LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU"

Transkript

1 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y + 3y + 2y = e x Obecné řešení lineární diferenciální rovnice (1) má tvr ϕ(x) = ϕ h (x) + ϕ p (x), kde ϕ h (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) je obecné řešení příslušné lineární diferenciální rovnice bez prvé strny (2) y + 3y + 2y = ϕ p (x) je nějké pevné (prtikulární) řešení rovnice (1). Funkce ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) tvoří fundmentální systém rovnice (2), tj. jsou bází vektorového prostoru všech řešení rovnice (2) Řešení rovnice (2) hledáme ve tvru ϕ(x) = e λx, kde λ je řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 3λ + 2 =. Je tedy λ 1 = λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 2x. Prtikulární řešení rovnice (1) budeme hledt metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x)ϕ 1 (x)+g 2 (x)ϕ 2 (x). Derivce hledných funkcí g 1 g 2 dostneme jko řešení soustvy g 1(x)ϕ 1 (x) + g 2(x)ϕ 2 (x) =, g 1(x)ϕ 1(x) + g 2(x)ϕ 2(x) = f(x), kde f(x) je prvá strn řešené lineární diferenciální rovnice. V nšem přípdě ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x) e 2x. g 1(x) e x + g 2(x) e 2x =, g 1(x)( e x ) + g 2(x)( 2 e 2x ) = 1 1+e x. 1

2 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = Potom g 1(x) = e x (1 + e x ), g 2(x) = e2x (1 + e x ) e x (1 + e x ) dx = e 2x (1 + e x ) dx = t dt = ln(1 + t) = ln(1 + ex ) t 1 + t dt = t+ln(1+t) = ex + ln(1+e x ). ϕ p (x) = e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )) ϕ(x) = c 1 e x +c 2 e 2x + e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )), c 1, c 2 R Příkld 1.2. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (3) y 2y + y = ex x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (4) y 2y + y = Řešením její chrkteristické rovnice λ 2 2λ + 1 = dostneme λ = 1, což je její dvojnásobný kořen. Fundmentální systém tedy tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = x e x. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 x e x. Jedno pevné prtikulární řešení rovnice (3) njdeme opět metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x)x e x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme g 1(x) e x + g 2(x)x e x =, g 1(x) e x + g 2(x)(e x +x e x ) = ex x. g 1(x) =, g 2(x) = 1 x odtud Je tedy g 1 (x) = x, g 2 (x) = ln x. ϕ p (x) = x e x +x ln x e x,

3 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 3 ϕ(x) = e x (c 1 + c 2 x x + x ln x ), c 1, c 2 R Příkld 1.3. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (5) y + y = tg x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (6) y + y = Chrkteristická rovnice λ = má dv komplexně sdružené kořeny λ 12 = ±i. Jim odpovídjící fundmentální systém e (±1 i )x = e x (cos (1 x) ± i sin (1 x)) nhrdíme reálným fundmentálním systémem ϕ 1 (x) = e x cos (1 x) = cos x, ϕ 2 (x) = e x sin (1 x) = sin x. Potom ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x je obecné řešení rovnice (6). Prtikulární řešení rovnice (5) budeme hledt ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) cos x + g 2 (x) sin x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = cos x. Potom g 1(x) cos x + g 2(x) sin x =, g 1(x) sin x + g 2(x) cos x = tg x. g 1(x) = sin x tg x, sin 2 x sin 2 x cos x cos x dx = sin 2 x 1 dx = g 2(x) = sin x ϕ p (x) = 1 2 cos x ln sin x 1 sin x + 1, ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x cos x ln sin x 1 sin x + 1, t 2 t 2 1 dt = sin x+1 2 ln sin x 1 sin x + 1, c 1, c 2 R

4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 4 Příkld 1.4. Njděme homogenní lineární diferenciální rovnici 2.řádu s konstntními koeficienty, jejíž fundmentální systém tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x. Hledná rovnice bude mít tvr (7) y + 1 y + y =, kde 1 jsou neznámé konstnty. Protože ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x jsou podle předpokldu řešením rovnice (7), musí pltit tj. po úprvě ϕ ϕ 1(x) + ϕ 1(x) 1 + ϕ 1 (x) =, 2(x) + ϕ 2(x) 1 + ϕ 2 (x) =, e x + e x 1 + e x =, 4 e 2x 2 e 2x 1 + e 2x = 1 + =, = 4. Řešením této soustvy dostneme = 1, 1 = 2. Hledná rovnice má tedy tvr y + y 2y =. Mohli jsme tké postupovt rychleji. Tvoří-li funkce ϕ 1 (x) = e 1 x ϕ 2 (x) = e 2 x fundmentální systém hledné rovnice, má chrkteristická rovnice (8) λ λ + =. dv reálné kořeny λ 1 = 1 λ 2 = 2 rovnici (8) můžeme npst ve tvru (polynom n levé strně npíšeme jko součin kořenových činitelů) ve tvru tj. Odtud pk (λ 1)(λ + 2) =, λ 2 + λ 2 =. y + y 2y =.

5 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Speciální prvá strn. Příkld 1.5. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (9) y + y 6y = 12x 2 + 2x + 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + λ 6 = dostneme λ 1 = 3, λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x. O speciální prvé strně diferenciální rovnice (1) y + 1 y + 2 y = f(x) budeme mluvit v přípdě, že funkce f má tvr (11) f(x) = e x (p 1 (x) cos(bx) + p 2 (x) sin(bx)), kde, b R p 1, p 2 jsou polynomy stupně s r. Hledné prtikulární řešení ϕ p rovnice (1) má potom tvr (12) ϕ p (x) = e x x k (q 1 (x) cos(bx) + q 2 (x) sin(bx)), kde q 1, q 2 jsou polynomy jejichž stupeň je mximálně rovem většímu z čísel s r k je násobnost kořene λ = + i b chrkteristické rovnice (13) λ λ + 2 =. V přípdě, že komplexní číslo λ = + i b není kořenem chrkteristické rovnice (13), je k =. Prvá strn rovnice (9) má speciální tvr neboť 12x 2 + 2x + 1 = e x ( (12x 2 + 2x + 1) cos(x) + sin(x) ), komplexní číslo λ = +i b = +i = není kořenem chrkteristické rovnice. Je tedy k =. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = e x x ( (Ax 2 + Bx + C) cos(x) + q 2 (x) sin(x) ) = Ax 2 +Bx+C. (Polynom q 2 nás nebude zjímt, neboť jej budeme násobit číslem.) Podle předpokldu je ϕ p řešení rovnive (9). Doszením ϕ p do rovnice (9) dostneme podmínky pro neznámé konstnty A, B, C. ϕ p(x) = 2Ax + B, ϕ p(x) = 2A 2A + 2Ax + B 6Ax 2 6Bx 6C = 12x 2 + 2x + 1. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme 6A = 12, 2A 6B = 2, 2A + B 6C = 1. Potom A = 2, B =, C =. Je tedy ϕ p (x) = 2x 2 x 1 odtud ϕ(x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x 2x 2 x 1, c 1, c 2 R

6 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 6 Příkld 1.6. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (14) y 3y = 3x 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 3λ = dostneme λ 1 =, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 + c 2 e 3x. Prvá strn rovnice (14) má podobně jko v (9)speciální tvr neboť 3x 1 = e x ((3x 1) cos(x) + sin(x)), Tentokrát všk komplexní číslo λ = + i b = + i = je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Je tedy k = 1. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = x 1 (Ax + B). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (14) porovnámím koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =. Je 2 tedy ϕ p (x) = 1 2 x2 ϕ(x) = c 1 + c 2 e 3x 1 2 x2, c 1, c 2 R Příkld 1.7. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (15) y + 2y + 5y = 8x e x Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ + 5 = dostneme λ 1 = + 2i, λ 2 = 2i. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x. Rovnice (15) má opět speciální prvou strnu, neboť 8x e x = e 1x (8x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = (Ax + B) e x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (15) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x A = 1, B = 1. Je tedy ϕ 2 p(x) = e ( x x 2) 1 ( ϕ(x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + e x x 1 ), c 1, c 2 R 2

7 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 7 Příkld 1.8. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (16) y + y = x + sin x Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x. Rovnice (16) tentokrát nemá speciální prvou strnu. Prvá strn této rovnice je všk dán jko součet dvou funkcí, znichž kždá má tvr speciální prvé strny. Dále víme, že je-li ϕ p1 prtikulární řešení rovnice (17) y + y = x ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (18) y + y = sin x je ϕ p = ϕ p1 + ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (16). Anlogickým postupem jko u rovnice (9) dostneme ϕ p1 (x) = x. Pro rovnici (18) pk pltí sin x = e x ( cos(1x) + 1 sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Potom ϕ p2 (x) = e x x 1 (A cos(1x) + B sin(1x)) = x(a cos x + B sin x). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (18) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, 2 B =. Je tedy ϕ p2 (x) = 1x cos x ϕ 2 p(x) = x 1 x cos x Odtud 2 ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x 1 x cos x,, 2 c 1, c 2 R

8 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení počáteční úlohy. Příkld 1.9. Njděme řešení počáteční úlohy (19) y + 9y = 8 cos x, y(π/3) =, y (π/3) = 3 2. Nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (19). Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±3i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x. Rovnice (19) má speciální prvou strnu neboť 8 cos x = e x (8 cos(1x) + sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e x x (A cos(1x) + B sin(1x)) = A cos x + B sin x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (19) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, B =. Je tedy ϕ p (x) = cos x. Odtud dostneme obecné řešení rovnice (19) (2) y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + cos x jeho derivcí (21) y = 3c 1 sin 3x + 3c 2 cos 3x sin x. Doszením počátečních podmínek z (19) do (2) (21) dostneme = c , 3 2 = 3c Odtud c 1 = 1 2, c 2 =. Doszením do (2) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (19) ϕ(x) = 1 cos 3x + cos x. 2 Příkld 1.1. Njděme řešení počáteční úlohy (22) y + 2y 3y = 16x e x, y() = 1, y () =.

9 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 9 Opět nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (22). Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ 3 = dostneme λ 1 = 1, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 3x. Rovnice (22) má speciální prvou strnu neboť 16x e x = e 1x (16x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 je jednonásobným kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x 1 ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = e x (Ax 2 + Bx). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (22) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů polynomů n levé prvé strně rovnosti A = 2, B =. Je tedy ϕ p (x) = e x (2x 2 x). Odtud dostneme obecné řešení rovnice (22) (23) y = c 1 e x +c 2 e 3x + e x (2x 2 x) jeho derivcí (24) y = c 1 e x 3c 2 e 3x + e x (2x 2 x) + e x (4x 1). Doszením počátečních podmínek z (22) do (23) (24) dostneme c 1 + c 2 = 1, c 1 3c 2 = 1. Odtud c 1 = 1, c 2 =. Doszením do (23) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (22) ϕ(x) = e x (2x 2 x + 1).

10 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení okrjové úlohy. 2. Okrjové úlohy Příkld 2.1. Njděme řešení okrjové úlohy (25) u + 4u = 3 cos x + 6 sin x, u() =, u(π/4) = 2 2. Stejným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (25). Postupně dostneme dále u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x u p = cos x + 2 sin x. Obecné řešení rovnice (25) má tedy tvr (26) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (25) do (26) dostneme = c 1 + 1, 2 = c Odtud c 1 =, c 2 = 2. Doszením do (26) dostáváme právě jedno hledné řešení okrjové úlohy (25) u = cos 2x 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Příkld 2.2. Njděme řešení okrjové úlohy (27) u + 4u = 3 sin x, u() =, u(π) =. Opět nejdříve njdeme obecné řešení rovnice (27). Postupně dostneme u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x dále u p = sin x. Obecné řešení rovnice (27) má tedy tvr (28) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (27) do (28) dostneme = c 1, = c 2.

11 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 11 Druhá z rovnic je splněn pro libovolné c 2. Položme c 2 = c, kde c R. Potom okrjová úloh (27) má nekonečně mnoho řešení u = c sin 2x + sin x, c R. Příkld 2.3. Njděme řešení okrjové úlohy (29) u + u = 4 sin x, u() =, u(π) =. Podobným postupem jko v příkldě 1.8 njdeme obecné řešení rovnice (29) (3) u = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. Postupným doszením okrjových podmínek z (29) do (3) dostneme = c 1, = 2π. Druhá rovnost všk není nikdy splněn, tj. úloh (29) nemá řešení. Příkld 2.4. Njděme řešení okrjové úlohy (31) v závislosti n prmetru R. u + 4u = 1 sin 3x, u() = 1, u(π/2) = Podobným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (31) (32) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x. Doszením okrjových podmínek z (31) do (32) dostneme 1 = c 1, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 1. Pk bude mít úloh (31) nekonečně mnoho řešení (33) u = cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x, c 2 R. Pokud bude 1 úloh (31) nebude mít řešení. Příkld 2.5. Njděme řešení okrjové úlohy (34) u + π 2 u = 3π 2 cos 2πx, u () = 2π, u(1/2) = v závislosti n prmetru R.

12 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 12 Podobně jko v předchozím příkldě njdeme obecné řešení rovnice (34) (35) u = c 1 cos πx + c 2 sin πx cos 2πx. Před doszením okrjových podmínek nejříve njdeme u (36) u = πc 1 sin πx + πc 2 cos πx + 2π sin 2πx. Doszením okrjových podmínek z (34) do (36) (35) dostneme 2 = c 2, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 3. Pk bude mít úloh (34) nekonečně mnoho řešení (37) u = c 1 cos πx + 2 sin πx cos 2πx, c 1 R. Pokud bude 3 úloh (34) nebude mít řešení Vlstní čísl. Příkld 2.6. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (38) u + λu =, u() =, u(l) =. Hledáme tkové λ R, λ >, pro které má úloh (38) netriviální řešení. (Pro λ má úloh pouze triviální řešení.) Obecné řešení rovnice (38) má tvr (39) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. Doszením okrjových podmínek (38) do (39) dostneme = c 1, = c 2 sin λ l. Protože hledáme netriviální řešení, musí být c 2. Druhá rovnost tk bude splněn pouze v přípdě, že Čísl sin λ l = = λ l = kπ = λ = k2 π 2 l 2. (4) λ k = k2 π 2, k N l 2 jsou hledná vlstní čísl okrjové úlohy (38). Pro kždé λ k má úloh (38) nekonečně mnoho řešení (41) u k = c sin kπ l x, c R.

13 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 13 Pro kždé k N je funkce ( kždý její násobek) (42) u k = sin kπ l x. hlednou vlstní funkcí příslušnou k vlstnímu číslu (4). Příkld 2.7. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (43) u + λu =, u () =, u(l) =. Budeme postupovt stejně jko v příkldu 2.6. Njdeme obecné řešení rovnice (43) (44) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. jeho derivci (45) u = c 1 λ sin λ x + c2 λ cos λ x. Doszením druhé okrjové podmínky do (44) první okrjové podmínky do (45) dostneme = c 2, = c 1 cos λ l. Netriviální řešení úlohy (43) pk dostneme pouze z podmínky cos λ l = = λ l = (2k 1) π 2 = λ = (2k 1)2 π 2 4l 2. Vlstní čísl příslušné vlstní funkce ( kždý jejich násobek) úlohy (43) jsou (46) λ k = (2k 1)2 π 2 4l 2, u k = cos (2k 1)π 2l x, k N. Příkld 2.8. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (47) u + λu =, u() =, u(π) =. K nlezení vlstních čísel vlstních funkcí úlohy (47) využijeme výsledku úlohy (38). Doszením z l = π do (4) (42) dostneme (48) λ k = k2 π 2 π 2 = k 2, u k = sin kx k N.

14 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešitelnost okrjové úlohy. Příkld 2.9. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (49) (5) Připomeňme, že okrjová úloh u + u = x + sin x, u() =, u(π/2) =. u + λu = f(x), u() =, u(l) =. je jednoznčně řešitelná právě tehdy, když λ není vlstní číslo příslušného homogenního problému. V přípdě, že λ je vlstní číslo příslušného homogenního problému, budeme mít úloh řešení pouze tehdy, když pro sklární součin vlstní funkce u příslušné vlstnímu číslu λ funkce f (prvou strnu rovnice (5)) pltí (51) (u, f) =, tj. l u(x)f(x)dx =. V tomto přípdě má úloh (5)) nekonečně mnoho řešení. V přípdě, že (u, f), nemá úloh (5)) řešení. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (5)) jsou (příkld 2.6) (52) λ k = k2 π 2 (π/2) 2 = 4k2, k N. Číslo λ = 1 tedy není vlstní číslo příslušného homogenního problému úloh (49) má právě jedno řešení. Příkld 2.1. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (53) u + 4u = cos 2x, u() =, u(π) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (53) jsou (viz. příkld 2.6) (54) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 Číslo λ = 4 je v tomto přípdě vlstní číslo to pro k = 2. Úloh tedy bude řešitelná pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 2 (x) = sin 2x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 4) funkce f(x) = cos 2x (prvá strn rovnice (53) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je π [ sin 2 ] π 2x (u 2, f) = sin 2x cos 2xdx = =. 4

15 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 15 Protože je (u 2, f) =, má úloh (53) nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (55) u + 16u = cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (55) jsou (viz. příkld 2.6) (56) λ k = k2 π 2 (π/4) 2 = 16k2, k N. Číslo λ = 16 je vlstní číslo to pro k = 1. Úloh (55) tedy bude mít řešení pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 1 (x) = sin 4x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 1 = 16) funkce f(x) = cos 8x (prvá strn rovnice (55)) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je (u 1, f) = π/4 sin 4x cos 8xdx = 1 4 π sin t(2 cos2 t 1)dt = 1 4 = 1 4 π Protože je (u 1, f), úloh (55) nemá řešení. sin t cos 2tdt = [ 2 cos 3 t 3 cos t ] π = 1 6. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (57) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 3x, u() =, u(π) = Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (57) jsou (příkld 2.6) (58) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 1. Jestliže λ nebude vlstní číslo, tj. λ k 2, k N, potom úloh (57) bude jednoznčně řešitelná. 2. Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N pk úloh bude mít nekonečně mnoho řešení nebo řešení mít nebude. K vlstnímu číslu λ k = k 2 existuje vlstní funkce u k = sin kx f(x) = sin 3x je prvá strn rovnice (57), přičemž pltí f = u 3, tedy funkce f je součsně vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (57)) pro λ 3 = 9. Úloh (57) bude tedy v tomto přípdě řešitelná, když: (u k, f) = (u k, u 3 ) =.

16 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 16 Tto podmínk bude splněn vždy, když k 3. Vlstní funkce totiž tvoří ortogonální systém pltí (59) (u k, u l ) = pro k l, resp. (u k, u l ) pro k = l, k, l N. Odtud pk: ) Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N, k 3 má úloh (57) nekonečně mnoho řešení. b) Jestliže λ = 9 (tj. k = 3), nemá úloh (57) řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (6) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 4x + 2 sin 8x, u() =, u(π/2) = Budeme postupovt stejně jko v příkldu Nejdříve njdeme vlstní čísl vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (6). (61) λ k = 4k 2, u k = sin 2kx. Dále je f(x) = sin 4x + 2 sin 8x, tj. f = u 2 + 2u 4. Potom: 1) Jestliže λ λ k, kde λ k = 4k 2, k N, má úloh (6) právě jedno řešení. 2) Jestliže λ = λ k, kde λ k = 4k 2, k N, potom (u k, f) = (u k, u 2 + 2u 4 ) = (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ). Podle (59) ) Pro k 2 k 4 je (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ) = úloh (6) má nekonečně mnoho řešení. b) Pro k = 2 je (u 2, u 2 ) + 2(u 2, u 4 ) = (u 2, u 2 ) úloh (6) nemá řešení. c) Pro k = 4 je (u 4, u 2 ) + 2(u 4, u 4 ) = 2(u 4, u 4 ) úloh (6) nemá řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (62) u + 64u = 2 sin 12x + cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π 2 (π 2 /16) = 16k2. Je zřejmé, že pro k = 2 je λ 2 = 16 4 = 64 u funkce u v úloze (62) stojí druhé vlstní číslo. To le znmená, že úloh (62) nemá jednoznčné řešení.

17 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 17 O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení, rozhodne sklární součin (u 2, f), kde u 2 = sin 8x je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 64 f(x) = 2 sin 12x + cos 8x je prvá strn rovnice (62). Předně pro k = 3 je λ 3 = 16 9 = 144 třetí vlstní číslo u 3 = sin 12x je třetí vlstní funkce. Oznčíme-li g(x) = cos 8x, je pk f = 2u 3 + g. Potom ( využitím toho, že (u 2, u 3 ) = ) (u 2, f) = (u 2, 2u 3 + g) = 2(u 2, u 3 ) + (u 2, g) = = π/2 sin 8x cos 8x dx = to znmená, že úloh (62) má nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (63) u + 9π 2 u = 3 sin 4πx + x + 1, u() =, u(1) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π = k 2 π 2. Je zřejmé, že pro k = 3 je λ 3 = 9π 2 u funkce u v úloze (63) stojí třetí vlstní číslo. Opět úloh (63) nemá jednoznčné řešení. O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení bude zse rozhodovt sklární součin (u 3, f), kde u 3 = sin 3πx je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 3 = 9π 2 f(x) = 3 sin 4πx + x + 1 je prvá strn rovnice (63). Pro k = 4 je λ 4 = 16π 2 čtvrté vlstní číslo u 4 = sin 4πx je čtvrtou vlstní funkcí. Oznčíme-li g(x) = x + 1, je pk f = 3u 4 + g. Potom ( využitím toho, že (u 3, u 4 ) = ) (u 3, f) = (u 3, 3u 4 + g) = 3(u 3, u 4 ) + (u 3, g) = = to znmená, že úloh (63) nemá řešení. (x + 1) sin 3πx dx = 1 π 2.4. Okrjové úlohy v operátorovém tvru. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (64) u + (1 + x)u = x, u() =, u(1) = je pozitivní.

18 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 18 Operátor A je definován předpisem (65) Au = u + (1 + x)u s definičním oborem (66) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. Chceme-li dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (67) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (1 + x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme u v dx = [ u v] 1 ( u )v dx = = ( u (1)v(1) + u ()v()) + u v dx = (1 + x)uv dx. u v dx, kde ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. (Protože v D A, je v() =, v(1) = ( u (1)v(1) + u ()v()) =.) Je tedy (68) (Au, v) = u v dx + (1 + x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (67). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + (1 + x)v) dx = v u dx + Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 1 ( v )u dx = = ( v (1)u(1) + v ()u()) + v u dx = (1 + x)vu dx. u v dx, kde ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. (Protože u D A, je u() =, u(1) = ( v (1)u(1) + v ()u()) =.) Je tedy (69) (u, Av) = u v dx + (1 + x)uv dx.

19 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 19 Z (68) (69) vidíme, že pltí (67), tj. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Ukžme nyní, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (7) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 1. Zvolme u D A. Potom podle (68) je (Au, u) = u u dx+ (1+x)uu dx = (u ) 2 dx+ (1+x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 1. Podmínk (7) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (71) je pozitivní. u + (x 2 + 1)u = cos x, u() =, u (2) = Operátor A je definován předpisem (72) Au = u + (x 2 + 1)u s definičním oborem (73) D A = { u C 2 (, 2 ) : u() =, u (2) = }. Budeme postupovt podobně jko v příkldu Ukážeme nejdříve, že operátor A je symetrický, tj. pltí (74) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (x 2 + 1)u ) v dx = u v dx+ Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] 2 ( u )v dx = = ( u (2)v(2) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = (x 2 +1)uv dx. u v dx,

20 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 (u, v D A, v() =, u (2) = ( u (2)v(2) + u ()v()) =.) Je tedy (75) (Au, v) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx. A podobně uprvíme prvou strnu rovnosti (74) Zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = ( u( v + (x 2 + 1)v ) dx = v u dx+ (x 2 +1)vu dx. A opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 2 ( v )u dx = = ( v (2)u(2) + v ()u()) + v u dx = u v dx. (u, v D A, u() =, v (2) = ( v (2)u(2) + v ()u()) =.) Je tedy (76) (u, Av) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx operátor A je symetrický. A nyní zse podobným postupem jko v příkldu 2.16 ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (77) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 2. Zvolme u D A. Potom podle (75) je (Au, u) = u u dx+ (x 2 +1)uu dx = (u ) 2 dx+ (x 2 +1)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 2. Podmínk (77) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (78) u + g(x)u = f(x), u() =, u(b) =, kde funkce f g jsou funkce spojité n intervlu, b g(x), x, b, je pozitivní.

21 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 21 Při řešení této obecné úlohy budeme postupovt nlogicky jko v příkldu Operátor A je definován předpisem (79) Au = u + g(x)u s definičním oborem (8) D A = { u C 2, b : u() =, u(b) = }. Budeme-li chtít dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme opět nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (81) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + g(x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] b ( u )v dx = = ( u (b)v(b) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = g(x)uv dx. u v dx, (Protože v D A, je v() =, v(b) = ( u (b)v(b) + u ()v()) =.) Je tedy (82) (Au, v) = u v dx + g(x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (81). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + g(x)v) dx = v u dx + g(x)vu dx. Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde v u dx = [ v u] b ( v )u dx = = ( v (b)u(b) + v ()u()) + ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. v u dx = u v dx,

22 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 22 (Protože u D A, je u() =, u(b) = ( v (b)u(b) + v ()u()) =.) Je tedy (83) (u, Av) = u v dx + Z (82) (83) vidíme, že pltí (81), tj. g(x)uv dx. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Nyní ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (84) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, b. Zvolme u D A. Potom podle (82) je (Au, u) = u u dx + g(x)uu dx = (u ) 2 dx + g(x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, b. Podmínk (84) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Njděme hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (85) u + x 2 u = x, u() =, u(1) = s operátorem A pro funkci u 1 (x) = x(1 x). Podle příkldu 2.18 víme, že operátor (86) Au = u + x 2 u s definičním oborem (87) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. je pozitivní. Funkcionál energie pro okrjovou úlohu Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A, má tvr (88) F u = (Au, u) 2(f, u). Protože u 1 D A, dostneme doszením u 1 (x) = x(1 x) (u 1(x) = 2) do (86) Au 1 = 2 + x 2 x(1 x) = 2 + x 3 (1 x) dále do (88) F u 1 = (Au 1, u 1 ) 2(f, u 1 ) = 2 (2 + x 3 (1 x)) x(1 x)dx x x(1 x)dx = =

23 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 23 Příkld 2.2. Njděme minimální hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (89) u + 9u = 9x 2 9x 2, u() =, u(1) =. Podle věty o minimu kvdrtického funkcionálu víme, že pokud je funkce u řešením okrjové úlohy Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A (podle příkldu 2.18 je operátor A příslušný úloze (89) pozitivní), pk tto funkce minimlizuje funkcionál energie příslušný této úloze nopk, pokud u minimlizuje funkcionál energie dné okrjové úlohy, pk tto funkce je řešením této úlohy. Tto vět umožňuje hledt řešení okrjové úlohy tk, že njdeme funkci u D A, která minimlizuje funkcionál energie příslušný dné úloze. (Toto je princip řešení okrjových úloh tzv. vričními metodmi). Nopk, známe-li řešení okrjové úlohy u D A, pk tto funkce minimlizuje příslušný funkcionál energie. A to je právě náš přípd. Podobně jko v příkldech 1.1 ž 2.3 njdeme řešení úlohy (89). (Diferenciální rovnice 2.řádu s konsttními koeficienty se speciální prvou strnou.) Nejdříve njdeme řešení rovnice bez prvé strny. Chrkteristická rovnice λ 2 + 9λ = má dv různé reálné kořeny λ 1 = 3 λ 2 = 3. Odtud u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x je řešením rovnice bez prvé strny. Dná rovnice má speciální prvou strnu tedy prtikulární řešení rovnice (89) budeme hledt ve tvru u p = Ax 2 + Bx + C. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (89) porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =, C =. Obecné řešení rovnice (89) má tedy tvr u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x +x 2 x. Doszením okrjových podmínek do obecného řešení njdeme hledné řešení. Řešením úlohy (89) je funkce u D A (9) u (x) = x 2 x, x, 1. Je tedy (viz příkld 2.19) F u = (Au, u ) 2(f, u ) = ( (x 2 x))dx 2 (9x 2 9x 2) (x 2 x)dx = 19 3 hledná minimální hodnot funkcionálu energie.

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc.

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc. PLANETOVÉ PŘEVODY Pomůck do cvičení předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pvel Sedlák, CSc. Pro pochopení funkce plnetových převodů jejich kinemtiky je nutné se senámit se ákldy především kinemtikou

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/14

Kapitola 7: Integrál. 1/14 Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Seriál XXVII.III Aplikační

Seriál XXVII.III Aplikační Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy.

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Cvičení KMA-MAF1 Neurčitý a určitý integrál. Jiří Fišer 9. prosince 2011

Cvičení KMA-MAF1 Neurčitý a určitý integrál. Jiří Fišer 9. prosince 2011 Cvičení KMA-MAF Neurčitý určitý integrál Jiří Fišer 9. prosince Obsh Úlohy n přímou integrci 3 Úlohy n jednoduché substituce 3. Lineárnísubstituce ux+b.... 3.. Dlšíjednoduchésubstituce... 3 3 Integrce

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D.

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D. Aplikce pro numerické řešení mtemtických úloh Diplomová práce Studijní progrm: Studijní obor: Autor práce: Vedoucí práce: N2612 Elektrotechnik informtik 1802T007 Informční technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr.

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více