S T R A I N DEVELOPMENT OF CONCRETE U N D E R CYCLIC LOADING

Transkript

1 V ÝVOJ P Ř E T V O Ř E N Í B E T O N U PŘI CYKLICKÉM Z A T Í Ž E N Í A J E H O MATEMATICKÝ POPIS F U N K C Í Ú N A V O V É H O P O Š K O Z E N Í S T R A I N DEVELOPMENT OF CONCRETE U N D E R CYCLIC LOADING M AREK FOGLAR Cílem příspěvku je seznámit s vyvinutou funkcí únavového poškození betonu, jež umožňuje vypočítat zbytkový modul pružnosti materiálu v jakémkoli okamžiku cyklického zatížení. Metoda byla experimentálně ověřena na příkladu desky z dodatečně předpjatého betonu. Funkci únavového poškození lze užít při ručních výpočtech i ve výpočetních programech založených na MKP a analyzovat konstrukční prvky vystavené cyklickému zatížení. This paper describes the strain development in concrete structures under cyclic loading and presents a method for assessing of the remaining secant modulus of elasticity of concrete under cyclic loading. The described method is the fatigue damage function which can be inserted into FEM software to help performing analysis of structural elements subjected to cyclic loading. Experimental verification of the fatigue damage function is described in the text. Únava je proces stálých progresivních změn ve struktuře materiálu vystaveného cyklickému zatížení. Výzkum zabývající se únavou kovů začal ve 40. letech devatenáctého století s nástupem železnic. Únava betonu je studována od 20. let století minulého. Velké rozkmity napětí ve štíhlých konstrukcích mostů či jeřábových drah mohou vést k rychlému rozvoji trhlin, zvětšování průhybů a ve svém důsledku až k selhání prvku. Cílem článku je seznámit s vyvinutou funkcí únavového poškození, jež umožňuje vypočítat zbytkový modul pružnosti v jakémkoli okamžiku cyklického zatížení. V ÝVOJ PŘETVOŘENÍ PŘI CYKLICKÉM ZATÍŽENÍ Beton je heterogenní třífázový materiál a ze své podstaty je plný trhlin a počátečních koncentrací napětí. Únavové procesy v takovémto materiálu jsou podstatně složitější než v homogenních kovových materiálech. Vývoj přetvoření a modulu pružnosti při cyklickém zatížení bude dále popsán. Cyklické zatížení způsobuje poškození materiálu s každým zatěžovacím cyklem, a tak pokaždé působí na beton s lehce pozměněnými mechanickými vlastnostmi. Již přítomné trhliny se vlivem cyklického zatížení rozšiřují, při odlehčování se plně neuzavírají, koncentrace napětí na jejich špičkách způsobují poškození v každém zatěžovacím cyklu. Trhliny se šíří až se nakonec rozšíří po celém průřezu. Konstrukční prvek vystavený cyklickému zatížení selže v jeho důsledku při napětí menším, než je jeho statická pevnost. Fáze vývoje přetvoření betonového prvku při cyklickém zatížení Ve vývoji přetvoření cyklicky zatíženého prvku z betonu se dají vysledovat tři fáze. První fáze iniciace trhlin je ukončena již po 10 % všech zatěžovacích cyklů a odehrává se ve slabších oblastech cementového tmelu. Fázi je možné charakterizovat prudkým nárůstem přetvoření, jež má klesající průběh. Nejdelší je druhá fáze stabilní šíření trhlin. Je charakteristická pomalým a postupným růstem základních trhlin až do dosažení kritické velikosti. Obecně se nazývá růst mikrotrhlin. Ve druhé fázi narůstá přetvoření betonového prvku konstantní rychlostí v závislosti na proběhnuvším množství cyklů. Třetí fáze nestabilní šíření trhlin vede k lomu prvku a odehrává se ve zbylých cca 10 % zatěžovacích cyklů. Začne, když je v betonu vytvořeno dostatečné množství nestabilních trhlin. Tyto se spojí v makrotrhlinu, jež může vést k selhání prvku. V poslední fázi je únosnost prvku již značně oslabena a většinou vede k velice rychlému selhání. Průběh těchto tří fází se dá graficky vyjádřit pomocí křivky cyklického dotvarování (obr. 1). Křivku získáme, pokud vynášíme deformace zaznamenané během únavových zkoušek na ose y oproti počtu zatě- Obr. 1 Vývoj přetvoření betonu při cyklickém zatížení křivka cyklického dotvarování Fig. 1 Strain development of concrete subjected to cyclic loading the cyclic creep curve Obr. 2 Vývoj modulu pružnosti při cyklickém zatížení Fig. 2 Development of secant modulus of elasticity of concrete under cyclic loading E cm [%] 100 FIRST PHASE SECOND PHASE THIRD PHASE NUMBER OF CYCLES 60 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/2008

2 Obr. 3 Procentuální úbytek sečného modulu pružnosti betonu v závislosti na poměru proběhnuvších zatěžovacích cyklů ku jejich celkovému počtu, hodnoty pro různé úrovně zatížení [1] Fig. 3 Percentage reduction of the secant modulus of elasticity of concrete with the cycle ratio, mean curves for different stress levels [1] 3 Obr. 4 Definice konstant a a b Fig. 4 Graphical explanation of the meaning of constants a and b žovacích cyklů proběhnuvších v okamžiku zaznamenané deformace. Vývoj modulu pružnosti betonu při cyklickém zatížení Vývoj modulu pružnosti betonu při cyklickém zatížení odpovídá vývoji přetvoření (obr. 2). Po prudkém úbytku modulu pružnosti v prvních 10 % zatěžovacích cyklů následuje jeho pozvolný pokles v následujících 80 % zatěžovacích cyklů. V konečné fází cyklického zatížení, v posledních 10 % celkového počtu zatěžovacích cyklů, dochází opět k prudkému úbytku modulu pružnosti, jenž vede k selhání prvku. Vývojem modulu pružnosti při cyklickém zatížení se jako první zabýval J. O. Holmen v roce 1979 [1]. Při svých experimentech užíval zatěžovací frekvenci 5 Hz, spodní napětí bylo rovné 0,5 f cm. Horní napětí se pohybovalo v intervalu od 0,67 do 0,9 f cm. Při vyšších úrovních zatížení byla první fáze kratší (méně než 10 %) a pokles modulu pružnosti v druhé fázi byl rychlejší. První fáze vývoje modulu pružnosti končila na 75 až 95 % E cm, druhá fáze na 65 až 75 % E cm v závislosti na maximální úrovni zatížení. M ATEMATICKÝ POPIS VÝVOJE PŘETVOŘENÍ PŘI CYKLICKÉM ZATÍŽENÍ Parametrizace vývoje přetvoření při cyklickém zatížení Na základě experimentů [1] byla navržena parametrizace vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení. Pro účel této parametrizace se uvažuje trvání první a třetí fáze vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení shodně 10 % celkového počtu zatěžovacích cyklů, jimž je prvek schopen vzorovat. Z výsledků experimentů [1] bylo vysledováno, že příspěvek první a třetí fáze vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení je konstantní pro danou úroveň zatížení a může být proto nahrazen konstantami závislými na maximální úrovni tlakového namáhání prvku. Byly zavedeny konstanty a a b. Konstanta a představuje úbytek modulu pružnosti v první fázi jeho vývoje při cyklickém zatížení, zatímco konstanta b představuje zbytkovou část původního modulu pružnosti na začátku třetí fáze vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení. Definice konstant je osvětlena na obr. 4. Úbytek modulu pružnosti v první fázi jeho vývoje, konstanta a, je větší při nižších úrovních zatížení. Na druhou stranu zbytková část původního modulu pružnosti na začátku třetí fáze vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení, konstanta b, je menší při nižších úrovních zatížení. Tzn. že konstrukční prvek při menší úrovni cyklického zatížení ztrácí větší část svého modulu pružnosti při první fázi jeho vývoje, zatímco je stále funkční na začátku třetí fáze vývoje modulu pružnosti při cyklickém zatížení s menší částí původního modulu pružnosti, jež by při vyšších úrovních zatížení již vedla k jeho selhání. Obr. 5 poskytuje grafické vyjádření této závislosti. Vzorce pro určení konstant byly získány s užitím lineární regrese (obr 6). a = 0,47 0,4S max (1) b = 0,57 0,17S max (2) Vzhledem k metodě, jež byla užita pro jejich získání, vzorce pro konstanty a a b mají platnost pouze pro úrovně zatížení S max > 0,174. Nové vzorce, jež by zahrnovaly menší úrovně zatížení, musí být vyvinuty na experimentálním základě. Funkce únavového poškození Je hledána funkce, jež by popisovala 4 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/

3 5 7 Obr. 5 Hodnoty konstant a a b pro různé úrovně zatížení Fig. 5 Values of constants a, b for various stress levels Obr. 7 Rozdíl mezi hodnotami (1 b) a a při různých úrovních zatížení Fig. 7 Difference between (1-b), a for various load levels Obr. 6 Určení konstant a a b užitím lineární regrese Fig. 6 Estimation of the constants a and b with the use of linear regression vývoj přetvoření cyklicky zatíženého betonového prvku a měla by jako výsledek poskytovat hodnoty modulu pružnosti v každém okamžiku cyklického zatížení při respektování jeho tří fází. Hodnota redukovaného modulu pružnosti může být pak užita pro výpočet zvětšených deformací v důsledku poškození způsobeného cyklickým zatížením. Funkce může být užita jak při ručních výpočtech průhybů cyklicky zatížených prvků, tak zakomponována do výpočetních programů založených na metodě konečných prvků. Bude pak možné provádět kompletní zhodnocení trvanlivosti konstrukce z hlediska cyklického zatížení. Funkce únavového poškození je založena na parametrizaci vývoje přetvoření při cyklickém zatížení. Funkce únavového poškození je založena na těchto okrajových podmínkách a omezeních: 6a) 6b) 62 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/2008

4 Proměnnou funkce (osa x) je poměr počtu zatěžovacích cyklů, jimž byl konstrukční prvek již vystaven n i ku celkovému počtu zatěžovacích cyklů, jimž je konstrukční prvek s to vzdorovat při dané úrovni zatížení (tato hodnota N i se dá vypočítat za užití postupů uvedených v EN 1992 a Model Code 1990). Výsledkem funkce je násobitel modulu pružnosti na začátku cyklického zatížení, jenž po vynásobení tímto modulem udává hodnotu modulu pružnosti po n cyklech zatížení. Trvání první a třetí fáze vývoje přetvoření při cyklickém zatížení je uvažováno 10 % celkového počtu cyklů, jimž je konstrukční prvek schopen při dané úrovni zatížení vzdorovat. Hodnota funkce únavového poškození po první fázi vývoje přetvoření při cyklickém zatížení je rovna (1 a). Hodnota funkce únavového poškození na začátku třetí fáze vývoje přetvoření při cyklickém zatížení je rovna b. Pro úrovně zatížení S max < 0,174 musí funkce únavového poškození poskytovat reálné výsledky. Jak bylo řečeno, funkce únavového poškození bude užita jako násobitel počátečního modulu pružnosti na začátku cyklického zatížení tak, aby vyjádřila poškození materiálu způsobené n i zatěžovacími cykly. Okamžitá hodnota modulu pružnosti po n i zatěžovacích cyklech je tedy: E ni = ω Fi E n0, (3) kde E ni je hodnota modulu pružnosti po n i zatěžovacích cyklech, ω Fi je hodnota funkce únavového poškození po n i zatěžovacích cyklech a E n0 je hodnota modulu pružnosti na začátku cyklického zatěžování. Z matematického hlediska je funkce únavového poškození prostá funkce. Z důvodu lepší možnosti matematického popisu byl zvolen stoupající tvar (vývoj přetvoření při cyklickém zatížení, obr. 1), než tvar klesající (vývoj modulu pružnosti při cyklickém zatížení, obr. 2). Funkce únavového poškození bude pak mít formu: ω Fi = 1 X, (4) kde X je funkce, jež musí být určena. Vzhledem k zvolenému tvaru funkce, bude funkce sumou mocninné funkce (dominantní v prvních dvou fázích cyklického zatěžování) a exponenciální funkce (dominantní v třetí fázi cyklického zatěžování). Funkce únavového poškození bude mít tvar: ω = + (5) kde c 1-4 jsou konstanty, jejichž hodnota musí být stanovena. Funkce X, definovaná výše, musí splňovat tyto okrajové podmínky: Hodnota mocninné části funkce X musí mít při n/n = 0,1 hodnotu rovnou a a při n/n = 0,9 rovnou (1 b). Vzhledem k rozdílu mezi (1 b) a a při různých úrovních zatížení, jež určují nárůst mocninné části funkce X mezi n/n = 0,1 a n/n = 0,9, mocninná část funkce X musí být funkcí S max (obr. 7). Mocninná část funkce X představuje rapidní pokles modulu pružnosti na začátku cyklického zatěžování, a pak jeho pozvolný úbytek při 80% životnosti prvku vystaveného cyklickému zatížení. Hodnoty exponenciální části funkce X musí být pro n/n = 0,1 až 0,9 zanedbatelné, pro n/n = 0,9 až 1 dominantní. Pro n/n = 1 musí být její hodnota rovna b tak, aby suma exponenciální a mocninné části byla rovna 1. Exponenciální část funkce X je tedy nezávislá na úrovni zatížení. Funkce únavového poškození zobrazuje pokles modulu pružnosti betonu během cyklického zatěžování. Sestává se z mocninné a exponenciální části. 8 Zatímco mocninná část funkce je závislá na úrovni zatížení a představuje rychlý pokles modulu pružnosti na začátku cyklického zatěžování, a pak jeho pozvolný úbytek v druhé fázi cyklického zatěžování, exponenciální část funkce je nezávislá na úrovni zatížení a představuje prudký úbytek modulu pružnosti v poslední fázi cyklického zatěžování, jež vede k selhání prvku. Popsaný proces vede k následující definici funkce únavového poškození: ω = + kde ω Fi je hodnota funkce únavového poškození po n i zatěžovacích cyklech, n i je počet zatěžovacích cyklů, jimž byl konstrukční prvek již vystaven, N i je celkový počet zatěžovacích cyklů, jimž je konstrukční prvek při dané úrovni zatížení schopen vzdorovat. Tuto hodnotu je možné vypočítat pomocí postupů uvedených v EN 1992 a Model Code 1990; a, b jsou konstanty závislé na úrovni zatížení; c 1 = 0,1; c 2 = 70; c 3 = 2,72 a = = ( ( ) = + = ) Obr. 8 Příklad funkce únavového poškození pro různé úrovně zatížení Fig. 8 Example of the fatigue damage function for various stress levels B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/

5 Obr. 9 Deska z předpjatého betonu Fig. 9 Prestressed concrete slab 9 Obr. 8 poskytuje příklad průběhu funkce únavového poškození pro různé úrovně zatížení. E XPERIMENTÁLNÍ OVĚŘENÍ FUNKCE ÚNAVOVÉHO POŠKOZENÍ Funkce únavového poškození byla experimentálně ověřena na příkladě desky z dodatečně předpjatého betonu. Zkoušené prvky a jejich zatěžování Firmou SMP CONSTRUCTION, a. s., byly Tab. 1 Tab. 1 Naměřené průhyby desky z předpjatého betonu a jejich porovnání s výpočtem pomocí modulu pružnosti redukovaného funkcí únavového poškození Comparison of measured and with the use of the fatigue damage function calculated values of deflection Číslo měření Počet cyklů při měření Naměřený průhyb desky [mm] 14,437 17,937 18,303 Vypočtený průhyb desky [mm] 14,586 19,071 19,236 Poměr naměřeného ku vypočtenému průhybu [%] 98,98 94,05 95,15 vyrobeny tři desky z plně předpjatého betonu. Desky byly 130 mm vysoké, mm široké a mm dlouhé. Na obou koncích byla deska rozšířena na výšku 400 mm pro kotvení předpínací výztuže (obr. 9). Desky byly vyrobeny z betonu C45/55 s jedenácti předpínacími lany o průměru 15,7 mm. Deska byla podél kratších stran prostě podepřena tak, aby rozpětí mezi podporami bylo mm a převislé konce 500 mm. Zkoušená deska z předpjatého betonu byla navržena podle EN tak, aby došlo k únavovému poškození betonu desky v tlaku pro navržené cyklické zatížení. Desky byly původně navrženy pro projekt [2]. Deska z předpjatého betonu byla v laboratořích Fakulty stavební ČVUT v Praze zatěžována čtyřbodovým ohybem tak, aby bylo dosaženo konstantního ohybového momentu ve střední části desky (obr. 9). Cyklické zatížení desky bylo vyvoláno harmonickou silou o frekvenci 2,5 Hz. Sledování vývoje průhybů prvku Po každých cca cyklech byl během cyklického zatěžování měřen průhyb. Průhyb byl měřen uprostřed rozpětí prvku induktivním snímačem dráhy HBM W50. Cyklické zatěžování nebylo během měření přerušeno. Průhyby byly sledovány na druhé ze třech vyrobených desek z předpjatého betonu, od zatěžovacích cyk lů. Do současné doby byla provedena celkem tři měření na druhé desce z předpjatého betonu. Výsledky měření pro třetí desku z předpjatého betonu budou k dispozici v březnu Porovnání výsledků experimentu s výpočtem Tab. 1 poskytuje výsledky naměřených průhybů při daném počtu zatěžovacích cyklů a jejich porovnání s vypočteným průhybem s užitím modulu pružnosti redukovaného funkcí únavového poškození. Mezi prvním a druhým měřením došlo k rozvoji trhlin na spodním povrchu desky. Při detailním řešení desky za pomocí TDA analýzy v programu SCIA NEXIS byla odhalena příčina rozvoje trhlin chybně odhadnuté ztráty předpětí pro krátký prvek s přímým vedením lan předpínací výztuže. Vznik trhlin byl zohledněn ve výpočtu zavedením 10 Obr. 10 Průběh funkce únavového poškození pro desku z předpjatého betonu č. 2. Umístění měření průhybů desky z hlediska její celkové životnosti Fig. 10 Behaviour of the fatigue damage function for the slab No. 2 with emphasized deflection measurements 64 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/2008

6 ideálního průřezu podle detailního řešení ztrát předpětí se zahrnutím vlivu dotvarování a smršťování. Z tab. 1 je patrná vynikající shoda mezi naměřenými a vypočtenými průhyby. Rozdíly mezi těmito hodnotami se pohybují v rozmezí 1 až 6 %, což lze považovat za více než uspokojivý výsledek experimentálního ověření funkce únavového poškození. Hodnoty průhybů jsou o 40, resp. 74 a 78 % vyšší než průhyb při působení statického zatížení, jenž činí 10,286 mm. Umístění měření průhybů desky z hlediska její celkové životnosti je patrné na obr. 10. Detailnější výsledky poskytnou měření na třetí desce, na které budou průhyby měřeny od samého počátku cyklického zatěžování. Třetí deska bude zkoušena v březnu Z ÁVĚR Příspěvek popsal vývoj přetvoření a modulu pružnosti betonu při cyklickém zatížení a poskytl metodu pro výpočet zbytkové části modulu pružnosti při cyklickém zatížení. Metoda byla experimentálně ověřena na příkladě desky z dodatečně předpjatého betonu, shoda naměřených průhybů s vypočtenými hodnotami je vynikající. Funkci únavového poškození je možné snadno užít jak při ručních výpočtech, tak ji zakomponovat do výpočetních programů založených na MKP, a provádět tak detailnější analýzu konstrukčních prvků vystavených cyklickému zatížení. Projekt se uskutečnil za podpory GA ČR, projekt č. 103/05/2244. Ing. Marek Foglar Fakulta stavební ČVUT v Praze Katedra betonových a zděných konstrukcí Thákurova 7, Praha 6 marek.foglar@fsv.cvut.cz Text článku byl posouzen odborným lektorem. Literatura: [1] Holmen J. O.: Fatigue of concrete by constant and variable amplitude loading. Bulletin No. 79-1, Division of Concrete Structures, NTH-Trondheim, s. [2] Plachý T., Polák M.: Vliv cyklického únavového namáhání na změnu modálních charakteristik prvku z předpjatého betonu, In: Acta Mechanica Slovaca, 2006, roč. 10, č. 1, s [3] Foglar M., Štemberk P.: Parametric description of the development of secant modulus of elasticity of concrete uder cyclic loading, Nat. Conf. with Inter. Part. Engineering Mechanics 2007, s [4] ČSN EN ( ) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí. Část 2: Betonové mosty Navrhování a konstrukční zásady, Praha ČNI, s. [5] CEB-FIP Model Code 1990, Lausanne: CEB Pokračování ze str. 59 Literatura: [1] Stráský J.: Visuté předpjaté střechy. Beton TKS 4/2005, 1/2006 [2] Stráský J.: Membránové střechy z předpjatého betonu, Beton TKS 1/2008 [3] Bobrowski J.: The Saddledome : the Olympic ice stadium in Calgary (Canada), L Industria Italiana del Cemento 5/1984. s [4] Stráský J., Kaláb P.: Vývoj visuté střechy z předpjatého betonu, dílčí výzkumná zpráva centra CIDEAS za rok 2007 [5] Bomhard H.: Reconstruction of the Berlin congress hall, Proceedings of Tenth international congress of the FIP, New Dehli 1986 [6] Kaláb P.: Model membránové střechy z předpjatého betonu: návrh, realizace a statická zkouška, Proceedings Membránové střechy z předpjatého betonu, Brno, 2007, ČR, VUT v Brně, s. 31. ISBN: dající namáhání od lokálního ohybového momentu. Je zřejmé, že u skutečné konstrukce by tahové napětí v membráně bylo zachyceno betonářskou výztuží a konstrukce by dále bezpečně fungovala. Mezní únosnosti konstrukce by bylo dosaženo až vyčerpáním tahové únosnosti lan a nebo ztrátou stability obloukových prstenců oddělených od prefabrikovaných prvků. Aplikováním popsaného zatížení tedy nebylo dosaženo mezního stavu. Vzhledem k tomu, že bylo použito veškeré připravené zatížení a vzhledem k dosažené úrovni zatížení, byla zkouška ukončena. Během zkoušky i po jejím ukončení plnily všechny nosné prvky konstrukce svou funkci. Mezní únosnost konstrukce se nepodařilo zjistit, nicméně model prokázal vysokou únosnost vyvinuté konstrukce a dosažená hladina zatížení je podstatně vyšší než klimatická zatížení, která definují platné normy pro Českou republiku. Výsledky měření potvrzují dobrou shodu experimentu s výpočtovým modelem v deformacích i napětích. Experimentem bylo prokázáno, že použitý postup statické analýzy je správný. Z ÁVĚR Realizace modelu a provedené zkoušky prokázaly správnost návrhu konstrukce, správnost navrženého postupu statické analýzy a postupu výstavby. Zatěžovací zkoušky také prokázaly vysokou tuhost a únosnost konstrukce. Model byl navržen, postaven a odzkoušen pracovníky Ústavu betonových a zděných konstrukcí FAST VUT v Brně za pomoci pracovníků Ústavu stavebního zkušebnictví. Model byl realizován ve Sdružené zkušebně nosných konstrukcí díky podpoře Ústavu kovových a dřevěných konstrukcí. Při řešení popisovaných konstrukcí byly aplikovány výsledky projektu Ministerstva průmyslu FI-IM/185 Nové úsporné konstrukce z vysokopevnostního betonu. Příspěvek vznikl za podpory projektu 1M MŠMT, v rámci činnosti výzkumného centra CIDEAS. Ing. Pavel Kaláb tel.: kalab.pavel@seznam.cz Ing. Michal Bernát bernat.m@fce.vutbr.cz Prof. Ing. Jiří Stráský, DSc., PE tel.: , fax: Stráský, Hustý a partneři, s. r. o. Bohunická 50, Brno tel.: , fax: j.strasky@shp.eu všichni: Stavební fakulta VUT v Brně Veveří 95, Brno B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 1/