Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia"

Transkript

1 - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin 7) Algebrické výrz 8) Početní operce s výrz 9) Lomené výrz 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí ) Rovnice ekvivlentní úprv ) Lineární rovnice ) Soustv lineárních rovnic ) Kvdrtické rovnice ) Řešení kvdrtických rovnic ) Nerovnice jejich soustv 7) Rovnice s bsolutní hodnotou 8) Nerovnice s bsolutní hodnotou 9) Ircionální rovnice 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí Vučuje: RNDr Věr Schuhová Litertur (pro celé studium): povinně: ( ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studi edice Mturit(N Kubešová ECibulková) doporučeně: ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY nkldtelství Didktik díl rozsáhleji je zde teorie pěkné doporučuji hlvně pro t kteří uvžují o mturitě z mtemtik ( ) Mtemtik v kostce pro střední škol (Z Vošický) ( ) Mtemtik pro SOŠ studijní obor SOU (kol utorů-odvárko Cld ) část určeno spíše pro denní studium ( ) Tbulk mtemtické fzikální chemické pro střední škol dále eistují různé sbírk úloh k probírné temtice řešené příkld i teorii lze hledt i n internetu (mtemtik po loptě mtemtik on line td)

2 - - pololetí Číselné obor bsolutní hodnot intervl ( ) str - kp str7 kp str kp str kp str 0 kp ( ) str 9 kp str kp str kp str kp ( ) str kp ( ) první část: str7 kp str kp str7 kp N { }- množin přirozených čísel: pojm: prvočíslo složená čísl vět o dělitelnosti největší společný dělitel vět o dělitelnosti Z N 0 čísl opčná množin celých čísel: zákldní operce v Z: (-)8 -()- -(-) -(-(-)) - 0 cokoliv totéž pro dělení 0: čímkoliv 0 cokoliv : 0nelze td Q množin rcionálních čísel: lze je npst ve tvru zlomku či desetinným konečným nebo periodickým rozvojem zákldní operce se zlomk: složený zlomek krácení rozšiřování sčítání odčítání násobení dělení opkování ze ZŠ SOU I množin ircionálních čísel npř π td R množin reálných čísel lze je znázornit n číselné ose Části číselné os se nzývjí intervl Pltí R Q Z N I QR Př: Znázorněte n číselné ose zpište množinově tj pomocí příslušných závorek: >- < < > > - td Př: Sjednocení průnik intervlů A B A B npř A ( 0) B 7 (hledejte přípdnou pomoc v doporučené litertuře) Absolutní hodnot reálného čísl se znčí je to nezáporné reálné číslo pro které pltí: ) je-li 0 je ) je-li < 0 je - Absolutní hodnot reálného čísl je (geometrick) vzdálenost obrzu tohoto čísl od počátku souřdnic ( 0) tjdélk této úsečk Její vlstnosti: b b b b b b Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: < < > - Nulový bod je reálné číslo které získáme tk že výrz uvnitř bsolutní hodnot položíme rovný nule Nulový bod pro je 0 pro - je pro je - pro je - pro - je Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: - < - > Příkld n procvičení:

3 - - Vpočítejte: ) -- b) --(-) c) d) - -7 e) f) - - Znázorněte zpište: ) < b) c) < d) >0 Určete průnik sjednocení intervlů: ) ( - ; ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) (; ) d) ( -; ) ( ; ) e) (- ; 0 0 f) ( 0; ) 0 Znázorněte zpište: ) - b) c) - < d) - e) - > f) - < dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Mocnin odmocnin ( ) str 7 kp ( ) str kp 8 ( ) str 0 kp ( ) první část: str kp 7 8 druhá část: str kp mocnin n neponent(mocnitel) zákld mocnin je n-krát vnásobené stejné číslo mocnin s přirozeným eponentem pro všechn reálná čísl mocnin s celým eponentem pro všechn reálná čísl 0 mocnin s rcionálním eponentem pro všechn kldná reálná čísl tj > 0 Prvidl pro počítání s mocninmi: Sčítt(odčítt) lze pouze mocnin stejného zákldu stejného eponentu Pro všechn přípustná b n r s pltí: 0 r s rs r : s r-s ( r ) s rs n (-) n pro sudé n (-) n - pro liché n -n n m n n n m n n b n (b )n n n b b n zvedení druhé třetí odmocnin: z libovolného nezáporného čísl je tkové nezáporné číslo pro které pltí z libovolného čísl je tkové číslo pro které pltí že npř dlší vlstnosti odmocnin příkld viz litertur ( )

4 - - částečné odmocňování - npříkld: Při počítání se zlomk nemůže být ve jmenovteli odmocnin zbvíme se ji tk že dný zlomek rozšíříme říká se tomu usměrňování zlomků npříkld: Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Použití pro usměrňování npříkld: ( ) Příkld n procvičování: ( ) ( ) ( ) - - ( - ) ( ) ( ) z : 7 ( ) dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Algebrické výrz ( ) str kp ( ) str7 kp str kp 7 ( ) str kp ( ) str kp

5 - - výrz obshuje číselné konstnt proměnné (písmen mlé beced) zákldní operce s nimi (-: ) mocnin odmocnin zlomkové čár znk funkcí ( log sin ) Neobshuje ted znk rovnosti či nerovnosti Člen výrzu jednočlen mnohočlen hodnot výrzu lomený výrz smsl výrzu neboli podmínk z nichž má výrz smsl u lomeného výrzu je zákldním prvidlem že ve jmenovteli nesmí po doszení z proměnné vjít nul zákldní operce s výrz: sčítání(odčítání) mnohočlenů jen člen stejného stupně npř -( - )(-7 ) násobení mnohočlenů: (- ) - 9 ( )( - ) - - : Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! proto znovu (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Vzorce pro třetí mocnin dvojčlenu nejsou povinné Úprv lomených výrzů: vtýkání před závorku rozkld podle vzorců rozkld kvdrtického trojčlenu krácení n zákldní tvr sčítání lomených výrzů násobení dělení lomených výrzů Příkld n procvičování: - b 9 9b (b)(-b)9(b) (b)(-b9) ()-- ()-() ()(-) - ()(-) (-) () (-) (9) ( - ) - uprvte smi 70 ()() - ()(-) -8 (-)(-) -- (-)() td : 9 8 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( z b b b b b b b

6 - - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Shrnutí učiv pololetí vzorový test ke zkoušení v pololetí: ) Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů ) < b) < ) Usměrněte zlomk: ) b) 9 ) Uprvte n co nejjednodušší tvr nezpomeňte n podmínk z kterých mjí dné výrz smsl: ( ) ) b) ( ) ) Uprvte n zákldní tvr: 9 0 ) 8 z b) Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu (viz vzor) dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik v pololetí pololetí Řešení lineárních rovnic ( ) str kp- str 0 pročíst str - lineární funkce ( ) str 8-0 kp 9 str kp ( ) str kp str kp ( ) druhá část: str kp

7 - 7 - Lineární funkce je dán rovnicí b kde b R 0 D(f) R Řešení lineárních rovnic pk znmená určit všechn tk b výrz b se rovnl 0 Řešením rovnice b 0 je - b tj lineární rovnice( dále LR) má řešení eistuje-li výrz n prvé strně Řešit rovnici znmená njít všechn tková pro která pltí že výrz n levé strně rovnice je roven výrzu n prvé strně řeší se vžd v nějké zákldní množině nejčstěji v množině R LR obecně má buď jedno řešení nebo žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení Při řešení se používjí tzv ekvivlentní úprv: ) Strn rovnice lze změnit je jedno jestli píšu nebo ) Převádíme-li výrz (člen) rovnice z jedné strn n druhou musíme změnit jeho znménko n opčné: 7 7- ) Obě strn rovnice můžeme násobit (dělit) stejným výrzem různým od nul: Zkoušk řešení se provádí doszením zvlášť do levé i do prvé strn rovnice ( v přípdě používání pouze ekvivlentních úprv není zkoušk nutná ) Doporučený postup řešení LR: Stnovit D(f) rovnice tj tzv podmínk Odstrnit lomené výrz (zlomk) vnásobit rovnici společným jmenovtelem Odstrnit závork roznásobením užitím vzorců td Převést člen obshující neznámou n jednu strnu rovnice bsolutní člen (čísl) n druhou strnu rovnice pk sečíst člen n příslušných strnách LR vdělit číselným koeficientem stojícím před Provést zkoušku je-li to nutné Příkld: ) 0 0 b) c) řešení nekonečně mnoho žádné řešení řešení ve zkušebním testu bude rovnice s neznámou ve jmenovteli! Příkld n procvičování: ) c) b) d) [ -] [ ]

8 - 8 - e) ( ) ( ) [ ] f) [ ] g) 8 h) 8 0[ - řešení ] i) [ ] j) [ - tjnemá řešení] ( )( ) k) [ -] l) (-) () () (-) - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Rovnice součinového podílového tpu Jedná se o rovnice tpu L() 0 kde n levé strně je součin dvou i více výrzů Řeší se n zákldě prvidl že součin několik činitelů se rovná nule pouze v přípdě že lespoň jeden z těchto činitelů je nule roven Příkld: ) (-) 0 0 nebo b) ()(-) 0 - nebo c) (-)()(-) 0 - d) ()(-)(7) Rovnice podílového tpu má tvr lomeného výrzu který se rovná nule Řeší se n zákldě prvidl kd zlomek se rovná nule právě kdž se nule rovná čittel ztímco jmenovtel tohoto zlomku musí být různý od nul Příkld: ) 0 - ( - ) b) ( )( )( 7) c) ( )( ) ( )( )( )( 8) d) ( to už být nemůže!) ( )( ) ( 9)( ) ( ) ( )( ) e) 0 0 ( )( ) ( )( ) poznámk: výrz ( ) se nikd nule rovnt nemůže proto se neobjevuje zde v podmínkách kdb bl v čitteli tk b nedávl žádné možné řešení

9 - 9 - Rovnice s bsolutní hodnotou ( ) str 7 kp ( ) str 0 kp 9 ( ) str kp ( ) část kp 9 k řešení se používá definice bsolutní hodnot metod řešení pomocí intervlů tj metod nulových bodů Nulové bod získáváme tk že výrz v bsolutní hodnotě položíme rovný nule Tím se rozdělí číselná os n dv ( jedn bsolutní hodnot ) tři ( dvě různé bsolutní hodnot ) td intervl V nich se nhrdí bsolutní hodnot příslušným výrzem ( dle definice bsolutní hodnot ) v kždém intervlu zvlášť se příkld vpočítá Výsledné celkové řešení se získá sjednocením dílčích řešení Příkld: ) - nemá řešení ) 0 jedno řešení: - ) -7 dvě řešení: 8 nulový bod je 7 řešením jsou t čísl která jsou ve vzdálenosti jedn od tohoto nulového bodu n obě strn (řešení grfické) nebo výpočtem: 0 7 v intervlu (- 7) řešíme v intervlu (7 ) řešíme tj K { ; 8} ) 0 - v intervlu (- -) řešíme v intervlu (- ) řešíme - tj K {-8 ; } ) K { } ) 0 - v intervlu (- ; -) řešíme -- le v dném intervlu není řešení v intervlu (-; ) řešíme - nemá řešení tkže celkově rovnice nemá řešení 7) 7 nulové bod 0 vzniknou tři intervl: (- ;) (; ) (; ) přepis rovnice: tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-; } 8) - 8 nulové bod 0 - vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; ) (; ) přepis rovnice: tj celý intervl čili množin kořenů dné rovnice je uzvřený intervl < -; > 9) nulové bod 0-7 vzniknou tři intervl: (- ;-7) (-7; ) (; ) přepis rovnice: --(--7)

10 tj NŘ tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-} 0) ) - nulové bod vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; -) (-; ) přepis rovnice: ---(--) ---() -() - - tj celý intervl tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je intervl ( - ; - > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic v příslušné konzultci se budou podobným principem řešit nerovnice s bsolutní hodnotou Kvdrtické rovnice ( ) str 8 kp str 9 kp 7 str kp ( ) str 7 8 kp 0 str 8 ž 7 kp ( ) str kp str kp (jen kvdrtické funkce) ( ) část str 7 kp Kvdrtická funkce je dán rovnicí b c kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 Hledt průsečík grfu kvdrtické funkce s vodorovnou osou je vlstně totéž jko řešit kvdrtické rovnice Kvdrtická rovnice se nejprve převede ( n zákldě klsických úprv rovnic tj npř odstrnění zlomků závorek td ) do tzv nulovného tvru b c 0 kde kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 je kvdrtický člen b je lineární člen c je bsolutní člen čísl b c se nzývjí koeficient kvdrtické rovnice Pk se spočítá tzv diskriminnt podle vzorce D b c Je-li D < 0 kvdrtická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení ( bude doplněno ve třetím ročníku v kpitole komplení čísl ) jeli D 0 kvdrtická rovnice má právě jedno reálné řešení nzývá se dvojnásobný kořen Je-li D > 0 kvdrtická rovnice má dvě různá reálná řešení která se počítjí podle vzorce: b ± D příkld: ) 0 D - NŘ ) 9 0 D řešení

11 - - ) 0 D řešení b ± D ± 8 ) 0 0 D (-) ± 9 ± 7 -(-0) ) 9 0 D (-9) 9 ± 9 ± 8 7 ) 0 D ± ± - (-) dlší příkld: td jko metodu řešení lze použít i rozkld kvdrtického trojčlenu zvláště v přípdě kd koeficient : b c 0 ( )( - ) 0 kde -b c - 0 ( )( ) 0-0 ( )( ) 0-0 ( - )( ) ( - )( ) ( )( ) td Neúplné kvdrtické rovnice lze řešit opět pomocí diskriminntu pouze s tím že buď koeficient b 0 ( kvdrtické rovnice bez lineárního členu ) nebo koeficient c 0 ( rze kvdrtické rovnice ) Jednodušší krtší způsob je pomocí příslušného rozkldu ( resp vzorců ): Příkld: ) 0 ± ± 0 D 0 (-) ± tj čísl -

12 - - nebo 0 ( )( ) ( ) nelze rozložit NŘ ( D ) td Řešením rovnic tohoto tpu jsou ted vžd dvě opčná čísl nebo rovnice v množině reálných čísel vůbec řešení nemá ) 0 D (-) ± ± 0 0 nebo ( ) 0 0 ± 0 D nebo ( ) ( ) td Rovnice tohoto tpu mjí vžd jeden kořen roven 0 mjí tké vžd reálná řešení dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Lineární nerovnice jejich soustv ( ) str 9 kp str 7 kp ( ) str kp (jen lineární nerovnice td) ( ) str 9 kp 9 ( ) str kp 8 str kp 9 str kp 0 Mezi výrz n levé n prvé strně se používjí znménk > < Pro práci s nerovnicí se používjí stejné ekvivlentní úprv jko při práci s rovnicemi le při násobení (dělení) záporným číslem (výrzem) se musí změnit znménko nerovnosti n opčné Tké při přípdné výměně levé prvé strn nerovnice se musí znménko nerovnosti změnit n opčné Řešením nerovnic jsou obecně intervl

13 - - Příkld: ( ) ( ) > - > - - > - K ( - ; - -0 > - Dlší příkld: K ) < K (- ; ) ) ) ( ) ( ) K ) ) 7 K (- ; - 7 > NŘ ) Která přirozená čísl jsou řešením nerovnice? 8 ) (-)(-) > ) 8 Soustv dvou lineárních nerovnic o jedné neznámé se řeší tk že se kždá nerovnice vřeší zvlášť výsledné řešení se získá jko průnik Mohou nstt čtři možnosti výsledného řešení: ) < - b) < - c) > - d) > < - < - > - > - (- -) ) (- -) (- (- ) (- (- ) ) K Ø K (- ; -) K (-; K ) Dlší příkld: ) () () > ) < (-) (-) <

14 - - Nerovnice součinového podílového tpu Ptří do ktegorie soustv nerovnic Součin resp podíl dvou výrzů je kldný právě kdž ob výrz mjí stejné znménko tj buď jsou ob kldné nebo jsou ob záporné Eistují ted dvě možnosti řešení kždou zvlášť ted vřešíme celkové řešení budeme hledt jko jejich sjednocení Součin resp podíl dvou výrzů je záporný právě kdž se výrz znménkem liší eistují ted opět dvě možnosti řešení Stejně se postupuje v přípdě nerovností tpu jen v přípdě zlomku musíme dát pozor n jmenovtel (nesmí se rovnt nule) Příkld: ) ()(-) 0 0 nebo K ) U (- ) (-)() < 0 - > 0 nebo - < 0 < 0 > 0 Ø (-; ) K ) (-)(-) 0-0 nebo K ) U (- ) ()(-) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > - < - > < (-; ) K Ø ) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > < > - < - (-; ) K Ø ) 0 0 nebo 0 > 0 < 0 > - < - K ) U (- ) Dlší příkld:

15 td dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Nerovnice s bsolutní hodnotou řeší se obdobně jko rovnice s bsolutní hodnotou tj n zákldě definice bsolutní hodnot metodou nulových bodů řešením v jednotlivých tk vzniklých intervlech Řešením bývjí intervl resp sjednocení intervlů Před zčátkem řešení je dobré zjistit jk se příkld chová v nulových bodech bchom zjistili ve které části číselné os bude řešení nerovnice jk uzvřené intervl budou Nezpomeňte tké zkontrolovt zd možné řešení leží v příslušném intervlu v němž zrovn provádíme výpočet Pro jednodušší příkld lze tké užít metodu grfickou tj zkreslování příslušných intervlů n číselné ose ) - nulový bod 0 pro nerovnost pltí řešení bude ve dvou intervlech v (- je v ) je - - U K ) v nulových bodech nerovnost nepltí v (- -) je v (- 0) je - v (0 ) je tj Ø 7 tj Ø tj Ø K Ø příkld nemá řešení ) - - > nerovnost pltí jen v bodě v (- - ) je ---(-)> 0 v (- je -(-)> > 0 -> 0 - > > 0 < - > 0 v ) je -(-) > 0 - > 0 > - > - K (- ;-) U (0; ) ) - < 0 0 nerovnost pltí jen v čísle v (- 0) je -(-)- < v (0 je -- < v ) je -- < < -0 - < -0 < < - > 0

16 - - (- ; -) U (0; U ) K (- ; -) U (0; ) nerovnost pltí jen v čísle v (- -) je ---(-) v (- je -(-) v ) je -(-) Ø U ) K ) Dlší příkld: < - > 7-9 > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Ircionální rovnice ( ) str kp ( ) str kp ( ) str kp Rovnice s neznámou pod odmocninou obshují neznámou pod odmocninou Řeší se umocňováním což le není ekvivlentní úprv tj při jejím použití může dojít ke změně příkldu Proto nutnou nedílnou součástí řešení je zkoušk která zjistí zd kořen při výpočtu uprvené rovnice po umocnění řeší původní rovnici Umocněním zdné rovnice dostneme lineární nebo kvdrtickou rovnici kterou vřešíme (viz předcházející kpitol) ) / Zk ( 7) není kořenem rovnice 8 ( ) - - je kořenem rovnice 0 9 K { - } 0 ( 7)( ) -7 - ) / Zk není kořen tj zdná 0 rovnice nemá řešení 0 0 ) K { ; }

17 - 7 - ) K { } ) K Ø ( tj žádné řešení ) ) 7 ( ) kořen kvdrtické rovnice jsou - K { } dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Soustv lineárních rovnic ( ) str kp ( ) str kp 9 ( ) str 7 kp ( ) část - str kp str 7 kp Řešením soustv dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je tková uspořádná dvojice [ ; ] která po doszení do původní soustv z příslušné proměnné určí pltné rovnosti Eistuje několik klsických metod řešení soustv: srovnávcí doszovcí sčítcí kombinovná z předcházejících dvou grfická le tké pomocí determinntů Řešením soustv tří lineárních rovnic o třech neznámých je uspořádná trojice [ ; ; z] K řešení se užívá stejných metod jko u soustv dvou lineárních rovnic (kromě grfické) Soustv lineárních rovnic má buď nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení nebo jediné řešení ) ( I ) z - ( II ) z ( III ) z ( I ) -- -z doszovcí vzorec ten dosdíme do ( II ) ( III ) ( II ) ( ---z ) z ( III ) (---z) --z ( II ) z - z ( III ) z - - z ( II ) - - 9z / : -8-0z 8 / : ( II ) - z /(-) - z z - sečteme - z 7z 0 z 0 dosdíme npř do ( II ) - z pk do doszovcího vzorce ( I ) -- -z - -(-) -0 -

18 - 8 - Řešením je ted [ ; - ; 0] Dlší příkld: ) z ) z - ) z -7 z z z 8 z - z - z 7 [8 ] [ - 0] [ - ] ) z - - z - [ -] z 8 dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Doplnění shrnutí učiv Příkld n procvičování opkování příprvu n písemný test: ) kvdrtické rovnice: ) )( ( ) ( ) lineární rovnice lineární nerovnice: 0 () (-) 7 7 ( ( > 8 < 8 ) soustv lineárních nerovnic: ) ( ) () > ( ) ( ) b) < < c)

19 - 9 - ) nerovnice součinového podílového tpu: (-)() > 0 (-)() < 0 < > 0 - ) rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou: - < - 7 > 7- < - < - - < - - > - < ) ircionální rovnice - 7) soustv lineárních rovnic - z - z z -8 z z - z 0 z z 7 z Závěrečný test pro druhé pololetí bude obshovt šest příkldů kždý bude z ) i z b): Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik ve pololetí - konec tetu -

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně

Více

1.4.1 Výroky. Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pravdivé

1.4.1 Výroky. Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pravdivé 1.4.1 Výroky Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pradié Číslo π je iracionální. pradiý ýrok Ach jo, zase matika. není ýrok V rozrhu máme deset hodin matematiky týdně.

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy

Více

Aritmetika s didaktikou II.

Aritmetika s didaktikou II. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

5. Geometrické transformace

5. Geometrické transformace 5. Geometrické trnormce V této čáti předmětu 3D počítčová grik e budeme bývt geometrickými trnormcemi 3D objektů. Jedná e o operce pouvů otáčení měn měřítk koení těle vtvořených opercemi modelování. Stejnou

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce METODICKÝ LIST DA11 Název tématu: Autor: Předmět: Znaky dělitelnosti - Procvičování Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: fixační samostatná práce, případně

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Cyklus while, do-while, dělitelnost, Euklidův algoritmus

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Cyklus while, do-while, dělitelnost, Euklidův algoritmus Číslo a název šablony Číslo didaktického materiálu Druh didaktického materiálu Autor Jazyk Téma sady didaktických materiálů Téma didaktického materiálu Vyučovací předmět Cílová skupina (ročník) Úroveň

Více

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit

Více

ŠVP - učební osnovy - Vzdělání pro život - rozšířená výuka matematiky, přírodovědných předmětů a informatiky

ŠVP - učební osnovy - Vzdělání pro život - rozšířená výuka matematiky, přírodovědných předmětů a informatiky 1 Učební osnovy 1.1 Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými

Více

Řešení: 20. ročník, 2. série

Řešení: 20. ročník, 2. série Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数 A absolutní člen 常 量 成 员 absolutní hodnota čísla 绝 对 值 algebraický výraz 代 数 表 达 式 ar 公 亩 aritmetický průměr 算 术 均 数 aritmetika 算 术, 算 法 B boční hrana 侧 棱 boční hrany jehlanu 角 锥 的 侧 棱 boční stěny jehlanu

Více

Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků

Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků CVIČENÍ Z MATEMATIKY Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět je realizován od 6. ročníku až po 9. ročník po 1 hodině týdně. Výuka probíhá v kmenové učebně nebo

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M9101 provádí početní operace

Více

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201 .. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů. Naučí nás rozdělit

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Okruhy a doporučená literatura písemné přijímací zkoušky - obor Přístroje a metody pro biomedicínu specifická část testu

Okruhy a doporučená literatura písemné přijímací zkoušky - obor Přístroje a metody pro biomedicínu specifická část testu Okruhy oporučená litertur písemné přijímí zkoušky - oor Přístroje metoy pro iomeiínu speiiká část testu Mtemtik v rozshu klářského stui ooru Biomeiínský tehnik (BMT) n FBMI: A Diereniální počet unkí jené

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Výsledky testování školy. Druhá celoplošná generální zkouška ověřování výsledků žáků na úrovni 5. a 9. ročníků základní školy. Školní rok 2012/2013

Výsledky testování školy. Druhá celoplošná generální zkouška ověřování výsledků žáků na úrovni 5. a 9. ročníků základní školy. Školní rok 2012/2013 Výsledky testování školy Druhá celoplošná generální zkouška ověřování výsledků žáků na úrovni 5. a 9. ročníků základní školy Školní rok 2012/2013 Základní škola Obříství, okres Mělník Termín zkoušky: 13.

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV. Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV.. Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

Matematika - Sekunda Matematika sekunda Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy

Matematika - Sekunda Matematika sekunda Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy - Sekunda Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo

Více

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy).

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). ROZCVIČKY Z MATEMATIKY 8. ROČ Prezentace jsou vytvořeny v MS PowerPoint 2010 (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). Anotace: Materiál slouží k procvičení základních

Více

1. DÁLNIČNÍ A SILNIČNÍ SÍŤ V OKRESECH ČR

1. DÁLNIČNÍ A SILNIČNÍ SÍŤ V OKRESECH ČR 1. DÁIČNÍ A SIIČNÍ SÍŤ V OKRESE ČR Pro dopravu nákladů, osob a informací jsou nutné podmínky pro její realizaci, jako je kupříkladu vhodná dopravní infrastruktura. V případě pozemní silniční dopravy to

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_2_20 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník

Více

Dělitelnost. pracovní list. Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace

Dělitelnost. pracovní list. Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace Dělitelnost pracovní list Název školy: Číslo projektu: Autor: Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace CZ.1.07/1.4.00/21.1131 Mgr. Lenka Němetzová Datum vytvoření:

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo metodická příručka DiPo násobení a dělení () PLUS násobilkové karty DiPo OlDiPo, spol. s r.o. tř. Svobody 20 779 00 Olomouc telefon: 585 204 055 mobil: 777 213 535 e-mail: oldipo@oldipo.cz web: www.oldipo.cz

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Měřidla. Existují dva druhy měření:

Měřidla. Existují dva druhy měření: V této kapitole se seznámíte s většinou klasických druhů měřidel a se způsobem jejich použití. A co že má dělat měření na prvním místě mezi kapitolami o ručním obrábění kovu? Je to jednoduché - proto,

Více

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině): Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).

Více

5. cvičení 4ST201_řešení

5. cvičení 4ST201_řešení cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení

Více

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Zákon o významné tržní síle

Zákon o významné tržní síle Mteriál pro jednání 114. Plenární schůze RHSD ČR konné dne 1. prosince 2014 Zákon o význmné tržní síle Zprcovl: Svz obchodu cestovního ruchu ČR Bude projednáno n PT RHSD pro vnitřní trh dne 18. 11. 201

Více

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3) Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY 1. Výrazy a počítání s nimi... 4 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem... 4 1.2 Počítání s odmocninami... 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů... 10 2. Rovnice,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Finanční matematika pro každého

Finanční matematika pro každého Novinky nakladatelství GRADA Publishing Investice do akcií běh na dlouhou trat JEME AVU PŘIPR Jeremy Siegel výnosy finančních aktiv za posledních 2 let úspěšnost finančních strategií faktory ovlivňující

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 - ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8. Výuka matematického semináře bude probíhat jednou týdně v dvouhodinovém bloku.

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0 PZK 9 M9-Z-D-PR_OT_ST M9PZD6CT Pokyny k hodnocení Pokyny k hodnocení úlohy BODY ZADÁNÍ Vypočtěte, kolikrát je rozdíl čísel,4 a,7 (v tomto pořadí) menší než jejich součet. (V záznamovém archu je očekáván

Více

1. a) Přirozená čísla

1. a) Přirozená čísla jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí

Více

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů. Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je

Více

ZA4890. Flash Eurobarometer 261 (Flash eurobarometer on water) Country Specific Questionnaire Czech Republic

ZA4890. Flash Eurobarometer 261 (Flash eurobarometer on water) Country Specific Questionnaire Czech Republic ZA4890 Flash Eurobarometer 261 (Flash eurobarometer on water) Country Specific Questionnaire Czech Republic FLASH 261 WATER Q1. Nakolik se cítíte informováni o problémech, kterým čelí jezera a řeky ve

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

1.1.11 Poměry a úměrnosti I

1.1.11 Poměry a úměrnosti I 1.1.11 Poměry a úměrnosti I Předpoklady: základní početní operace, 010110 Poznámka: Následující látka bohužel patří mezi ty, kde je nejvíce rozšířené používání samospasitelných postupů, které umožňují

Více

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v

Více

Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011

Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011 Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011 Účelové komunikace jsou důležitou a rozsáhlou částí sítě pozemních komunikací v České republice. Na rozdíl od ostatních kategorií

Více

Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.

Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit. Pro 2 až 6 hráčů od 10 let Určitě víte, kde leží Sněžka, Snad také víte, kde pramení Vltava, kde leží Pravčická brána, Černé jezero nebo Prachovské skály. Ale co třeba Nesyt, jeskyně Šipka, Pokličky nebo

Více

Obsah. Logická zkoumání

Obsah. Logická zkoumání Obsah Logická zkoumání O smyslu a významu 17 Výklady o smyslu a významu 43 Funkce a pojem 55 Pojem a předmět 79 Myšlenka. Logické zkoumání 95 Recenze Husserlovy Filosofie aritmetiky 123 Základy aritmetiky

Více

Slovní úlohy na sjednocení dvou množin s neprázdným průnikem. II b III

Slovní úlohy na sjednocení dvou množin s neprázdným průnikem. II b III Slovní úlohy n sjenoení vou množin s neprázným průnikem Vennův igrm ( John Venn 1834 (Hull, Anglie) 1923 (Cmrige, Anglie) ) A V Životopis John Venn: http://www-groups.s.st-n..uk/ history/mthemtiins/venn.html

Více

I. kolo kategorie Z6

I. kolo kategorie Z6 58. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z6 Z6 I 1 Naobrázkuječtvercovásíť,jejížčtvercemajístranudélky1cm.Vsítijezakreslen obrazec vybarvený šedě. Libor má narýsovat přímku, která je rovnoběžná

Více

Měření základních vlastností OZ

Měření základních vlastností OZ Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

Návrh rozměrů plošného základu

Návrh rozměrů plošného základu Inženýrský manuál č. 9 Aktualizace: 02/2016 Návrh rozměrů plošného základu Program: Soubor: Patk Demo_manual_09.gpa V tomto inženýrském manuálu je představeno, jak lze jednoduše a ektivně navrhnout železobetonovou

Více

Výsledky přijímacích zkoušek

Výsledky přijímacích zkoušek Výsledky přijímacích zkoušek V tomto modulu komise zadává výsledky přijímací zkoušky a navrhuje, zda uchazeče přijmout či nepřijmout včetně odůvodnění. 1. Spuštění modulu "Výsledky přijímacích zkoušek"

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více