3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90"

Transkript

1 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy k smosttnému řešení 0 Výsledky úloh k smosttnému řešení 07 Shrnutí lekce 09 Kontrolní test 09 Výsledky testu 0 Klíč k řešení úloh 0-8 -

2 ROVNICE A NEROVNICE Průvodce studiem V kpitolách -7 se nučíte poznávt jednotlivé typy rovnic n řešených příkldech se seznámíte s výpočtem jejich kořenů Získné vědomosti pk použijete při řešení nerovnic v kpitole 8 která se zcel opírá o získné znlosti z předchozích kpitol N závěr jsou zřzeny úlohy k procvičení k upevnění získných vědomostí které si ověříte n kontrolním testu Cíle Po prostudování této kpitoly budete schopni řešit lineární kvdrtické rovnice rovnice s bsolutní hodnotou ircionální eponenciální logritmické goniometrické rovnice n závěr se seznámíte s řešením nerovnic Úlohy budete řešit v oboru přirozených celých rcionálních reálných čísel Předpokládné znlosti Předpokldem pro studium této kpitoly je lespoň zvládnutí počítání se zlomky úprv lgebrických výrzů Lineární rovnice Výkld Lineární rovnice jsou rovnice jež je možné uprvit n tvr + b 0 kde b R 0 Jejich řešením je jediné číslo b Tvr + b 0 stejně jko řešení úprvmi o nichž víme že nezmění řešení rovnice Ptří k nim: b získáváme ze složitějšího zdání ekvivlentními přičítání (odčítání) téhož výrzu k oběm strnám rovnice násobení (dělení) obou strn rovnice týmž výrzem ( 0) - 8 -

3 Řešená úloh Příkld Řešte rovnici Řešení: Obě strny vynásobíme společným jmenovtelem ( 0 ) dostneme: Zkoušk: / k oběm strnám přičteme ( ) 7 / vydělíme L P Číslo je řešením rovnice Kvdrtické rovnice Výkld Kvdrtická rovnice je rovnice kterou je možno uprvit n tvr + b + c 0 kde b c R 0 Jejím řešením je dvojice čísel kterou můžeme získt npř ze vzorce: b ± b c Výrz D b c nzýváme diskriminntem kvdrtické rovnice Je-li D > 0 pk má rovnice dv různé reálné kořeny je-li D 0 pk má jeden dvojnásobný reálný kořen je-li D < 0 pk rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel le má dv kompleně sdružené kořeny Je-li b 0 nebo c 0 jedná se o neúplnou kvdrtickou rovnici kterou řešíme následovně: ) + c 0 b) + b 0 c ± ( + b) 0 0 b - 8 -

4 Je-li kořen kvdrtické rovnice pk výrz ( ) se nzývá kořenový činitel ( )( ) + b + c je rozkld kvdrtického trojčlenu n součin kořenových činitelů Řešené úlohy Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice: ) + 0 d) 9 0 b) + 0 e) + 0 c) + 0 ( ) ± ± ± Řešení: ) kořeny reálné různé b) ( ) 0 rovnice má jeden dvojnásobný kořen c) ± ± ± i + i kořeny komplení i d) 9 ± 9 9 e) ( + ) 0 0 Výkld Jsou-li kořeny kvdrtické rovnice 0 + b + c resp + p + q 0 (rovnice v normovném tvru) pk pro kořeny pltí Viètovy vzorce: Řešené úlohy resp c + b q + p Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice + 0 pomocí výše uvedených vzthů Řešení: ( ) ( ) ( )9 ( 9)

5 zvolené dvojice dosdíme do rovnice: - + nevyhovují proto vyhovuje dvojice 9 Příkld Pomocí vzthů mezi kořeny koeficienty sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou: ) b) Řešení: ) 8 q + + p Hledná rovnice má tvr b) q + + p 7 Hledná rovnice má tvr + 0 nebo Rovnice s bsolutní hodnotou Výkld Rovnice s bsolutní hodnotou jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou v bsolutní hodnotě Řešit je znmená uprvit je n rovnice v nichž bsolutní hodnot není pro pro 0 < 0 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici

6 Řešení: + + pro + 0 tj pro < ) pro + < 0 tj pro ( ) pro 0 tj pro < ) + pro < 0 tj pro ( ) ( ) < ) < ) prvdivý výrok vyhovují všechn čísl intervlu ( ) ( ) Řešením rovnice jsou všechn ( > ( + ) + + vyhovuje ptří do intervlu < - ) ( ) neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Příkld Řešte rovnici y + y y Řešení: y + y + pro y + 0 tj pro y < ) - y - pro y + < 0 tj pro y ( ) y - y pro y 0 tj pro y ( - + y pro y < 0 tj pro y ( ) ( ) < ) < ) y + y y + y + y y y + y

7 ( y) y y y + y y y y ptří do ( ) y ( y) y y + y + + y y y y ptří do < ) y ( + y) y y + y + + y y 0 neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Řešením rovnice jsou čísl y y Ircionální rovnice Výkld Ircionální rovnice jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou pod odmocninou Řešit ircionální rovnici znmená uprvit ji n rovnici v níž odmocniny nejsou Toho dosáhneme umocňováním Protože umocňování není ekvivlentní úprv můžeme zjistit pltnost kořenů dvojím způsobem: ) řešíme rovnici pltnost kořenů ověříme zkouškou b) při kždém umocňování stnovíme podmínky pro to by rovnice dná umocněná byly ekvivlentní Tento způsob užíváme jen u jednoduchých ircionálních rovnic Poznámk Rychlejší je způsob řešení ) Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici + oběm způsoby Řešení: způsob: + osmosttníme odmocninu

8 umocníme ± ± Zkoušk: L ( ) + P ( ) L ( ) P() - kořen vyhovuje L ( ) + P ( ) L( ) P() - kořen nevyhovuje způsob: + podmínk: rovnici dále řešíme pro Závěr: Řešením zdné rovnice je vyhovuje podmínce nevyhovuje podmínce Výkld Je-li v rovnici více odmocnin opět jednu osmosttníme osttní členy rovnice převedeme (před umocňováním) n druhou strnu Je zřejmé že bude třeb postup umocňování opkovt Příkld Řešte rovnici Řešení: + 7 / / : / 9 Zkoušk: L ( ) P Závěr: Řešením dné rovnice je - 9 -

9 Eponenciální rovnice Výkld Eponenciální rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v eponentu mocniny Jejich řešení probíhá ve dvou krocích: ) rovnici převedeme n zákldní tvr b kde > 0 ) zákldní tvr řešíme V převodu n zákldní tvr užíváme především znlostí o počítání s mocninmi ojediněle pk substituce y Při řešení zákldního tvru b > 0 pltí: pro b < 0 nemá rovnice řešení b > 0 řešení má rozlišujeme dvě možnosti: b z rovnice b lze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme vlstnost f ( ) g( ) f ( ) g( ) b nelze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme definice logritmu nebo obě strny rovnice zlogritmujeme Poznámk Obecně lze eponenciální rovnice řešit grficky nebo přibližnými numerickými metodmi Řešené úlohy + + Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr (užijeme znlostí o počítání s mocninmi): + 0 [ + 0] / :

10 b) řešení zákldního tvru protože pltí: f ( ) g ( ) ( ) g( ) f Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr substitucí ( ) + ( ) ± 9 + ± < je vhodná substituce b) řešení zákldního tvru: po doszení do substituční rovnice dostneme 0 0 je řešením dné rovnice Rovnice nemá řešení neboť vždy pltí > Příkld Řešte rovnici + Řešení: ) převod n zákldní tvr: ( 7 + 9) ( ) 7 7 b) zákldní tvr řešíme zlogritmováním obou strn rovnice: log 7 log 7 log 7 log log 9 log - 9 -

11 Logritmické rovnice Výkld Logritmické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu logritmu Při řešení logritmických rovnic používáme nejčstěji: ) definici logritmu: y log y b) vlstnosti logritmů: log ( y) log + log y log y log log y log k k log log log 0 Při řešení logritmických rovnic se čsto setkáme s těmito typickými situcemi: ) obdržíme logritmickou rovnici v zákldním tvru log b ( > 0 ) pro b libovolné b má tto rovnice jediné řešení (příkld ) b) zdání je složitější pomocí vlstností logritmů převedeme n: zákldní tvr log b (příkld ) log což pltí tehdy jen tehdy když f g zákldní tvr f ( ) log g( ) (příkld ) ( ) ( ) c) zdání nznčuje že by zjednodušení pomocí substituce log y nebo převedlo rovnici logritmickou n rovnici lgebrickou jež by byl snáze řešitelná (příkld ) log y Poznámk Obecně se logritmické rovnice řeší grficky nebo přibližnými numerickými metodmi - 9 -

12 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 Pk podle definice logritmu pltí: což vyhovuje podmínce Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log + log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 log + log + log ( + + ) log log Příkld Řešte logritmickou rovnici log( + ) log ( + ) Řešení: Podmínk: ( + ) > 0 ( + ) což vyhovuje podmínce [ ] 0 > Levou strnu rovnice uprvíme pomocí vlstností logritmů prvou strnu vyjádříme jko logritmus: Závěr: i ( + ) ( + ) log ± ( + ) ( + ) log ( + ) ± ± 8 vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice - 9 -

13 Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log 0 Řešení: Zvolíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici Poznámk y + y 0 ( y + )( y ) 0 y y Dosdíme zpět do substituční rovnice: log 8 log Závěr: vyhovují podmínce > 0 jsou řešením dné rovnice 8 Pozor n psní mocniny: log log Příkld Určete všechn přirozená čísl splňující rovnici log log log log Řešení: Nejprve si převedeme zápis ( ) ( ) pomocí log log substituce log y dnou rovnici převedeme n rovnici kvdrtickou y 7y 8 0 ( y+ )( y 8) 0 y y 8 Vrátíme se k substituci dosdíme z y jen hodnotu 8 protože - nevyhovuje podmínce > 0 tkže log 8 log 0 Příkld Řešte rovnici: log log log + log + Řešení: Nejprve uprvíme rovnici tk bychom měli n levé strně rovnice mocniny o zákldu n prvé strně mocniny o zákldu zároveň využijeme znlostí o log log log počítání s mocninmi log log log vytkneme mocninu ( ) ( ) 9 Uprvíme n tvr log log 9 log Získli jsme eponenciální rovnici o stejném zákldu tkže pltí log

14 Příkld 7 Řešte logritmickou rovnici log( + ) log + + log + Řešení: Podmínk: + > 0 > Pomocí vlstností logritmů uprvíme rovnici n tvr: log( + ) log( + ) + log log( + ) log 0 [ log( + ) ] + log( + ) 0 log ( +) y (substituce) y + y 0 y ± + Vrátíme se k substituční rovnici: log ± ( + ) log ( + ) zákldní tvr logritmické rovnice je pk log( + ) log0 log( + ) log Závěr: vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice log( + 9) Příkld 8 Vyřešte rovnici log + stnovte podmínky řešitelnosti Řešení: Protože eistují jen logritmy kldných čísel musí být + > 0 > dále musí pltit: log tkže rovnice je řešitelná pro ( ; ) ( ; ) Po vynásobení jmenovtelem máme log( + 9) log + převedeme úprvou n zákldní tvr log( + 9) log( + ) odtud po odlogritmování dostneme Závěr: 0 vyhovuje podmínce je řešením dné rovnice

15 7 Goniometrické rovnice Výkld Goniometrické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu goniometrické funkce Zákldní typy goniometrických rovnic jejich řešení ) Typ sin cos kde < > tg b cotg b Tyto rovnice mjí nekonečně mnoho řešení proto určíme nejdříve kořeny ležící v zákldním intervlu Ten je u sinu kosinu 0 pk všechn řešení zpíšeme přidáním celého násobku periody T u tngens kotngens určíme kořeny ležící v zákldním intervlu ( ) nebo ( 0 ) opět všechn řešení zpíšeme přičtením celého násobku periody T (viz řešené příkldy 7) b) Typ sin A ( ) cos A ( ) < > tg A ( ) b cotg A ( ) b kde A() je lgebrický výrz v proměnné řešíme substitucí A () α (příkld 7) c) Typ obshující různé mocniny goniometrické funkce stejného rgumentu převedeme n lgebrickou rovnici(příkld 7) d) Typ obshující více goniometrických funkcí stejného rgumentu řešíme převedením všech funkcí n jedinou funkci téhož rgumentu (příkld 7) e) Typ rovnice nulovné jejíž levou strnu lze rozložit n součin řešíme tk že jednotlivé činitele položíme rovny nule řešíme(příkld 7)

16 Řešené úlohy Příkld 7 Řešte rovnice: ) sin 0 b) tg Řešení: ) sin 0 Kldných hodnot v zákldním intervlu nbývá sinus v I II kvdrntu Proto: je řešení v I kvdrntu je řešení v II kvdrntu Všechn řešení dné rovnice jsou: + k + k kde k Z tg kořen b) tg pro záporných hodnot nbývá funkce tngens ve II kvdrntu tedy Všechn řešení dné rovnice jsou + k kde k je celé číslo Příkld 7 Řešte rovnici cos( + ) Řešení: Zvolíme substituci + α pk rovnice bude ve tvru cosα α je pk řešení v zákldním intervlu < 0 > + + k + k + k k Z jsou všechn řešení

17 Příkld 7 Řešte goniometrickou rovnici sin sin 0 Řešení: Substitucí sin y se změní dná rovnice n y y 0 Pro pro sin je řešení v zákldním intervlu y ± + 8 sin je řešení ve III IV kvdrntu Opět je vhodné vyjít z řešení rovnice sin v intervlu (0 7 ) pk pro IIIkvdrnt je + pro IVkvdrnt dostneme Závěr: všechn řešení dné rovnice jsou 7 + k + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici tg cotg Řešení: Protože cotg rovnici npíšeme ve tvru tg tg tg podmínky řešitelnosti: k + k tg tg tg ± pro tg je + k pro tg je + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici cos + cos + 0 Řešení: Pomocí vzthu cos cos sin odstrníme v rovnici různé rgumenty cos sin + cos + 0 dosdíme z sin cos

18 Pro cos + cos + cos + 0 cos + cos 0 vytkneme cos 0 je cos + 0 pro ( ) je + k ( cos + ) 0 cos cos (II IIIkvdrnt) Nejprve si opět uvědomíme řešení rovnice pro II kvdrnt dostneme řešení pro III kvdrnt máme řešení cos + pk cos Všechn řešení dné rovnice jsou + k + k + k kde k Z 8 Nerovnice Výkld Jsou-li f() g() funkce definovné v R s oborem hodnot v R nzýváme nerovnicí vzth f ( ) > g( ) [ resp f ( ) g( ) ] f ( ) < g( ) [ resp f ( ) g( )] Úloh nlézt všechn která vyhovují dné nerovnici se opírá o znlosti dovednosti získné v kpitolách o řešení rovnic I zde užíváme ekvivlentních úprv jk byly zvedeny u lineárních rovnic s tím že při násobení nebo dělení záporným číslem se mění znménko nerovnice Řešené úlohy Příkld 8 Řešte nerovnici ( + ) 0 < ( ) Řešení: Zjednodušíme vynásobením + 0 < členy s neznámou budou n jedné strně < 8 vydělíme koeficientem u > řešením nerovnice jsou všechn ( ) ( + ) ( ) : - 0 -

19 7 Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Nerovnice má smysl pro nelze ji vynásobit výrzem (-) protože nevíme je-li výrz kldný nebo záporný Podíl porovnáváme vždy s nulou proto volíme následující postup: Nulové body v nichž se mění znménko čittele jmenovtele jsou 8 Rozdělí nám číselnou osu n tři disjunktní intervly Do zlomku dosdíme libovolné číslo npř - které se nchází v levém intervlu zjistíme že zlomek je kldné hodnoty V dlších intervlech zlomek střídá své znménkové hodnoty to vyznčíme pod číselnou osou jko + + Nulový bod jmenovtele nesmíme do intervlu zřdit Řešením nerovnice jsou < ; ) Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Kvdrtické nerovnice řešíme opět pomocí nulových bodů tkže je nejprve nulujeme pk vždy rozložíme levou strnu n součin kořenových činitelů (vizkp) Dnou nerovnici vynásobíme ( ) tím se změní znk nerovnice levou strnu pk uprvíme n součin tkže nulové body: N číselné ose rozdělené nulovými body n disjunktní intervly vyznčíme kldnost nebo zápornost kvdrtického trojčlenu v jednotlivých intervlech Nulové body do intervlu ptří + + Řešením nerovnice jsou ( > < ) - 0 -

20 Příkld 8 Řešte nerovnici y + y < y Řešení: Při řešení nerovnic s bsolutními hodnotmi postupujeme podobně jko při řešení rovnic s bsolutními hodnotmi (viz kp) Zde všk zjišťujeme průnik řešení s jednotlivými intervly Řešení nerovnice se opět opírá o metodu nulových bodů které rozdělí číselnou osu n intervly v nšem příkldě n tři intervly V dné nerovnici jsou nulové body V následující tbulce je nejprve uvedeno jký je dvojčlen v bsolutní hodnotě v jednotlivých intervlech zd je hodnoty kldné či záporné pk následuje řešení nerovnice y + y ( ) < ) < ) y y + y + y y + y ( ) y ( ) y řešení nerovnice y ( y) < y y + y < y + + y < y < y < y + + y < y y > y < < 0 průnik s předpokldem ( y ) y < ) prázdná množin Řešením nerovnice jsou y ( ) Příkld 8 Řešte nerovnici sin( ) Řešení: sin pro nebo v zákldním intervlu sin / pro < + k + k > y sin

21 Úlohy k smosttnému řešení Řešte lineární rovnice: [ ] ( ) ( ) 0 ) b) [ ( )] c) + + d) 7v v + v e) v ( ) + 7 Rozložte n součin kořenových činitelů ) + b) + c) + + d) + e) + Řešte kvdrtické rovnice: ) b) 0 c) 08 8 ; d) + 0 e) Normovný kvdrtický trojčlen rozložte n součin kořenových činitelů: ) + b) c) d) 0 Sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou : ) b) - Řešte rovnice ( pomocí Viètových vzorců q + p ) ) b) + 0 c)

22 7 Řešte rovnice: ) 7 + b) c) + + d) + e) f) Řešte rovnice: ) + 7 b) + c) d) e) ( + )( ) + g) f) Řešte eponenciální rovnice v zákldním tvru: ) 0 00 b) c) d) 0 e) 00 f) 8 0 Řešte v oboru reálných čísel rovnice: ) b) c) d) + log log e) f) g) + 0 Užijte definice logritmu k řešení jednoduchých rovnic: ) log b) d) log e) log 0 log c) log f) log 00 g) log h) log i) log 8-0 -

23 Určete všechn řešení dných rovnic v oboru reálných čísel: ( ) ( ) ) log + log log b) log log + log c) log log ( ) log log d) 0 ( ) ( ) 0 e) log log f) log log ( ) ( ) log Řešte goniometrické rovnice: ) sin 0 b) c) cotg cos d) sin cos cos e) sin sin f) sin + sin g) cos sin h) sin sin cos 0 i) tg cotg j) sin + cos Řešte v oboru reálných čísel nerovnice: ) < + b) + c) ( ) + ( ) > ( ) d) < 0 e) 7 f) + + g) 9 + < 0 h) + 0 < Řešte nerovnice s bsolutní hodnotou: ) + > b) c) 7 > + d) > - 0 -

24 Řešte goniometrické nerovnice: ) sin < 0 ; b) cotg < c) tg Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 0 b) c) rovnice nemá řešení d) rovnice má nekonečně mnoho řešení e) v ) + ( + ) b) + ( )( + ) c) + + ( + + ) ( + ) d) + ( )( + ) + e) + ( + ) ( )( ) ) b) + c) ; d) e) rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( )( ) ( 7 )( + ) ) b) c) d) ( )( 9) ( 0 )( + ) ( )( ) ) b) ( + ) ( ) ) b) 7 ) c) 0 c) b) 0 d) nemá řešení e) f)

25 8 ) 8 b) nemá řešení c) d) e) 9 f) nemá řešení g) 9 ) b) c) d) e) log 00 nebo f) log log8-08 log 0 ) 9 b) log log c) -70; log log d) e) f) 0 g) log nebo log -0 log ) 9 b) c) ) d) e) 0 f) 0 g) h) 9 b) 8 i) c) 9 9 d) 0 e) f) nemá řešení 7 k ) + k + k k Z b) ± + k Z c) k + k Z d) k + k Z 8 e) k ± + k k Z f) + k + k g) k ± + k Z h) k + k k Z i) ± + k k Z j) k + k + k k Z

26 9 ) ( ) b) ( > c) ( ) d) ( ) ( ) 7 e) ( > f) ( > < ) g) ( ) h) ( ) ( ) 7 8 ) ( ) ( ) b) < > c) ( ) d) ( ) 7 k k ) ( + k + k ) b) ( + k + k ) c) < + + ) 8 Shrnutí lekce První informce o úspěšném zvládnutí této kpitoly Vám djí příkldy k procvičení Pokud nevycházejí uvedené výsledky vrťte se k teorii řešeným příkldům Důvodem neúspěchu by mohly být i numerické chyby Pokud máte pocit že většinu příkldů k procvičení zvládáte přistupte k následujícímu testu Pokud se vám všk zdjí některé příkldy těžké nhlédněte do klíče n konci kpitoly kde njdete postup nebo návod k řešení Kontrolní test Pro která je trojčlen + + roven nule? ) 0 b) ± c) Pro která je trojčlen + + roven čtyřem? ) b) c) 0 Řešte rovnici ) b) c) 0 ± Určete řešení rovnice s bsolutními hodnotmi: ) ; b) c) ( 0) V oboru reálných čísel řešte rovnici log + log 7 + log 0 ) b) c)

27 Řešte v R rovnici + ) 0 b) c) ± 7 Njděte všechn řešení rovnice sin + 7 cos 0 ) ± + k b) ± + k c) + k ; + k + 8 V oboru reálných čísel řešte nerovnici < 0 + ) b) 0; c) ( ; 0) ( ; ) 9 V oboru reálných čísel řešte nerovnici + + < ) ( ; ) b) < ; ) c) ( ; ) (; ) Výsledky testu c); b); b); ); b); c); 7); 8c); 9) Klíč k řešení úloh ) Nejprve roznásobíme výrz v kulté závorce pk v hrnté po úprvě dostneme 0 0 b) Vynásobením společným jmenovtelem () odstrníme zlomky uprvíme n tvr 7 7 c) stejný postup jko v úloze ) po úprvě se vyruší zůstne že 0 proto rovnice nemá řešení viz zápis řešení ve výsledku Všechny kvdrtické rovnice musí být v zákldním tvru tzn n prvé strně je 0 Je vhodné před použitím vzorce pro kořeny kvdrtické rovnice (kp) vytknout společný násobek koeficientů Hledáme tkovou dvojici čísel že jejich součin je součet - součin je - součet - součin je 9 součet -0 součin je -0 součet - Která to jsou?(viz příkld ) - 0 -

28 viz příkld viz příkld 7 Volte stejný postup jko v příkldu nebo ) nulové body 7 rozdělí číselnou osu n intervly Pro kždý intervl zjistíme jkých hodnot nbývá v bsolutní hodnotě rovnici přepíšeme bez bsolutních hodnot vyřešíme ji výsledek porovnáme s předpokldem b) nulový bod je Nejprve rovnici řešíme pro ( ; ) pk pro < ; + ) c) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly d) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly e) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly f) nulové body jsou ) návod n řešení njdete v řešeném příkldu Umocněním úprvou dostneme kvdrtickou rovnici ( 8)( ) 0 Zkouškou si ověříteže rovnici vyhovuje pouze kořen 8 b) stejný postup jko z ) c) rovnici si uprvíme tkto: dále postupujeme stejně jko u př d) obdobně jko v úloze e) po roznásobení závorek úprvě dostneme f) rovnice nemá řešení protože pltí podmínk g) rovnici umocníme uprvíme dostneme ( + 7)( ) 0 Zkouškou zjistímeže vyhovuje pouze 9 Všechny rovnice ) ž c) se řeší podle příkldu krok b)stčí si uvědomit že potřebujeme n prvé strně mocninu o stejném zákldu: ) 0 0 b) d) Uvědomíme si že + c) 0 rovnici přepíšeme do tvru e) f) řešíme zlogritmováním 0 ) b) viz řešení příkldu c) viz příkld 8 - -

29 d) stčí si uvědomit že mocninu ze jmenovtele můžeme npst do čittele s opčným + + eponentem tkto: protože log log log f) substituce y pk máme rovnici y + y 0 ( y + )( y ) 0 pokrčujeme jko v příkldu g) substituce y pk dostneme rovnici y + y 0 y + y 0 tu vyřešíme dále jko v předchozím příkldu Všechny rovnice se řeší stejným postupem jko v příkldu ) b) c) d) e) 0 f) 00 g) h) i) 8 Při řešení rovnic ) b) c) využijeme vlstností logritmů (kp) ) + log 00 log typ rovnice b) kp b) Zlogritmujeme mocniny sečteme: log log + log log c) Uprvíme n log log( ) ( ) Po umocnění úprvě dostneme kvdrtickou rovnici která má kořeny Druhý kořen nevyhovuje podmínce řešitelnosti rovnice: ( 7; } ( ) log log log d) Uvědomíme si že ( ) volíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici y y 0 T má kořeny y y Druhý kořen nevyhovuje protože substituční rovnice je eponenciální Vrátíme se k substituci pk log log log log log log log 0 e) Rovnici přepíšeme do tvru log ( ) log ( ) po úprvě ( )( ) 0 nevyhovuje protože podmínk řešitelnosti rovnice je > f) Nejprve stnovíme podmínky řešitelnosti rovnice (viz př 8) uvědomíme si že n prvé strně rovnice máme log pk po vynásobení dostneme rovnici log ( ) log ( ) ( ) Kořeny kvdrtické rovnice nevyhovují podmínce řešitelnosti: ( ) ( ) proto dná rovnice nemá řešení ) viz příkld 7 druhý kořen doszený do substituční rovnice k b) cos (I IVkvdrnt) ± + k ± + k Z - -

30 c) cot g + k + k k Z d) použijeme vzorec sin α sinα cosα k sin cos sin + k + k Z 8 e) sin sin sin cos sin 0 sin (cos ) 0 sin 0 cos dále viz tb v kpitole 0 f) nejprve rovnici uprvíme n tvr sin sin + 0 substituce sin y y y + 0 (y ) 0 y tkže sin viz příkld 7) g) Pltí sin + cos sin cos toto dosdíme do rovnice po úprvě dostneme cos 0 cos cos ± cos ± + k ± + k cos (II IIIkvdrnt) pro IIkvdrnt: + k + k pro IIIkvdrnt + k + k Výsledky ± + k + k + k lze zpst jediným zápisem ± + k k Z h) po vytknutí: sin (sin cos ) 0 buď sin 0 k nebo sin sin cos tg + k k Z cos i) tg tg tg ± ± + k k Z tg j) Použijeme vzorec cosα cos α sin α nhrdíme v dné rovnici cos cos( ) cos sin dále pltíže cos sin tímto postupným nhrzováním následnou úprvou se dostneme k rovnici sin sin 0 sin (sin sin 0 k k k Z ) 0 sin 0 sin sin + k + k k Z pltí pro I kvdrnt (I IIkv) + k + k k Z pltí pro IIkvdrnt - -

31 ) po vynásobení číslem úprvě získáme nerovnici < < ( ) b) + ( > c) umocníme uprvíme n tvr > 8 < ( ) 7 7 d) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 7 e) zvolte stejný postup jko u příkldu 8 Úprvou dostneme 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly 7 f) po úprvě dostneme kvdrtickou nerovnici ( )( ) 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 g) rozkld ( )( ) < 0 viz úloh f) h) + < 0 > 0 ( )( + ) > 0 dále metodou nulových bodů Nerovnice s bsolutní hodnotou )b) řešíme metodou nulových bodů viz příkld 8 c) nulové body 7 0 rozdělí číselnou osu n disjunktní intervly ( 0) < 0 ) < 7) < 7 ) d) z předpokldu že ( ) nerovnice > nemá řešení pro < ) nerovnici > uprvíme n > 0 > 0 ( ) ) vycházíme z grfu funkce y sin ten protneme přímkou y -0 průsečíky vymezí intervly viz příkld 8 b) z grfu funkce y cotg (kp0) vyčteme že pro ( ) je cotg < tkže náš rgument ( + k + k ) ( + k + k ) k Z c) z grfu funkce y tg vyčteme že pro < ) je tg tkže rgument < + k + k ) < + k + k ) k Z 8 - -

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy 4. Lineární rovnice 8. ročník 4. Lineární rovnice 4.. Rovnost. Vlstnosti rovnosti. Rovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př. 4 + 8 = 0 + Skládá se z : levé strny rovnosti prvé strny rovnosti

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1.

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1. eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 Eponenciální ovnice teoie - ovnice, ve kteých e neznámá vykytuje v eponentu Řešíme je v záviloti n typu ovnice několik zákldními metodmi. A. metod převedení n tejný zákld

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Kapka kapaliny na hladině kapaliny

Kapka kapaliny na hladině kapaliny JEVY NA ROZHRANÍ TŘÍ PROSTŘEDÍ Kapka kapaliny na hladině kapaliny Na hladinu (viz obr. 11) kapaliny (1), nad níž je plynné prostředí (3), kápneme kapku jiné kapaliny (2). Vzniklé tři povrchové vrstvy (kapalina

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 750, 7507 Př : Vrchol elips leží v odech A[ ;], B [ 3;], [ ;5], [ ; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus .9.6 Přirozná ponnciální funkc, přirozný ritmus Přdpokldy: 95 Pdgogická poznámk: V klsické gymnziální sdě j přirozná ponnciální funkc 0; j funkc y = +. Asi dvkrát vyrán jko funkc, jjíž tčnou v odě [ ]

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více