9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho

Transkript

1 Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva vrcholy různé stupně? Své rozhodnutí zdůvodněte! Nejvyšší možný stupeň jednoduchého grafu na 9 vrcholech je 8, nejnižší možný vrchol je 0. Protože aždý vrchol má být jiného stupně, musely by v hledaném grafu být vrcholy všech stupňů 0, 1,,..., 8 (devět různých přípustných hodnot). To vša není možné, nebot v grafu nemůže být současně vrchol stupně 8 (sousední se všemi ostatními) a vrchol stupně 0, terý není sousední s žádným vrcholem. 9.. Doážete nareslit graf na 11 vrcholech, ve terém jsou vrcholy pouze stupně 3 nebo 5? Své rozhodnutí zdůvodněte! Taový graf by měl lichý počet vrcholů lichého stupně, což je ve sporu s Důsledem Principu sudosti (viz přednáša). Proto taový graf nelze nareslit. Jiné řešení: Podle věty v V deg(v) by bylo E = v V deg(v) = s 3 + (11 s) 5 = 55 s. Odtud je počet hran E = 55 s, de s N 0, což není celé číslo a proto daný graf neexistuje Je graf G induovaný podgraf grafu H? Zdůvodněte. v 3 v 3 v 4 v v 4 v v 5 v 1 v 5 v 6 v 7 v 6 v 7 Obráze 9.1: Graf H a jeho podgraf G. Není, nebot romě hran incidentních s odstraněným vrcholem v 1 mu ještě chybí hrany v 3 v 5 a v v Koli hran má graf G (a) se 150 vrcholy stupně 3 a 1000 vrcholy stupně 4? (b) se 130 vrcholy stupně 5 a 500 vrcholy stupně? Vysvětlete! (a) Počet vrcholů grafu G je V (G) = = Z principu sudosti je 1150 deg(v i) = E(G). Protože víme, že 150 vrcholů je stupně 3 a 1000 vrcholů stupně 4 můžeme dosadit a dostaneme = E(G). Odtud počet hran grafu G je E(G) = = 5. Taový graf existuje, napřílad 5 omponent K 3,3 a 00 omponent K 5. (b) Počet vrcholů grafu G je V (G) = = 630. Z principu sudosti je 630 deg(v i) = E(G). Protože víme, že 130 vrcholů je stupně 5 a 500 vrcholů stupně můžeme dosadit a dostaneme = E(G). Odtud počet hran grafu G je E(G) = = 85. Taový graf existuje, napřílad 13 omponent K 5,5 a jedna omponenta C Máme dán graf G, jehož vrcholy jsou pouze dvou různých stupňů.

2 Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) (a) Graf G má 10 vrcholů a 6 hran. Jestliže 4 vrcholy jsou stupně 4, jaého stupně jsou zbývající vrcholy? (b) Graf G má 1 vrcholů a 30 hran. Jestliže 8 vrcholů je stupně 3, jaého stupně jsou zbývající vrcholy? (a) Víme, že V (G) = 10 a E(G) = 6. Označíme si x neznámý stupeň vrcholů a dosadíme do principu sudosti V (G) deg(v i ) = E(G). Po dosazení známých stupňů vrcholů a počtu hran dostáváme x = 6. Odtud 6x = 36 a tedy x = 6. Zbývajících 6 vrcholů je stupně 6. Pomocí věty Havla-Haimiho lze snadno ověřit, že taový graf existuje. (b) Víme, že V (G) = 1 a E(G) = 30. Označíme si x neznámý stupeň vrcholů a dosadíme do principu sudosti V (G) deg(v i ) = E(G). Po dosazení známých stupňů vrcholů a počtu hran dostáváme x = 30. Odtud 4x = 36 a tedy x = 9. Zbývající 4 vrcholy jsou stupně 9. Pomocí věty Havla-Haimiho lze snadno ověřit, že taový graf existuje Máme dán graf G. (a) Jestliže graf G má 35 hran, oli může mít vrcholů? Uved te všechny možnosti. (b) Jestliže graf G má 39 hran, oli může mít vrcholů? Uved te všechny možnosti. (a) Graf s největším počtem hran na daném počtu vrcholů n je ompletní graf K n. Pro počet hran K n platí E(K n ) = ( n ). Proto nejmenší možný počet vrcholů n s daným počtem hran 35 zjistíme vyřešením nerovnice ( n ) 35, de n N. Tedy n(n 1) 35 n(n 1) 70 n n 70 0 (n )(n ) 0 n 9. Záporná řešení pochopitelně neuvažujeme. Graf terý má 35 hran musí mít nejméně 9 vrcholů. Příladem je ompletní graf K 9, ze terého odebereme libovolnou hranu. Horní mez vša pro počet vrcholů V (G) není, protože můžeme přidávat libovolně mnoho izolovaných vrcholů. (b) Graf s největším počtem hran na daném počtu vrcholů n je ompletní graf K n. Pro počet hran K n platí E(K n ) = ( n ). Proto nejmenší možný počet vrcholů n s daným počtem hran 39 zjistíme vyřešením nerovnice ( n ) 39, de n N. Tedy n(n 1) 39 n(n 1) 78 n n 78 0 (n )(n ) 0 n 10. Záporná řešení pochopitelně neuvažujeme. Graf terý má 39 hran musí mít nejméně 10 vrcholů. Příladem je ompletní graf K 10, ze terého odebereme libovolných 6 hran. Horní mez vša pro počet vrcholů V (G) není, protože můžeme přidávat libovolně mnoho izolovaných vrcholů Na tenisový turnaj se přihlásilo sedm hráčů. Každý má během turnaje odehrát právě 3 zápasy (nebude tedy hrát aždý s aždým). Je to možné? Pečlivě zdůvodněte.

3 Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 3 Tenisový turnaj můžeme znázornit grafem, ve terém vrcholy představují hráče a hrany představují zápasy. Protože se turnaje má účastnit 7 hráčů a aždý hráč má odehrát tři zápasy musel by graf mít 7 vrcholů stupně 3. Tedy V (G) deg(v i ) = 7 3 = 1 = E(G), což je spor s tím, že počet hran musí být celé číslo. Graf s lichým počtem vrcholů lichého stupně neexistuje, proto není možné aby aždý ze sedmi hráčů odehrál v turnaji právě tři zápasy Koli různých fatorů má (a) graf K 4? (b) graf C 5? (c) graf P 5? Předpoládáme, že rozlišujeme vrcholy (napřílad označením). (a) Fator F je podgraf daného grafu K 4, jehož množina hran E(F ) je nějaou podmnožinou množiny hran E(K 4 ), a má stejnou množinu vrcholů V (F ) = V (K 4 ). Počet různých fatorů p, jestliže rozlišujeme vrcholy, je roven počtu všech různých podmnožin množiny hran E(K 4 ). Počet všech různých podmnožin dané množiny je roven veliosti potenční množiny, tedy p = E(K 4) = 6 = 64. Kompletní graf na 4 vrcholech má 64 různých fatorů. (b) Fator F je podgraf daného grafu C 5, jehož množina hran E(F ) je nějaou podmnožinou množiny hran E(C 5 ), a má stejnou množinu vrcholů V (F ) = V (C 5 ). Počet různých fatorů p, jestliže rozlišujeme vrcholy, je roven počtu všech různých podmnožin množiny hran E(C 5 ). Počet všech různých podmnožin dané množiny je roven veliosti potenční množiny, tedy p = E(C 5) = 5 = 3. Cylus na 5 vrcholech má 3 různých fatorů. (c) Fator F je podgraf daného grafu P 5, jehož množina hran E(F ) je nějaou podmnožinou množiny hran E(P 5 ), a má stejnou množinu vrcholů V (F ) = V (P 5 ). Počet různých fatorů p, jestliže rozlišujeme vrcholy, je roven počtu všech různých podmnožin množiny hran E(P 5 ). Počet všech různých podmnožin dané množiny je roven veliosti potenční množiny, tedy p = E(P 5) = 4 = 16. Cesta na 5 vrcholech má 16 různých fatorů Existuje graf (a) se stupňovou posloupností (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1)? (b) se stupňovou posloupností (6, 4, 4, 3, 3,,,, 1, 1)? (c) se stupňovou posloupností (6, 4, 4, 3, 3, 3,,,, 1)? (d) se stupňovou posloupností (6, 6, 6, 6, 5, 5, 3)? (e) se stupňovou posloupností (6, 6, 6, 6, 4, 3, 3)? (f) se stupňovou posloupností (6, 6, 6, 6, 5, 4, 3)? Své rozhodnutí zdůvodněte! (a) Pomocí věty Havel Haimi budeme nejdříve postupně reduovat posloupnost (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) ta dlouho, až dojdeme posloupnosti o níž doážeme rozhodnout, zda je nebo není grafová. (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) (4,,,, 1, 1,, 1, 1) (4,,,,, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). K této posloupnosti jistě graf nareslit umíme. Je to osm vrcholů spárovaných čtyřmi nezávislými hranami. Je-li tedy posloupnost (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) grafová, pa je i posloupnost (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) grafová.

4 Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 4 (b) Podobně jao v předchozím případě dostaneme (6, 4, 4, 3, 3,,,, 1, 1) (3, 3,,, 1, 1,, 1, 1) (3, 3,,,, 1, 1, 1, 1) (, 1, 1,, 1, 1, 1, 1) (,, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0), což je grafová posloupnost grafu K 1 spolu se třemi opiemi K. Proto je i původní posloupnost (6, 4, 4, 3, 3,,,, 1, 1) grafová. (c) Podobně jao v předchozím případě dostaneme (6, 4, 4, 3, 3, 3,,,, 1) (3, 3,,,, 1,,, 1) (3, 3,,,,,, 1, 1) (, 1, 1,,,, 1, 1) (,,,, 1, 1, 1, 1) (1, 1,, 1, 1, 1, 1) (, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (0, 0, 1, 1, 1, 1), což je grafová posloupnost grafu se dvěma opiemi K 1 spolu se dvěma opiemi K. Proto je i původní posloupnost (6, 4, 4, 3, 3, 3,,,, 1) grafová. (d) Taový graf neexistuje, protože podle principu sudosti musí být součet stupňů vrcholů grafu sudé číslo. V našem případě je ale = 37, což je liché číslo. (e) Taový graf neexistuje, což uážeme užitím Věty Havel-Haimi. (6, 6, 6, 6, 4, 3, 3) (5, 5, 5, 3,, ) (4, 4,, 1, 1) (3, 1, 0, 0) (0, 1, 1). Protože evidentně (0, 1, 1) není stupňovou posloupností žádného grafu, ta podle Věty Havel-Haimi není ani posloupnost (6, 6, 6, 6, 4, 3, 3) stupňovou posloupností žádného grafu. (f) Taový graf neexistuje, což uážeme užitím Věty Havel-Haimi. (6, 6, 6, 6, 5, 4, 3) (5, 5, 5, 4, 3, ) (4, 4, 3,, 1) (3,, 1, 0) (1, 0, 1). Protože evidentně (1, 0, 1) není stupňovou posloupností žádného grafu, ta podle Věty Havel-Haimi není ani posloupnost (6, 6, 6, 6, 5, 4, 3) stupňovou posloupností žádného grafu Rozhodněte, zda je daná posloupnost grafová a poud ano, ta nareslete graf s touto stupňovou posloupností. (a) (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) (b) (4, 4, 3, 3,, ) (c) (5, 4,,,, 1) (a) Pomocí věty Havel Haimi budeme nejdříve postupně reduovat posloupnost (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) ta dlouho, až dojdeme posloupnosti o níž doážeme rozhodnout, zda je nebo není grafová. (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) (4,,,, 1, 1,, 1, 1) (4,,,,, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). K této posloupnosti jistě graf nareslit umíme. Je to osm spárovaných vrcholů. Je-li tedy posloupnost (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) grafová, pa je i posloupnost (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1) grafová. Opačným postupem zreonstruujeme z grafu se stupňovou posloupností (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) graf se stupňovou posloupností (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1). Obráze 9.: Reonstruce grafu se stupňovou posloupností (6, 5, 3, 3, 3,,,, 1, 1).

5 Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 5 (b) Pomocí věty Havel-Haimi ověříme, zda je nebo není posloupnost grafová. (4, 4, 3, 3,, ) (3,,, 1, ) (3,,,, 1) (1, 1, 1, 1) Zřejmě poslední posloupnost grafová je a tedy i původní posloupnost (4, 4, 3, 3,, ) je grafová. Zpětně z grafu s posloupností (1, 1, 1, 1) opačným postupem zreonstruujeme graf se stupňovou posloupností (4, 4, 3, 3,, ). Obráze 9.3: Reonstruce grafu se stupňovou posloupností (4, 4, 3, 3,, ). (c) Pomocí věty Havel-Haimi ověříme, zda je nebo není posloupnost grafová. (5, 4,,,, 1) (3, 1, 1, 1, 0) (0, 0, 0, 0) Zřejmě poslední posloupnost grafová je a tedy i původní posloupnost (5, 4,,,, 1) je grafová. Zpětně z grafu s posloupností (0, 0, 0, 0) opačným postupem zreonstruujeme graf se stupňovou posloupností (5, 4,,,, 1). Obráze 9.4: Reonstruce grafu se stupňovou posloupností (5, 4,,,, 1) Mějme -pravidelný graf G na n vrcholech, de 3. Pro jaé a n je počet hran grafu G násobe čísla? Své rozhodnutí zdůvodněte! Je-li graf G = (V, E) -pravidelný, pa v V : deg G (v) =. Proto v V deg G(v) = V. Odtud dostáváme V. Tedy E je dělitelné. Nyní rozlišíme dva případy: (i) je liché: Protože je 3 liché, ta nedělí, tedy musí dělit E. Počet hran je tedy dělitelný. (ii) je sudé: Označíme si = t. Nyní rozlišíme dva případy. Je-li počet vrcholů grafu G sudý je E t = V sudé číslo a E t je celé číslo. To znamená, že dělí počet hran. Je-li ale počet vrcholů grafu G lichý, ta E t = V je liché číslo a proto V t není celé číslo a nedělí počet hran. Jiné řešení: Je-li graf G = (V, E) -pravidelný, pa v V : deg G (v) =. Proto v V deg G(v) = V. Odtud dostáváme E = V. Nyní rozlišíme dva případy. Je-li počet vrcholů v grafu sudý ( V je sudé číslo), potom V je celé číslo a proto dělí E. Je-li počet vrcholů v grafu lichý ( V je liché číslo), potom V není celé číslo a nedělí E.