Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Diskrétní matematika 2012/2013.

Transkript

1 Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Diskrétní matematika 2012/2013 Projekt číslo 3 jméno: Jiří Znoj login: zno0011 hodnotící: Mgr. Pavel Skalný Příklad: Hodnocení: Poznámky: Kombinatorika: 3.1 Kombinatorika: 3.2 Teorie grafů: 3.3 Teorie grafů: 3.4 Ostrava, 6. prosince 2012

2 I. Obsah I. Obsah... 2 II. Kombinatorika: příklad příklad III. Teorie grafů: příklad příklad Jiří Znoj zno0011 2

3 II. Kombinatorika: 1. příklad 3.1. Rytíři kulatého stolu zasedli ke společné hostině. Kolik má král Artuš možností jak posadit 15 hodovníků (15 včetně Artuše, Guinevery a Lancelota) kolem stolu, jestliže chce sedět vedle Guinevery a zároveň nechce, aby vedle Guinevery seděl Lancelot? (1b) Nejdříve posadím ke stolu Artuše, Guineveru a 12 nepojmenovaných rytířů. Toto učiním tak, že jelikož Guinevera bude sedět vedle Artuše, z jedné či druhé strany, tak mám 2*13! možností, jak těchto 14 lidí rozesadit. Musím pak ještě posadit Lancelota a to tak, aby neseděl vedle Guinevery. Takže ze 14 pozic, kam by si mohl teoreticky sednout, zbývá 12, které vyhovují zadání. Celkový počet možností je tedy příklad 3.2 Neznámý pachatel přestřihl 5 elektrických vodičů. Nešikovný elektrikář se snaží závadu opravit a náhodně vodiče pospojuje. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden drát zapojí správně? (2b) Všech možností je 5! = 120. Počet možností, že alespoň jeden drát zapojí správně je:, kde A 1= první drát je zapojen správně a ostatní libovolně, A 2 = druhý drát je zapojen správně a ostatní libovolně, A 3 = třetí drát je zapojen správně a ostatní libovolně, A 4 = čtvrtý drát je zapojen správně a ostatní libovolně, A 5 = pátý drát je zapojen správně a ostatní libovolně. A i nejsou disjunktní jevy, proto je třeba použít princip inkluze a exkluze: ( ) číslo ( ) udává počet průniků množin. Každý takový průnik má mohutnost MK. Chceme-li určit, pak si musíme uvědomit, že množina obsahuje všechny permutace π, pro které platí π(2) = 2 π(3) = 3. Každou permutaci z množiny vyjádříme jednořádkově takto: π, přičemž na volných pozicích můžeme čísla 1, 4 a 5 uspořádat libovolně. Proto Pro množinu vyjde výsledek totožný, stejně jako pro všechny průniky dvou množin. Pokud zvolíme více množin, tak pro množiny můžeme všechny permutace vyjádřit jako π, takže, což platí pro všechny průniky 3 množin, jelikož všechny tyto množiny mají stejnou mohutnost. Obecně tedy v tomto příkladu platí, že mohutnost průniku k množin je rovna vztahu, takže ( ) Jiří Znoj zno0011 3

4 pro k=1;, pro k=2; ( ), pro k=3; ( ), pro k=4; ( ), pro k=5; ( ).. Pravděpodobnost P, že elektrikář zapojí alespoň jeden drát správně je poměr počtu jevů vyhovujících zadání (76) ku počtu všech možných jevů, které mohou nastat (120) III. Teorie grafů: 1. příklad 3.3 Rozhodněte, jestli je posloupnost (6, 5, 4, 2, 2, 2, 2, 1) grafová. Pokud ano, nalezněte 2 grafy, které mají tuto stupňovou posloupnost a nejsou isomorfní. (1b) - vrchol je nejvyššího stupně 6, což splňuje podmínku maximálního stupně vrcholu v grafu o 8 vrcholech - posloupnost vyhovuje principu sudosti - zbývá použít větu Havel-Hakimi : (6, 5, 4, 2, 2, 2, 2, 1) ~ (4, 3, 1, 1, 1, 1, 1) ~ (2, 0, 0, 0, 1, 1) ~ (2, 1, 1, 0, 0, 0) ~ (0, 0, 0, 0, 0) Graf s posloupností (0, 0, 0, 0, 0) umím nakreslit: a podle věty Havel-Hakimi platí, že když posloupnost (0, 0, 0, 0, 0) je grafová, tak i posloupnost (6, 5, 4, 2, 2, 2, 2, 1) je grafová. 2 neizomorfní grafy: Grafy jsou neizomorfní, protože v levém grafu vrchol stupně 1 sousedí s vrcholem stupně 5 a vpravo nikoli. Posloupnost je grafová, 2 neizomorfní grafy viz obrázek víše. Jiří Znoj zno0011 4

5 2. příklad 3.4 Máme dán rovinný graf s x hranami. Kolik nejméně vrcholů může tento graf mít? (2b) Jednoduchý rovinný graf na vrcholech má nejvýše 3 6 hran. Důkaz (Kovář Petr: Úvod do teorie grafů, strana 112): Ukážeme, že nerovnost platí v každé komponentě rovinného grafu, proto můžeme předpokládat, že daný graf G je souvislý. Označíme počet vrcholů v grafu G, f počet oblastí a h počet hran. Protože jednoduchý graf neobsahuje smyčky ani násobné hrany, tak každá oblast je (v libovolném nakreslení grafu G) ohraničena alespoň třemi hranami. Budeme-li počítat hrany na hranici každé oblasti, započítáme každou hranu nejvýše dvakrát (ve dvou přilehlých oblastech). Platí tedy h f, neboli h f. Dosazením do Eulerova vztahu ( h f) dostaneme: f h h h h odkud snadno vyjádříme horní odhad počtu hran h což je dokazované tvrzení. Z tohoto tvrzení vyplývá, že rovinný graf s x hranami má nejméně počtem 3 vrcholů, tedy pro. Pro má graf nejméně 3 vrcholy: (o-o-o). Pro má graf nejméně 2 vrcholy: (o-o). Pro má graf nejméně 1 vrchol: (o). vrcholů, což platí pro graf s minimálním Pro má rovinný graf nejméně vrcholů, pro má rovinný graf nejméně 3 vrcholy, pro má rovinný graf nejméně 2 vrcholy, pro má rovinný graf nejméně 1 vrchol. Jiří Znoj zno0011 5