LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU"

Transkript

1 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y + 3y + 2y = e x Obecné řešení lineární diferenciální rovnice (1) má tvr ϕ(x) = ϕ h (x) + ϕ p (x), kde ϕ h (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) je obecné řešení příslušné lineární diferenciální rovnice bez prvé strny (2) y + 3y + 2y = ϕ p (x) je nějké pevné (prtikulární) řešení rovnice (1). Funkce ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) tvoří fundmentální systém rovnice (2), tj. jsou bází vektorového prostoru všech řešení rovnice (2) Řešení rovnice (2) hledáme ve tvru ϕ(x) = e λx, kde λ je řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 3λ + 2 =. Je tedy λ 1 = λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 2x. Prtikulární řešení rovnice (1) budeme hledt metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x)ϕ 1 (x)+g 2 (x)ϕ 2 (x). Derivce hledných funkcí g 1 g 2 dostneme jko řešení soustvy g 1(x)ϕ 1 (x) + g 2(x)ϕ 2 (x) =, g 1(x)ϕ 1(x) + g 2(x)ϕ 2(x) = f(x), kde f(x) je prvá strn řešené lineární diferenciální rovnice. V nšem přípdě ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x) e 2x. g 1(x) e x + g 2(x) e 2x =, g 1(x)( e x ) + g 2(x)( 2 e 2x ) = 1 1+e x. 1

2 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = Potom g 1(x) = e x (1 + e x ), g 2(x) = e2x (1 + e x ) e x (1 + e x ) dx = e 2x (1 + e x ) dx = t dt = ln(1 + t) = ln(1 + ex ) t 1 + t dt = t+ln(1+t) = ex + ln(1+e x ). ϕ p (x) = e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )) ϕ(x) = c 1 e x +c 2 e 2x + e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )), c 1, c 2 R Příkld 1.2. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (3) y 2y + y = ex x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (4) y 2y + y = Řešením její chrkteristické rovnice λ 2 2λ + 1 = dostneme λ = 1, což je její dvojnásobný kořen. Fundmentální systém tedy tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = x e x. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 x e x. Jedno pevné prtikulární řešení rovnice (3) njdeme opět metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x)x e x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme g 1(x) e x + g 2(x)x e x =, g 1(x) e x + g 2(x)(e x +x e x ) = ex x. g 1(x) =, g 2(x) = 1 x odtud Je tedy g 1 (x) = x, g 2 (x) = ln x. ϕ p (x) = x e x +x ln x e x,

3 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 3 ϕ(x) = e x (c 1 + c 2 x x + x ln x ), c 1, c 2 R Příkld 1.3. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (5) y + y = tg x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (6) y + y = Chrkteristická rovnice λ = má dv komplexně sdružené kořeny λ 12 = ±i. Jim odpovídjící fundmentální systém e (±1 i )x = e x (cos (1 x) ± i sin (1 x)) nhrdíme reálným fundmentálním systémem ϕ 1 (x) = e x cos (1 x) = cos x, ϕ 2 (x) = e x sin (1 x) = sin x. Potom ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x je obecné řešení rovnice (6). Prtikulární řešení rovnice (5) budeme hledt ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) cos x + g 2 (x) sin x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = cos x. Potom g 1(x) cos x + g 2(x) sin x =, g 1(x) sin x + g 2(x) cos x = tg x. g 1(x) = sin x tg x, sin 2 x sin 2 x cos x cos x dx = sin 2 x 1 dx = g 2(x) = sin x ϕ p (x) = 1 2 cos x ln sin x 1 sin x + 1, ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x cos x ln sin x 1 sin x + 1, t 2 t 2 1 dt = sin x+1 2 ln sin x 1 sin x + 1, c 1, c 2 R

4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 4 Příkld 1.4. Njděme homogenní lineární diferenciální rovnici 2.řádu s konstntními koeficienty, jejíž fundmentální systém tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x. Hledná rovnice bude mít tvr (7) y + 1 y + y =, kde 1 jsou neznámé konstnty. Protože ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x jsou podle předpokldu řešením rovnice (7), musí pltit tj. po úprvě ϕ ϕ 1(x) + ϕ 1(x) 1 + ϕ 1 (x) =, 2(x) + ϕ 2(x) 1 + ϕ 2 (x) =, e x + e x 1 + e x =, 4 e 2x 2 e 2x 1 + e 2x = 1 + =, = 4. Řešením této soustvy dostneme = 1, 1 = 2. Hledná rovnice má tedy tvr y + y 2y =. Mohli jsme tké postupovt rychleji. Tvoří-li funkce ϕ 1 (x) = e 1 x ϕ 2 (x) = e 2 x fundmentální systém hledné rovnice, má chrkteristická rovnice (8) λ λ + =. dv reálné kořeny λ 1 = 1 λ 2 = 2 rovnici (8) můžeme npst ve tvru (polynom n levé strně npíšeme jko součin kořenových činitelů) ve tvru tj. Odtud pk (λ 1)(λ + 2) =, λ 2 + λ 2 =. y + y 2y =.

5 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Speciální prvá strn. Příkld 1.5. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (9) y + y 6y = 12x 2 + 2x + 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + λ 6 = dostneme λ 1 = 3, λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x. O speciální prvé strně diferenciální rovnice (1) y + 1 y + 2 y = f(x) budeme mluvit v přípdě, že funkce f má tvr (11) f(x) = e x (p 1 (x) cos(bx) + p 2 (x) sin(bx)), kde, b R p 1, p 2 jsou polynomy stupně s r. Hledné prtikulární řešení ϕ p rovnice (1) má potom tvr (12) ϕ p (x) = e x x k (q 1 (x) cos(bx) + q 2 (x) sin(bx)), kde q 1, q 2 jsou polynomy jejichž stupeň je mximálně rovem většímu z čísel s r k je násobnost kořene λ = + i b chrkteristické rovnice (13) λ λ + 2 =. V přípdě, že komplexní číslo λ = + i b není kořenem chrkteristické rovnice (13), je k =. Prvá strn rovnice (9) má speciální tvr neboť 12x 2 + 2x + 1 = e x ( (12x 2 + 2x + 1) cos(x) + sin(x) ), komplexní číslo λ = +i b = +i = není kořenem chrkteristické rovnice. Je tedy k =. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = e x x ( (Ax 2 + Bx + C) cos(x) + q 2 (x) sin(x) ) = Ax 2 +Bx+C. (Polynom q 2 nás nebude zjímt, neboť jej budeme násobit číslem.) Podle předpokldu je ϕ p řešení rovnive (9). Doszením ϕ p do rovnice (9) dostneme podmínky pro neznámé konstnty A, B, C. ϕ p(x) = 2Ax + B, ϕ p(x) = 2A 2A + 2Ax + B 6Ax 2 6Bx 6C = 12x 2 + 2x + 1. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme 6A = 12, 2A 6B = 2, 2A + B 6C = 1. Potom A = 2, B =, C =. Je tedy ϕ p (x) = 2x 2 x 1 odtud ϕ(x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x 2x 2 x 1, c 1, c 2 R

6 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 6 Příkld 1.6. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (14) y 3y = 3x 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 3λ = dostneme λ 1 =, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 + c 2 e 3x. Prvá strn rovnice (14) má podobně jko v (9)speciální tvr neboť 3x 1 = e x ((3x 1) cos(x) + sin(x)), Tentokrát všk komplexní číslo λ = + i b = + i = je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Je tedy k = 1. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = x 1 (Ax + B). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (14) porovnámím koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =. Je 2 tedy ϕ p (x) = 1 2 x2 ϕ(x) = c 1 + c 2 e 3x 1 2 x2, c 1, c 2 R Příkld 1.7. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (15) y + 2y + 5y = 8x e x Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ + 5 = dostneme λ 1 = + 2i, λ 2 = 2i. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x. Rovnice (15) má opět speciální prvou strnu, neboť 8x e x = e 1x (8x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = (Ax + B) e x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (15) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x A = 1, B = 1. Je tedy ϕ 2 p(x) = e ( x x 2) 1 ( ϕ(x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + e x x 1 ), c 1, c 2 R 2

7 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 7 Příkld 1.8. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (16) y + y = x + sin x Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x. Rovnice (16) tentokrát nemá speciální prvou strnu. Prvá strn této rovnice je všk dán jko součet dvou funkcí, znichž kždá má tvr speciální prvé strny. Dále víme, že je-li ϕ p1 prtikulární řešení rovnice (17) y + y = x ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (18) y + y = sin x je ϕ p = ϕ p1 + ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (16). Anlogickým postupem jko u rovnice (9) dostneme ϕ p1 (x) = x. Pro rovnici (18) pk pltí sin x = e x ( cos(1x) + 1 sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Potom ϕ p2 (x) = e x x 1 (A cos(1x) + B sin(1x)) = x(a cos x + B sin x). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (18) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, 2 B =. Je tedy ϕ p2 (x) = 1x cos x ϕ 2 p(x) = x 1 x cos x Odtud 2 ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x 1 x cos x,, 2 c 1, c 2 R

8 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení počáteční úlohy. Příkld 1.9. Njděme řešení počáteční úlohy (19) y + 9y = 8 cos x, y(π/3) =, y (π/3) = 3 2. Nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (19). Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±3i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x. Rovnice (19) má speciální prvou strnu neboť 8 cos x = e x (8 cos(1x) + sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e x x (A cos(1x) + B sin(1x)) = A cos x + B sin x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (19) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, B =. Je tedy ϕ p (x) = cos x. Odtud dostneme obecné řešení rovnice (19) (2) y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + cos x jeho derivcí (21) y = 3c 1 sin 3x + 3c 2 cos 3x sin x. Doszením počátečních podmínek z (19) do (2) (21) dostneme = c , 3 2 = 3c Odtud c 1 = 1 2, c 2 =. Doszením do (2) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (19) ϕ(x) = 1 cos 3x + cos x. 2 Příkld 1.1. Njděme řešení počáteční úlohy (22) y + 2y 3y = 16x e x, y() = 1, y () =.

9 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 9 Opět nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (22). Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ 3 = dostneme λ 1 = 1, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 3x. Rovnice (22) má speciální prvou strnu neboť 16x e x = e 1x (16x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 je jednonásobným kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x 1 ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = e x (Ax 2 + Bx). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (22) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů polynomů n levé prvé strně rovnosti A = 2, B =. Je tedy ϕ p (x) = e x (2x 2 x). Odtud dostneme obecné řešení rovnice (22) (23) y = c 1 e x +c 2 e 3x + e x (2x 2 x) jeho derivcí (24) y = c 1 e x 3c 2 e 3x + e x (2x 2 x) + e x (4x 1). Doszením počátečních podmínek z (22) do (23) (24) dostneme c 1 + c 2 = 1, c 1 3c 2 = 1. Odtud c 1 = 1, c 2 =. Doszením do (23) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (22) ϕ(x) = e x (2x 2 x + 1).

10 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení okrjové úlohy. 2. Okrjové úlohy Příkld 2.1. Njděme řešení okrjové úlohy (25) u + 4u = 3 cos x + 6 sin x, u() =, u(π/4) = 2 2. Stejným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (25). Postupně dostneme dále u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x u p = cos x + 2 sin x. Obecné řešení rovnice (25) má tedy tvr (26) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (25) do (26) dostneme = c 1 + 1, 2 = c Odtud c 1 =, c 2 = 2. Doszením do (26) dostáváme právě jedno hledné řešení okrjové úlohy (25) u = cos 2x 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Příkld 2.2. Njděme řešení okrjové úlohy (27) u + 4u = 3 sin x, u() =, u(π) =. Opět nejdříve njdeme obecné řešení rovnice (27). Postupně dostneme u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x dále u p = sin x. Obecné řešení rovnice (27) má tedy tvr (28) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (27) do (28) dostneme = c 1, = c 2.

11 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 11 Druhá z rovnic je splněn pro libovolné c 2. Položme c 2 = c, kde c R. Potom okrjová úloh (27) má nekonečně mnoho řešení u = c sin 2x + sin x, c R. Příkld 2.3. Njděme řešení okrjové úlohy (29) u + u = 4 sin x, u() =, u(π) =. Podobným postupem jko v příkldě 1.8 njdeme obecné řešení rovnice (29) (3) u = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. Postupným doszením okrjových podmínek z (29) do (3) dostneme = c 1, = 2π. Druhá rovnost všk není nikdy splněn, tj. úloh (29) nemá řešení. Příkld 2.4. Njděme řešení okrjové úlohy (31) v závislosti n prmetru R. u + 4u = 1 sin 3x, u() = 1, u(π/2) = Podobným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (31) (32) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x. Doszením okrjových podmínek z (31) do (32) dostneme 1 = c 1, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 1. Pk bude mít úloh (31) nekonečně mnoho řešení (33) u = cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x, c 2 R. Pokud bude 1 úloh (31) nebude mít řešení. Příkld 2.5. Njděme řešení okrjové úlohy (34) u + π 2 u = 3π 2 cos 2πx, u () = 2π, u(1/2) = v závislosti n prmetru R.

12 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 12 Podobně jko v předchozím příkldě njdeme obecné řešení rovnice (34) (35) u = c 1 cos πx + c 2 sin πx cos 2πx. Před doszením okrjových podmínek nejříve njdeme u (36) u = πc 1 sin πx + πc 2 cos πx + 2π sin 2πx. Doszením okrjových podmínek z (34) do (36) (35) dostneme 2 = c 2, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 3. Pk bude mít úloh (34) nekonečně mnoho řešení (37) u = c 1 cos πx + 2 sin πx cos 2πx, c 1 R. Pokud bude 3 úloh (34) nebude mít řešení Vlstní čísl. Příkld 2.6. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (38) u + λu =, u() =, u(l) =. Hledáme tkové λ R, λ >, pro které má úloh (38) netriviální řešení. (Pro λ má úloh pouze triviální řešení.) Obecné řešení rovnice (38) má tvr (39) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. Doszením okrjových podmínek (38) do (39) dostneme = c 1, = c 2 sin λ l. Protože hledáme netriviální řešení, musí být c 2. Druhá rovnost tk bude splněn pouze v přípdě, že Čísl sin λ l = = λ l = kπ = λ = k2 π 2 l 2. (4) λ k = k2 π 2, k N l 2 jsou hledná vlstní čísl okrjové úlohy (38). Pro kždé λ k má úloh (38) nekonečně mnoho řešení (41) u k = c sin kπ l x, c R.

13 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 13 Pro kždé k N je funkce ( kždý její násobek) (42) u k = sin kπ l x. hlednou vlstní funkcí příslušnou k vlstnímu číslu (4). Příkld 2.7. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (43) u + λu =, u () =, u(l) =. Budeme postupovt stejně jko v příkldu 2.6. Njdeme obecné řešení rovnice (43) (44) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. jeho derivci (45) u = c 1 λ sin λ x + c2 λ cos λ x. Doszením druhé okrjové podmínky do (44) první okrjové podmínky do (45) dostneme = c 2, = c 1 cos λ l. Netriviální řešení úlohy (43) pk dostneme pouze z podmínky cos λ l = = λ l = (2k 1) π 2 = λ = (2k 1)2 π 2 4l 2. Vlstní čísl příslušné vlstní funkce ( kždý jejich násobek) úlohy (43) jsou (46) λ k = (2k 1)2 π 2 4l 2, u k = cos (2k 1)π 2l x, k N. Příkld 2.8. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (47) u + λu =, u() =, u(π) =. K nlezení vlstních čísel vlstních funkcí úlohy (47) využijeme výsledku úlohy (38). Doszením z l = π do (4) (42) dostneme (48) λ k = k2 π 2 π 2 = k 2, u k = sin kx k N.

14 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešitelnost okrjové úlohy. Příkld 2.9. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (49) (5) Připomeňme, že okrjová úloh u + u = x + sin x, u() =, u(π/2) =. u + λu = f(x), u() =, u(l) =. je jednoznčně řešitelná právě tehdy, když λ není vlstní číslo příslušného homogenního problému. V přípdě, že λ je vlstní číslo příslušného homogenního problému, budeme mít úloh řešení pouze tehdy, když pro sklární součin vlstní funkce u příslušné vlstnímu číslu λ funkce f (prvou strnu rovnice (5)) pltí (51) (u, f) =, tj. l u(x)f(x)dx =. V tomto přípdě má úloh (5)) nekonečně mnoho řešení. V přípdě, že (u, f), nemá úloh (5)) řešení. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (5)) jsou (příkld 2.6) (52) λ k = k2 π 2 (π/2) 2 = 4k2, k N. Číslo λ = 1 tedy není vlstní číslo příslušného homogenního problému úloh (49) má právě jedno řešení. Příkld 2.1. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (53) u + 4u = cos 2x, u() =, u(π) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (53) jsou (viz. příkld 2.6) (54) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 Číslo λ = 4 je v tomto přípdě vlstní číslo to pro k = 2. Úloh tedy bude řešitelná pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 2 (x) = sin 2x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 4) funkce f(x) = cos 2x (prvá strn rovnice (53) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je π [ sin 2 ] π 2x (u 2, f) = sin 2x cos 2xdx = =. 4

15 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 15 Protože je (u 2, f) =, má úloh (53) nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (55) u + 16u = cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (55) jsou (viz. příkld 2.6) (56) λ k = k2 π 2 (π/4) 2 = 16k2, k N. Číslo λ = 16 je vlstní číslo to pro k = 1. Úloh (55) tedy bude mít řešení pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 1 (x) = sin 4x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 1 = 16) funkce f(x) = cos 8x (prvá strn rovnice (55)) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je (u 1, f) = π/4 sin 4x cos 8xdx = 1 4 π sin t(2 cos2 t 1)dt = 1 4 = 1 4 π Protože je (u 1, f), úloh (55) nemá řešení. sin t cos 2tdt = [ 2 cos 3 t 3 cos t ] π = 1 6. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (57) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 3x, u() =, u(π) = Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (57) jsou (příkld 2.6) (58) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 1. Jestliže λ nebude vlstní číslo, tj. λ k 2, k N, potom úloh (57) bude jednoznčně řešitelná. 2. Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N pk úloh bude mít nekonečně mnoho řešení nebo řešení mít nebude. K vlstnímu číslu λ k = k 2 existuje vlstní funkce u k = sin kx f(x) = sin 3x je prvá strn rovnice (57), přičemž pltí f = u 3, tedy funkce f je součsně vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (57)) pro λ 3 = 9. Úloh (57) bude tedy v tomto přípdě řešitelná, když: (u k, f) = (u k, u 3 ) =.

16 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 16 Tto podmínk bude splněn vždy, když k 3. Vlstní funkce totiž tvoří ortogonální systém pltí (59) (u k, u l ) = pro k l, resp. (u k, u l ) pro k = l, k, l N. Odtud pk: ) Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N, k 3 má úloh (57) nekonečně mnoho řešení. b) Jestliže λ = 9 (tj. k = 3), nemá úloh (57) řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (6) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 4x + 2 sin 8x, u() =, u(π/2) = Budeme postupovt stejně jko v příkldu Nejdříve njdeme vlstní čísl vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (6). (61) λ k = 4k 2, u k = sin 2kx. Dále je f(x) = sin 4x + 2 sin 8x, tj. f = u 2 + 2u 4. Potom: 1) Jestliže λ λ k, kde λ k = 4k 2, k N, má úloh (6) právě jedno řešení. 2) Jestliže λ = λ k, kde λ k = 4k 2, k N, potom (u k, f) = (u k, u 2 + 2u 4 ) = (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ). Podle (59) ) Pro k 2 k 4 je (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ) = úloh (6) má nekonečně mnoho řešení. b) Pro k = 2 je (u 2, u 2 ) + 2(u 2, u 4 ) = (u 2, u 2 ) úloh (6) nemá řešení. c) Pro k = 4 je (u 4, u 2 ) + 2(u 4, u 4 ) = 2(u 4, u 4 ) úloh (6) nemá řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (62) u + 64u = 2 sin 12x + cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π 2 (π 2 /16) = 16k2. Je zřejmé, že pro k = 2 je λ 2 = 16 4 = 64 u funkce u v úloze (62) stojí druhé vlstní číslo. To le znmená, že úloh (62) nemá jednoznčné řešení.

17 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 17 O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení, rozhodne sklární součin (u 2, f), kde u 2 = sin 8x je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 64 f(x) = 2 sin 12x + cos 8x je prvá strn rovnice (62). Předně pro k = 3 je λ 3 = 16 9 = 144 třetí vlstní číslo u 3 = sin 12x je třetí vlstní funkce. Oznčíme-li g(x) = cos 8x, je pk f = 2u 3 + g. Potom ( využitím toho, že (u 2, u 3 ) = ) (u 2, f) = (u 2, 2u 3 + g) = 2(u 2, u 3 ) + (u 2, g) = = π/2 sin 8x cos 8x dx = to znmená, že úloh (62) má nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (63) u + 9π 2 u = 3 sin 4πx + x + 1, u() =, u(1) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π = k 2 π 2. Je zřejmé, že pro k = 3 je λ 3 = 9π 2 u funkce u v úloze (63) stojí třetí vlstní číslo. Opět úloh (63) nemá jednoznčné řešení. O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení bude zse rozhodovt sklární součin (u 3, f), kde u 3 = sin 3πx je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 3 = 9π 2 f(x) = 3 sin 4πx + x + 1 je prvá strn rovnice (63). Pro k = 4 je λ 4 = 16π 2 čtvrté vlstní číslo u 4 = sin 4πx je čtvrtou vlstní funkcí. Oznčíme-li g(x) = x + 1, je pk f = 3u 4 + g. Potom ( využitím toho, že (u 3, u 4 ) = ) (u 3, f) = (u 3, 3u 4 + g) = 3(u 3, u 4 ) + (u 3, g) = = to znmená, že úloh (63) nemá řešení. (x + 1) sin 3πx dx = 1 π 2.4. Okrjové úlohy v operátorovém tvru. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (64) u + (1 + x)u = x, u() =, u(1) = je pozitivní.

18 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 18 Operátor A je definován předpisem (65) Au = u + (1 + x)u s definičním oborem (66) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. Chceme-li dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (67) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (1 + x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme u v dx = [ u v] 1 ( u )v dx = = ( u (1)v(1) + u ()v()) + u v dx = (1 + x)uv dx. u v dx, kde ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. (Protože v D A, je v() =, v(1) = ( u (1)v(1) + u ()v()) =.) Je tedy (68) (Au, v) = u v dx + (1 + x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (67). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + (1 + x)v) dx = v u dx + Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 1 ( v )u dx = = ( v (1)u(1) + v ()u()) + v u dx = (1 + x)vu dx. u v dx, kde ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. (Protože u D A, je u() =, u(1) = ( v (1)u(1) + v ()u()) =.) Je tedy (69) (u, Av) = u v dx + (1 + x)uv dx.

19 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 19 Z (68) (69) vidíme, že pltí (67), tj. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Ukžme nyní, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (7) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 1. Zvolme u D A. Potom podle (68) je (Au, u) = u u dx+ (1+x)uu dx = (u ) 2 dx+ (1+x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 1. Podmínk (7) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (71) je pozitivní. u + (x 2 + 1)u = cos x, u() =, u (2) = Operátor A je definován předpisem (72) Au = u + (x 2 + 1)u s definičním oborem (73) D A = { u C 2 (, 2 ) : u() =, u (2) = }. Budeme postupovt podobně jko v příkldu Ukážeme nejdříve, že operátor A je symetrický, tj. pltí (74) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (x 2 + 1)u ) v dx = u v dx+ Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] 2 ( u )v dx = = ( u (2)v(2) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = (x 2 +1)uv dx. u v dx,

20 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 (u, v D A, v() =, u (2) = ( u (2)v(2) + u ()v()) =.) Je tedy (75) (Au, v) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx. A podobně uprvíme prvou strnu rovnosti (74) Zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = ( u( v + (x 2 + 1)v ) dx = v u dx+ (x 2 +1)vu dx. A opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 2 ( v )u dx = = ( v (2)u(2) + v ()u()) + v u dx = u v dx. (u, v D A, u() =, v (2) = ( v (2)u(2) + v ()u()) =.) Je tedy (76) (u, Av) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx operátor A je symetrický. A nyní zse podobným postupem jko v příkldu 2.16 ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (77) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 2. Zvolme u D A. Potom podle (75) je (Au, u) = u u dx+ (x 2 +1)uu dx = (u ) 2 dx+ (x 2 +1)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 2. Podmínk (77) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (78) u + g(x)u = f(x), u() =, u(b) =, kde funkce f g jsou funkce spojité n intervlu, b g(x), x, b, je pozitivní.

21 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 21 Při řešení této obecné úlohy budeme postupovt nlogicky jko v příkldu Operátor A je definován předpisem (79) Au = u + g(x)u s definičním oborem (8) D A = { u C 2, b : u() =, u(b) = }. Budeme-li chtít dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme opět nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (81) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + g(x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] b ( u )v dx = = ( u (b)v(b) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = g(x)uv dx. u v dx, (Protože v D A, je v() =, v(b) = ( u (b)v(b) + u ()v()) =.) Je tedy (82) (Au, v) = u v dx + g(x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (81). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + g(x)v) dx = v u dx + g(x)vu dx. Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde v u dx = [ v u] b ( v )u dx = = ( v (b)u(b) + v ()u()) + ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. v u dx = u v dx,

22 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 22 (Protože u D A, je u() =, u(b) = ( v (b)u(b) + v ()u()) =.) Je tedy (83) (u, Av) = u v dx + Z (82) (83) vidíme, že pltí (81), tj. g(x)uv dx. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Nyní ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (84) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, b. Zvolme u D A. Potom podle (82) je (Au, u) = u u dx + g(x)uu dx = (u ) 2 dx + g(x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, b. Podmínk (84) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Njděme hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (85) u + x 2 u = x, u() =, u(1) = s operátorem A pro funkci u 1 (x) = x(1 x). Podle příkldu 2.18 víme, že operátor (86) Au = u + x 2 u s definičním oborem (87) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. je pozitivní. Funkcionál energie pro okrjovou úlohu Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A, má tvr (88) F u = (Au, u) 2(f, u). Protože u 1 D A, dostneme doszením u 1 (x) = x(1 x) (u 1(x) = 2) do (86) Au 1 = 2 + x 2 x(1 x) = 2 + x 3 (1 x) dále do (88) F u 1 = (Au 1, u 1 ) 2(f, u 1 ) = 2 (2 + x 3 (1 x)) x(1 x)dx x x(1 x)dx = =

23 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 23 Příkld 2.2. Njděme minimální hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (89) u + 9u = 9x 2 9x 2, u() =, u(1) =. Podle věty o minimu kvdrtického funkcionálu víme, že pokud je funkce u řešením okrjové úlohy Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A (podle příkldu 2.18 je operátor A příslušný úloze (89) pozitivní), pk tto funkce minimlizuje funkcionál energie příslušný této úloze nopk, pokud u minimlizuje funkcionál energie dné okrjové úlohy, pk tto funkce je řešením této úlohy. Tto vět umožňuje hledt řešení okrjové úlohy tk, že njdeme funkci u D A, která minimlizuje funkcionál energie příslušný dné úloze. (Toto je princip řešení okrjových úloh tzv. vričními metodmi). Nopk, známe-li řešení okrjové úlohy u D A, pk tto funkce minimlizuje příslušný funkcionál energie. A to je právě náš přípd. Podobně jko v příkldech 1.1 ž 2.3 njdeme řešení úlohy (89). (Diferenciální rovnice 2.řádu s konsttními koeficienty se speciální prvou strnou.) Nejdříve njdeme řešení rovnice bez prvé strny. Chrkteristická rovnice λ 2 + 9λ = má dv různé reálné kořeny λ 1 = 3 λ 2 = 3. Odtud u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x je řešením rovnice bez prvé strny. Dná rovnice má speciální prvou strnu tedy prtikulární řešení rovnice (89) budeme hledt ve tvru u p = Ax 2 + Bx + C. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (89) porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =, C =. Obecné řešení rovnice (89) má tedy tvr u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x +x 2 x. Doszením okrjových podmínek do obecného řešení njdeme hledné řešení. Řešením úlohy (89) je funkce u D A (9) u (x) = x 2 x, x, 1. Je tedy (viz příkld 2.19) F u = (Au, u ) 2(f, u ) = ( (x 2 x))dx 2 (9x 2 9x 2) (x 2 x)dx = 19 3 hledná minimální hodnot funkcionálu energie.

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován

Více