LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU"

Transkript

1 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y + 3y + 2y = e x Obecné řešení lineární diferenciální rovnice (1) má tvr ϕ(x) = ϕ h (x) + ϕ p (x), kde ϕ h (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) je obecné řešení příslušné lineární diferenciální rovnice bez prvé strny (2) y + 3y + 2y = ϕ p (x) je nějké pevné (prtikulární) řešení rovnice (1). Funkce ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) tvoří fundmentální systém rovnice (2), tj. jsou bází vektorového prostoru všech řešení rovnice (2) Řešení rovnice (2) hledáme ve tvru ϕ(x) = e λx, kde λ je řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 3λ + 2 =. Je tedy λ 1 = λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 2x. Prtikulární řešení rovnice (1) budeme hledt metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x)ϕ 1 (x)+g 2 (x)ϕ 2 (x). Derivce hledných funkcí g 1 g 2 dostneme jko řešení soustvy g 1(x)ϕ 1 (x) + g 2(x)ϕ 2 (x) =, g 1(x)ϕ 1(x) + g 2(x)ϕ 2(x) = f(x), kde f(x) je prvá strn řešené lineární diferenciální rovnice. V nšem přípdě ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x) e 2x. g 1(x) e x + g 2(x) e 2x =, g 1(x)( e x ) + g 2(x)( 2 e 2x ) = 1 1+e x. 1

2 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = Potom g 1(x) = e x (1 + e x ), g 2(x) = e2x (1 + e x ) e x (1 + e x ) dx = e 2x (1 + e x ) dx = t dt = ln(1 + t) = ln(1 + ex ) t 1 + t dt = t+ln(1+t) = ex + ln(1+e x ). ϕ p (x) = e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )) ϕ(x) = c 1 e x +c 2 e 2x + e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )), c 1, c 2 R Příkld 1.2. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (3) y 2y + y = ex x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (4) y 2y + y = Řešením její chrkteristické rovnice λ 2 2λ + 1 = dostneme λ = 1, což je její dvojnásobný kořen. Fundmentální systém tedy tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = x e x. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 x e x. Jedno pevné prtikulární řešení rovnice (3) njdeme opět metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x)x e x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme g 1(x) e x + g 2(x)x e x =, g 1(x) e x + g 2(x)(e x +x e x ) = ex x. g 1(x) =, g 2(x) = 1 x odtud Je tedy g 1 (x) = x, g 2 (x) = ln x. ϕ p (x) = x e x +x ln x e x,

3 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 3 ϕ(x) = e x (c 1 + c 2 x x + x ln x ), c 1, c 2 R Příkld 1.3. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (5) y + y = tg x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (6) y + y = Chrkteristická rovnice λ = má dv komplexně sdružené kořeny λ 12 = ±i. Jim odpovídjící fundmentální systém e (±1 i )x = e x (cos (1 x) ± i sin (1 x)) nhrdíme reálným fundmentálním systémem ϕ 1 (x) = e x cos (1 x) = cos x, ϕ 2 (x) = e x sin (1 x) = sin x. Potom ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x je obecné řešení rovnice (6). Prtikulární řešení rovnice (5) budeme hledt ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) cos x + g 2 (x) sin x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = cos x. Potom g 1(x) cos x + g 2(x) sin x =, g 1(x) sin x + g 2(x) cos x = tg x. g 1(x) = sin x tg x, sin 2 x sin 2 x cos x cos x dx = sin 2 x 1 dx = g 2(x) = sin x ϕ p (x) = 1 2 cos x ln sin x 1 sin x + 1, ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x cos x ln sin x 1 sin x + 1, t 2 t 2 1 dt = sin x+1 2 ln sin x 1 sin x + 1, c 1, c 2 R

4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 4 Příkld 1.4. Njděme homogenní lineární diferenciální rovnici 2.řádu s konstntními koeficienty, jejíž fundmentální systém tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x. Hledná rovnice bude mít tvr (7) y + 1 y + y =, kde 1 jsou neznámé konstnty. Protože ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x jsou podle předpokldu řešením rovnice (7), musí pltit tj. po úprvě ϕ ϕ 1(x) + ϕ 1(x) 1 + ϕ 1 (x) =, 2(x) + ϕ 2(x) 1 + ϕ 2 (x) =, e x + e x 1 + e x =, 4 e 2x 2 e 2x 1 + e 2x = 1 + =, = 4. Řešením této soustvy dostneme = 1, 1 = 2. Hledná rovnice má tedy tvr y + y 2y =. Mohli jsme tké postupovt rychleji. Tvoří-li funkce ϕ 1 (x) = e 1 x ϕ 2 (x) = e 2 x fundmentální systém hledné rovnice, má chrkteristická rovnice (8) λ λ + =. dv reálné kořeny λ 1 = 1 λ 2 = 2 rovnici (8) můžeme npst ve tvru (polynom n levé strně npíšeme jko součin kořenových činitelů) ve tvru tj. Odtud pk (λ 1)(λ + 2) =, λ 2 + λ 2 =. y + y 2y =.

5 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Speciální prvá strn. Příkld 1.5. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (9) y + y 6y = 12x 2 + 2x + 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + λ 6 = dostneme λ 1 = 3, λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x. O speciální prvé strně diferenciální rovnice (1) y + 1 y + 2 y = f(x) budeme mluvit v přípdě, že funkce f má tvr (11) f(x) = e x (p 1 (x) cos(bx) + p 2 (x) sin(bx)), kde, b R p 1, p 2 jsou polynomy stupně s r. Hledné prtikulární řešení ϕ p rovnice (1) má potom tvr (12) ϕ p (x) = e x x k (q 1 (x) cos(bx) + q 2 (x) sin(bx)), kde q 1, q 2 jsou polynomy jejichž stupeň je mximálně rovem většímu z čísel s r k je násobnost kořene λ = + i b chrkteristické rovnice (13) λ λ + 2 =. V přípdě, že komplexní číslo λ = + i b není kořenem chrkteristické rovnice (13), je k =. Prvá strn rovnice (9) má speciální tvr neboť 12x 2 + 2x + 1 = e x ( (12x 2 + 2x + 1) cos(x) + sin(x) ), komplexní číslo λ = +i b = +i = není kořenem chrkteristické rovnice. Je tedy k =. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = e x x ( (Ax 2 + Bx + C) cos(x) + q 2 (x) sin(x) ) = Ax 2 +Bx+C. (Polynom q 2 nás nebude zjímt, neboť jej budeme násobit číslem.) Podle předpokldu je ϕ p řešení rovnive (9). Doszením ϕ p do rovnice (9) dostneme podmínky pro neznámé konstnty A, B, C. ϕ p(x) = 2Ax + B, ϕ p(x) = 2A 2A + 2Ax + B 6Ax 2 6Bx 6C = 12x 2 + 2x + 1. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme 6A = 12, 2A 6B = 2, 2A + B 6C = 1. Potom A = 2, B =, C =. Je tedy ϕ p (x) = 2x 2 x 1 odtud ϕ(x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x 2x 2 x 1, c 1, c 2 R

6 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 6 Příkld 1.6. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (14) y 3y = 3x 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 3λ = dostneme λ 1 =, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 + c 2 e 3x. Prvá strn rovnice (14) má podobně jko v (9)speciální tvr neboť 3x 1 = e x ((3x 1) cos(x) + sin(x)), Tentokrát všk komplexní číslo λ = + i b = + i = je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Je tedy k = 1. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = x 1 (Ax + B). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (14) porovnámím koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =. Je 2 tedy ϕ p (x) = 1 2 x2 ϕ(x) = c 1 + c 2 e 3x 1 2 x2, c 1, c 2 R Příkld 1.7. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (15) y + 2y + 5y = 8x e x Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ + 5 = dostneme λ 1 = + 2i, λ 2 = 2i. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x. Rovnice (15) má opět speciální prvou strnu, neboť 8x e x = e 1x (8x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = (Ax + B) e x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (15) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x A = 1, B = 1. Je tedy ϕ 2 p(x) = e ( x x 2) 1 ( ϕ(x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + e x x 1 ), c 1, c 2 R 2

7 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 7 Příkld 1.8. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (16) y + y = x + sin x Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x. Rovnice (16) tentokrát nemá speciální prvou strnu. Prvá strn této rovnice je všk dán jko součet dvou funkcí, znichž kždá má tvr speciální prvé strny. Dále víme, že je-li ϕ p1 prtikulární řešení rovnice (17) y + y = x ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (18) y + y = sin x je ϕ p = ϕ p1 + ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (16). Anlogickým postupem jko u rovnice (9) dostneme ϕ p1 (x) = x. Pro rovnici (18) pk pltí sin x = e x ( cos(1x) + 1 sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Potom ϕ p2 (x) = e x x 1 (A cos(1x) + B sin(1x)) = x(a cos x + B sin x). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (18) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, 2 B =. Je tedy ϕ p2 (x) = 1x cos x ϕ 2 p(x) = x 1 x cos x Odtud 2 ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x 1 x cos x,, 2 c 1, c 2 R

8 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení počáteční úlohy. Příkld 1.9. Njděme řešení počáteční úlohy (19) y + 9y = 8 cos x, y(π/3) =, y (π/3) = 3 2. Nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (19). Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±3i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x. Rovnice (19) má speciální prvou strnu neboť 8 cos x = e x (8 cos(1x) + sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e x x (A cos(1x) + B sin(1x)) = A cos x + B sin x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (19) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, B =. Je tedy ϕ p (x) = cos x. Odtud dostneme obecné řešení rovnice (19) (2) y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + cos x jeho derivcí (21) y = 3c 1 sin 3x + 3c 2 cos 3x sin x. Doszením počátečních podmínek z (19) do (2) (21) dostneme = c , 3 2 = 3c Odtud c 1 = 1 2, c 2 =. Doszením do (2) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (19) ϕ(x) = 1 cos 3x + cos x. 2 Příkld 1.1. Njděme řešení počáteční úlohy (22) y + 2y 3y = 16x e x, y() = 1, y () =.

9 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 9 Opět nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (22). Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ 3 = dostneme λ 1 = 1, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 3x. Rovnice (22) má speciální prvou strnu neboť 16x e x = e 1x (16x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 je jednonásobným kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x 1 ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = e x (Ax 2 + Bx). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (22) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů polynomů n levé prvé strně rovnosti A = 2, B =. Je tedy ϕ p (x) = e x (2x 2 x). Odtud dostneme obecné řešení rovnice (22) (23) y = c 1 e x +c 2 e 3x + e x (2x 2 x) jeho derivcí (24) y = c 1 e x 3c 2 e 3x + e x (2x 2 x) + e x (4x 1). Doszením počátečních podmínek z (22) do (23) (24) dostneme c 1 + c 2 = 1, c 1 3c 2 = 1. Odtud c 1 = 1, c 2 =. Doszením do (23) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (22) ϕ(x) = e x (2x 2 x + 1).

10 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení okrjové úlohy. 2. Okrjové úlohy Příkld 2.1. Njděme řešení okrjové úlohy (25) u + 4u = 3 cos x + 6 sin x, u() =, u(π/4) = 2 2. Stejným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (25). Postupně dostneme dále u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x u p = cos x + 2 sin x. Obecné řešení rovnice (25) má tedy tvr (26) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (25) do (26) dostneme = c 1 + 1, 2 = c Odtud c 1 =, c 2 = 2. Doszením do (26) dostáváme právě jedno hledné řešení okrjové úlohy (25) u = cos 2x 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Příkld 2.2. Njděme řešení okrjové úlohy (27) u + 4u = 3 sin x, u() =, u(π) =. Opět nejdříve njdeme obecné řešení rovnice (27). Postupně dostneme u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x dále u p = sin x. Obecné řešení rovnice (27) má tedy tvr (28) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (27) do (28) dostneme = c 1, = c 2.

11 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 11 Druhá z rovnic je splněn pro libovolné c 2. Položme c 2 = c, kde c R. Potom okrjová úloh (27) má nekonečně mnoho řešení u = c sin 2x + sin x, c R. Příkld 2.3. Njděme řešení okrjové úlohy (29) u + u = 4 sin x, u() =, u(π) =. Podobným postupem jko v příkldě 1.8 njdeme obecné řešení rovnice (29) (3) u = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. Postupným doszením okrjových podmínek z (29) do (3) dostneme = c 1, = 2π. Druhá rovnost všk není nikdy splněn, tj. úloh (29) nemá řešení. Příkld 2.4. Njděme řešení okrjové úlohy (31) v závislosti n prmetru R. u + 4u = 1 sin 3x, u() = 1, u(π/2) = Podobným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (31) (32) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x. Doszením okrjových podmínek z (31) do (32) dostneme 1 = c 1, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 1. Pk bude mít úloh (31) nekonečně mnoho řešení (33) u = cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x, c 2 R. Pokud bude 1 úloh (31) nebude mít řešení. Příkld 2.5. Njděme řešení okrjové úlohy (34) u + π 2 u = 3π 2 cos 2πx, u () = 2π, u(1/2) = v závislosti n prmetru R.

12 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 12 Podobně jko v předchozím příkldě njdeme obecné řešení rovnice (34) (35) u = c 1 cos πx + c 2 sin πx cos 2πx. Před doszením okrjových podmínek nejříve njdeme u (36) u = πc 1 sin πx + πc 2 cos πx + 2π sin 2πx. Doszením okrjových podmínek z (34) do (36) (35) dostneme 2 = c 2, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 3. Pk bude mít úloh (34) nekonečně mnoho řešení (37) u = c 1 cos πx + 2 sin πx cos 2πx, c 1 R. Pokud bude 3 úloh (34) nebude mít řešení Vlstní čísl. Příkld 2.6. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (38) u + λu =, u() =, u(l) =. Hledáme tkové λ R, λ >, pro které má úloh (38) netriviální řešení. (Pro λ má úloh pouze triviální řešení.) Obecné řešení rovnice (38) má tvr (39) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. Doszením okrjových podmínek (38) do (39) dostneme = c 1, = c 2 sin λ l. Protože hledáme netriviální řešení, musí být c 2. Druhá rovnost tk bude splněn pouze v přípdě, že Čísl sin λ l = = λ l = kπ = λ = k2 π 2 l 2. (4) λ k = k2 π 2, k N l 2 jsou hledná vlstní čísl okrjové úlohy (38). Pro kždé λ k má úloh (38) nekonečně mnoho řešení (41) u k = c sin kπ l x, c R.

13 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 13 Pro kždé k N je funkce ( kždý její násobek) (42) u k = sin kπ l x. hlednou vlstní funkcí příslušnou k vlstnímu číslu (4). Příkld 2.7. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (43) u + λu =, u () =, u(l) =. Budeme postupovt stejně jko v příkldu 2.6. Njdeme obecné řešení rovnice (43) (44) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. jeho derivci (45) u = c 1 λ sin λ x + c2 λ cos λ x. Doszením druhé okrjové podmínky do (44) první okrjové podmínky do (45) dostneme = c 2, = c 1 cos λ l. Netriviální řešení úlohy (43) pk dostneme pouze z podmínky cos λ l = = λ l = (2k 1) π 2 = λ = (2k 1)2 π 2 4l 2. Vlstní čísl příslušné vlstní funkce ( kždý jejich násobek) úlohy (43) jsou (46) λ k = (2k 1)2 π 2 4l 2, u k = cos (2k 1)π 2l x, k N. Příkld 2.8. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (47) u + λu =, u() =, u(π) =. K nlezení vlstních čísel vlstních funkcí úlohy (47) využijeme výsledku úlohy (38). Doszením z l = π do (4) (42) dostneme (48) λ k = k2 π 2 π 2 = k 2, u k = sin kx k N.

14 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešitelnost okrjové úlohy. Příkld 2.9. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (49) (5) Připomeňme, že okrjová úloh u + u = x + sin x, u() =, u(π/2) =. u + λu = f(x), u() =, u(l) =. je jednoznčně řešitelná právě tehdy, když λ není vlstní číslo příslušného homogenního problému. V přípdě, že λ je vlstní číslo příslušného homogenního problému, budeme mít úloh řešení pouze tehdy, když pro sklární součin vlstní funkce u příslušné vlstnímu číslu λ funkce f (prvou strnu rovnice (5)) pltí (51) (u, f) =, tj. l u(x)f(x)dx =. V tomto přípdě má úloh (5)) nekonečně mnoho řešení. V přípdě, že (u, f), nemá úloh (5)) řešení. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (5)) jsou (příkld 2.6) (52) λ k = k2 π 2 (π/2) 2 = 4k2, k N. Číslo λ = 1 tedy není vlstní číslo příslušného homogenního problému úloh (49) má právě jedno řešení. Příkld 2.1. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (53) u + 4u = cos 2x, u() =, u(π) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (53) jsou (viz. příkld 2.6) (54) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 Číslo λ = 4 je v tomto přípdě vlstní číslo to pro k = 2. Úloh tedy bude řešitelná pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 2 (x) = sin 2x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 4) funkce f(x) = cos 2x (prvá strn rovnice (53) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je π [ sin 2 ] π 2x (u 2, f) = sin 2x cos 2xdx = =. 4

15 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 15 Protože je (u 2, f) =, má úloh (53) nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (55) u + 16u = cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (55) jsou (viz. příkld 2.6) (56) λ k = k2 π 2 (π/4) 2 = 16k2, k N. Číslo λ = 16 je vlstní číslo to pro k = 1. Úloh (55) tedy bude mít řešení pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 1 (x) = sin 4x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 1 = 16) funkce f(x) = cos 8x (prvá strn rovnice (55)) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je (u 1, f) = π/4 sin 4x cos 8xdx = 1 4 π sin t(2 cos2 t 1)dt = 1 4 = 1 4 π Protože je (u 1, f), úloh (55) nemá řešení. sin t cos 2tdt = [ 2 cos 3 t 3 cos t ] π = 1 6. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (57) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 3x, u() =, u(π) = Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (57) jsou (příkld 2.6) (58) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 1. Jestliže λ nebude vlstní číslo, tj. λ k 2, k N, potom úloh (57) bude jednoznčně řešitelná. 2. Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N pk úloh bude mít nekonečně mnoho řešení nebo řešení mít nebude. K vlstnímu číslu λ k = k 2 existuje vlstní funkce u k = sin kx f(x) = sin 3x je prvá strn rovnice (57), přičemž pltí f = u 3, tedy funkce f je součsně vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (57)) pro λ 3 = 9. Úloh (57) bude tedy v tomto přípdě řešitelná, když: (u k, f) = (u k, u 3 ) =.

16 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 16 Tto podmínk bude splněn vždy, když k 3. Vlstní funkce totiž tvoří ortogonální systém pltí (59) (u k, u l ) = pro k l, resp. (u k, u l ) pro k = l, k, l N. Odtud pk: ) Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N, k 3 má úloh (57) nekonečně mnoho řešení. b) Jestliže λ = 9 (tj. k = 3), nemá úloh (57) řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (6) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 4x + 2 sin 8x, u() =, u(π/2) = Budeme postupovt stejně jko v příkldu Nejdříve njdeme vlstní čísl vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (6). (61) λ k = 4k 2, u k = sin 2kx. Dále je f(x) = sin 4x + 2 sin 8x, tj. f = u 2 + 2u 4. Potom: 1) Jestliže λ λ k, kde λ k = 4k 2, k N, má úloh (6) právě jedno řešení. 2) Jestliže λ = λ k, kde λ k = 4k 2, k N, potom (u k, f) = (u k, u 2 + 2u 4 ) = (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ). Podle (59) ) Pro k 2 k 4 je (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ) = úloh (6) má nekonečně mnoho řešení. b) Pro k = 2 je (u 2, u 2 ) + 2(u 2, u 4 ) = (u 2, u 2 ) úloh (6) nemá řešení. c) Pro k = 4 je (u 4, u 2 ) + 2(u 4, u 4 ) = 2(u 4, u 4 ) úloh (6) nemá řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (62) u + 64u = 2 sin 12x + cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π 2 (π 2 /16) = 16k2. Je zřejmé, že pro k = 2 je λ 2 = 16 4 = 64 u funkce u v úloze (62) stojí druhé vlstní číslo. To le znmená, že úloh (62) nemá jednoznčné řešení.

17 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 17 O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení, rozhodne sklární součin (u 2, f), kde u 2 = sin 8x je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 64 f(x) = 2 sin 12x + cos 8x je prvá strn rovnice (62). Předně pro k = 3 je λ 3 = 16 9 = 144 třetí vlstní číslo u 3 = sin 12x je třetí vlstní funkce. Oznčíme-li g(x) = cos 8x, je pk f = 2u 3 + g. Potom ( využitím toho, že (u 2, u 3 ) = ) (u 2, f) = (u 2, 2u 3 + g) = 2(u 2, u 3 ) + (u 2, g) = = π/2 sin 8x cos 8x dx = to znmená, že úloh (62) má nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (63) u + 9π 2 u = 3 sin 4πx + x + 1, u() =, u(1) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π = k 2 π 2. Je zřejmé, že pro k = 3 je λ 3 = 9π 2 u funkce u v úloze (63) stojí třetí vlstní číslo. Opět úloh (63) nemá jednoznčné řešení. O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení bude zse rozhodovt sklární součin (u 3, f), kde u 3 = sin 3πx je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 3 = 9π 2 f(x) = 3 sin 4πx + x + 1 je prvá strn rovnice (63). Pro k = 4 je λ 4 = 16π 2 čtvrté vlstní číslo u 4 = sin 4πx je čtvrtou vlstní funkcí. Oznčíme-li g(x) = x + 1, je pk f = 3u 4 + g. Potom ( využitím toho, že (u 3, u 4 ) = ) (u 3, f) = (u 3, 3u 4 + g) = 3(u 3, u 4 ) + (u 3, g) = = to znmená, že úloh (63) nemá řešení. (x + 1) sin 3πx dx = 1 π 2.4. Okrjové úlohy v operátorovém tvru. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (64) u + (1 + x)u = x, u() =, u(1) = je pozitivní.

18 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 18 Operátor A je definován předpisem (65) Au = u + (1 + x)u s definičním oborem (66) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. Chceme-li dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (67) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (1 + x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme u v dx = [ u v] 1 ( u )v dx = = ( u (1)v(1) + u ()v()) + u v dx = (1 + x)uv dx. u v dx, kde ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. (Protože v D A, je v() =, v(1) = ( u (1)v(1) + u ()v()) =.) Je tedy (68) (Au, v) = u v dx + (1 + x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (67). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + (1 + x)v) dx = v u dx + Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 1 ( v )u dx = = ( v (1)u(1) + v ()u()) + v u dx = (1 + x)vu dx. u v dx, kde ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. (Protože u D A, je u() =, u(1) = ( v (1)u(1) + v ()u()) =.) Je tedy (69) (u, Av) = u v dx + (1 + x)uv dx.

19 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 19 Z (68) (69) vidíme, že pltí (67), tj. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Ukžme nyní, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (7) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 1. Zvolme u D A. Potom podle (68) je (Au, u) = u u dx+ (1+x)uu dx = (u ) 2 dx+ (1+x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 1. Podmínk (7) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (71) je pozitivní. u + (x 2 + 1)u = cos x, u() =, u (2) = Operátor A je definován předpisem (72) Au = u + (x 2 + 1)u s definičním oborem (73) D A = { u C 2 (, 2 ) : u() =, u (2) = }. Budeme postupovt podobně jko v příkldu Ukážeme nejdříve, že operátor A je symetrický, tj. pltí (74) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (x 2 + 1)u ) v dx = u v dx+ Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] 2 ( u )v dx = = ( u (2)v(2) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = (x 2 +1)uv dx. u v dx,

20 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 (u, v D A, v() =, u (2) = ( u (2)v(2) + u ()v()) =.) Je tedy (75) (Au, v) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx. A podobně uprvíme prvou strnu rovnosti (74) Zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = ( u( v + (x 2 + 1)v ) dx = v u dx+ (x 2 +1)vu dx. A opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 2 ( v )u dx = = ( v (2)u(2) + v ()u()) + v u dx = u v dx. (u, v D A, u() =, v (2) = ( v (2)u(2) + v ()u()) =.) Je tedy (76) (u, Av) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx operátor A je symetrický. A nyní zse podobným postupem jko v příkldu 2.16 ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (77) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 2. Zvolme u D A. Potom podle (75) je (Au, u) = u u dx+ (x 2 +1)uu dx = (u ) 2 dx+ (x 2 +1)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 2. Podmínk (77) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (78) u + g(x)u = f(x), u() =, u(b) =, kde funkce f g jsou funkce spojité n intervlu, b g(x), x, b, je pozitivní.

21 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 21 Při řešení této obecné úlohy budeme postupovt nlogicky jko v příkldu Operátor A je definován předpisem (79) Au = u + g(x)u s definičním oborem (8) D A = { u C 2, b : u() =, u(b) = }. Budeme-li chtít dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme opět nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (81) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + g(x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] b ( u )v dx = = ( u (b)v(b) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = g(x)uv dx. u v dx, (Protože v D A, je v() =, v(b) = ( u (b)v(b) + u ()v()) =.) Je tedy (82) (Au, v) = u v dx + g(x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (81). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + g(x)v) dx = v u dx + g(x)vu dx. Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde v u dx = [ v u] b ( v )u dx = = ( v (b)u(b) + v ()u()) + ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. v u dx = u v dx,

22 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 22 (Protože u D A, je u() =, u(b) = ( v (b)u(b) + v ()u()) =.) Je tedy (83) (u, Av) = u v dx + Z (82) (83) vidíme, že pltí (81), tj. g(x)uv dx. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Nyní ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (84) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, b. Zvolme u D A. Potom podle (82) je (Au, u) = u u dx + g(x)uu dx = (u ) 2 dx + g(x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, b. Podmínk (84) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Njděme hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (85) u + x 2 u = x, u() =, u(1) = s operátorem A pro funkci u 1 (x) = x(1 x). Podle příkldu 2.18 víme, že operátor (86) Au = u + x 2 u s definičním oborem (87) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. je pozitivní. Funkcionál energie pro okrjovou úlohu Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A, má tvr (88) F u = (Au, u) 2(f, u). Protože u 1 D A, dostneme doszením u 1 (x) = x(1 x) (u 1(x) = 2) do (86) Au 1 = 2 + x 2 x(1 x) = 2 + x 3 (1 x) dále do (88) F u 1 = (Au 1, u 1 ) 2(f, u 1 ) = 2 (2 + x 3 (1 x)) x(1 x)dx x x(1 x)dx = =

23 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 23 Příkld 2.2. Njděme minimální hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (89) u + 9u = 9x 2 9x 2, u() =, u(1) =. Podle věty o minimu kvdrtického funkcionálu víme, že pokud je funkce u řešením okrjové úlohy Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A (podle příkldu 2.18 je operátor A příslušný úloze (89) pozitivní), pk tto funkce minimlizuje funkcionál energie příslušný této úloze nopk, pokud u minimlizuje funkcionál energie dné okrjové úlohy, pk tto funkce je řešením této úlohy. Tto vět umožňuje hledt řešení okrjové úlohy tk, že njdeme funkci u D A, která minimlizuje funkcionál energie příslušný dné úloze. (Toto je princip řešení okrjových úloh tzv. vričními metodmi). Nopk, známe-li řešení okrjové úlohy u D A, pk tto funkce minimlizuje příslušný funkcionál energie. A to je právě náš přípd. Podobně jko v příkldech 1.1 ž 2.3 njdeme řešení úlohy (89). (Diferenciální rovnice 2.řádu s konsttními koeficienty se speciální prvou strnou.) Nejdříve njdeme řešení rovnice bez prvé strny. Chrkteristická rovnice λ 2 + 9λ = má dv různé reálné kořeny λ 1 = 3 λ 2 = 3. Odtud u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x je řešením rovnice bez prvé strny. Dná rovnice má speciální prvou strnu tedy prtikulární řešení rovnice (89) budeme hledt ve tvru u p = Ax 2 + Bx + C. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (89) porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =, C =. Obecné řešení rovnice (89) má tedy tvr u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x +x 2 x. Doszením okrjových podmínek do obecného řešení njdeme hledné řešení. Řešením úlohy (89) je funkce u D A (9) u (x) = x 2 x, x, 1. Je tedy (viz příkld 2.19) F u = (Au, u ) 2(f, u ) = ( (x 2 x))dx 2 (9x 2 9x 2) (x 2 x)dx = 19 3 hledná minimální hodnot funkcionálu energie.

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí funkcí funkce Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 funkce funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 T 0 (x) = 24 funkce funkcí Polynom

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli 1. Zdeněk Berntík, nr. 14.5.1954 Jrmil Berntíková, nr. 30.12.1956 ob bytem Stroveská 270/87, Ostrv-Proskovice ob jko Smluvní strn 1 2. Tělovýchovná jednot Petřvld

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM Ing. Michl Sedláček, Ph.D. ko-k s.r.o., Thákurov 7, Prh 6 Sptil erth pressure on circulr shft The pper present method for estimtion sptil erth pressure

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Metody řešení diofantických rovnic STUDIJNÍ TEXT Vypracoval: Jan Steinsdörfer Ústí nad Labem 2015 Obsah Úvod 2 1 Vznik diofantických

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více