Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia"

Transkript

1 - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin 7) Algebrické výrz 8) Početní operce s výrz 9) Lomené výrz 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí ) Rovnice ekvivlentní úprv ) Lineární rovnice ) Soustv lineárních rovnic ) Kvdrtické rovnice ) Řešení kvdrtických rovnic ) Nerovnice jejich soustv 7) Rovnice s bsolutní hodnotou 8) Nerovnice s bsolutní hodnotou 9) Ircionální rovnice 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí Vučuje: RNDr Věr Schuhová Litertur (pro celé studium): povinně: ( ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studi edice Mturit(N Kubešová ECibulková) doporučeně: ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY nkldtelství Didktik díl rozsáhleji je zde teorie pěkné doporučuji hlvně pro t kteří uvžují o mturitě z mtemtik ( ) Mtemtik v kostce pro střední škol (Z Vošický) ( ) Mtemtik pro SOŠ studijní obor SOU (kol utorů-odvárko Cld ) část určeno spíše pro denní studium ( ) Tbulk mtemtické fzikální chemické pro střední škol dále eistují různé sbírk úloh k probírné temtice řešené příkld i teorii lze hledt i n internetu (mtemtik po loptě mtemtik on line td)

2 - - pololetí Číselné obor bsolutní hodnot intervl ( ) str - kp str7 kp str kp str kp str 0 kp ( ) str 9 kp str kp str kp str kp ( ) str kp ( ) první část: str7 kp str kp str7 kp N { }- množin přirozených čísel: pojm: prvočíslo složená čísl vět o dělitelnosti největší společný dělitel vět o dělitelnosti Z N 0 čísl opčná množin celých čísel: zákldní operce v Z: (-)8 -()- -(-) -(-(-)) - 0 cokoliv totéž pro dělení 0: čímkoliv 0 cokoliv : 0nelze td Q množin rcionálních čísel: lze je npst ve tvru zlomku či desetinným konečným nebo periodickým rozvojem zákldní operce se zlomk: složený zlomek krácení rozšiřování sčítání odčítání násobení dělení opkování ze ZŠ SOU I množin ircionálních čísel npř π td R množin reálných čísel lze je znázornit n číselné ose Části číselné os se nzývjí intervl Pltí R Q Z N I QR Př: Znázorněte n číselné ose zpište množinově tj pomocí příslušných závorek: >- < < > > - td Př: Sjednocení průnik intervlů A B A B npř A ( 0) B 7 (hledejte přípdnou pomoc v doporučené litertuře) Absolutní hodnot reálného čísl se znčí je to nezáporné reálné číslo pro které pltí: ) je-li 0 je ) je-li < 0 je - Absolutní hodnot reálného čísl je (geometrick) vzdálenost obrzu tohoto čísl od počátku souřdnic ( 0) tjdélk této úsečk Její vlstnosti: b b b b b b Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: < < > - Nulový bod je reálné číslo které získáme tk že výrz uvnitř bsolutní hodnot položíme rovný nule Nulový bod pro je 0 pro - je pro je - pro je - pro - je Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: - < - > Příkld n procvičení:

3 - - Vpočítejte: ) -- b) --(-) c) d) - -7 e) f) - - Znázorněte zpište: ) < b) c) < d) >0 Určete průnik sjednocení intervlů: ) ( - ; ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) (; ) d) ( -; ) ( ; ) e) (- ; 0 0 f) ( 0; ) 0 Znázorněte zpište: ) - b) c) - < d) - e) - > f) - < dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Mocnin odmocnin ( ) str 7 kp ( ) str kp 8 ( ) str 0 kp ( ) první část: str kp 7 8 druhá část: str kp mocnin n neponent(mocnitel) zákld mocnin je n-krát vnásobené stejné číslo mocnin s přirozeným eponentem pro všechn reálná čísl mocnin s celým eponentem pro všechn reálná čísl 0 mocnin s rcionálním eponentem pro všechn kldná reálná čísl tj > 0 Prvidl pro počítání s mocninmi: Sčítt(odčítt) lze pouze mocnin stejného zákldu stejného eponentu Pro všechn přípustná b n r s pltí: 0 r s rs r : s r-s ( r ) s rs n (-) n pro sudé n (-) n - pro liché n -n n m n n n m n n b n (b )n n n b b n zvedení druhé třetí odmocnin: z libovolného nezáporného čísl je tkové nezáporné číslo pro které pltí z libovolného čísl je tkové číslo pro které pltí že npř dlší vlstnosti odmocnin příkld viz litertur ( )

4 - - částečné odmocňování - npříkld: Při počítání se zlomk nemůže být ve jmenovteli odmocnin zbvíme se ji tk že dný zlomek rozšíříme říká se tomu usměrňování zlomků npříkld: Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Použití pro usměrňování npříkld: ( ) Příkld n procvičování: ( ) ( ) ( ) - - ( - ) ( ) ( ) z : 7 ( ) dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Algebrické výrz ( ) str kp ( ) str7 kp str kp 7 ( ) str kp ( ) str kp

5 - - výrz obshuje číselné konstnt proměnné (písmen mlé beced) zákldní operce s nimi (-: ) mocnin odmocnin zlomkové čár znk funkcí ( log sin ) Neobshuje ted znk rovnosti či nerovnosti Člen výrzu jednočlen mnohočlen hodnot výrzu lomený výrz smsl výrzu neboli podmínk z nichž má výrz smsl u lomeného výrzu je zákldním prvidlem že ve jmenovteli nesmí po doszení z proměnné vjít nul zákldní operce s výrz: sčítání(odčítání) mnohočlenů jen člen stejného stupně npř -( - )(-7 ) násobení mnohočlenů: (- ) - 9 ( )( - ) - - : Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! proto znovu (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Vzorce pro třetí mocnin dvojčlenu nejsou povinné Úprv lomených výrzů: vtýkání před závorku rozkld podle vzorců rozkld kvdrtického trojčlenu krácení n zákldní tvr sčítání lomených výrzů násobení dělení lomených výrzů Příkld n procvičování: - b 9 9b (b)(-b)9(b) (b)(-b9) ()-- ()-() ()(-) - ()(-) (-) () (-) (9) ( - ) - uprvte smi 70 ()() - ()(-) -8 (-)(-) -- (-)() td : 9 8 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( z b b b b b b b

6 - - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Shrnutí učiv pololetí vzorový test ke zkoušení v pololetí: ) Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů ) < b) < ) Usměrněte zlomk: ) b) 9 ) Uprvte n co nejjednodušší tvr nezpomeňte n podmínk z kterých mjí dné výrz smsl: ( ) ) b) ( ) ) Uprvte n zákldní tvr: 9 0 ) 8 z b) Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu (viz vzor) dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik v pololetí pololetí Řešení lineárních rovnic ( ) str kp- str 0 pročíst str - lineární funkce ( ) str 8-0 kp 9 str kp ( ) str kp str kp ( ) druhá část: str kp

7 - 7 - Lineární funkce je dán rovnicí b kde b R 0 D(f) R Řešení lineárních rovnic pk znmená určit všechn tk b výrz b se rovnl 0 Řešením rovnice b 0 je - b tj lineární rovnice( dále LR) má řešení eistuje-li výrz n prvé strně Řešit rovnici znmená njít všechn tková pro která pltí že výrz n levé strně rovnice je roven výrzu n prvé strně řeší se vžd v nějké zákldní množině nejčstěji v množině R LR obecně má buď jedno řešení nebo žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení Při řešení se používjí tzv ekvivlentní úprv: ) Strn rovnice lze změnit je jedno jestli píšu nebo ) Převádíme-li výrz (člen) rovnice z jedné strn n druhou musíme změnit jeho znménko n opčné: 7 7- ) Obě strn rovnice můžeme násobit (dělit) stejným výrzem různým od nul: Zkoušk řešení se provádí doszením zvlášť do levé i do prvé strn rovnice ( v přípdě používání pouze ekvivlentních úprv není zkoušk nutná ) Doporučený postup řešení LR: Stnovit D(f) rovnice tj tzv podmínk Odstrnit lomené výrz (zlomk) vnásobit rovnici společným jmenovtelem Odstrnit závork roznásobením užitím vzorců td Převést člen obshující neznámou n jednu strnu rovnice bsolutní člen (čísl) n druhou strnu rovnice pk sečíst člen n příslušných strnách LR vdělit číselným koeficientem stojícím před Provést zkoušku je-li to nutné Příkld: ) 0 0 b) c) řešení nekonečně mnoho žádné řešení řešení ve zkušebním testu bude rovnice s neznámou ve jmenovteli! Příkld n procvičování: ) c) b) d) [ -] [ ]

8 - 8 - e) ( ) ( ) [ ] f) [ ] g) 8 h) 8 0[ - řešení ] i) [ ] j) [ - tjnemá řešení] ( )( ) k) [ -] l) (-) () () (-) - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Rovnice součinového podílového tpu Jedná se o rovnice tpu L() 0 kde n levé strně je součin dvou i více výrzů Řeší se n zákldě prvidl že součin několik činitelů se rovná nule pouze v přípdě že lespoň jeden z těchto činitelů je nule roven Příkld: ) (-) 0 0 nebo b) ()(-) 0 - nebo c) (-)()(-) 0 - d) ()(-)(7) Rovnice podílového tpu má tvr lomeného výrzu který se rovná nule Řeší se n zákldě prvidl kd zlomek se rovná nule právě kdž se nule rovná čittel ztímco jmenovtel tohoto zlomku musí být různý od nul Příkld: ) 0 - ( - ) b) ( )( )( 7) c) ( )( ) ( )( )( )( 8) d) ( to už být nemůže!) ( )( ) ( 9)( ) ( ) ( )( ) e) 0 0 ( )( ) ( )( ) poznámk: výrz ( ) se nikd nule rovnt nemůže proto se neobjevuje zde v podmínkách kdb bl v čitteli tk b nedávl žádné možné řešení

9 - 9 - Rovnice s bsolutní hodnotou ( ) str 7 kp ( ) str 0 kp 9 ( ) str kp ( ) část kp 9 k řešení se používá definice bsolutní hodnot metod řešení pomocí intervlů tj metod nulových bodů Nulové bod získáváme tk že výrz v bsolutní hodnotě položíme rovný nule Tím se rozdělí číselná os n dv ( jedn bsolutní hodnot ) tři ( dvě různé bsolutní hodnot ) td intervl V nich se nhrdí bsolutní hodnot příslušným výrzem ( dle definice bsolutní hodnot ) v kždém intervlu zvlášť se příkld vpočítá Výsledné celkové řešení se získá sjednocením dílčích řešení Příkld: ) - nemá řešení ) 0 jedno řešení: - ) -7 dvě řešení: 8 nulový bod je 7 řešením jsou t čísl která jsou ve vzdálenosti jedn od tohoto nulového bodu n obě strn (řešení grfické) nebo výpočtem: 0 7 v intervlu (- 7) řešíme v intervlu (7 ) řešíme tj K { ; 8} ) 0 - v intervlu (- -) řešíme v intervlu (- ) řešíme - tj K {-8 ; } ) K { } ) 0 - v intervlu (- ; -) řešíme -- le v dném intervlu není řešení v intervlu (-; ) řešíme - nemá řešení tkže celkově rovnice nemá řešení 7) 7 nulové bod 0 vzniknou tři intervl: (- ;) (; ) (; ) přepis rovnice: tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-; } 8) - 8 nulové bod 0 - vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; ) (; ) přepis rovnice: tj celý intervl čili množin kořenů dné rovnice je uzvřený intervl < -; > 9) nulové bod 0-7 vzniknou tři intervl: (- ;-7) (-7; ) (; ) přepis rovnice: --(--7)

10 tj NŘ tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-} 0) ) - nulové bod vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; -) (-; ) přepis rovnice: ---(--) ---() -() - - tj celý intervl tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je intervl ( - ; - > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic v příslušné konzultci se budou podobným principem řešit nerovnice s bsolutní hodnotou Kvdrtické rovnice ( ) str 8 kp str 9 kp 7 str kp ( ) str 7 8 kp 0 str 8 ž 7 kp ( ) str kp str kp (jen kvdrtické funkce) ( ) část str 7 kp Kvdrtická funkce je dán rovnicí b c kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 Hledt průsečík grfu kvdrtické funkce s vodorovnou osou je vlstně totéž jko řešit kvdrtické rovnice Kvdrtická rovnice se nejprve převede ( n zákldě klsických úprv rovnic tj npř odstrnění zlomků závorek td ) do tzv nulovného tvru b c 0 kde kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 je kvdrtický člen b je lineární člen c je bsolutní člen čísl b c se nzývjí koeficient kvdrtické rovnice Pk se spočítá tzv diskriminnt podle vzorce D b c Je-li D < 0 kvdrtická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení ( bude doplněno ve třetím ročníku v kpitole komplení čísl ) jeli D 0 kvdrtická rovnice má právě jedno reálné řešení nzývá se dvojnásobný kořen Je-li D > 0 kvdrtická rovnice má dvě různá reálná řešení která se počítjí podle vzorce: b ± D příkld: ) 0 D - NŘ ) 9 0 D řešení

11 - - ) 0 D řešení b ± D ± 8 ) 0 0 D (-) ± 9 ± 7 -(-0) ) 9 0 D (-9) 9 ± 9 ± 8 7 ) 0 D ± ± - (-) dlší příkld: td jko metodu řešení lze použít i rozkld kvdrtického trojčlenu zvláště v přípdě kd koeficient : b c 0 ( )( - ) 0 kde -b c - 0 ( )( ) 0-0 ( )( ) 0-0 ( - )( ) ( - )( ) ( )( ) td Neúplné kvdrtické rovnice lze řešit opět pomocí diskriminntu pouze s tím že buď koeficient b 0 ( kvdrtické rovnice bez lineárního členu ) nebo koeficient c 0 ( rze kvdrtické rovnice ) Jednodušší krtší způsob je pomocí příslušného rozkldu ( resp vzorců ): Příkld: ) 0 ± ± 0 D 0 (-) ± tj čísl -

12 - - nebo 0 ( )( ) ( ) nelze rozložit NŘ ( D ) td Řešením rovnic tohoto tpu jsou ted vžd dvě opčná čísl nebo rovnice v množině reálných čísel vůbec řešení nemá ) 0 D (-) ± ± 0 0 nebo ( ) 0 0 ± 0 D nebo ( ) ( ) td Rovnice tohoto tpu mjí vžd jeden kořen roven 0 mjí tké vžd reálná řešení dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Lineární nerovnice jejich soustv ( ) str 9 kp str 7 kp ( ) str kp (jen lineární nerovnice td) ( ) str 9 kp 9 ( ) str kp 8 str kp 9 str kp 0 Mezi výrz n levé n prvé strně se používjí znménk > < Pro práci s nerovnicí se používjí stejné ekvivlentní úprv jko při práci s rovnicemi le při násobení (dělení) záporným číslem (výrzem) se musí změnit znménko nerovnosti n opčné Tké při přípdné výměně levé prvé strn nerovnice se musí znménko nerovnosti změnit n opčné Řešením nerovnic jsou obecně intervl

13 - - Příkld: ( ) ( ) > - > - - > - K ( - ; - -0 > - Dlší příkld: K ) < K (- ; ) ) ) ( ) ( ) K ) ) 7 K (- ; - 7 > NŘ ) Která přirozená čísl jsou řešením nerovnice? 8 ) (-)(-) > ) 8 Soustv dvou lineárních nerovnic o jedné neznámé se řeší tk že se kždá nerovnice vřeší zvlášť výsledné řešení se získá jko průnik Mohou nstt čtři možnosti výsledného řešení: ) < - b) < - c) > - d) > < - < - > - > - (- -) ) (- -) (- (- ) (- (- ) ) K Ø K (- ; -) K (-; K ) Dlší příkld: ) () () > ) < (-) (-) <

14 - - Nerovnice součinového podílového tpu Ptří do ktegorie soustv nerovnic Součin resp podíl dvou výrzů je kldný právě kdž ob výrz mjí stejné znménko tj buď jsou ob kldné nebo jsou ob záporné Eistují ted dvě možnosti řešení kždou zvlášť ted vřešíme celkové řešení budeme hledt jko jejich sjednocení Součin resp podíl dvou výrzů je záporný právě kdž se výrz znménkem liší eistují ted opět dvě možnosti řešení Stejně se postupuje v přípdě nerovností tpu jen v přípdě zlomku musíme dát pozor n jmenovtel (nesmí se rovnt nule) Příkld: ) ()(-) 0 0 nebo K ) U (- ) (-)() < 0 - > 0 nebo - < 0 < 0 > 0 Ø (-; ) K ) (-)(-) 0-0 nebo K ) U (- ) ()(-) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > - < - > < (-; ) K Ø ) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > < > - < - (-; ) K Ø ) 0 0 nebo 0 > 0 < 0 > - < - K ) U (- ) Dlší příkld:

15 td dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Nerovnice s bsolutní hodnotou řeší se obdobně jko rovnice s bsolutní hodnotou tj n zákldě definice bsolutní hodnot metodou nulových bodů řešením v jednotlivých tk vzniklých intervlech Řešením bývjí intervl resp sjednocení intervlů Před zčátkem řešení je dobré zjistit jk se příkld chová v nulových bodech bchom zjistili ve které části číselné os bude řešení nerovnice jk uzvřené intervl budou Nezpomeňte tké zkontrolovt zd možné řešení leží v příslušném intervlu v němž zrovn provádíme výpočet Pro jednodušší příkld lze tké užít metodu grfickou tj zkreslování příslušných intervlů n číselné ose ) - nulový bod 0 pro nerovnost pltí řešení bude ve dvou intervlech v (- je v ) je - - U K ) v nulových bodech nerovnost nepltí v (- -) je v (- 0) je - v (0 ) je tj Ø 7 tj Ø tj Ø K Ø příkld nemá řešení ) - - > nerovnost pltí jen v bodě v (- - ) je ---(-)> 0 v (- je -(-)> > 0 -> 0 - > > 0 < - > 0 v ) je -(-) > 0 - > 0 > - > - K (- ;-) U (0; ) ) - < 0 0 nerovnost pltí jen v čísle v (- 0) je -(-)- < v (0 je -- < v ) je -- < < -0 - < -0 < < - > 0

16 - - (- ; -) U (0; U ) K (- ; -) U (0; ) nerovnost pltí jen v čísle v (- -) je ---(-) v (- je -(-) v ) je -(-) Ø U ) K ) Dlší příkld: < - > 7-9 > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Ircionální rovnice ( ) str kp ( ) str kp ( ) str kp Rovnice s neznámou pod odmocninou obshují neznámou pod odmocninou Řeší se umocňováním což le není ekvivlentní úprv tj při jejím použití může dojít ke změně příkldu Proto nutnou nedílnou součástí řešení je zkoušk která zjistí zd kořen při výpočtu uprvené rovnice po umocnění řeší původní rovnici Umocněním zdné rovnice dostneme lineární nebo kvdrtickou rovnici kterou vřešíme (viz předcházející kpitol) ) / Zk ( 7) není kořenem rovnice 8 ( ) - - je kořenem rovnice 0 9 K { - } 0 ( 7)( ) -7 - ) / Zk není kořen tj zdná 0 rovnice nemá řešení 0 0 ) K { ; }

17 - 7 - ) K { } ) K Ø ( tj žádné řešení ) ) 7 ( ) kořen kvdrtické rovnice jsou - K { } dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Soustv lineárních rovnic ( ) str kp ( ) str kp 9 ( ) str 7 kp ( ) část - str kp str 7 kp Řešením soustv dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je tková uspořádná dvojice [ ; ] která po doszení do původní soustv z příslušné proměnné určí pltné rovnosti Eistuje několik klsických metod řešení soustv: srovnávcí doszovcí sčítcí kombinovná z předcházejících dvou grfická le tké pomocí determinntů Řešením soustv tří lineárních rovnic o třech neznámých je uspořádná trojice [ ; ; z] K řešení se užívá stejných metod jko u soustv dvou lineárních rovnic (kromě grfické) Soustv lineárních rovnic má buď nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení nebo jediné řešení ) ( I ) z - ( II ) z ( III ) z ( I ) -- -z doszovcí vzorec ten dosdíme do ( II ) ( III ) ( II ) ( ---z ) z ( III ) (---z) --z ( II ) z - z ( III ) z - - z ( II ) - - 9z / : -8-0z 8 / : ( II ) - z /(-) - z z - sečteme - z 7z 0 z 0 dosdíme npř do ( II ) - z pk do doszovcího vzorce ( I ) -- -z - -(-) -0 -

18 - 8 - Řešením je ted [ ; - ; 0] Dlší příkld: ) z ) z - ) z -7 z z z 8 z - z - z 7 [8 ] [ - 0] [ - ] ) z - - z - [ -] z 8 dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Doplnění shrnutí učiv Příkld n procvičování opkování příprvu n písemný test: ) kvdrtické rovnice: ) )( ( ) ( ) lineární rovnice lineární nerovnice: 0 () (-) 7 7 ( ( > 8 < 8 ) soustv lineárních nerovnic: ) ( ) () > ( ) ( ) b) < < c)

19 - 9 - ) nerovnice součinového podílového tpu: (-)() > 0 (-)() < 0 < > 0 - ) rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou: - < - 7 > 7- < - < - - < - - > - < ) ircionální rovnice - 7) soustv lineárních rovnic - z - z z -8 z z - z 0 z z 7 z Závěrečný test pro druhé pololetí bude obshovt šest příkldů kždý bude z ) i z b): Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik ve pololetí - konec tetu -

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

KEA 2009/2010. pr m rný percentil ADGHV. sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika. T_G3_MA Po et respondent : 31/278

KEA 2009/2010. pr m rný percentil ADGHV. sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika. T_G3_MA Po et respondent : 31/278 KEA 29/21 sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika t ída 7. ro níky gymnázií 1 9 8 86 83 78 79 77 83 pr m rný percentil 7 6 5 4 63 3 2 1 81 78 59 75 72 78 74 Celek aritmetika geometrie

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

STONOŽKA 2010/2011, modul KEA

STONOŽKA 2010/2011, modul KEA STONOŽKA 21/211, modul KEA Analýza dovedností a tematických ástí - matematika t ída základní školy 1 9 8 7 pr m rný percentil 6 5 4 32 35 39 32 2 1 47 46 43 46 43 46 46 Celek aritmetika funkce, rovnice,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Ó Á Ň Í Ž Č Í Ž ň Ž Ž ú Ž Ž Á Ž Í ú ú ú Í Í ť ť ď Í Í ú Í ď Ž Ř Í ň ď Č Í Č Č ď ď Ž Č ď Ž Ž ď Í Ž ú ď Ó ď ú Í Í ď ď ď ď ň Žď ú ú ť ď ď ď Ž Ž Á ď Ž Í Ž Ž Ž ď Ž Č Ž Ž ú Ž Í ú ň Ž ú ď ň ď Č Č ď ú Č ť Ó Í

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

l. 1 Úvodní ustanovení

l. 1 Úvodní ustanovení OBEC V EMYSLICE Obecn závazná vyhlá ka. 1 / 2015 o stanovení systému shroma ování, sb ru, p epravy, t íd ní, vyu ívání a odstra ování komunálních odpad a nakládání se stavebním odpadem na území obce V

Více

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2013, i nasazení verze zpracující p ehled o p íjmech a výdajích za rok 2013 upozornit na projetí dávkového programu v N_UDRZBA pro vy len

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

1) CHCEME, ABY RADNICE - M

1) CHCEME, ABY RADNICE - M petice-za-zmenu-pravidel_050509.doc PETICE A POŽADAVKY ob an M stské ásti Praha 3 za zm nu pravidel prodeje byt ve IV. etap privatizace byt a na podporu prohlášení Ob anského sdružení ŽIŽKOV (NEJEN) SOB

Více

Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník

Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník 3. 1. Tematický plán pro 3. ro ník 3. 2. Tematický plán - Nám ty 3. 3. Seznam doporu ených inovativních pom cek 3. 4. Doporu ená odborná literatura 3. 5. erpáno z

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Á ř é é ů é ř ř Č ú ů é ř ř é š š é ú ú é ď ř ú ů ň é é é ř š ú řš řš š é ú é ř ř Ž é ř é ř Č é é ř ř é ó ú ú ú ú ř é é ř é ř š é ř ú ů š ř ů š ů úř Ú Ž š š ú ů é ř ř ú é ř ř é é ó ř ú ř ř ú é ř ř é é

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Stroj na peníze I. díl Námitky a jak na n IVO TOMAN Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s.

Více

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným.

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. I. Rejst íkový soud 1 Adresa rejst íkového soudu, jemuž

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

NĚMECKÝ JAZYK Pracovní listy pro žáky

NĚMECKÝ JAZYK Pracovní listy pro žáky NĚMECKÝ JAZYK Pracovní listy pro žáky vytvořené v rámci projektu ZŠ a MŠ Potštát: Technické a jazykové vzdělávání ZŠ Potštát: energetikou k udržitelnému rozvoji Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.04/01.0198

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

R e á l n á č í s l a - R

R e á l n á č í s l a - R Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork

Více

PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM

PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM ve vlastnictví eské republiky - p íslušnosti hospoda ení Ministerstva obrany eské republiky a p ísp vkové organizace Správa vojenského bytového fondu Praha (dále jen Pravidla

Více

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š...

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š... 2 0 1 2 / 2 01 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í k r2o0 1 2 / 2 01 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d o v á D o k u m e n t : I I V O S / I / S M 9 8 8 S c h v

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník

Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník 2. 1. Tematický plán pro 2. ro ník 2. 2. Tematický plán - Nám ty 2. 3. Seznam doporu ených inovativních pom cek 2. 4. Doporu ená odborná literatura 2. 5. erpáno z

Více

Ě Ý Ř úř ř ý Á Ř Á É Ř Á Ř É Á š Ž Á Ř Ž ú ř úř úř úř ř š ý ú ř Š ř ů ú ř ř š ř ů ř ř ú Ř ú ř ř ž ř ú ú ý ů ý ř ú ř ř ů ř ú ř ř Ž ů úř úř ř ř ř š ť ř š Ž ý ř ř ů ř úř ň ů ř Ž Ž ř ř ů ů ý ý Ž řň š ř š ý

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Jazykový rozbor 2 - ešení

Jazykový rozbor 2 - ešení Jazykový rozbor 2 - ešení Varianta A hem okupace se mnozí ob ané podíleli na protifašistickém odboji, který vyjad oval jejich bytostný odpor v i fašismu. (všechny následující úkoly se týkají tohoto souv

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy ke standardu ISA 720 ODPOV DNOST AUDITORA VE VZTAHU K OSTATNÍM INFORMACÍM V DOKUMENTECH OBSAHUJÍCÍCH AUDITOVANOU Ú ETNÍ ZÁV RKU Aplika ní doložku mezinárodního

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Finan ní ízení projekt

Finan ní ízení projekt Finan ní ízení projekt Jaká témata budou probrána v rámci prezentace: Jak pracovat s rozpo tem projektu Jak sledovat harmonogram projektu Jak na finan ní plán projektu Zdroje informací P íru ka pro adatele

Více

MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Číslo materiálu v sad :8

Číslo materiálu v sad :8 St ední pr myslová škola strojnická Olomouc, t. 17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka modern Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 P írodov dné

Více

Ů Á Ť ť ť Á š ř ř Š ů ř š ř ů ú š Š ř ř ř ř Ý ů Č ř ů ř ř ř úř ď š Ť ř ř úř š ř Č ť š Ž š ř ú ú Ž š ř ř ř š š ř Á ř É ť Á ú š ř ř ř š š ř ú ř š Á ř ř ř ó š Ž š ř ú ú Ž Ž ú ř ř ř ř Žš š Č š Á ř Č Č Č Á

Více

ř úř úř ř Č ř Ž ř ř Č ú ú ú ú Ž ř Č ř ó ř úř ř ř ř ř ř ř ú ř ř ú ř ř ř ř ú ú ř Č ř ř ř Č ú ř ú ř ú ú ú ú ř ú ř ř ř ř ř ó ř ř ř ř Ř ř ř úř ř ř ř ř ř Ž Ý Š Š ř ř ř ř ú ř ř ř ř Ý ř ř ř ú Ú Š ř É Ú ú ť ř úř

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

CZ.1.07/1.1.30/01.0021

CZ.1.07/1.1.30/01.0021 MATEMATIKA HRAV tematický plán zájmového kroužku pro 1. st. ZŠ Auto i: Mgr. Zde ka Havlenová Mgr. Ivana Kozlíková DUHOVÁ ŠKOLA Inovace výchovn vzd lávací strategie ZŠ Kazn jov reg. íslo: CZ.1.07/1.1.30/01.0021

Více

Do 48 m síc od platnosti a ú innosti smlouvy

Do 48 m síc od platnosti a ú innosti smlouvy OD VODN NÍ VE EJNÉ ZAKÁZKY ve ejné zakázky pro ú ely p edb žného oznámení ú elnosti ve ejné zakázky obsahuje alespo Popis pot eb, které mají být spln ním ve ejné zakázky napln ny. Popis p edm tu ve ejné

Více

Porovnání výsledků analytických metod

Porovnání výsledků analytických metod Metdický lit 1 EURCHEM-ČR 212 Editr: Zbyněk Plzák (plzk@iic.c.cz) Prvnání výledků nlytických metd Chrkterizce výknnti nlytické měřící metdy je jedním z důležitých znků nlytickéh měřicíh ytému, zejmén pr

Více

149 150 151 152 153 154 155 156 4. 4. Doporu ená odborná literatura KREJ OVÁ, Eva. Hry a matematika na 1. stupni základní školy: u ebnice pro vzd lávací obor Matematika a její aplikace. 1. vyd. Praha:

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola )

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád d sledn vychází ze zákona. 561/2004 Sb., o p ed kolním, základním, st edním, vy ím odborné a jiném vzd

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Dotazník - realitní innost - pro realitní zprost edkovatele

Dotazník - realitní innost - pro realitní zprost edkovatele Základní údaje Název výzkumu Dotazník - realitní innost - pro realitní zprost edkovatele Celkový po et zodpov zených dotazník 1232 Jazyk dotazníku eština Ve ejná adresa dotazníku http://www.survio.com/survey/d/mmr-rk

Více

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění GRAFY SOUVĚTÍ AUTOR Mgr. Jn Piklová OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí jejich grfických znázornění FORMA VZDĚLÁVACÍHO MATERIÁLU prcovní list pro žák POMŮCKY ppír kopírk OBSAH 1. Prcovní list s grfy

Více

č ý ž ř č č š č ž č úč úř š č úč Č ř č š ň ů č ř š ý ř Ž č Ž Ž č Ž úř ř č č Ž ď ř ý č ý č š ř ý ř š ó č ý ř č ý Ž Ž ď č ř č Ž Ž č ý č ř č Ž ř č ů ž š ů ř Ž š ý ň ů ů ř š ž š ý ř ý ř ž č č Ž ř ýš ř č č

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Charakteristika p edm tu Vzd lávací obsah: Základem vzd lávacího obsahu p edm tu Výtvarná tvorba je vzd lávací

Více

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14 Smluvní strany: Smlouva o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta 29/23/4405/14 1. Poskytovatel m sto Uherský Brod Masarykovo nám. 100, 688 17 Uherský Brod, zastoupeno: Patrikem Kun arem,

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Zakázka bude pln na b hem roku 2014 a v následujících 48 sících od uzav ení smlouvy.

Zakázka bude pln na b hem roku 2014 a v následujících 48 sících od uzav ení smlouvy. OD VODN NÍ VE EJNÉ ZAKÁZKY Služba na zajišt ní provozu a expertní podpory datové sít Od vodn ní ve ejné zakázky pro ú ely p edb žného oznámení Od vodn ní ú elnosti ve ejné zakázky obsahuje alespo Popis

Více

ZNALECKÝ POSUDEK . 3254/08. O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram.

ZNALECKÝ POSUDEK . 3254/08. O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram. ZNALECKÝ POSUDEK. 3254/08 O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram. Objednatel posudku: Ú el posudku: Mgr. Martin Slavata soudní exekutor

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

ROZVAHA pro nevýd le né organizace v plném rozsahu

ROZVAHA pro nevýd le né organizace v plném rozsahu ROZVAHA pro nevýd le né orgnizce v plném rozshu ke dni 3..0 Název sídlo ú etní jednotky (v celych tisících Kc) ˇ Místní kcní ˇ skupin Podjestedí ˇ ˇ I 666006 o.s. ocnske ˇ sdruzení ˇ Prosec ˇ pod Jestedem

Více

Než zaklepete u zaměstnavatele

Než zaklepete u zaměstnavatele Než zaklepete u zaměstnavatele Úřad práce v Pardubicích Mgr. Lucie Tvarůžková Informační den o práci a podnikání, 24. 9. 2009 Informační centrum Pardubice Region Tourism Hlavníčinnosti a služby ÚP Poskytují

Více

Team Engineering. New in V13. TIA Portal news. Restricted / Siemens AG 2014. All Rights Reserved.

Team Engineering. New in V13. TIA Portal news. Restricted / Siemens AG 2014. All Rights Reserved. Team TIA Portal news siemens.com/s7-1500 Teamengineering jak pracovat v týmu PLC proxy pro práce v týmu pro a PLC inženýry lze uplatnit také v prost edí Classic Kopie a slou ení projekt vzájemné sdílení

Více

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny.

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O Allianz Protect Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O poskytuje pojistnou ochranu p ipravenou na míru len m výkonného vedení spole nosti. Kdekoliv na sv t. Allianz - stojíme

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

Archivní fond eského horolezeckého svazu

Archivní fond eského horolezeckého svazu Archivní fond eského horolezeckého svazu I. ízení fondu, správa a umíst ní Archivní fond HS je založen rozhodnutím Výkonného výboru eského horolezeckého svazu, o.s., v souladu s ustanovením 3 odst. 2 písmeno

Více

MOODLE ODER MAHARA E-PORTFOLIO, DAS IST HIER DIE FRAGE!

MOODLE ODER MAHARA E-PORTFOLIO, DAS IST HIER DIE FRAGE! MOODLE ODER MAHARA E-PORTFOLIO, DAS IST HIER DIE FRAGE! Ilona Bourová, Šárka Zikešová Univerzita Pardubice, Jazykové centrum Pardubice ilona.bourova@upce.cz, sarka.zikesova@upce.cz Abstrakt P ísp vek se

Více