3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90"

Transkript

1 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy k smosttnému řešení 0 Výsledky úloh k smosttnému řešení 07 Shrnutí lekce 09 Kontrolní test 09 Výsledky testu 0 Klíč k řešení úloh 0-8 -

2 ROVNICE A NEROVNICE Průvodce studiem V kpitolách -7 se nučíte poznávt jednotlivé typy rovnic n řešených příkldech se seznámíte s výpočtem jejich kořenů Získné vědomosti pk použijete při řešení nerovnic v kpitole 8 která se zcel opírá o získné znlosti z předchozích kpitol N závěr jsou zřzeny úlohy k procvičení k upevnění získných vědomostí které si ověříte n kontrolním testu Cíle Po prostudování této kpitoly budete schopni řešit lineární kvdrtické rovnice rovnice s bsolutní hodnotou ircionální eponenciální logritmické goniometrické rovnice n závěr se seznámíte s řešením nerovnic Úlohy budete řešit v oboru přirozených celých rcionálních reálných čísel Předpokládné znlosti Předpokldem pro studium této kpitoly je lespoň zvládnutí počítání se zlomky úprv lgebrických výrzů Lineární rovnice Výkld Lineární rovnice jsou rovnice jež je možné uprvit n tvr + b 0 kde b R 0 Jejich řešením je jediné číslo b Tvr + b 0 stejně jko řešení úprvmi o nichž víme že nezmění řešení rovnice Ptří k nim: b získáváme ze složitějšího zdání ekvivlentními přičítání (odčítání) téhož výrzu k oběm strnám rovnice násobení (dělení) obou strn rovnice týmž výrzem ( 0) - 8 -

3 Řešená úloh Příkld Řešte rovnici Řešení: Obě strny vynásobíme společným jmenovtelem ( 0 ) dostneme: Zkoušk: / k oběm strnám přičteme ( ) 7 / vydělíme L P Číslo je řešením rovnice Kvdrtické rovnice Výkld Kvdrtická rovnice je rovnice kterou je možno uprvit n tvr + b + c 0 kde b c R 0 Jejím řešením je dvojice čísel kterou můžeme získt npř ze vzorce: b ± b c Výrz D b c nzýváme diskriminntem kvdrtické rovnice Je-li D > 0 pk má rovnice dv různé reálné kořeny je-li D 0 pk má jeden dvojnásobný reálný kořen je-li D < 0 pk rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel le má dv kompleně sdružené kořeny Je-li b 0 nebo c 0 jedná se o neúplnou kvdrtickou rovnici kterou řešíme následovně: ) + c 0 b) + b 0 c ± ( + b) 0 0 b - 8 -

4 Je-li kořen kvdrtické rovnice pk výrz ( ) se nzývá kořenový činitel ( )( ) + b + c je rozkld kvdrtického trojčlenu n součin kořenových činitelů Řešené úlohy Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice: ) + 0 d) 9 0 b) + 0 e) + 0 c) + 0 ( ) ± ± ± Řešení: ) kořeny reálné různé b) ( ) 0 rovnice má jeden dvojnásobný kořen c) ± ± ± i + i kořeny komplení i d) 9 ± 9 9 e) ( + ) 0 0 Výkld Jsou-li kořeny kvdrtické rovnice 0 + b + c resp + p + q 0 (rovnice v normovném tvru) pk pro kořeny pltí Viètovy vzorce: Řešené úlohy resp c + b q + p Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice + 0 pomocí výše uvedených vzthů Řešení: ( ) ( ) ( )9 ( 9)

5 zvolené dvojice dosdíme do rovnice: - + nevyhovují proto vyhovuje dvojice 9 Příkld Pomocí vzthů mezi kořeny koeficienty sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou: ) b) Řešení: ) 8 q + + p Hledná rovnice má tvr b) q + + p 7 Hledná rovnice má tvr + 0 nebo Rovnice s bsolutní hodnotou Výkld Rovnice s bsolutní hodnotou jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou v bsolutní hodnotě Řešit je znmená uprvit je n rovnice v nichž bsolutní hodnot není pro pro 0 < 0 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici

6 Řešení: + + pro + 0 tj pro < ) pro + < 0 tj pro ( ) pro 0 tj pro < ) + pro < 0 tj pro ( ) ( ) < ) < ) prvdivý výrok vyhovují všechn čísl intervlu ( ) ( ) Řešením rovnice jsou všechn ( > ( + ) + + vyhovuje ptří do intervlu < - ) ( ) neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Příkld Řešte rovnici y + y y Řešení: y + y + pro y + 0 tj pro y < ) - y - pro y + < 0 tj pro y ( ) y - y pro y 0 tj pro y ( - + y pro y < 0 tj pro y ( ) ( ) < ) < ) y + y y + y + y y y + y

7 ( y) y y y + y y y y ptří do ( ) y ( y) y y + y + + y y y y ptří do < ) y ( + y) y y + y + + y y 0 neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Řešením rovnice jsou čísl y y Ircionální rovnice Výkld Ircionální rovnice jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou pod odmocninou Řešit ircionální rovnici znmená uprvit ji n rovnici v níž odmocniny nejsou Toho dosáhneme umocňováním Protože umocňování není ekvivlentní úprv můžeme zjistit pltnost kořenů dvojím způsobem: ) řešíme rovnici pltnost kořenů ověříme zkouškou b) při kždém umocňování stnovíme podmínky pro to by rovnice dná umocněná byly ekvivlentní Tento způsob užíváme jen u jednoduchých ircionálních rovnic Poznámk Rychlejší je způsob řešení ) Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici + oběm způsoby Řešení: způsob: + osmosttníme odmocninu

8 umocníme ± ± Zkoušk: L ( ) + P ( ) L ( ) P() - kořen vyhovuje L ( ) + P ( ) L( ) P() - kořen nevyhovuje způsob: + podmínk: rovnici dále řešíme pro Závěr: Řešením zdné rovnice je vyhovuje podmínce nevyhovuje podmínce Výkld Je-li v rovnici více odmocnin opět jednu osmosttníme osttní členy rovnice převedeme (před umocňováním) n druhou strnu Je zřejmé že bude třeb postup umocňování opkovt Příkld Řešte rovnici Řešení: + 7 / / : / 9 Zkoušk: L ( ) P Závěr: Řešením dné rovnice je - 9 -

9 Eponenciální rovnice Výkld Eponenciální rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v eponentu mocniny Jejich řešení probíhá ve dvou krocích: ) rovnici převedeme n zákldní tvr b kde > 0 ) zákldní tvr řešíme V převodu n zákldní tvr užíváme především znlostí o počítání s mocninmi ojediněle pk substituce y Při řešení zákldního tvru b > 0 pltí: pro b < 0 nemá rovnice řešení b > 0 řešení má rozlišujeme dvě možnosti: b z rovnice b lze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme vlstnost f ( ) g( ) f ( ) g( ) b nelze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme definice logritmu nebo obě strny rovnice zlogritmujeme Poznámk Obecně lze eponenciální rovnice řešit grficky nebo přibližnými numerickými metodmi Řešené úlohy + + Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr (užijeme znlostí o počítání s mocninmi): + 0 [ + 0] / :

10 b) řešení zákldního tvru protože pltí: f ( ) g ( ) ( ) g( ) f Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr substitucí ( ) + ( ) ± 9 + ± < je vhodná substituce b) řešení zákldního tvru: po doszení do substituční rovnice dostneme 0 0 je řešením dné rovnice Rovnice nemá řešení neboť vždy pltí > Příkld Řešte rovnici + Řešení: ) převod n zákldní tvr: ( 7 + 9) ( ) 7 7 b) zákldní tvr řešíme zlogritmováním obou strn rovnice: log 7 log 7 log 7 log log 9 log - 9 -

11 Logritmické rovnice Výkld Logritmické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu logritmu Při řešení logritmických rovnic používáme nejčstěji: ) definici logritmu: y log y b) vlstnosti logritmů: log ( y) log + log y log y log log y log k k log log log 0 Při řešení logritmických rovnic se čsto setkáme s těmito typickými situcemi: ) obdržíme logritmickou rovnici v zákldním tvru log b ( > 0 ) pro b libovolné b má tto rovnice jediné řešení (příkld ) b) zdání je složitější pomocí vlstností logritmů převedeme n: zákldní tvr log b (příkld ) log což pltí tehdy jen tehdy když f g zákldní tvr f ( ) log g( ) (příkld ) ( ) ( ) c) zdání nznčuje že by zjednodušení pomocí substituce log y nebo převedlo rovnici logritmickou n rovnici lgebrickou jež by byl snáze řešitelná (příkld ) log y Poznámk Obecně se logritmické rovnice řeší grficky nebo přibližnými numerickými metodmi - 9 -

12 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 Pk podle definice logritmu pltí: což vyhovuje podmínce Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log + log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 log + log + log ( + + ) log log Příkld Řešte logritmickou rovnici log( + ) log ( + ) Řešení: Podmínk: ( + ) > 0 ( + ) což vyhovuje podmínce [ ] 0 > Levou strnu rovnice uprvíme pomocí vlstností logritmů prvou strnu vyjádříme jko logritmus: Závěr: i ( + ) ( + ) log ± ( + ) ( + ) log ( + ) ± ± 8 vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice - 9 -

13 Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log 0 Řešení: Zvolíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici Poznámk y + y 0 ( y + )( y ) 0 y y Dosdíme zpět do substituční rovnice: log 8 log Závěr: vyhovují podmínce > 0 jsou řešením dné rovnice 8 Pozor n psní mocniny: log log Příkld Určete všechn přirozená čísl splňující rovnici log log log log Řešení: Nejprve si převedeme zápis ( ) ( ) pomocí log log substituce log y dnou rovnici převedeme n rovnici kvdrtickou y 7y 8 0 ( y+ )( y 8) 0 y y 8 Vrátíme se k substituci dosdíme z y jen hodnotu 8 protože - nevyhovuje podmínce > 0 tkže log 8 log 0 Příkld Řešte rovnici: log log log + log + Řešení: Nejprve uprvíme rovnici tk bychom měli n levé strně rovnice mocniny o zákldu n prvé strně mocniny o zákldu zároveň využijeme znlostí o log log log počítání s mocninmi log log log vytkneme mocninu ( ) ( ) 9 Uprvíme n tvr log log 9 log Získli jsme eponenciální rovnici o stejném zákldu tkže pltí log

14 Příkld 7 Řešte logritmickou rovnici log( + ) log + + log + Řešení: Podmínk: + > 0 > Pomocí vlstností logritmů uprvíme rovnici n tvr: log( + ) log( + ) + log log( + ) log 0 [ log( + ) ] + log( + ) 0 log ( +) y (substituce) y + y 0 y ± + Vrátíme se k substituční rovnici: log ± ( + ) log ( + ) zákldní tvr logritmické rovnice je pk log( + ) log0 log( + ) log Závěr: vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice log( + 9) Příkld 8 Vyřešte rovnici log + stnovte podmínky řešitelnosti Řešení: Protože eistují jen logritmy kldných čísel musí být + > 0 > dále musí pltit: log tkže rovnice je řešitelná pro ( ; ) ( ; ) Po vynásobení jmenovtelem máme log( + 9) log + převedeme úprvou n zákldní tvr log( + 9) log( + ) odtud po odlogritmování dostneme Závěr: 0 vyhovuje podmínce je řešením dné rovnice

15 7 Goniometrické rovnice Výkld Goniometrické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu goniometrické funkce Zákldní typy goniometrických rovnic jejich řešení ) Typ sin cos kde < > tg b cotg b Tyto rovnice mjí nekonečně mnoho řešení proto určíme nejdříve kořeny ležící v zákldním intervlu Ten je u sinu kosinu 0 pk všechn řešení zpíšeme přidáním celého násobku periody T u tngens kotngens určíme kořeny ležící v zákldním intervlu ( ) nebo ( 0 ) opět všechn řešení zpíšeme přičtením celého násobku periody T (viz řešené příkldy 7) b) Typ sin A ( ) cos A ( ) < > tg A ( ) b cotg A ( ) b kde A() je lgebrický výrz v proměnné řešíme substitucí A () α (příkld 7) c) Typ obshující různé mocniny goniometrické funkce stejného rgumentu převedeme n lgebrickou rovnici(příkld 7) d) Typ obshující více goniometrických funkcí stejného rgumentu řešíme převedením všech funkcí n jedinou funkci téhož rgumentu (příkld 7) e) Typ rovnice nulovné jejíž levou strnu lze rozložit n součin řešíme tk že jednotlivé činitele položíme rovny nule řešíme(příkld 7)

16 Řešené úlohy Příkld 7 Řešte rovnice: ) sin 0 b) tg Řešení: ) sin 0 Kldných hodnot v zákldním intervlu nbývá sinus v I II kvdrntu Proto: je řešení v I kvdrntu je řešení v II kvdrntu Všechn řešení dné rovnice jsou: + k + k kde k Z tg kořen b) tg pro záporných hodnot nbývá funkce tngens ve II kvdrntu tedy Všechn řešení dné rovnice jsou + k kde k je celé číslo Příkld 7 Řešte rovnici cos( + ) Řešení: Zvolíme substituci + α pk rovnice bude ve tvru cosα α je pk řešení v zákldním intervlu < 0 > + + k + k + k k Z jsou všechn řešení

17 Příkld 7 Řešte goniometrickou rovnici sin sin 0 Řešení: Substitucí sin y se změní dná rovnice n y y 0 Pro pro sin je řešení v zákldním intervlu y ± + 8 sin je řešení ve III IV kvdrntu Opět je vhodné vyjít z řešení rovnice sin v intervlu (0 7 ) pk pro IIIkvdrnt je + pro IVkvdrnt dostneme Závěr: všechn řešení dné rovnice jsou 7 + k + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici tg cotg Řešení: Protože cotg rovnici npíšeme ve tvru tg tg tg podmínky řešitelnosti: k + k tg tg tg ± pro tg je + k pro tg je + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici cos + cos + 0 Řešení: Pomocí vzthu cos cos sin odstrníme v rovnici různé rgumenty cos sin + cos + 0 dosdíme z sin cos

18 Pro cos + cos + cos + 0 cos + cos 0 vytkneme cos 0 je cos + 0 pro ( ) je + k ( cos + ) 0 cos cos (II IIIkvdrnt) Nejprve si opět uvědomíme řešení rovnice pro II kvdrnt dostneme řešení pro III kvdrnt máme řešení cos + pk cos Všechn řešení dné rovnice jsou + k + k + k kde k Z 8 Nerovnice Výkld Jsou-li f() g() funkce definovné v R s oborem hodnot v R nzýváme nerovnicí vzth f ( ) > g( ) [ resp f ( ) g( ) ] f ( ) < g( ) [ resp f ( ) g( )] Úloh nlézt všechn která vyhovují dné nerovnici se opírá o znlosti dovednosti získné v kpitolách o řešení rovnic I zde užíváme ekvivlentních úprv jk byly zvedeny u lineárních rovnic s tím že při násobení nebo dělení záporným číslem se mění znménko nerovnice Řešené úlohy Příkld 8 Řešte nerovnici ( + ) 0 < ( ) Řešení: Zjednodušíme vynásobením + 0 < členy s neznámou budou n jedné strně < 8 vydělíme koeficientem u > řešením nerovnice jsou všechn ( ) ( + ) ( ) : - 0 -

19 7 Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Nerovnice má smysl pro nelze ji vynásobit výrzem (-) protože nevíme je-li výrz kldný nebo záporný Podíl porovnáváme vždy s nulou proto volíme následující postup: Nulové body v nichž se mění znménko čittele jmenovtele jsou 8 Rozdělí nám číselnou osu n tři disjunktní intervly Do zlomku dosdíme libovolné číslo npř - které se nchází v levém intervlu zjistíme že zlomek je kldné hodnoty V dlších intervlech zlomek střídá své znménkové hodnoty to vyznčíme pod číselnou osou jko + + Nulový bod jmenovtele nesmíme do intervlu zřdit Řešením nerovnice jsou < ; ) Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Kvdrtické nerovnice řešíme opět pomocí nulových bodů tkže je nejprve nulujeme pk vždy rozložíme levou strnu n součin kořenových činitelů (vizkp) Dnou nerovnici vynásobíme ( ) tím se změní znk nerovnice levou strnu pk uprvíme n součin tkže nulové body: N číselné ose rozdělené nulovými body n disjunktní intervly vyznčíme kldnost nebo zápornost kvdrtického trojčlenu v jednotlivých intervlech Nulové body do intervlu ptří + + Řešením nerovnice jsou ( > < ) - 0 -

20 Příkld 8 Řešte nerovnici y + y < y Řešení: Při řešení nerovnic s bsolutními hodnotmi postupujeme podobně jko při řešení rovnic s bsolutními hodnotmi (viz kp) Zde všk zjišťujeme průnik řešení s jednotlivými intervly Řešení nerovnice se opět opírá o metodu nulových bodů které rozdělí číselnou osu n intervly v nšem příkldě n tři intervly V dné nerovnici jsou nulové body V následující tbulce je nejprve uvedeno jký je dvojčlen v bsolutní hodnotě v jednotlivých intervlech zd je hodnoty kldné či záporné pk následuje řešení nerovnice y + y ( ) < ) < ) y y + y + y y + y ( ) y ( ) y řešení nerovnice y ( y) < y y + y < y + + y < y < y < y + + y < y y > y < < 0 průnik s předpokldem ( y ) y < ) prázdná množin Řešením nerovnice jsou y ( ) Příkld 8 Řešte nerovnici sin( ) Řešení: sin pro nebo v zákldním intervlu sin / pro < + k + k > y sin

21 Úlohy k smosttnému řešení Řešte lineární rovnice: [ ] ( ) ( ) 0 ) b) [ ( )] c) + + d) 7v v + v e) v ( ) + 7 Rozložte n součin kořenových činitelů ) + b) + c) + + d) + e) + Řešte kvdrtické rovnice: ) b) 0 c) 08 8 ; d) + 0 e) Normovný kvdrtický trojčlen rozložte n součin kořenových činitelů: ) + b) c) d) 0 Sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou : ) b) - Řešte rovnice ( pomocí Viètových vzorců q + p ) ) b) + 0 c)

22 7 Řešte rovnice: ) 7 + b) c) + + d) + e) f) Řešte rovnice: ) + 7 b) + c) d) e) ( + )( ) + g) f) Řešte eponenciální rovnice v zákldním tvru: ) 0 00 b) c) d) 0 e) 00 f) 8 0 Řešte v oboru reálných čísel rovnice: ) b) c) d) + log log e) f) g) + 0 Užijte definice logritmu k řešení jednoduchých rovnic: ) log b) d) log e) log 0 log c) log f) log 00 g) log h) log i) log 8-0 -

23 Určete všechn řešení dných rovnic v oboru reálných čísel: ( ) ( ) ) log + log log b) log log + log c) log log ( ) log log d) 0 ( ) ( ) 0 e) log log f) log log ( ) ( ) log Řešte goniometrické rovnice: ) sin 0 b) c) cotg cos d) sin cos cos e) sin sin f) sin + sin g) cos sin h) sin sin cos 0 i) tg cotg j) sin + cos Řešte v oboru reálných čísel nerovnice: ) < + b) + c) ( ) + ( ) > ( ) d) < 0 e) 7 f) + + g) 9 + < 0 h) + 0 < Řešte nerovnice s bsolutní hodnotou: ) + > b) c) 7 > + d) > - 0 -

24 Řešte goniometrické nerovnice: ) sin < 0 ; b) cotg < c) tg Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 0 b) c) rovnice nemá řešení d) rovnice má nekonečně mnoho řešení e) v ) + ( + ) b) + ( )( + ) c) + + ( + + ) ( + ) d) + ( )( + ) + e) + ( + ) ( )( ) ) b) + c) ; d) e) rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( )( ) ( 7 )( + ) ) b) c) d) ( )( 9) ( 0 )( + ) ( )( ) ) b) ( + ) ( ) ) b) 7 ) c) 0 c) b) 0 d) nemá řešení e) f)

25 8 ) 8 b) nemá řešení c) d) e) 9 f) nemá řešení g) 9 ) b) c) d) e) log 00 nebo f) log log8-08 log 0 ) 9 b) log log c) -70; log log d) e) f) 0 g) log nebo log -0 log ) 9 b) c) ) d) e) 0 f) 0 g) h) 9 b) 8 i) c) 9 9 d) 0 e) f) nemá řešení 7 k ) + k + k k Z b) ± + k Z c) k + k Z d) k + k Z 8 e) k ± + k k Z f) + k + k g) k ± + k Z h) k + k k Z i) ± + k k Z j) k + k + k k Z

26 9 ) ( ) b) ( > c) ( ) d) ( ) ( ) 7 e) ( > f) ( > < ) g) ( ) h) ( ) ( ) 7 8 ) ( ) ( ) b) < > c) ( ) d) ( ) 7 k k ) ( + k + k ) b) ( + k + k ) c) < + + ) 8 Shrnutí lekce První informce o úspěšném zvládnutí této kpitoly Vám djí příkldy k procvičení Pokud nevycházejí uvedené výsledky vrťte se k teorii řešeným příkldům Důvodem neúspěchu by mohly být i numerické chyby Pokud máte pocit že většinu příkldů k procvičení zvládáte přistupte k následujícímu testu Pokud se vám všk zdjí některé příkldy těžké nhlédněte do klíče n konci kpitoly kde njdete postup nebo návod k řešení Kontrolní test Pro která je trojčlen + + roven nule? ) 0 b) ± c) Pro která je trojčlen + + roven čtyřem? ) b) c) 0 Řešte rovnici ) b) c) 0 ± Určete řešení rovnice s bsolutními hodnotmi: ) ; b) c) ( 0) V oboru reálných čísel řešte rovnici log + log 7 + log 0 ) b) c)

27 Řešte v R rovnici + ) 0 b) c) ± 7 Njděte všechn řešení rovnice sin + 7 cos 0 ) ± + k b) ± + k c) + k ; + k + 8 V oboru reálných čísel řešte nerovnici < 0 + ) b) 0; c) ( ; 0) ( ; ) 9 V oboru reálných čísel řešte nerovnici + + < ) ( ; ) b) < ; ) c) ( ; ) (; ) Výsledky testu c); b); b); ); b); c); 7); 8c); 9) Klíč k řešení úloh ) Nejprve roznásobíme výrz v kulté závorce pk v hrnté po úprvě dostneme 0 0 b) Vynásobením společným jmenovtelem () odstrníme zlomky uprvíme n tvr 7 7 c) stejný postup jko v úloze ) po úprvě se vyruší zůstne že 0 proto rovnice nemá řešení viz zápis řešení ve výsledku Všechny kvdrtické rovnice musí být v zákldním tvru tzn n prvé strně je 0 Je vhodné před použitím vzorce pro kořeny kvdrtické rovnice (kp) vytknout společný násobek koeficientů Hledáme tkovou dvojici čísel že jejich součin je součet - součin je - součet - součin je 9 součet -0 součin je -0 součet - Která to jsou?(viz příkld ) - 0 -

28 viz příkld viz příkld 7 Volte stejný postup jko v příkldu nebo ) nulové body 7 rozdělí číselnou osu n intervly Pro kždý intervl zjistíme jkých hodnot nbývá v bsolutní hodnotě rovnici přepíšeme bez bsolutních hodnot vyřešíme ji výsledek porovnáme s předpokldem b) nulový bod je Nejprve rovnici řešíme pro ( ; ) pk pro < ; + ) c) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly d) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly e) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly f) nulové body jsou ) návod n řešení njdete v řešeném příkldu Umocněním úprvou dostneme kvdrtickou rovnici ( 8)( ) 0 Zkouškou si ověříteže rovnici vyhovuje pouze kořen 8 b) stejný postup jko z ) c) rovnici si uprvíme tkto: dále postupujeme stejně jko u př d) obdobně jko v úloze e) po roznásobení závorek úprvě dostneme f) rovnice nemá řešení protože pltí podmínk g) rovnici umocníme uprvíme dostneme ( + 7)( ) 0 Zkouškou zjistímeže vyhovuje pouze 9 Všechny rovnice ) ž c) se řeší podle příkldu krok b)stčí si uvědomit že potřebujeme n prvé strně mocninu o stejném zákldu: ) 0 0 b) d) Uvědomíme si že + c) 0 rovnici přepíšeme do tvru e) f) řešíme zlogritmováním 0 ) b) viz řešení příkldu c) viz příkld 8 - -

29 d) stčí si uvědomit že mocninu ze jmenovtele můžeme npst do čittele s opčným + + eponentem tkto: protože log log log f) substituce y pk máme rovnici y + y 0 ( y + )( y ) 0 pokrčujeme jko v příkldu g) substituce y pk dostneme rovnici y + y 0 y + y 0 tu vyřešíme dále jko v předchozím příkldu Všechny rovnice se řeší stejným postupem jko v příkldu ) b) c) d) e) 0 f) 00 g) h) i) 8 Při řešení rovnic ) b) c) využijeme vlstností logritmů (kp) ) + log 00 log typ rovnice b) kp b) Zlogritmujeme mocniny sečteme: log log + log log c) Uprvíme n log log( ) ( ) Po umocnění úprvě dostneme kvdrtickou rovnici která má kořeny Druhý kořen nevyhovuje podmínce řešitelnosti rovnice: ( 7; } ( ) log log log d) Uvědomíme si že ( ) volíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici y y 0 T má kořeny y y Druhý kořen nevyhovuje protože substituční rovnice je eponenciální Vrátíme se k substituci pk log log log log log log log 0 e) Rovnici přepíšeme do tvru log ( ) log ( ) po úprvě ( )( ) 0 nevyhovuje protože podmínk řešitelnosti rovnice je > f) Nejprve stnovíme podmínky řešitelnosti rovnice (viz př 8) uvědomíme si že n prvé strně rovnice máme log pk po vynásobení dostneme rovnici log ( ) log ( ) ( ) Kořeny kvdrtické rovnice nevyhovují podmínce řešitelnosti: ( ) ( ) proto dná rovnice nemá řešení ) viz příkld 7 druhý kořen doszený do substituční rovnice k b) cos (I IVkvdrnt) ± + k ± + k Z - -

30 c) cot g + k + k k Z d) použijeme vzorec sin α sinα cosα k sin cos sin + k + k Z 8 e) sin sin sin cos sin 0 sin (cos ) 0 sin 0 cos dále viz tb v kpitole 0 f) nejprve rovnici uprvíme n tvr sin sin + 0 substituce sin y y y + 0 (y ) 0 y tkže sin viz příkld 7) g) Pltí sin + cos sin cos toto dosdíme do rovnice po úprvě dostneme cos 0 cos cos ± cos ± + k ± + k cos (II IIIkvdrnt) pro IIkvdrnt: + k + k pro IIIkvdrnt + k + k Výsledky ± + k + k + k lze zpst jediným zápisem ± + k k Z h) po vytknutí: sin (sin cos ) 0 buď sin 0 k nebo sin sin cos tg + k k Z cos i) tg tg tg ± ± + k k Z tg j) Použijeme vzorec cosα cos α sin α nhrdíme v dné rovnici cos cos( ) cos sin dále pltíže cos sin tímto postupným nhrzováním následnou úprvou se dostneme k rovnici sin sin 0 sin (sin sin 0 k k k Z ) 0 sin 0 sin sin + k + k k Z pltí pro I kvdrnt (I IIkv) + k + k k Z pltí pro IIkvdrnt - -

31 ) po vynásobení číslem úprvě získáme nerovnici < < ( ) b) + ( > c) umocníme uprvíme n tvr > 8 < ( ) 7 7 d) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 7 e) zvolte stejný postup jko u příkldu 8 Úprvou dostneme 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly 7 f) po úprvě dostneme kvdrtickou nerovnici ( )( ) 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 g) rozkld ( )( ) < 0 viz úloh f) h) + < 0 > 0 ( )( + ) > 0 dále metodou nulových bodů Nerovnice s bsolutní hodnotou )b) řešíme metodou nulových bodů viz příkld 8 c) nulové body 7 0 rozdělí číselnou osu n disjunktní intervly ( 0) < 0 ) < 7) < 7 ) d) z předpokldu že ( ) nerovnice > nemá řešení pro < ) nerovnici > uprvíme n > 0 > 0 ( ) ) vycházíme z grfu funkce y sin ten protneme přímkou y -0 průsečíky vymezí intervly viz příkld 8 b) z grfu funkce y cotg (kp0) vyčteme že pro ( ) je cotg < tkže náš rgument ( + k + k ) ( + k + k ) k Z c) z grfu funkce y tg vyčteme že pro < ) je tg tkže rgument < + k + k ) < + k + k ) k Z 8 - -

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy 4. Lineární rovnice 8. ročník 4. Lineární rovnice 4.. Rovnost. Vlstnosti rovnosti. Rovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př. 4 + 8 = 0 + Skládá se z : levé strny rovnosti prvé strny rovnosti

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1.

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1. eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 Eponenciální ovnice teoie - ovnice, ve kteých e neznámá vykytuje v eponentu Řešíme je v záviloti n typu ovnice několik zákldními metodmi. A. metod převedení n tejný zákld

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 750, 7507 Př : Vrchol elips leží v odech A[ ;], B [ 3;], [ ;5], [ ; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Kapka kapaliny na hladině kapaliny

Kapka kapaliny na hladině kapaliny JEVY NA ROZHRANÍ TŘÍ PROSTŘEDÍ Kapka kapaliny na hladině kapaliny Na hladinu (viz obr. 11) kapaliny (1), nad níž je plynné prostředí (3), kápneme kapku jiné kapaliny (2). Vzniklé tři povrchové vrstvy (kapalina

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus .9.6 Přirozná ponnciální funkc, přirozný ritmus Přdpokldy: 95 Pdgogická poznámk: V klsické gymnziální sdě j přirozná ponnciální funkc 0; j funkc y = +. Asi dvkrát vyrán jko funkc, jjíž tčnou v odě [ ]

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY... 4 2. INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA... 5 3. POMĚR... 6 4. PROCENTA... 7 5. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY...

1. ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY... 4 2. INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA... 5 3. POMĚR... 6 4. PROCENTA... 7 5. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY... . ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY.... INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA.... POMĚR... 6. PROCENTA... 7. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY... 9 6. MOCNINY, ODMOCNINY... 6.. Částečné odmocňování, usměrňování... 7. PLANIMETRIE...

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Seriál XXVII.III Aplikační

Seriál XXVII.III Aplikační Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy.

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV. Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV.. Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

Predispozice pro výuku IKT (2015/2016)

Predispozice pro výuku IKT (2015/2016) Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměříž Predispozice pro výuku IKT (15/16) Základní algoritmy pro počítání s celými a racionálními čísly Adam Šiška 1 Sčítání dvou kladných celých čísel Problém: Jsou dána

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Úřední věstník Evropské unie 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE

Úřední věstník Evropské unie 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE 03/sv. 45 75 32004R0854 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE L 226/83 NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 854/2004 ze dne 29. dubn 2004, kterým se stnoví zvláštní prvidl pro orgnizci úředních

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.) Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více