1), 1 = 0, 2 = 144 < 0, 3 = 48 < 0, není lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (24, 144, 1), 1 = 144 > 0, 2 = 144 > 0, 3 = 288 > 0, lokální minimum.] 3. f(x, y, z) = 2xy x 2 y + e y + z 5arctgz. [D f = R 3, = 2y 2x, = 2x 1 + ey, [stacionární bod a 1 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] 6. Vázané a absolutní extrémy. z = z 2.] < 0, není < 0, není Při vyšetřování chování funkce z pohledu největší a nejmenší její hodnoty, řešíme často úlohu, kdy nehledáme tyto hodnotu v celém definičním oboru funkce, ale pouze na nějaké jeho podmnožině. Tato podmnožina bývá obvykle popsána soustavou rovnic a nerovnic. V případě, že je omezující podmínka dána jako rovnice či soustava rovnic mluvíme o vázaných extrémech. Uvedeme formulaci pro funkce dvou a tří proměnných. Funkce f = f(x, y), má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 2 a množina M R 2 je vymezena podmínkou M = {(x, y); g(x, y) = 0}, kde funkce g = g(x, y) má spojité parciální derivace. Funkce f = f(x, y, z) má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 3 množina M R 3 je vymezena podmínkou s M = {(x, y, z); g(x, y, z) = 0} nebo M = {(x, y, z); g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 0}. Hledáme body a G M, pro které platí, že f(a) f(x), resp. f(a) f(x) v nějakém okolí bodu a. Říkáme, že v těchto bodech má funkce lokální extrém vzhledem k množině M. Uvedeme několik příkladů, na kterých budeme ilustrovat postup řešení. Absolutním extrémem funkce v nějaké množině nazýváme její největší a nejmenší hodnotu. Při hledání těchto hodnot využíváme algoritmů, které jsme uvedli při hledání 46
9 lokálních a vázaných extrémů. Vycházíme z tvrzení, že spojitá funkce v uzavřené a omezené množině v R n vždy nabývá své největší a nejmenší hodnoty. Algoritmus budeme ilustrovat na případě funkce dvou proměnných. Hledáme největší a nejmenší hodnotu funkce f = f(x, y) na omezené a uzavřené množině A R 2. Předpokládáme, že funkce má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 2, která obsahuje množinu A. Dále předpokládáme, že hranice množiny je složena z konečného počtu křivek M i, které můžeme popsat rovnicemi M i = {(x, y); g i (x, y) = 0} a konečného počtu bodů b j, ve kterých na sebe křivky navazují. Označme si B = {a i } množinu bodů, kterou dostaneme tak, že vezmeme všechny body množiny A, ve kterých má funkce lokální extrémy, přidáme body množin M i, ve kterých má funkce relativní extrémy vzhledem k těmto množinám a dále všechny body b j. Potom platí: max{f(x, y); (x, y) A} = max{f(x, y); (x, y) B}, min{f(x, y); (x, y) A} = min{f(x, y); (x, y) B}. Poznamenejme, že množina B je konečná a maximum či minimum vybíráme z konečného počtu hodnot. Řešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}. Z dané podmínky vyplývá, že požadovaná podmínka pro bod (x, y) bude splněna, pokud y = 1 x, x R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(x) = f(x, 1 x) jako funkce jedné proměnné v R. Po dosazení dostaneme, že h(x) = x 2 + (1 x) 2 = 2x 2 2x + 1. Je Dále je h (x) = 4x 2 a h (x) = 0 4x 2 = 0 x = 1 2. h (x) = 4 h ( 1 2 ) > 0, má tedy funkce h = h(x) v nalezeném bodě lokální minimum. Pro x = 1 je y = a tedy má funkce f(x, y) v bodě ( 1, 1 ) lokální minimum vzhledem k množině M Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = xy vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 4}. Vazební podmínkou je kružnice, kterou snadno popíšeme parametricky rovnicemi x = 2 cos t, y = 2 sin t, t R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(t) = f(2 cos t, 2 sin t) jako funkce jedné proměnné v R. Je h(t) = 4 cos t sin t = 2 sin 2t, h (t) = 4 cos 2t a h (t) = 8 sin 2t. 47
10 Nulové body derivace jsou body π + k π 4 2 funkcí stačí uvažovat body a vzhledem k periodicitě goniometrických t 1 = π 4, t 2 = 3π 4, t 3 = 5π 4 a t 4 = 7π 4, kterým na kružnici odpovídají po řadě body a 1 = ( 2, 2), a 2 = ( 2, 2), a 3 = ( 2, 2) a a 4 = ( 2, 2). Protože je h (t 1 ) = h (t 3 ) = 8 < 0 a h (t 2 ) = h (t 4 ) = 8 > 0 má funkce f(x, y) v bodech a 1, a 3 lokální maxima a v bodech a 2, a 4 lokální minima vzhledem k množině M. 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 4x + 3y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); xy = 1}. Vazební podmínku můžeme přepsat ve tvaru y = 1 x x (, 0), nebo y = 1 x x (0, ). Funkce f = f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x) = f(x, 1 ) lokální extrém jako funkce jedné proměnné. Je x h(x) = 4x + 3 x 2, h (x) = 4 3 x 2 a h (x) = 6 x 3. Nulové body derivace jsou x 1 = 3, x 2 2 = 3, kterým odpovídají v množině M 2 po řadě body a 1 = ( 3, 3 2 ), a 2 2 = ( 3, ). Dále je h (x 1 ) > 0 a h (x 2 ) < 0. Funkce f(x, y) má v bodě a 1 lokální minimum a v bodě a 2 má lokální maximum vzhledem k množině M. 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xyz vzhledem k množině M = {(x, y, z); x + y + z = 3}. Vazební podmínku můžeme přepsat do tvaru z = 3 x y, (x, y) R 2 a funkce f(x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x, y) = f(x, y, 3 x y) lokální extrém jako funkce dvou proměnných v R 2. Tyto extrémy nalezneme postupem, který jsme uváděli v odstavci 5. Je h(x, y) = xy(3 x y) = 3xy 3x 2 y 3xy 2, (x, y) R 2. Dále je h x = 3y 6xy 3y2, 2 h x 2 = 6y, 2 h 2 = 6x, h = 3x 3x2 6xy, 2 h x = 3 6x 6y. 48
11 Stacionární body jsou určeny soustavou rovnic která má řešení y 2 + 2xy y = 0, x 2 + 2xy x = 0, (x 1, y 1 ) = (0, 0), (x 2, y 2 ) = (0, 1), (x 3, y 3 ) = (1, 0) a (x 4, y 4 ) = Jim odpovídají v množině M po řadě body a 1 = (0, 0, 3), a 2 = (0, 1, 2), a 3 = (1, 0, 2), a = ( 1 3, 1 3, 7 3 V označení z odstavce 5 dostaneme pro jednotlivé body: 0, 3 a 1 = (0, 0, 3) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 0, 3 a 2 = (0, 1, 2) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 0, 3 a 3 = (1, 0, 1) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 ( 1 a 4 = 3, 1 3, 7 2, 1 : 1 = 2 < 0, 2 = 3) 1, 2 = 3 > 0; ( 1 3, 1 3). Odtud plyne, že funkce f(x, y) má v bodě a 4 = ( 1, 1, 7 ) lokální maximum vzhledem k množině M. V ostatních bodech lokální extrém nemá. 5. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xy + xz + yz vzhledem k množině M = {(x, y, z); xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. Vazební podmínku můžeme vyjádřit ve tvaru z = 1, x > 0, y > 0. Funkce xy f(x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže má funkce h(x, y) = f(x, y, 1 ) lokální extrém v některém z bodů množiny {(x, y); x > 0, y > xy 0}. Je Dále je h x = y 1 x 2, h(x, y) = xy + 1 y + 1, x > 0, y > 0. x h = x 1 y 2, Stacionární body jsou určeny soustavou 2 h x 2 = 2 x 3, x 2 y = 1, y 2 x = 1, x > 0, y > 0, 2 h 2 = 2 y 3, ). 2 h x = 1. která má řešení x = y = 1 a tomu odpovídá bod (1, 1, 1) v množině M. Pro tento bod dostaneme 2, 1 1 = 2 > 0, 1, 2 = 3 > 0, má tedy funkce f(x, y, z) v bodě a = (1, 1, 1) lokální minimum vzhledem k množině M. 49
12 6. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 + y 2 xy + x + y v množině A = {(x, y); x + y 3, x 0, y 0}. Nejprve podle popsaného postupu hledáme lokální extrémy funkce f(x, y). Množina G = R 2 a = 2x y + 1, = 2y x + 1. Stacionární body jsou řešením soustavy 2x y + 1 = 0 x 2y 1 = 0 x = 1 y = 1, ale tento bod není v množině A a nebudeme jej dále uvažovat. Nyní budeme vyšetřovat chování funkce na hranici. Ta se skládá ze tří úseček a nalezneme lokální extrémy funkce vzhledem ke každé z nich. M 1 = {(x, y); y = 0, 0 < x < 3}. Hledáme lokální extrémy funkce h 1 (x) = f(x, 0) = x 2 + x, 0 < x < 3. Protože je h 1(x) = 2x + 1 = 0 x = 1 2, funkce nemá lokální extrémy vzhledem k množině M 1. M 2 = {(x, y); x = 0, 0 < y < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h 2 (y) = f(0, y) = y 2 + y, 0 < y < 3. Je h 2(y) = 2y + 1 = 0 y = 1 2, nemá funkce lokální extrémy vzhledem k množině M 2. M 3 = {(x, y); y = 3 x, 0 < x < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h 3 (x) = f(x, 3 x) = 3x 2 9x + 12, 0 < x < 3. Je h 3(x) = 6x 9 = 0 x = 3 2 protože je bod ( 3, 3) bodem úsečky M 2 2 3, zahrneme jej do dalších úvah. Množinu B tudíž tvoří body a 1 = ( 3 2, 3 2 ), a 2 = (0, 0), a 3 = (3, 0) a a 4 = (0, 3). V těchto bodech nabývá funkce f(x, y) hodnot f( 3, 3) = 21, f(0, 0) = 0, f(3, 0) = 12, f(0, 3) = a tudíž má funkce maximum 12 v bodech (3, 0), (0, 3) a minimum 0 v bodě (0, 0). 7. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 2x 3 + 4x 2 + y 2 2xy v množině A = {(x, y); x 2 y 4}. Nejprve hledáme lokální extrémy funkce f(x, y). Pro stacionární body této funkce dostaneme soustavu rovnic x = 6x2 + 8x 2y = 0, = 2y 2x = 0, která má řešení (x, y) = (0, 0), (x, y) = ( 1, 1). Pouze bod (0, 0) patří do množiny A. Nyní budeme hledat lokální extrémy vzhledem ke hranici. Ta se skládá ze dvou částí. První je částí paraboly a druhou je úsečka. M 1 = {(x, y); y = x 2, 2 < x < 2}. Budeme vyšetřovat funkci h 1 (x) = f(x, x 2 ) = x 4 + 4x 2. Pro tuto funkci je h 1(x) = 4x 3 + 8x = 0, jestliže x = 0. Bod (0, 0) jsme již nalezli jako lokální extrém. a 50
13 M 2 = {(x, y); y = 4, 2 < x < 2}. Vyšetřujeme chování funkce h 2 (x) = f(x, 4) = 2x 3 + 4x 2 8x Pro tuto funkci dostaneme h 2(x) = 6x 2 + 8x 8 = 0 jestliže x 1 = 2 nebo x 3 2 = 8. Pouze bod ( 2, 4) patří do množiny A. 3 3 Množinu B tvoří body a 1 = (0, 0), a 2 = ( 2 3, 4), a 3 = (2, 4), ya 4 = ( 2, 4). Pro tyto body dostaneme hodnoty f(0, 0) = 0, f( , 4) =, f(2, 4) = 64, f( 2, 4) = Odtud plyne, že funkce f(x, y) má největší hodnotu 64 v bodě (2, 4) a nejmenší hodnotu 0 v bodě (0, 0). Neřešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e xy vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 2}. [v bodě (1, 1) je lokální maximum] 2. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 5x 2 4y + 6x 2 vzhledem k množině M = {(x, y); 2x 2 y 1 = 0}. [lokální maximum v bodě (1, 1)] 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e x2 y 2 (3x 2 + 2y 2 ) vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 4}. [lokální maxima v bodech (2, 0), ( 2, 0), lokální minima v bodech (0, 2), (0, 2)] 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 1}. [lokální maxima v bodech (1, 0), ( 1, 0), lokální minima v bodech (0, 1), (0, 1)] 51
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
VíceMatematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
VíceLokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
VíceUčební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Více7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83
Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8
VíceŘešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
VíceKapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceDualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
VíceŘešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).
VíceM. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceMONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
Víceax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
Vícederivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
VíceDopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
VíceSTEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Více( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
Více3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí
DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceVztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet
Pomůcka pro cvičení:. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Průběh funkce balíček: plots Při vyšetřování průběhu funkce využijte dosavadních příkazů z Maple, které znáte. Nové příkazy budou postupně
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceINTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
Více( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
VíceDerivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Více2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Více2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Více4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
VíceMatematika 2. (Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídící technika) Zdeněk Svoboda
Matematika (Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídící technika) Zdeněk Svoboda Jiří Vítovec Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ..07/..00/5.056, Inovace výuky matematických předmětů
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceKVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Více65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
Více{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceM - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Více10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
VíceEXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceSoustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceObsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceJméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceMatematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceKapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceKONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ UŽITÍM MNOŽIN BODŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KONSTRUKČNÍ
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceInženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných
Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Robert Mařík 12. září 2006 Obsah z = x 4 + y 4 4xy + 30... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2... 18 z = yln(x 2 + y)..... 47 Najdětelokálníextrémyfunkce
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
Více1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VícePrůběh (jednorozměrné) funkce
Průběh (jednorozměrné) unkce Úlohy na vyšetřování průběhu unkcí (jedno i vícerozměrných) patří k poměrně častým úlohám dierenciálního počtu. V tomto krátkém tetu se omezím pouze na jednorozměrné unkce,
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceÚlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba
Úlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba Petr Pošta Text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku 2 1. úloha Obrázek 1.1 ukazuje pevný, homogenní míč poloměru R. Před pádem na
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceLineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
Více