Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Transkript

1 Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018

2 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) (čti pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B ) je definována vztahem kde P(B) 0. P(A B) = P(A B), P(B) Z tohoto vztahu lze odvodit vztah pro pravděpodobnost průniku dvou jevů P(A B) = P(A B) P(B). Je zřejmé, že pravděpodobnost průniku dvou jevů je rovna součinu podmíněné pravděpodobnosti a pravděpodobnosti podmínky. Jestliže platí P(A B) = P(A) P(B), řekneme, že jevy A, B jsou nezávislé.

3 Podmíněná pravděpodobnost - příklad Jsou-li jevy A a B nezávislé, pak P(A B) = P(A), čili nastoupení nebo nenastoupení jevu B nemá žádný vliv na nastoupení jevu A. Vzhledem k tomu, že ani výskyt jevu B nezávisí na výskytu jevu A, musí současně platit P(B A) = P(B). Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne dvakrát po sobě jednička? Řešení: Definujme jevy A, B takto: A padne jednička v prvním hodu B padne jednička ve druhém hodu = 2.8% P(A B) = P(A) P(B) = = 1. = 0,

4 Podmíněná pravděpodobnost - příklad Příklad: Mezi 5 výrobky jsou 2 vadné. Náhodně vybereme postupně 2 výrobky (první nevracíme). Jaká je pravděpodobnost, že a) první vybraný výrobek je zmetek, b) oba vybrané výrobky jsou zmetky? Řešení: Definujme jevy A, B takto: A vytažení zmetku v prvním tahu B vytažení zmetku v druhém tahu a) P(A) = 2 5 = 0.4. b) P(A B) = P(B A) P(A) = = 0.1, neboť po vytažení jednoho zmetku zůstanou 4 výrobky, z nichž je jeden zmetek, je tedy P(B A) = 1 4.

5 Věta o úplné pravděpodobnosti Podmíněnou pravděpodobnost používáme k výpočtu pravděpodobnosti jevů, které jsou podmíněny nastoupením množiny vzájemně disjunktních jevů. Vztah pro pravděpodobnost nějakého jevu bez ohledu na podmiňující jevy udává věta o úplné pravděpodobnosti. Nechť je dána úplná množina vzájemně disjunktních jevů {B 1, B 2, B 3,..., B n}. B1 B2 B5 B4 B3 B6 Ω

6 Věta o úplné pravděpodobnosti Je zřejmé, že libovolný jev A, (A Ω) je sjednocením disjunktních jevu (A B 1), (A B 2),..., (A B n). B1 B2 B5 A B4 B3 B6 Ω A = (A B 1) (A B 2) (A B n) = n (A B i). Jelikož jde o sjednocení disjunktních jevů, musí platit, že pravděpodobnost tohoto sjednocení je dána součtem jednotlivých pravděpodobností. i=1 P(A) = n P(A B i). i=1

7 Z definice podmíněné pravděpodobnosti pak dostáváme P(A B i) = P(A B i) P(B i). Z čehož již plyne věta o úplné pravděpodobnosti. P(A) = n P(A B i) P(B i) i=1

8 Bayesův vzorec - pravděpodobnost příčin Při nastoupení jevu A (P(A) 0) se naskýtá přirozená otázka, který z jevů B i vedl k nastoupení jevu A, tzn. jaká je pravděpodobnost P(B k A). Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že P(B k A) = P(A B k) P(B k ) n P(A B i) P(B i) Příklad Turista dorazil do cíle. Jaká je pravděpodobnost, že šel přes B 2 i=1 P(B k A)... aposteriorní pravděpodobnost jevu B k za podmínky, že nastal jev A.

9 Bayesův vzorec - příklad Příklad: Elektonka zapojená do televizoru může být od tří výrobců a pravděpodobnosti 0,3; 0,5; 0,2. Pravděpodobnosti, že elektronky od jednotlivých výrobců vydrží předepsaný počet hodin jsou 0,2; 0,4; 0,3. Označme jevy: A... vybraná eletronka vydrží předepsaný počet hodin. H i... vybraná elektronka je od i tého výrobce, i = 1, 2, 3. A H i... vybraná elektronka vydrží předepsaný počet hodin za podmínky, že je od i tého výrobce. P(H 1) = 0.3; P(H 2) = 0.5; P(H 3) = 0.2. Jevy H i tvoří úplnou množinu jevů, neboť vybraná elektronka je určitě od některého ze tří výrobců a to pouze od jednoho. Dále víme, že P(A H 1) = 0.2; P(A H 2) = 0.4; P(A H 3) = 0.3.

10 a) Vypočítejte pravděpodobnost, že náhodně vybraná elektronka vydržela předepsaný počet hodin. Řešení: Pravděpodobnost jevu A určíme podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost P(A) = P(H 1) P(A H 1) + P(H 2) P(A H 2) + P(H 3) P(A H 3) = = 0.32.

11 b) Za předpokladu, že elektronka vydržela předepsaný počet hodin, vypočítejte s jakými pravděpodobnostmi byla od jednotlivých výrobců. Řešení: Podmíněné pravděpodobnosti P(H k A) určíme podle Bayesova vzorce P(H k A) = P(H k) P(A H k ). P(A) Tedy P(H 1 A) = 0, 3 0, 2 0, 32 = 0, 1875, P(H 2 A) = P(H 3 A) = 0, 2 0, 3 0, 32 = 0, , 5 0, 4 0, 32 = 0, 625,

12 Opakované pokusy Stává se, že náhodný pokus, jehož výsledkem je jev A, opakujeme n-krát po sobě při zachování stejného systému podmínek. Pokud pravděpodobnost jevu A při každém opakování nezávisí na výsledcích předcházejících pokusů, hovoříme o Bernoulliho posloupnosti nezávislých pokusů (např. hod kostkou). Závislými pak nazveme takové opakované pokusy, při nichž je pravděpodobnost "nastoupení"jevu A v určitém pokusu závislá na výsledcích předchozích pokusů (např. výběry z osudí bez vracení). Pravděpodobnost toho, že při n nezávislých Bernoulliho pokusech se vyskytne jev A právě k krát (0 k n) je dána vzorcem ( ) n P k (A) = p k q n k, k kde q = 1 p.

13 Pravděpodobnost, že jev A nastane při n nezávislých Bernoulliho pokusech alespoň k-krát, je dána vzorcem nanejvýš k-krát P k (A) = P k (A) + P k+1 (A) P n(a) = 1 (P 0(A) + P 1(A) P k 1 (A)), P k (A) = P 0(A) + P 1(A) P k (A) = 1 (P n(a) P k+1 (A)). Nejpravděpodobnější počet výskytů jevu A při n pokusech je rovna celé části čísla (n + 1)p. Jestliže je číslo (n + 1)p celé, pak nejpravděpodobnější hodnoty jsou dvě, m 1 = (n + 1)p 1 a m 2 = (n + 1)p.

14 Výsledek náhodného pokusu popisujeme pomocí základního prostoru, tj. množiny všech elementárních jevů, a jejich pravděpodobnosti. Chceme-li zpracovávat výsledky náhodného pokusu, musíme vytvořit model popisující více či méně dobře realitu. Tímto modelem je tzv. náhodná veličina. Příklady: počet vadných výrobku mezi tisíci výrobky, doba do poruchy zářivky, počet kazů na 1 m 2 lakované plochy, počet studentů, kteří v tomto zkouškovém období složí zkoušku ze Statistiky I., počet chybně přenesených znaků Morseovy abecedy, odchylka rozměru výrobku od požadované hodnoty, roční spotřeba elektrické energie vaší domácnosti.

15 Náhodná veličina Definice Náhodná veličina X je reálná funkce X : Ω R taková, že pro každé reálné x je množina {ω Ω X(ω) < x} náhodným jevem. Ω X 0 NV je tedy funkce, která zobrazuje elementární jevy ω Ω na reálná čísla. Příklad: Hod kostkou: [ ] 1, [ ] 2, [ ] 3, atd. Náhodně vybraná osoba: muž 0, žena 1 doba trvání simulace: např. pět a půl minuty 5.5

16 Zápis jevů pomocí náhodných veličin Zápisem (X = a) rozumíme jev složený ze všech elementárních jevů ω Ω, pro které X(ω) = a, tj. (X = a) = {ω Ω X(ω) = a} (X < a) = {ω Ω X(ω) < a} (X > a) = {ω Ω X(ω) > a} (a < X < b) = {ω Ω a < X(ω) < b} Příklad 1) X... výsledek hodu kostkou. Náhodný pokus: Hod kostkou. Náhodný jev: Padne liché číslo. (X {1; 3; 5})

17 Příklad 2) X... počet dívek mezi 1000 náhodně vybranými dětmi. Náhodný pokus: Náhodný výběr 1000 dětí a zjištění počtu dívek mezi nimi. Náhodný jev: Mezi 1000 náhodně vzbranými dětmi bude více než 500 dívek. (X>500) Příklad 3) X... rychlost připojení k internetu(mb/s) Náhodný pokus: Měření rychlosti připojení k internetu (download). Náhodný jev: Rychlost připojení k internetu je vyšší než 20 Mb/s. (X>20)

18 Jedním z úkolu teorie pravděpodobnosti je vybudovat matematický aparát, který přiřadí všem zajímavým podmnožinám množiny reálných čísel příslušné pravděpodobnosti. Pravidlo, které každé hodnotě (popř. každému intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (popř. hodnoty z tohoto intervalu), nazýváme rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny (zkráceně rozdělení náhodné veličiny). Náhodná veličina je tedy z pravděpodobnostního hlediska úplně popsána, jestliže známe všechny hodnoty (popř. intervaly hodnot), kterých může náhodná veličina nabýt a pravděpodobnosti těchto hodnot (popř. intervalů). Rozdělení náhodné veličiny lze popsat různými způsoby. Nejčastěji užívanou možností popisu náhodné veličiny X je tzv. distribuční funkce.

19 Distribuční funkce Definice Nechť X je náhodná veličina. Reálnou funkci F (x) definovanou pro všechna reálná x vztahem F (x) = P(X < x) nazýváme distribuční funkcí náhodné veličiny X. Distribuční funkce je tedy funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než toto reálné číslo.

20 Vlastnosti distribuční funkce 1 0 F (x) 1, 2 x 1, x 2; x 1 < x 2 : F (x 1) < F (x 2), tzn. distribuční funkce je neklesající fci argumentu x, 3 a R : lim F (x) = F (a), x a tzn. F (x) je spojitá zleva v každém bodě, 4 F (x) má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti, 5 lim F (x) = 0, x 6 lim F (x) = 1. x

21 Vztahy mezi pravděpodobností a distribuční funkcí 1 P(X < a) = F (a), pro všechna a R, 2 P(X a) = 1 F (a), pro všechna a R, 3 P(a X < b) = F (b) F (a), pro všechna a < b; a, b R, 4 P(X = a) = lim F (x) F (a), pro všechna a R. x a +

22 Klasifikace náhodných veličin 1 diskrétní náhodné veličiny - mohou nabývat konečný nebo spočetný počet hodnot, 2 spojité náhodné veličiny - nabývají hodnot z nějakého nedegenerovaného intervalu.

23 Diskrétní náhodná veličina Definice Řekneme, že náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně je diskrétní ) právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot {x 1, x 2,... } tak, že 1 P(X = x i) 0, 2 P(X = x i) = 1. i=1 Pravděpodobnostní funkce může být zadána 1) předpisem Příklad x {0; 1; 2; 3} : P(X = x) = ( ) x x x

24 Diskrétní náhodná veličina Definice Řekneme, že náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně je diskrétní ) právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot {x 1, x 2,... } tak, že 1 P(X = x i) 0, 2 P(X = x i) = 1. i=1 Pravděpodobnostní funkce může být zadána 2) tabulkou Příklad: x celkem P(x)

25 Diskrétní náhodná veličina Definice Řekneme, že náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně je diskrétní ) právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot {x 1, x 2,... } tak, že 1 P(X = x i) 0, 2 P(X = x i) = 1. i=1 Pravděpodobnostní funkce může být zadána 3) grafem. Příklad P(x)

26 Diskrétní náhodná veličina Příklady: počet studentů, kteří vstoupili do hlavní budovy VŠB-TUO během dopoledne (0, 1, 2,... ), počet členů domácnosti (1, 2, 3,... ), počet dopravních nehod za jeden den na dálnici z Prahy do Ostravy (0, 1,... ), součet hodnot při hodu třemi kostkami (3, 4,..., 18), atd.

27 F (x) 1 P(X a) F (b) P(a X < b) P(X = a) F (a) P(X < a) 0 a b x

28 Spojitá náhodná veličina Definice Řekneme, že náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně je spojitá ) právě tehdy, má-li spojitou distribuční funkci. Příklady životnost výrobku, délka novorozeněte, náhodně vybrané reálné číslo, atd.

29 Spojitá náhodná veličina Z definice vyplývá, že v případě spojité náhodné veličiny nemá smysl jednotlivým realizacím náhodné veličiny přiřazovat hodnotu pravděpodobnosti, poněvadž pravděpodobnostní funkce je nulová. Proč? P(x = a) = lim F (x) F (a) = F (a) F (a) = 0, pro všechna a R. x a + Proto také platí, že 1 P(X a) = P(X < a), 2 P(X > a) = P(X a), 3 P(a X b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X < b).

30 Pomocí jakých nástrojů tedy můžeme spojitou náhodnou veličinu popsat? Hustota pravděpodobnosti.

31 Hustota pravděpodobnosti Definice Hustota pravděpodobnosti f (x) spojité náhodné veličiny je reálná nezáporná funkce taková, že F (x) = x f (t)dt, pro < x <. Příklad Gaussova křivka Dá se ukázat, že ve všech bodech, kde existuje derivace distribuční funkce, platí f (x) = df (x). dx

32 Vlastnosti hustoty 1 f (x) 0, tzn. hustota pravděpodobnosti je nezáporná funkce, 2 f (x) = 1, tzn. plocha pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je rovna 1, 3 lim x f (x) = 0 4 lim x f (x) = 0 Poznámka: Hodnota hustoty pravděpodobnosti f (x) neudává pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X má hodnotu x. Hustota pravděpodobnosti f (x) neudává žádnou pravděpodobnost. Muže nabývat také hodnot vyšších než 1.

33 Vztahy mezi pravděpodobností výskytu spojité náhodné veličiny v nějakém intervalu a hustotou pravděpodobnosti a, b R, a < b : 1 P(X = a) = 0, 2 P(X < a) = F (a) = 3 a f (x)dx, 4 P(X a) = 1 F (a) = = a f (x)dx, P(a X < b) = F (b) F (a) = = b a f (x)dx f (x)dx b a f (x)dx f (x)dx a f (x)dx

34 F (x) 1 P(X a) F (b) P(a X < b) F (a) P(X < a) 0 a b x

35 Geometrická interpretace vztahu mezi pravděpodobností a hustotou pravděpodobnosti b P(a X < b) = f (x)dx a f (x) P(a X < b) 0 a b x Obsah plochy pod křivkou f (x) pro x a, b) je pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty z tohoto intervalu.

36 Geometrická interpretace vztahu mezi pravděpodobností a hustotou pravděpodobnosti P(X < a) = b f (x)dx f (x) P(X < a) 0 a x Obsah plochy pod křivkou f (x) pro x (, a) je pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty z tohoto intervalu.

37 Geometrická interpretace vztahu mezi pravděpodobností a hustotou pravděpodobnosti P(X b) = f (x)dx a f (x) P(X a) 0 a x Obsah plochy pod křivkou f (x) pro x (a, ) je pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty z tohoto intervalu.

38 Děkuji za pozornost!!!