Přesné určení parametrů nejvyššího řádu sekundárních etalonů hmotnosti

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ustav fyzikální elektroniky Přesné určení parametrů nejvyššího řádu sekundárních etalonů hmotnosti Diplomová práce Brno, 2008 Bc. Jaroslav Zůda

2

3 Abstrakt Tato diplomová práce se zabývá přesným určením parametrů sekundárních etalonů hmotnosti. Při velmi přesném vážení je nutné počítat i s působením vztlakové síly na závaží, z čehož vyplývá, že kromě hmotnosti je potřeba znát i jeho objem. Místo objemu lze určit i hustotu závaží, které se využívá v definici tříd závaží. Uvedené parametry lze obecně určit pomocí dvou měření v různých prostředích. Jedním z nich bývá vzduch, druhé může být vakuum nebo kapalina. Obou prostředí bylo využito v experimentální části. Kromě vztahů pro výpočet parametrů je nutné znát působení různých vlivů a určit, jak se projeví v celkové nejistotě určení parametrů.

4 Abstract This thesis deals with exact determination of parameters of secondar mass etalons. It is necessary to take in account the buoyancy force at exact mass determination so the volume or density of weighted body must be known. The density is used in definition of class of weights. The mass and density can be determined by two measurements in different conditions. One of these is air, the other one should be vacuum or liquid. Both were used in this thesis. Besides the parameters of weight it is also important to know the incidence of different effects and determine how they affect the uncertainty of measurements.

5 Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury. Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu diplomové práce Mgr. Pavlu Slavíčkovi, Ph.D. za rady k diplomové práci. Dále také konzultantu RNDr. Jiřímu Tesařovi, Ph.D. za možnost provádění měření v Českém metrologickém institutu. Poděkování patří též Ing. Ivanu Křížoví z oddělení hmotnosti za pomoc v počátcích působení a s ovládáním přístrojů a Mgr. Martinu Vičarovi z oddělení tlaku za pomoc při sestavování aparatury na vážení ve vakuu. Na závěr chci poděkovat pracovníkům na oddělení hmotnosti v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy v Sévres u Paříže za množství nových poznatků, které jsem u nich nabyl.

6 Obsah Úvod 8 1 Soustava jednotek SI Historie SI Definice základních jednotek Délka Hmotnost Čas Elektrický proud Termodynamická teplota Látkové množství Svítivost 16 2 Základy vyhodnocování měření Model měření Lineární a nelineární model Náhodný model Nejistoty v měření Nejistota typu A Nejistota typu B Zaokrouhlovací pravidla 23 3 Měření hmotnosti Porovnávání s etalonem Konvenční hmotnost Metody porovnávání 27 6

7 3.1.3 Vyhodnocení nejistot Přímé měření 30 4 Hustota vzduchu Rovnice CIPM Zjednodušená rovnice Vyhodnocení nejistot Další metody Refraktometrie Artefakty 34 5 Měření hustoty pevných těles Hydrostatické vážení Obecná rovnice Speciální případy Kapalina Odhad hustoty 40 6 Popis měření Měření ve vzduchu Měření v kapalině Měření ve vakuu a v argonu 45 7 Výsledky měření Měření s referencí na vzduchu Vážení ve vakuu Hustota tlakových měrek 81 Závěr 83 7

8 Úvod Tato diplomová práce se zabývá přesným určením parametrů závaží běžně používaných v metrologické praxi. V době vzniku Mezinárodní soustavy jednotek SI byla jako materiál vhodný pro přípravu mezinárodních etalonů vybrána slitina platiny a iridia. V praxi se takový materiál nepoužívá, především kvůli ceně, a proto bývá uložen pouze v metrologických institucích. V dnešní době se nejčastěji používá austentická nerezová ocel. Při porovnávání státního etalonu ze slitiny platiny a iridia a pracovního etalonu z oceli je nutné zohlednit působení vztlakové síly, a to kvůli rozdílným objemům a hustotám. Stejný problém nastává, když je nutné kalibrovat jiné objekty, například tlakové měrky. Jednou z možností, jak změřit hustotu závaží, je metoda hydrostatického vážení, kdy se závaží zváží dvakrát, vždy v různých prostředích. Pak je možné sestavit rovnice, ze kterých můžeme snadno zjistit nejen hustotu, ale i hmotnost daného závaží. Dalším neméně důležitým parametrem je hustota okolního prostředí. V případě vzduchu se jedná o velmi komplikovaný problém, protože se jedná o směs mnoha plynů, která navíc není konstantní, a proto je potřeba sledovat několik údajů. Jednodušší situace je v případě kapalin nebo čistého plynu, protože jejich složení se mění jen minimálně. V první části práce jsou odvozeny vztahy potřebné pro výpočet hustoty a hmotnosti závaží včetně výpočtu nejistot. Je též stručně shrnuta historie vzniku a současnost Mezinárodní soustavy jednotek SI včetně návrhu nových definic některých základních jednotek. Výsledky měření jsou uvedeny ve druhé části práce a zahrnují jak určení parametrů etalonů sekundárního řádu pomocí hydrostatického vážení v kapalině, tak i stručný přehled výsledků vážení ve vakuu a v argonu. K výsledkům je připojena stručná diskuze a nástin možného budoucího postupu ve výzkumu vážení ve vakuu. 8

9 Kapitola 1 Soustava jednotek SI 1.1 Historie SI Již od středověku jsou patrné snahy o zavedení systému jednotek pro míry a váhy, a to především z obchodních důvodů. S rozvojem vědy od 19. století byla tato potřeba stále silnější. Důležitým mezníkem bylo zavedení metrického systému ve Francii v době Francouzské revoluce (SI Brochure). V roce 1875 pak došlo k založení Mezinárodního úřadu pro míry a váhy. V roce 1889 byly zavedeny první prototypy, a to pro délku a hmotnost. Jednotka času, sekunda, pak byla určena jako část středního tropického dne. Tím vznikla soustava někdy označovaná jako MKS (metr, kilogram, sekunda), zatímco pro elektromagnetické veličiny se stále používala soustava jiná. V roce 1901 se ukázalo, že ke sloučení obou stačí začlenit jednu z elektromagnetických veličin do MKS. Po mnohaletých diskuzích byly na 10. Generální konferenci pro míry a váhy (1952) oficiálně zavedeny nové základní veličiny, a to elektrický proud, svítivost a termodynamická teplota. O 4 roky později byl přijat název Mezinárodni soustava SI. Poslední veličinou, která se dostala mezi základní, je od roku 1971 látkové množství. Ve druhé polovině 20. století probíhaly změny definic základních jednotek tak, aby byla zajištěna co nejvyšší přesnost měření. K další změně se schyluje v roce 2011 na 24. Generální konferenci pro míry a váhy, kdy by měly být zavedeny nové definice hned čtyř základních jednotek. O těchto změnách, stejně jako o všech základních jednotkách, je referováno v další části této kapitoly. 9

10 1.2 Definice základních jednotek Délka Základní jednotkou délky je již od začátku úvah o mezinárodní soustavě jednotek metr. Původně byl realizován prototypem ze slitiny platiny a iridia jakožto slitiny, která nemění své vlastnosti. V roce 1960 došlo k významné změně, kdy se od prototypu přešlo k univerzálnější definici založené na vlnové délce záření kryptonu. K poslední změně došlo v roce Od té doby je metr definován následujícím způsobem: Metr je délka rovnající se vzdálenosti, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/ sekund. Současné české etalony délky jsou realizovány jodem stabilizovaným HeNe laserem na vlnových délkách 543nm a 633nm(CMI, 2007). Podle (CIPM, 2003a) je první uvedená vlnová délka A543 = ,608 fm s relativní nejistotou 4,5 x 10-11, pro druhou podle (CIPM, 2003b) A 6 33 = ,579 nm s relativní nejistotou 2,1 x 10" Hmotnost Ještě před vznikem soustavy SI byl základní jednotkou hmotnosti gram. Z různých důvodů se pak přešlo ke kilogramu, i když je zřejmé, že se jedná již o jednotku s příponou. Narozdíl od ostatních veličin je základní jednotka hmotnosti definována pomocí prototypu, takže oficiální definice základní jednotky zní: Kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu, který je uložen v Mezinárodním úřadě pro míry a váhy v Sevres u Paříže. Prototyp je vyroben ze slitiny obsahující 90 % platiny a 10 % iridia. Spolu s ním bylo vyrobeno 6 oficiálních kopií, které jsou rovněž uloženy v Sěvres, a několik dalších, které se distribuovaly do jednotlivých států jako národní etalony. Jeden z nich, označený jako č. 67 (viz též obr. 1.1), je uložený v Brně na oddělení primární etalonáže hmotnosti a jeho hmotnost je 1 kg + 0,165 mg±0,004mg. Je vidět, že hmotnost není daná přesně, ale s malou nejistotou. Důvod, proč tomu tak je, bude popsán v následující kapitole. Definice pomocí prototypu není ideální, protože materiál může s časem měnit své vlastnosti, což se také ve skutečnosti děje. Po třetí verifikaci v letech se ukázalo, že mezinárodní prototyp pravděpodobně ztratil zhruba 50 ßg ze své hmotnosti (Girard, 1994). 10

11 Obrázek 1.1: Státní etalon hmotnosti České republiky I to je důvod, proč se hledá nová definice, která nebude závislá na prototypu. V současné době existují dva hlavní projekty, a to Avogadro, který se snaží navázat hmotnost na Avogadrovu konstantu, a Watt balance se snahou navázat kilogram na Planckovu konstantu. Projekt Avogadro (Becker, 2003) Projekt Avogadro se snaží svázat hmotnost s Avogadrovou konstantou pomocí křemíkové koule. Tento materiál byl zvolen, protože v současné době je velmi dobře zvládnuta technologie výroby a je možné vyrábět téměř dokonalé krystaly. S touto dokonalostí je spojena i neměnnost mřížkového parametru a objemu jedné buňky, což jsou klíčové parametry. Dalšími důležitými vlastnostmi jsou molární hmotnost křemíku a hustota defektů mřížky. Aby bylo možné přijmout novou definici, je nutné dosáhnout kombinované nejistoty zhruba 1 x 10~ 8, což je ještě o řád menší než doposud dosažené výsledky. Prozatím je totiž problém s čistotou křemíku a s jeho izotopovým složením. Jistý vliv má také povrchová vrstva, kterou je ale možné odstranit v laboratorní peci. Tohoto projektu se účastní několik laboratoří po celém světě, přičemž se každá zabývá jinou částí. 11

12 Obrázek 1.2: Vnitřní pohled na wattové váhy v BIPM Projekt Watt balance (Eichenberger et al., 2003) Mnohem slibnější je druhý projekt, který chce svázat kilogram s Planckovou konstantou pomocí porovnání elektromagnetické a tíhové síly. Na světě existuje několik projektů, které se tímto zabývají, v Evropě například v METASu ve Švýcarsku a v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy (dále jen BIPM) ve Francii (jejich zařízení je na obrázku 1.2). V principu jsou potřeba dvě fáze, dynamická a statická. Ve statické fázi jde o vyrovnání síly, která působí na cívku v magnetickém poli, se silou tíhovou působící na závaží. Zde se objevuje magnetický tok, který se dá z rovnice vyloučit pomocí dynamické fáze, neboť se cívka pohybuje v magnetickém poli, takže se v ní indukuje napětí (viz obrázek 1.3). Výsledná rovnice má tvar UI = mgv. (1.1) Napětí a proud se dají měřit velmi přesně pomocí Josephsonova a kvantového Hallova jevu. Požadovaná nejistota je stejná jako u projektu Avogadro. Podařilo se jí dosáhnout pouze v laboratořích NIST v USA. Zatím se čeká, až podobného výsledku dosáhne jiná laboratoř. 12

13 Obrázek 1.3: Schéma činnosti wattových vah Nová definice Prozatím lze říct, že nejblíže k nové definici má projekt Watt balance. Nicméně stále musí platit, že výsledky obou projektů musí být v souladu, což, jak se ukazuje, prozatím neplatí. Nejenže nejistota výsledku u projektu Avogadro je o řád horší, ale dokonce se výrazně liší výsledky samotné. Proto je stále potřeba jistá zdrženlivost a je možné, že v roce 2011 ještě k nové definici nedojde. Prozatím navrhovaná definice zní: Kilogram je taková hmotnost, že Planckova konstanta je 6, x 10~ 34 Js přesně Čas Sekunda byla původně definována jako část středního slunečního dne s tím, že střední sluneční den byl definován astronomy. Ovšem ukázalo se, že taková definice není vhodná, a to kvůli nerovnoměrné rotaci Země. Proto byla v roce 1956 zavedena definice pomocí délky tropického roku Ale jen o pár let později byla přijata nová definice, prozatím poslední, která je založena na přechodu mezi dvěma energetickými hladinami v atomu. Aktuálně tedy platí, že Sekunda je doba trvání period záření, které přísluší přechodu mezi dvěma hyperjemnými hladinami základního stavu atomu cesia

14 Čas je momentálně nejpřesněji měřitelná veličina, v nejlepších případech lze dosáhnout relativní nejistoty v řádu 10~ 16. Státní etalon České republiky je v Praze v Laboratoři státního etalonu času a frekvence. Jeho hlavní součástí jsou cesiové svazkové generátory, nejistota určení sekundy je v řádu io Elektrický proud V původní soustavě jednotek byly jen již zmíněné veličiny, zatímco elektrické a magnetické měly soustavu vlastní. Z různých důvodů bylo dobré obě soustavy sloučit. Ukázalo se, že k tomu stačí použít jednu veličinu elektromagnetickou. Byl zvolen elektrický proud a v roce 1948 byla přijata definice jednotky ampér. Ampér je proud, který při stálém průtoku dvěma rovnoběžnými přímými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu, umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1 metru, vyvolá mezi vodiči sílu 2 x 10 _r newtonu na 1 metr délky. Tím bylo také rozhodnuto o hodnotě permeability vakua, ßo = 4TT X 10~ 7 H/m. Po objevu kvantového Hallova a Josephsonova jevu se ukázalo, že ampér není vhodnou základní jednotkou pro elektromagnetickou oblast. Při použití zmíněných jevů je totiž možné dosáhnout lepší nejistoty a navíc i vysoké stability výsledků, což vyústilo v to, že současná nejpřesnější elektrická měření jsou na těchto jevech založena. Zjednodušeně se dá říct, že elektrické veličiny opět tvoří samostatnou oblast. Ampér, podobně jako kilogram, patří mezi jednotky, jejichž definice by se měla změnit, a to také v roce Bude svázán s elektrickým nábojem a nová definice může znít následovně: Ampér je takový elektrický proud, že elementární elektrický náboj je 1, x 10" 19 C. Také český etalon pro elektrické veličiny neměří elektrický proud, ale stejnosměrné napětí pomocí Josephsonova jevu. Dané napětí je 10 V s nejistotou 2 //V. 14

15 1.2.5 Termodynamická teplota Termodynamická teplota byla přijata jako již pátá základní veličina v roce Byla vztažena k teplotě trojného bodu vody. Její jednotka, kelvin, byla zvolena tak, aby teplotní rozdíl jednoho kelvinu odpovídal rozdílu 1 C. V roce 1968 došlo k mírné úpravě definice na aktuální tvar, který zní: Kelvin je 273,16-tá část termodynamické teploty trojného bodu vody. Z této definice není zřejmé, jaká voda se myslí, a proto byla v roce 2005 přijata definice Vídeňské standardní střední mořské vody o daném izotopovém složení. Praktická realizace pomocí takové definice je náročná, a proto se definovalo několik teplotních bodů pokrývajících oblast od jednotek po tisíce kelvinů. Stejně je definována teplotní stupnice v České republice, ale jen s vybranými body v rozmezí 189 C až 961 C s nejistotami 0,2 mk až 30mK. Vzhledem ke snaze převést definice jednotek na takové, které obsahují univerzální konstanty, by mělo dojít ke změně i u kelvinu. Nové znění by mělo být následující: Kelvin je taková termodynamická teplota, že Boltzmannova konstanta je 1, x 10" 23 J/K přesně Látkové množství Mezi základní veličiny se dostala i jedna spíše chemická, a to látkové množství. Dříve se v chemii používaly relativní jednotky gramatom a grammolekula, přičemž základním prvkem byl kyslík. Zde nastal problém kvůli izotopovému složení, kdy se pohled chemiků a fyziků lišil. Proto byla nutná jiná dohoda, ke které došlo v roce Na jejím základě byla v roce 1971 uvedena definice základní jednotky v následujícím znění: Mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců, kolik je atomů v 0,012 kg uhlíku 12. Je zřejmé, že praktická realizace bude náročnější. Jedna z možností je pomocí porovnání hmotností látek o známých atomových hmotnostech, další vychází ze stavové rovnice plynů, třetí z doporučovaných metod využívá elektrolýzy. Poslední metoda je použita pro referenční etalon ČR. Již z definice je zřejmé, že i tato veličina by se měla dočkat změny. Jako konstanta se přímo nabízí Avogadrova, takže možné znění je, že 15

16 Mol je látkové množství soustavy, která obsahuje tolik elementárních jedinců, jako je číselná hodnota Avogadrovy konstanty, která činí 6, x moľ Svítivost Poslední veličinou patřící mezi základní je svítivost, která byla přidána v roce Její jednotka byla definována nejdříve pomocí referenční svíčky. Vzhledem k odlišnostem ve svíčkách došlo později ke změně, a to na základě vyzařování černého tělesa. Taková definice ale nebyla vhodná pro praktickou realizaci, a proto došlo v roce 1979 k poslední změně založené na monochromatickém záření. Kandela je svítivost zdroje, který vysílá monochromatické záření frekvence 540 x Hz a jehož zářivost v daném směru činí 1/683 wattů na steradián. Český etalon svítivosti je prozatím ve stadiu projektu. 16

17 Kapitola 2 Základy vyhodnocování měření Již z předchozí kapitoly je zřejmé, že pro správné určení výsledku měření bude potřeba zavést určité statistické pojmy, pomocí kterých budu výsledky popisovat. Vzhledem k tomu, že se nejedná o elementární pojmy, se kterými se lze běžně setkat ve školním praktiku, rozhodl jsem se jednu kapitolu věnovat právě teoretickým základům vycházejícím z (Wimmer et al., 2002). V dalších kapitolách budou zde uvedené výsledky přiřazeny k reálným měřením a v kapitole s výsledky pak k reálným číslům. 2.1 Model měření Aby bylo možné se bavit o měření a jeho vyhodnocení, je nutné stanovit model, na jehož základě se pak budou odvozovat základní vztahy a definovat potřebné pojmy. Je zřejmé, že lze vytvořit hodně modelů, které budou přesně popisovat různá měření. Dají se rozdělit do několika základních kategorií, a to podle toho, kolik veličin určujeme, zda jde o přímé nebo nepřímé měření, nebo zda pro dané měření existuje systém podmínek. Základní teoretický model měření tvoří systém rovnic F l (X 1,...,X n,ß 1,...,,ß k ) = 0 (2.1) F 3 (ß l,...,ß k ) = 0, (2.2) kde první soustava popisuje samotné měření, druhá pak vazebné podmínky. Pro představu, vazebné podmínky se uplatní například při měření velikostí úhlů v trojúhelníku. Platí, že veličiny Xj měříme (jsou to tedy vstupní veličiny) a veličiny ßi chceme získat (výstupní veličiny). 17

18 2.1.1 Lineární a nelineární model Nejjednodušší model měření je takový, kdy odečteni z měřidla získáme přímo výsledek. Jedná se tedy o přímé měření jedné veličiny bez systému podmínek. Odpovídající rovnice je X-ß = 0. (2.3) Prakticky není tento model využitelný, protože nepostihuje závislosti, které se běžně vyskytují, například na tlaku nebo teplotě. Nejjednoduššímu modelu nepřímého měření jedné veličiny bez podmínek odpovídá například měření proudu pomocí odporu a napětí. Při použití výše zmíněného značení má pak rovnice tvar ^ - ß = 0. (2.4) Stále se jedná o lineární modely vzhledem k ß. Často se můžeme setkat s nelineárními modely, které jsou obecně náročnější a někdy dokonce neřešitelné. Pak je potřeba je linearizovat, obvykle pomocí rozvoje v Taylorovu řadu s tím, že jsou členy vyšších řádů zanedbány. Po úpravách a přeznačení získáme teoretický linearizovaný model měření ve tvaru f(x) = <$>0 (2.5) b + BO = O, (2.6) kde / je vektorová funkce vstupních parametrů, 6 vektor výstupních parametrů a b, B, <í> známé matice Náhodný model Předchozí modely nepopisovaly reálné měření dostatečně exaktně, protože nezahrnovaly skutečnost, že měříme přístroji, které vykazují určité nepřesnosti. Ve skutečnosti získáváme jen přibližné hodnoty a navíc každé měření můžeme několikrát zopakovat. Soustavu rovnic 2.5 pak lze zobecnit tak, že v každé složce vektoru f(x) nahradíme vstupní parametry jejich odhady x.. Zároveň platí, že e( x_i) = -^> kde e(x) je střední hodnota veličiny x. Místo vektoru f(x) tak máme vektor W reprezentující vlastní měření. Tento vektor 18

19 má svou střední hodnotu a kovarianční matici. Na základě těchto poznatků mohu sestavit lineární náhodný model měření (W; A0,b + B0 = O; U w ). (2.7) Označení lze číst tak, že vektor W má střední hodnotu A6 a zároveň platí vazebné podmínky b + B6 = O. Kovarianční matice měření je Uw- Přímé měření jedné veličiny Jedna z prvních aplikací, která se přímo nabízí, je měření jediné veličiny, kdy systém není zatížen dalšími podmínkami. Zde má model podobu (W;i0;U w ), (2.8) kde i je jednotkový vektor. Z tohoto modelu je nyní potřeba odhadnout 9 a určit jeho disperzi. K výsledku se dá dojít několika cestami, které se liší výslednou disperzí a náročností výpočtu. Dá se dokázat, že nejlepší lineární nevychýlený odhad 9 je a jeho disperze 9= (i'u^i)' 1 i'u^w (2.9) D(9) = (Í'U 1 W Í)~\ (2.10) Jako příklad lze uvést fc-krát opakované měření jedním měřidlem. Výsledek jednoho měření je podle výše uvedeného realizace náhodné proměnné j = 9 + v + Q, kde v popisuje systematickou chybu s disperzí D{u) = (75) > kde 5 je chyba daného přístroje, a Q náhodnou chybu s disperzí D {ti) = a 2. Zde nyní platí W = (&, 2,, fc)', U w = a 2 I + ^E. Pro odhad 9 a D {9) platí vztahy k k D{9) = a (2.12) 19

20 Pokud neznáme a, dá se odhadnout pomocí vztahu Nepřímé měření jedné nebo více veličin ^AŽte-eT- (2-13) í=i Další model, kterým se budu zabývat, je model, kdy měřené veličiny nemají přímý vztah k veličinám, jejichž hodnoty chceme znát. Opět se nebudu zabývat případem, kdy jsou v systému vazebné podmínky. Pak lze model napsat ve tvaru (W;A0;U w ), (2.14) kde A je matice vyjadřující plán měření. Pro 0 a jeho kovarianční matici lze najít nejlepší lineární nevychýlený odhad ve tvaru 0 = (A'U^A^A'U^W, (2.15) Ue = (A'U^A)- 1. (2.16) Obecně mohou být tyto rovnice obtížně řešitelné. Zaměřím se proto na případ, kdy se vstupní veličiny dají rozdělit do dvou skupin Xi,..., X n a X n+ i,..., X n+m. Veličiny první skupiny určuji měřením, veličiny druhé skupiny jsou převzaty například z certifikátů nebo jiných údajů. Předpokládejme, že kovarianční matice cov(^1,^2) je nulová. Pokud v modelu 2.14 platí W = $ 1 + C$ 2, kde C = AQ pro nějakou matici Q, nejlepší lineární nevychýlený odhad 0 je a jeho kovarianční matice je 0=(A'U- 1 1 A)- 1 A'U- 1 1 W (2.17) U ě = (A'U-^A)- 1 + QU e Q'. (2.18) Nyní vyvstává otázka, zda pro matici C existuje vhodná matice Q. Nutná a postačující podmínka existence je A(A'A)- 1 A'C = C. (2.19) Typickým příkladem výše uvedeného postupu může být kalibrace závaží. 20

21 Kovarianční matice Několikrát byla zmíněna kovarianční matice, aniž by bylo řečeno, jak se zjistí její prvky. Z předchozích vztahů je vidět, že při měření má důležitou úlohu a její prvky je potřeba znát. Prakticky to znamená určit disperze -D(//( x'i > > x )) a cov \Ji ( x'i J J Šx' n )> J t (sxí > i sxl )) Při teoretickém výpočtu se vychází z rozvoje / v Taylorovu řadu. Pak vyjde, že kovariance D(f!(&?,. >áf)) = EN t Í 2^S ) ) fc=i TI 1 TI Aj')r»(ij), ř(i,j) t(i,j^ ŽEE^^^C'^)» ( 2-2 ) fc=i «>fc COV \Ji (.SXi ' ' SX )' /í VSXi ' ' Šx )) (i.j) přičemž koeficienty Cy ' se spočítají podle f 3 (ÁiJ) ô ^ ^^C^^cov^f,^), (2.21) s=l í=l.(í.j> (2.22) Stále se vyskytují disperze a kovariance, ale už jen pro jednotlivé veličiny, již ne pro celé funkce, takže bude mnohem snažší je určit. Také je z předchozích rovnic vidět tvar známého zákona šíření nejistot. 2.2 Nejistoty v měření V předcházející části byl představen teoretický model měření, kde byly zmíněny pojmy jako disperze a kovariance, které určují jistý rozptyl výsledku měření, který je dán nedokonalostí měření a přístrojů. Zavádí se pojem standardní nejistoty, což je odmocnina z disperze vyjadřující rozsah hodnot, ve kterém s jistou pravděpodobností leží přesná hodnota měřené veličiny. Obvykle je požadován interval pokrývající skutečnou hodnotu s větší pravděpodobností. Bývá vyjádřen rozšířenou nejistotou U, která se ze standardní nejistoty získá vynásobením 21

22 daným koeficientem, tedy U = ku. Nejčastěji bývá k = 2, což odpovídá zhruba 95% pokrytí. Pokud je daná pravděpodobnost, lze koeficient rozšíření získat například z tabulek. Přehled obvyklých případů je v tabulce 2.1. Nejistota se dá určit několika způsoby, které spadají do dvou základních kategorií podle způsobu vyhodnocení. Můžeme ji určit pomocí statistického vyhodnocení, pak mluvíme o nejistotě typu A, nebo z vlastností přístroje, modelu měření, okolních podmínek a dalších. Takto se určí nejistota typu B. P 95% 99% 99,73% k 1,96 2,58 3 Tabulka 2.1: Koeficient rozšíření pro danou pravděpodobnost pokrytí Nejistota typu A Vyhodnocení nejistot typu A bylo popsáno v předcházející části. V principu jde o to, že v případě, kdy danou veličinu měříme vícekrát, jsme teoreticky schopni určit její disperzi. Dá se využít již dříve uvedených vztahů, zejména 2.10 nebo Obvykle se dá použít vztah Je potřeba dát pozor na to, že se zde počítá s normálním rozdělením, i když ve skutečnosti se jedná o Studentovo rozdělení. Takto získanou nejistotu je potřeba vynásobit Studentovým koeficientem t r, jehož hodnota je závislá na počtu stupňů volnosti a počtu měření. V tabulce 2.2 předpokládám jeden stupeň volnosti. Při větším počtu měření se pokládá t r = Nejistota typu B Nejistoty tohoto typu jsou dané parametry měření a jsme většinou schopni je jistým způsobem určit. Bývají uvedené například v kalibračních listech, jsou známy z předchozích měření nebo se dají odhadnout ze znalosti metody a dlouhodobé zkušenosti. n t r 7,0 2,3 1,7 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 Tabulka 2.2: Studentovy koeficienty pro menší počet měření 22

23 V certifikátech bývá obvykle uvedena rozšířená nejistota spolu s příslušným koeficientem nebo pravděpodobností. Standardní nejistota se pak určí podle vztahu U u = k Pokud je dána hladina pravděpodobnosti, koeficient k se určí například z tabulky 2.1. Tímto způsobem mohu zjistit například nejistotu státního etalonu hmotnosti. Může nastat případ, kdy dokážeme určit hranice, ve kterých se jistá veličina vyskytuje. Typické to může být u závaží, kde pro každou třídu přesnosti je daný interval hustoty materiálu. Kromě hranic je potřeba určit rozdělení pravděpodobnosti odchylek. Pro interval (Y z; Y + z) pak určíme nejistotu ze vztahu u = f, (2.24) kde k označuje dané rozdělení pravděpodobnosti. Pro normální rozdělení je k = 3 a použije se tehdy, pokud víme, že malé odchylky se vyskytují nejčastěji. Pro rovnoměrné rozdělení je k = VŠ a použije se tehdy, pokud si nejsme jisti skutečným rozdělením pravděpodobnosti. Pokud použijeme digitální přístroj, je dalším zdrojem nejistoty rozlišitelnost poslední platné číslice. Při jejím určování se předpokládá rovnoměrné rozdělení, takže výsledně u = ^, (2.25) kde d je rozlišitelnost přístroje. Dají se nalézt i další zdroje nejistot, například při použití analogového přístroje. Vždy záleží na aktuální situaci, nejde určit obecně platný postup. Analogickým způsobem jako nejistoty se určí i kovariance mezi jednotlivými veličinami Zaokrouhlovací pravidla Pokud už máme výsledek měření včetně nejistoty, ať už standardní nebo rozšířené, je vhodné jej určitým způsobem zaokrouhlit především kvůli budoucí prezentaci. Jedna z možností, jak určit řád, na kterém se bude výsledek zaokrouhlovat, je jednoduché vyjádření. Tato možnost ale nebývá podložená matematicky. Obvykle chceme mít totiž výsledek zaokrouhlený tak, aby se dalo říct, že se od dané pravděpodobnosti odlišuje maximálně o definované e. Pak by se mluvilo o e přesně zaokrouhleném výsledku měření. Při 23

24 použití intervalu spolehlivosti s pravděpodobností pokrytí 1 a pak mluvíme o e přesném (1 a) intervalu spolehlivosti. Jeho matematický zápis je kde a(a) je odpovídající kvantil { x- aa(l- ); x- aa(l-)), (2.26) Rád, na kterém lze výsledek zaokrouhlit, je dán vztahem m < log, (2.27) 07 kde 7 = ^, a* je zaokrouhlená standardní nejistota a b írhmax se dá zjistit v tabulkách nebo vypočítat podle vztahu Se^max = (1, ,9886e + 0,2288v^)\/ ,058e - l,93e 2. (2.28) Obecně pro vyhodnocování nejistot existuje doporučení organizace ISO, které říká, že standardní nejistota se zaokrouhluje na dvě platné číslice a naměřená hodnota se zaokrouhlí na stejném místě jako nejistota. Při podrobnějším rozboru se ukazuje, že není zaručena existence e přesného výsledku měření pro všechna e. Lze nalézt i další vlastnosti odlišující normu od striktně matematického přístupu, ale lze to označit jako velmi malou daň za jednoduchost při praktickém použití. 24

25 Kapitola 3 Měření hmotnosti Hmotnost závaží se dá měřit dvěma základními způsoby, a to přímo nebo porovnáním s referenčním závažím, u kterého známe potřebné parametry. Ukazuje se, že přesnější výsledky dává druhá metoda, a proto se budu primárně zabývat jen jí. Je to dáno tím, že při porovnání dvou závaží stačí, když přístroj bude měřit jen v takovém rozsahu, kterému odpovídá předpokládaný rozdíl hmotností. Další výhoda se ukáže později. 3.1 Porovnávání s etalonem Pokud porovnávám testované závaží s referenčním, podle předchozí kapitoly, přesněji podle modelu 2.14, mám základní rovnici X = X T -X E, (3.1) kde X je detekovaný rozdíl. Odtud je zřejmé, proč je model porovnávání s etalonem nepřímý. Předchozí rovnice popisuje jen účinek tíhové síly. Při klasickém měření ve vzduchu je nutné uvážit i vztlakovou sílu, takže teoretický model měření má pak tvar X=(X T - V T p a ) - (X E - V E p a ). (3.2) Odtud je patrné, že je potřeba znát i hustotu vzduchu. Jejím zjištěním se budu zabývat v další kapitole. Také je zřejmé, že potřebuji znát objem nebo hustotu závaží. Principy tohoto měření budou popsány v samostatné kapitole, protože se ve skutečnosti jedná o rozsáhlejší problematiku. V principu totiž potřebuji dvě měření v různých hustotách 25

26 prostředí, čehož lze dosáhnout například vyčerpáním měřeného prostoru na velmi nízký tlak nebo naopak měřením v jiném plynu nebo v kapalině. Pokud si dosadíme některé údaje do vztahu 3.2, zjistíme, že například pro závaží z nerezové oceli a ze slitiny platiny a iridia o stejné hmotnosti bude detekovaný rozdíl zhruba 0,95 x 10~ 4, v případě kilogramových závaží tedy zhruba 95 mg, což u přesných měření je bez problémů detekovatelné. I když je vztah 3.2 již docela přesný, stále ještě nezahrnuje závislost objemu závaží na jeho teplotě. Obvykle totiž známe objem nebo hustotu při určité teplotě, kterou se ale nemusí podařit dodržet při měření. Výsledný vztah pro měření hmotnosti pak je X=[X T - V T (to) (1 + aat)] - [X R - V R (í 0 ) (1 + aat)}, (3.3) kde a je koeficient objemové teplotní roztažnosti. Nyní ještě může vyvstat otázka, jaký údaj ve skutečnosti váha ukazuje a zda jej není nutné přepočítat. Podle (Schwartz, 2006) je většina elektronických vah kalibrovaná určitým způsobem, který dovoluje snadno přepočítat údaj z váhy na skutečnou hmotnost. Tento vztah je l EL i _ PO. m w = m ^ %_ } (3.4) kde po a Pc jsou konstanty dané dohodou a jejich význam bude popsán později, pj označuje hustotu závaží, které bylo použito při kalibraci ukazatele váhy. Nyní se zdá, že jsou zahrnuty veškeré parametry potřebné pro výpočet hmotnosti závaží. Ve skutečnosti působí více jevů, například reakce plynů, nejčastěji vodní páry, s povrchem. Na tohle téma probíhá také výzkum, viz například (Picard - Fang, 2004). Tento efekt, jakož i ostatní, ale nebudu započítávat, protože v současných podmínkách není detekovatelný. PC PJ Konvenční hmotnost Z předchozích vztahů je patrné, že při měření hmotnosti je nutné počítat mimo jiné i se vztlakem vzduchu. Aby bylo možné tento efekt omezit, zavádí se konvenční hmotnost, což je hmotnost tělesa o dané hustotě, které při daných podmínkách ukáže stejnou výchylku jako testované závaží(oiml D 28, 2004). Dané podmínky jsou pc = 8000kg/m 3, p 0 = 1,2 kg/m 3, r = 20 C. 26

27 Odtud lze s pomocí rovnice 3.2 odvodit vztah mezi hmotností a konvenční hmotností Vhodnost zavedení této veličiny se ukáže později, při rozboru nejistot. První náznak lze vidět z rovnice znázorňující model měření konvenční hmotnosti ve vzduchu. Nyní již budu používat obvyklé značení: PC (PR - p 2 ) (pt - Po) A (PJ - Pa) (PT - Po),, met m Cr -, TT r + Am- -. {ó.b) [PR - Po) [PT - Pi) {p.j - Po) [PT - Pi) Zavedu označení axi = Px 2 Pi, takže předchozí rovnice pak bude mít tvar mcflofij + AmcüAmi lo ^7^ mc T = (3.7) Metody porovnávání Prozatím byla jen uvedena rovnice, podle které se spočítá hmotnost, resp. konvenční hmotnost závaží. Vyskytl se zde parametr Am, který označuje naměřený rozdíl hmotností, takže jedna z možností by byla určit tento rozdíl na základě jednoho měření každého závaží. Tento postup má jisté nevýhody, například tu, že nepočítá s lineárním driftem, který se může vyskytnou především u elektronických vah. Navíc je takové měření nutné několikrát opakovat kvůli statistickému vyhodnocení. Dvě základní metody se označují ABA a ABBA. Z těchto označení již může být zřejmé, jakým způsobem se bude měřit. V případě metody ABA se nejdříve zaznamená údaj referenčního závaží, poté testovaného závaží a pak se referenční změří ještě jednou. Cyklus se pak podobným způsobem opakuje, jen se dvakrát změří testované a jednou referenční. Takto se provede několik sérií podle potřeby. Pak platí Am, = I B -I±±Iá -, (3.8) kde i, je zaznamenaný údaj. n Am 1 = - V Ami, n *-^ (3.9) í=i 27

28 Druhá metoda, ABBA, je analogická, jen se zde druhé závaží změří dvakrát. V takovém případě se vztah pro rozdíl hmotností změní následovně: Am, = lbí + ^ ~ lm - lm (3.10) Vyhodnocení nejistot Pro vyhodnocení nejistot použiji rovnice 3.6 a 3.9, přičemž druhá z nich bude využita jako základ pro vyhodnocení nejistoty typu A. Nejistota typu A Podle je standardní nejistota daná vztahem um= jyla^-arnf n(n 1) Pokud bylo měřeno J stejných sérií, využijeme vztahu u m =\\ Yj%=1 f m \ (3.12) kde u mi bude spočteno z předchozí rovnice pro každou sérii zvlášť. Při výpočtu celkové nejistoty je nutné použít ještě koeficient Nejistota typu B C Am = ^^. (3.13) a Tl Celková nejistota tohoto typu je dána především nejistotou referenčního závaží, korekce na vztlak vzduchu a samotným měřícím zařízením, například velikostí dílku. Budu je rozebírat postupně a na závěr uvedu celkové zhodnocení a příklad, ze kterého bude patrné, jak moc velký vliv jednotlivé nejistoty mají. Vzhledem k tomu, že jen u jediného závaží známe hmotnost absolutně přesně, je zřejmé, že všechna ostatní budou zatížena nejistotou. V kalibračních listech se obvykle uvádí rozšířená nejistota spolu s koeficientem rozšíření nebo s hladinou pravděpodobnosti, ze 28

29 které se koeficient rozšíření určí například podle tabulky 2.1. Vliv na nejistotu konvenční hmotnosti testovaného závaží je pak dán vztahem C mc u (mc R ) = ^. (3.14) Koeficient a Xi závisí na hustotách prostředí i závaží, a proto i jeho nejistota bude záviset na nejistotách obou parametrů. Po provedení potřebných derivací získáme vztah 2 ( N V 2 (pi), (pi - Po) 2 2 f N foi K \ u(a Xi ) = - ^ + T rgu (px). (3.15) (Px - Po) (Px - Po) Zaměřím se ještě na nejistotu kalibračního závaží. Může se totiž stát, že neznám podmínky, za jakých byl přístroj kalibrovan, a tak je potřeba některé údaje odhadnout a přisoudit jim nejistoty. Ukazuje se, že dobrou aproximací je pj = 8000 kg/m 3 ± 100 kg/m 3 a p a = 1,2kg/m 3 ± 0,10 kg/m 3. Pokud uvedené údaje dosadíme do příslušného vztahu, ukáže se, že vliv je minimální. Další vliv na nejistotu má teplota a s tím spojená změna objemu závaží podle vztahu V(t) = V(0)(l + aat), (3.16) Vzhledem k tomu, že počítáme s hustotami, je nutné vztah převést a pro jednodušší výpočet aproximovat Taylorovým rozvojem do prvního řádu, což vede ke vztahu p(t) = p(0) (1 - aat). (3.17) Za použití vlastností střední hodnoty dospěji k výpočtu celkové nejistoty hustoty závaží u 2 (p(t)) = u 2 (p(0)) + p 2 (0)a 2 At 2. (3.18) Zbývá již jen vyhodnotit nejistotu danou přístrojem. Prvním zdrojem je rozlišovací schopnost přístroje, resp. velikost dílku, jehož nejistota je dána vztahem u d = ^= ť (3.19) kde n udává počet měření v daném cyklu. V případě metody ABA je n = 3, pro ABBA je n = 4. Dalším zdrojem je opakovatelnost měření. Nejistota se určuje tak, že se opakovaně měří jakékoliv těleso a zjišťuje se, jak moc se liší přečtené údaje. 29

30 Vzhledem k tomu, že není zajištěna ideální vazba mezi ukazatelem hmotnosti a skutečnou hmotností, je nutné uvažovat i nejistotu danou rozdílem mezi těmito dvěma údaji. Obvykle se určuje tak, že se celý měřící rozsah rozdělí na několik částí a zjišťuje se rozdíl mezi certifikátem a přečteným údajem. V ideálním případě by měl být rozdíl nulový, ve skutečnosti nulový nebývá. Celková nejistota daná přístrojem je U b = M d + U ap + U lírn (3.20) a protože se vztahuje na měřící proces, přisoudí se jí koeficient Celková nejistota Celková nejistota konvenční hmotnosti testovaného závaží je pak dána vztahem u 2 (mc T ) = w^u 2 (m CR ) H ^u 2 (a R2 ) -\ ^P 3 - (u 2 (Ani) + ul) + a Tl a Tl a Tl Am? 2 (mc R a R2 + Ama Ama ) 2 2 H 5 u (cüamj H 7 u (a Tl ) (3.21) a 2 Ti ď Ti Rozšířená nejistota je U mc = ku mc, kde k bude určeno například podle tabulky Přímé měření Analogicky jako v předchozí části se postupuje i v případě přímého měření. Můžeme použít stejné vztahy i výpočty nejistot, jen je potřeba brát ohled na to, že při vyšších rozdílech hmotností bývá větší chyba daná přístrojem, obvykle kvůli linearitě. Většina přesných vah a komparátorů využívá systém vnitřních závaží, který omezuje měřící rozsah například na desetinu maximálního zatížení, a proto pro těžší závaží je nutné použít méně přesné váhy. Navíc je zřejmé, že pokud můžeme použít přímou metodu měření, lze využít i porovnání s etalonem a postupovat tak podle předchozí části. 30

31 Kapitola 4 Hustota vzduchu V předchozí kapitole se ukázalo, že pro přesné určení hmotnosti je potřeba znát mimo jiné i hustotu prostředí, ve kterém se měří, v nejčastějším případě tedy vzduchu. Obecně se dá vyjít z klasické stavové rovnice, ze které po zřejmých úpravách získáme vztah pm a Pa = ^, (4.1) kde M a je molární hmotnost daného plynu a Z jeho stlačitelnost. 4.1 Rovnice CIPM V případě vzduchu je nutné uvažovat i jeho vlhkost. Pak M a označuje molární hmotnost suchého vzduchu. V roce 1981 byla Mezinárodní komisí pro míry a váhy doporučena rovnice pm a 1 / 1 M - Pa (4.2) ZRT kde Xv je podíl vodní páry a M v molární hmotnost vody. Molární hmotnost vzduchu se dá spočítat podle rovnice M a = [28, ,011 ( X co 2 ~ 0,0004)], (4.3) z čehož vyplývá, že kromě již zřejmě potřebných údajů, tedy teploty a tlaku, potřebujeme další, a to obsah CO2 ve vzduchu. Další neznámý údaj, podíl vodní páry, můžeme určit ze vztahu Xv = f(p,t r )?^, (4-4) p 31

32 kde Psv je tlak nasycených vodních par ve vzduchu a t r teplota rosného bodu. Funkce / se dá aproximovat vztahem f = a + ßp + jt 2 r, (4.5) tlak vodních par pak podle vztahu p sv = 1 Pa x exp I Ař r + Bt r + C + J. (4.6) A,B, C,D,a,ß, j jsou konstanty, které můžeme najít například v (OIML R 111, 2004) nebo (Davis, 1992). vztahu Posledním neznámým parametrem je stlačitelnost vzduchu, kterou spočítáme podle 2 Z =l-^[a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + (6 0 + M) Xv + (c 0 + cj) xl] +7^{d + exl) ( 4-7) Opět se zde vyskytuje několik konstant, jejichž číselné vyjádření lze nalézt na stejných místech jako v předchozím případě. Celkově vychází, že pro velmi přesné určení hustoty vzduchu potřebujeme znát jeho tlak, teplotu, teplotu rosného bodu a podíl C0 2 ve vzduchu. Nejistota daná samotnou rovnicí, která je ve skutečnosti jen aproximací naměřených hodnot, je UCIPM = 10~ 4 p a Zjednodušená rovnice Pokud jsou splněny jisté podmínky, lze hustotu vzduchu spočítat podle zjednodušené rovnice 0,34848p - 0,009/i r exp(0,061r) Pa (48) 2^15Tt ' kde p je tlak udávaný v mbar, t teplota ve C a h r relativní vlhkost v procentech. Nejistota daná samotnou rovnicí je pak 2 x 10~ 4 p a Vyhodnocení nejistot Rovnice 4.8 má sama o sobě relativní nejistotu 2 x 10~ 4, pokud je tlak v rozmezí 900mbar až 1100mbar, teplota v rozmezí 10 C až 30 C a vlhkost nepřesahuje 80 %. Vzhledem k tomu, že tyto podmínky jsou bezpečně splněné, používal jsem jen zjednodušenou rovnici. Podle 2.22 jsou jednotlivé koeficienty 32

33 = p 273,15 + ť v ; 0,009 exp(0,061r) ^ 273,15 + í ' (410) _ 0,009/i r exp(0,061r)[l- (273,15 + ŕ) -0,061] - 0,34848p U t ^. (4.11) (273,15 +ŕ) 2 Celková nejistota pak je u p = U CIPM + C p u p + C h u hr + C t u t, (4-12) kde UCIPM je nejistota rovnice. Předpokládám, že mezi veličinami nejsou žádné korelace, takže s příslušnými koeficienty nepočítám. Předpokládejme, že teplotu můžeme měřit s nejistotou 10~ 2o C, tlak s nejistotou 10 _1 mbar a vlhkost s nejistotou 10%. Naměřené hodnoty nechť jsou p = 1000mbar,ŕ = 20 C,h r = 50%. Hustota vzduchu je p a = l,18354kg/m 3, nejistota u, = 0, kg/m 3, správně zapsaný výsledek je tedy p a = (1,1835 ± 0,0011) kg/m 3 (fc = 1). Při podrobnějším pohledu na koeficienty a nejistoty se ukáže, že při uvedených parametrech má největší vliv relativní vlhkost vzduchu, nejmenší naopak teplota. Při zpřesnění relativní vlhkosti až na 1 % bude její vliv již srovnatelný, zatímco teplotu si můžeme dovolit měřit ještě o řád méně přesně. 4.2 Další metody Kromě výpočtu z rovnic 4.2 nebo 4.8 lze využít i jiných metod, například optických nebo pomocí artefaktů. Používají se pro ověření platnosti rovnice 4.2, což může přinést zajímavá zjištění, jak bude ve stručnosti popsáno níže Refraktometrie Ve francouzském institutu LNE byla vyvinuta metoda na určení hustoty vzduchu pomocí indexu lomu. Mezi oběma veličinami totiž platí jednoduchý vztah Pa =g >-l), (4.13) 33

34 Obrázek 4.1: Artefakty používané na měření hustoty vzduchu kde R' je specifická refrakce. Index lomu se měří pomocí laserů. Podle (Picard - Fang, 2002) se takto určená hustota vzduchu liší jen mírně od hustoty určené podle 4.2, navíc jen v rámci nejistoty Artefakty V tomto případě jsou použity dva artefakty, které mají stejnou hmotnost, stejný povrch a velmi rozdílné objemy (viz obrázek 4.1). Požadavek na stejný povrch nemusí být na první pohled zřejmý. Je tu kvůli tomu, že na povrch se vážou různé plyny, například vodní pára. Navíc se předpokládá, že na použité materiály se tyto plyny vážou stejným způsobem. Za tohoto předpokladu lze říct, že přírůstek hmotnosti daný povrchovou vrstvou bude u obou závaží stejný, a proto se nemusí uvažovat. Aby bylo možné zjistit hustotu vzduchu pomocí vážení dvou artefaktů, je nutné vážit jednak ve vzduchu, jednak ve vakuu. Získáme tak Am a = I 1 -I 2 + p (V 1 -V 2 ) Am v = h - h, (4.14) (4.15) kde li označuje údaj na displeji přístroje. Hustota vzduchu se pak získá ze vztahu Pa h-h-h+h V1-V2 34 (4.16)

35 Už z principu měření lze říct, že takto získaná hustota vzduchu bude věrohodnější než z dříve uvedených metod. Podle (Picard - Fang, 2002) se výsledky 4.2 a 4.16 výrazně liší, rozdíl je dokonce mimo hranice dané nejistotami. Vyvstává tedy otázka, jak mohl takový rozdíl vzniknout. Podle (Picard et al., 2004) je chyba v rovnici 4.2, přesněji v určení konstant. Při jejich určování se vycházelo z dat naměřených v roce 1969, od té doby nebyla až do roku 2003 prováděna žádná měření. Poté jihokorejský institut KRISS provedl měření na několika místech na světě a zjistil, že chyba je v určení podílu argonu ve vzduchu. Při použití nově zjištěných hodnot odchylka mizí. Rovnice ale nebyla stále upravena, protože se čeká, až budou výsledky potvrzeny jinými laboratořemi. 35

36 Kapitola 5 Měření hustoty pevných těles Jak bylo řečeno v kapitole o měření hmotnosti, jedním z parametru, které potřebujeme zjistit, je hustota nebo objem závaží. Existuje několik různých cest, jak tento údaj zjistit. Nejmenší nejistoty lze dosáhnout pomocí hydrostatického vážení, kdy závaží ponoříme do kapaliny a měříme podobně jako při měření hmotnosti. Další metodou může být určení objemu ze známých rozměrů nebo stanovení hustoty podle známého složení slitiny. Poslední metoda se dá také využít, pokud víme, že závaží je v určité třídě, ale nejsme si jisti přesnou hustotou. 5.1 Hydrostatické vážení Hydrostatické vážení je postup, kdy je testované závaží ponořeno do kapaliny o známé hustotě. Referenční závaží může být jak na vzduchu, tak v kapalině, nebo dokonce nemusí být použito vůbec. Pro hydrostatické vážení se dá najít obecná rovnice, ze které vyplynou za určitých předpokladů možné metody měření. Z nich vyberu jen čtyři, které používám v experimentální části práce Obecná rovnice Při obecném odvození vyjdu z rovnice 3.7 a nebudu uvažovat zjednodušující předpoklady jako například stejou teplotu při všech měřeních. Tyto předpoklady pak použiji při rozebírání speciálních případů. 36

37 mc R1 a R i l +_Aniia Ami mc T = (5.1) m CR2 a R24 + Am 2 a Ani2,_ n, mc T (o.zj Mám tedy dvě rovnice o dvou neznámých, které mohu snadno vyřešit. Druhá neznámá, PT, je skryta v parametrech a^ a a^- Výsledek je _ P3 K S 1 % 2 + AmiCüAmi) - P\ (rric R2 a R24 + Am 2 a Ara2 ),, PT 1 1 v^-^j mc R1 am 2 + AmiCüAmi - rn CR2 a R24 - Am 2 a Am2 Tento výsledek pak mohu použít pro výpočet konvenční hmotnosti i její nejistoty podle kapitoly a nebudu se tím již zde zabývat. Ještě předtím, než rozeberu speciální případy, vypočítám jednotlivé koeficienty: c Pl rn CR2 a R Am 2 ŕt Ani2 rnc R1 am 2 + Amia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Ani2 r _ rnc R1 am 2 + Amia Ami,- --. P3 rnc R1 a R i 2 + Amia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Ani2 r _ Q-Ri 2 (pí - P3) ijnc R2 a R24 + Am 2 a Am2 ) CRI (rric R1 a R i 2 + Aniia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Am2 f c _ <y-m 4 (pí - P'A) (m CR1 a R i 2 + Amia Ami ) R2 (mc R1 a>m 2 + Aniia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Am2 f c _ a Ami (pí - p 3 ) (m CR2 a R24 + Am 2 a Am2 ) (m CR1 a R i 2 + Aniia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Am2 f c _ Am 2 (Pl - Pí) (m CRi a R i 2 + AmiCtAmi) (t- qs (mc R1 am 2 + Amia Ami - m CR2 a R24 - Am 2 a Ani2 ) sy _ '"-Ofll VF1 Ff; \i'hj R2^R24 T ^-v//t.2^am 2 ;,_ -. s ňl2 (rnc R1 am 2 + Ami^A^ - rn CR2 a R24 - Am 2 a Ani2 ) n _ rnc R2 (pí - P3) (rnc R1 am 2 + AmictAmJ /cm " ň2 4 ~ I 1 A A \2 V 0-11 ) c _ Ami (pi - P3) (mc R2 a R24 + Am 2 a Am2 ) (x>-\o) mi (rnc R1 am 2 + Ami^A^ - rn CR2 a R24 - Am 2 a Ani2 ) r _ Am 2 (pí - p 3 ) (mc R1 am 2 + AmictAmJ (^ 1^ Am2 (rric R1 a R i 2 + Am^Ami - rn CR2 a R24 - Am 2 a Am2 f Nejistoty k příslušným koeficientům znám nebo je dokáži spočítat. Způsob výpočtu některých je uveden v kapitole Stále ale není zahrnut vliv teploty, a tedy ani změny 37

38 objemu samotného testovaného závaží. Pokud bych postupoval úplně správně, musel bych při odvozování rovnice 5.3 uvést příslušné koeficienty a rozdíly teplot. Vzhledem k tomu, že obvykle jsou koeficienty blízké nule, lze tuto rovnici rozvinout v Taylorovu řadu a opět, stejně jako v 3.18, použít vlastnosti střední hodnoty. Celkovou nejistotu hustoty testovaného závaží pak spočítám ze vztahu U IT = U IT 0 + PT^^T 2 (mc R1 a R i 2 + Amia Ami ) p^a 2 AT 2 (m CR2 a R Am 2 a Am2 ) 2, (5.14) kde a bez indexu je koeficient objemové roztažnosti testovaného závaží. V dalších částech již nebudu koeficienty znovu vypisovat, jen se na ně odkáži a popíši, v čem spočívá zjednodušení Speciální případy Měření bez referenčního závaží První případ, kterým se budu zabývat, je měření bez použití referenčního závaží. Na první pohled to může být nesmyslné, ale takový postup může být použít tehdy, když není potřeba velká přesnost. Vztah 5.3 pak má tvar p 3 Aniia Ami - piam 2 a Am2 PT = C T (5.15) Aniia Ami - Am 2 a Am2 Je zřejmé, že pro výpočet nejistot využijú 5.4, 5.5, 5.8, 5.9, 5.12 a 5.13 s tím, že všechny budou mít jednodušší tvar kvůli nepřítomnosti referenčních závaží. Referenční závaží ve vzduchu Další případ, který používám v experimentální části, je ten, kdy použiji referenční závaží pouze ve vzduchu, ale nikoliv již v druhém měření. Zde předpokládám, že při prvním měření, na vzduchu, jsou stejné podmínky pro obě závaží, tedy platí p\ = p 2 a T\ = T 2. Pak platí rovnice a nebudu počítat s koeficienty 5.7 a P3 (mc R1 a>m 2 + Arriia Ami ) - piam 2 a Am2 PT = T T (5.1b) mc R1 a R i 2 + Aniia Ami - Am 2 a A

39 Referenční závaží ve vzduchu i v kapalině Obvyklý případ je, když používám referenční závaží při všech měřeních, což by neznamenalo žádné zjednodušení obecné rovnice. Mohu ale předpokládat, že používám stejný etalon, což k jistému zjednodušení povede. Navíc samozřejmě mohu předpokládat stejné podmínky pro etalon i měřené závaží. Za těchto předpokladů získám rovnici p 3 Amia Ami - piam 2 aam 2 + mc R PRf^t PT = x x ; ~^ř^- (5-17 ) Amia Ami - Am 2 a Am2 + m c P3-P1 PR-PO Na výpočet nejistot je nutné použít všechny koeficienty uvedené výše, což může působit obtížně, ale to je jistá daň za univerzálnost postupu. Nebudu je již zde přepočítávat Kapalina Již několikrát bylo zmíněno, že jako druhé prostředí se může použít kapalina, aniž by bylo specifikováno, jaká by to měla být. V každém případě musí splňovat určité požadavky, například nesmí reagovat s materiálem, ze kterého je závaží vyrobeno. Dále by bylo vhodné, aby hustota dané kapaliny byla dlouhodobě stálá a aby málo závisela na teplotě. Jedním z kandidátů je obyčejná voda, většinou dvakrát destilovaná. Ukazuje se, že má některé nepříjemné vlastnosti, a proto se využívají i jiné kapaliny, například FC-40 od společnosti 3M. Voda Voda je velmi snadno dostupná a její čištění je na dostatečně vysoké úrovni na to, aby se o ní mohlo uvažovat jako o kapalině vhodné pro hydrostatické vážení. Mezi hlavní výhody patří velmi malá závislost její hustoty na teplotě. Dokonce podle (Schwartz, 2006) a (Mettler Toledo, c) má voda nejmenší koeficient teplotní roztažnosti ze známých a používaných kapalin. Její nevýhoda je ale taková, že se v ní snadno vytváří vzduchové bubliny, což může významně ovlivnit výsledek měření. FC-40 (3M, 2000) FC-40 patří do skupiny fluorokarbonových kapalin vyráběných společností 3M. Narozdíl od vody dokáže absorbovat více vzduchu a netvoří se v ní bublinky. Na druhou stranu má zhruba desetkrát vyšší koeficient objemové teplotní roztažnosti, a tak je potřeba měřit teplotu velmi dobře a navíc blízko místa, kde je položeno měřené závaží. Co se jeví jako 39

40 Nominální hmotnost [g] i [kg/m 3 ] E 2 [kg/m 3 ] > Tabulka 5.1: Meze hustoty závaží pro třídy E\ a E 2 výhoda, je větší hustota, která je přibližně 1850 kg/m 3. Vzniká tak větší odstup od hustoty vzduchu, a tedy i omezení vlivu některých nejistot. Vzhledem k tomu, že jsou v FC-40 přítomny jisté složky, které snadno unikají, není dlouhodobá stabilita hustoty příliš dobrá. Nelze se tedy spoléhat na certifikáty a je nutné hustotu kalibrovat například podle známého závaží. Postupovalo by se podobným způsobem jako při měření hmotnosti, jen by se jako neznámá vyskytla hustota okolního prostředí. Po několika letech se kapalina ustálí natolik, že již není nutná častá kalibrace, a tak stačí změřit hustotu jiným způsobem. 5.2 Odhad hustoty Pokud si nejsme jisti hustotou některého závaží a není možné ji snadno změřit kvůli obavě z poškození, můžeme využít jistých znalostí. Podle (OIML R 111, 2004) se závaží dělí do několika tříd podle způsobu užití. To na ně klade určité nároky týkající se nejistoty hmotnosti a hustoty. Pokud tedy máme závaží v dané třídě, můžeme předpokládat, že hustota je v určitých mezích, a její nejistotu spočítat podle Předpokládám rovnoměrné rozdělení. V tabulce 5.1 jsou uvedeny meze hustoty pro nejvyšší třídy, E\ a E 2. V jiných případech je potřeba znalost materiálu. Poté v tabulkách můžeme hustotu najít nebo ji spočítat ze známého složení. 40