NP-úplnost problému SAT
|
|
- Libor Matoušek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x 1 ] ν =1,[x 2 ] ν =0,[x 3 ] ν =1,je [ϕ 1 ] ν =1. Formule ϕ 2 =(x 1 x 1 ) ( x 2 x 3 x 2 )nenísplnitelná: prolibovolnéohodnocení νplatí[ϕ 2 ] ν =0.
2 Ukázat,žeSATpatřídotřídyNPTIMEjesnadné. Nedeterministický algoritmus řešící SAT v polynomiálním čase pracuje následovně: Nedeterministicky zvolí ohodnocení ν, které přiřazuje booleovskou hodnotu každé proměnné vyskytující se ve formuli ϕ. Vyhodnotí ϕpřiohodnocení ν,tj.spočítáhodnotu[ϕ] ν. Pokud[ϕ] ν =1,vrátíalgoritmusodpověďAno. Jinak vrátí odpověď Ne.
3 Ukázat, že problém SAT je NP-těžký je složitější. Je třeba ukázat, že pro libovolný problém P NPTIME existuje polynomiální redukce z problému P na problém SAT, tj. ukázat, že existuje algoritmus, který: dostane na svůj vstup(libovolnou) instanci problému P, k této instanci vyrobí booleovskou formuli ϕ takovou, že ϕ bude splnitelná právě tehdy, když pro danou instanci problému P bude odpověď Ano, bude mít polynomiální časovou složitost.
4 Jestliže P NPTIME, musí existovat nedeterministický Turingův strojmapolynomp(n)takový,že: Pro libovolnou instanci w problému P(reprezentovanou slovem v nějaké abecedě Σ) platí, že: PokudjeodpověďprowAno,pakexistujealespoňjeden výpočetstrojemnadslovemw,přikterémstrojmvydá odpověď Ano. PokudjeodpověďprowNe,pakvšechnyvýpočtystrojeM nadslovemwskončísodpovědíne. Stroj M provede při libovolném výpočtu nad slovem w nejvýše p( w ) kroků.
5 Ukážeme, jak pro daný nedeterministický Turingův stroj M=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F),polynomp(n)aslovow Σ vyrobit booleovskou formuli ϕ takovou, že: ϕ bude splnitelná právě tehdy, když existuje výpočet stroje M nadslovemw,přikterémmudělánejvýšep( w )krokůa vydá odpověď Ano. Formuli ϕ bude možné vyrobit algoritmem v čase polynomiálním vzhledem k délce slova w.
6 Připomeňme,ževdefiniciTuringovastrojeM=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F): Q množina stavů řídící jednotky Σ vstupníabeceda(σ Γ) Γ pásková abeceda δ:(q F) Γ P(Q Γ { 1,0,+1}) přechodová funkce q 0 Q počátečnístavřídícíjednotky F Q množinakoncovýchstavů Dále předpokládáme, že Γ obsahuje speciální prázdný symbol (blank),přičemž Σ.
7 Vzhledem k tomu, že se v následující konstrukci budeme zabývat pouze stroji, které řeší rozhodovací problémy, budeme předpokládat, že F= {q ano,q ne } Pokudstrojskončívestavuq ano,znamenáto,ževydal odpověď Ano. Pokudstrojskončívestavuq ne,znamenáto,ževydal odpověď Ne.
8 a b a b b a a b q 5 Konfigurace Turingova stroje je dána: stavem řídící jednotky obsahem pásky pozicí hlavy
9 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Totoslovo,vždyobsahujeprávějedenznakz(Q Γ),kterývyznačuje stav řídící jednotky i pozici hlavy.
10 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Poznámka:Znakyz(Q Γ)píšemejako q a místo (q,a).
11 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Ostatní symboly(z Γ) reprezentují obsah pásky.
12 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Políčka pásky, která nejsou ve slově vyznačena, obsahují symbol.
13 a b a b b a a b q 5 Budeme předpokládat, že Turingův stroj používá jednostranně omezenou pásku. Políčkapáskysimůžemeočíslovatčísly1,2,3,...
14 Výpočet Turingova stroje je posloupnost konfigurací, kde: První konfigurace je počáteční konfigurace q 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w n 1 w n kdew 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,kteréje vstupem Turingova stroje M. Každá další konfigurace v posloupnosti je konfigurace, do které se může stroj dostat z předchozí konfigurace provedením jednoho kroku podle přechodové funkce δ. Pokud je výpočet konečný, v poslední konfiguraci musí být řídící jednotka v některém koncovém stavu z množiny F.
15 Předpokládejme nyní, že časová složitost stroje M je shora omezena nějakou funkcí p(n). (Bez ztráty na obecnosti budeme předpokládat, že pro všechna n je p(n) n.) PokudstrojMdostanejakovstupslovowdélkyn,provedeběhem výpočtu nanejvýš p(n) kroků. Protožestrojzačínáshlavounapolíčkučíslo1,můžeseběhem tohovýpočtudostathlavananejvýšnapolíčkočíslop(n)+1 (v každém kroku se posune nanejvýš o jedno políčko).
16 Pokud je tedy časová složitost stroje M shora omezena funkcí p(n), můžeme všechny konfigurace ve výpočtu nad vstupem velikostinzapsatjakoslovadélkyp(n)+1 Napolíčkasčíslyvětšíminežp(n)+1sestrojběhemvýpočtu hlavou nedostane a tato políčka budou obsahovat symbol (připomeňme, že předpokládáme p(n) n).
17 Slova popisující jednotlivé konfigurace ve výpočtu stroje M nad slovemw=w 1 w 2 w n tedymůžemezapsatpodsebedotabulky, kde: Řádky odpovídají jednotlivým konfiguracím(zapsaným jako slovavabeceděγ (Q Γ)). Sloupceodpovídajípolíčkůmpáskysčísly1,2,...,p(n)+1. Z technických důvodů přidáme ještě zleva a zprava sloupce obsahující jen speciální oddělovací znaky# (přičemž# Q Γ).
18 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 # # p(n)+3
19 Jednotlivá políčka tabulky tedy budou obsahovat symboly zabecedy =Γ (Q Γ) {#} Řádkytabulkybudoumítčísla0ažp(n)+1. (Řádek 0 bude obsahovat počáteční konfiguraci). Sloupcebudoumítčísla0ažp(n)+2. (Sloupce0ap(n)+2budouobsahovatznaky#.)
20 Poznámka:Výpočetmůžebýtkratšínežp(n)krokůavtakovém případě by nebyla vyplněna celá tabulka. Abychom i v tomto případě vyplnili celou tabulku, můžeme udělat to, že poslední konfiguraci, ve které se výpočet zastavil, zopakujeme ve všech zbylých řádcích tabulky.
21 Pokud tedy máme dán(nedeterministický) Turingův stroj M s časovou složitostí omezenou shora polynomem p(n) řešící problémpainstancitohotoproblémuzapsanoujakoslovow,je pro tuto instanci odpověď Ano právě tehdy, když existuje nějaký přijímající výpočet stroje M nad slovem w. Takový přijímající výpočet můžeme výše popsaným způsobem zapsatdotabulkyop(n)+1řádcíchap(n)+3sloupcích. Poznámka: Všimněte si, že velikost tabulky je polynomiální vzhledem k n.
22 ProdanýstrojM,polynomp(n)aslovowvytvořímeformuli ϕ takovou, že: Různá ohodnocení ν booleovských proměnných ve formuli ϕ budou reprezentovat všechny možné(i nesmyslné) obsahy dané tabulky. [ϕ] ν =1budeplatitprávěprotaohodnocení ν,která reprezentují takový obsah tabulky, který je zápisem přijímajícího výpočtu stroje M nad vstupem w. Formule ϕ tedy bude splnitelná právě tehdy, pokud bude existovat přijímající výpočet stroje M nad vstupem w.
23 Formule ϕ bude složena pomocí booleovských spojek z atomických tvrzení typu: Políčko(i,j)obsahujesymbola. kde i, j, a budou konkrétní konstanty, například: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Kdyžmluvímeopolíčku(i,j),mámetímnamysli políčkovi-témřádkuaj-témsloupcitabulky.
24 Formule ϕtedybudeobsahovatbooleovsképroměnnéx a i,j,kde: 0 i p(n)+1 0 j p(n)+2 a (kde =Γ (Q Γ) {#}) stím,že[x a i,j ] ν=1znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,při kterémpolíčko(i,j)obsahujesymbola, a[x a i,j ] ν=0znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,přikterém políčko(i,j)neobsahujesymbola.
25 Příklad:Proměnnáx q 5,b 9,4 reprezentuje tvrzení: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Uhodnotz(Q Γ)budemevindexechraději používatzápisq,amísto q a. Pokudtedy[x q 5,b 9,4 ] ν=1,znamenáto,žepřiobsahutabulky q reprezentovaném ν políčko(9, 4) obsahuje symbol 5 b, apokud[x q 5,b 9,4 ] ν=0,takpři νpolíčko(9,4)neobsahuje q 5 b.
26 Celá formule ϕ, která jako celek bude říkat: Tabulka obsahuje přijímající výpočet stroje M nad slovemw, bude složena z mnoha podformulí, kde každá z těchto podformulí bude formulovat nějakou jednoduchou podmínku, která musí být splněna, aby obsah tabulky byl přijímajícím výpočtem stroje M nad slovemw. Tyto podformule budou spojeny pomocí konjunkce. Pokud tedy bude při daném ohodnocení ν některá z těchto podmínek porušena, bude celá formule ϕ při ν nabývat hodnoty false,tj.[ϕ] ν =0.
27 V následujícím výkladu si popíšeme tyto jednotlivé podformule. Pokudvdalšímvýkladuonějakéformuli ψřekneme,že ψpřidámedo ϕ, mámetímnamysli,že ψspojímepomocíkonjunkce( )sdosud vytvořenou částí formule ϕ.
28 Aby tabulka obsahovala přijímající výpočet stroje M nad vstupem w, musí být splněny následující podmínky: 1 Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. 2 Řádekčíslo0obsahujepočátečníkonfiguraciseslovemw. 3 Každý řádek tabulky(kromě řádku 0) obsahuje buď: konfiguraci, která je jedním krokem(podle přechodové funkce δ) dosažitelná z konfigurace zapsané v předchozím řádku, nebo koncovou konfiguraci shodnou s konfigurací v předchozím řádku. 4 Poslednířádektabulkyobsahujekonfiguracisestavemq ano.
29 Je zřejmé, že pokud tabulka obsahuje přijímající výpočet, tak jsou tyto čtyři podmínky splněny. Nadruhoustranujerovněžzřejmé,žepokudbudoutytočtyři podmínky splněny, tak tabulka opravdu obsahuje přijímající výpočetstrojemnadslovemw.
30 Podívejme se nejprve na první podmínku: Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. Tuzajistímetak,žeprokaždépolíčko(i,j)přidámedo ϕ podformuli, která bude říkat: Políčko(i,j)obsahujeprávějedensymbolz, což můžeme formulovat též takto: Právějednazproměnnýchx a 1 hodnotu true, i,j,xa 2 i,j,...,xa k i,j má kde {a 1,a 2,...,a k }jemnožinavšechsymbolůz.
31 Vyjádřittvrzení,žeprávějednazproměnnýchx 1,x 2,...,x k má hodnotutrue(kdex 1,x 2,...,x k jsounějakélibovolnébooleovské proměnné) není složité. Ukážeme si to na příkladě, kde pro jednoduchost budeme mít jen čtyřibooleovsképroměnnéa,b,c,d: ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) Není těžké ověřit, že tato formule nabývá hodnoty true právě při těch ohodnoceních, při kterých má právě jedna z proměnných A,B,C,Dhodnotutrue.
32 ObecněpromnožinuproměnnýchX= {x 1,x 2,...,x k }můžeme tuto podmínku zapsat následovně: x i x j x i X x j X {x i } Všimněmesi,žeprokproměnnýchmátatoformulevelikostO(k 2 ). V našem případě je k =, takže velikost podformule, kterou přidávámeprokaždépolíčko,jeo( 2 )ajetotedykonstanta nezávislá na velikosti vstupu w. Poznámka: Existuje způsob, jak zapsat výše uvedenou podmínku tak,abyvelikostvytvořenéformulebylao(klogk),alemytozde nepotřebujeme.
33 Další podmínkou, která musí být splněna, je: Řádek 0 obsahuje počáteční konfiguraci se slovem w. Pokudtedyw 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,přičemž n 1, musí platit následující: Políčko(0,1)obsahujesymbol(q 0,w 1 ),kdeq 0 jepočáteční stav. Políčka(0,2),(0,3),...,(0,n)obsahují symbolyw 2,w 3,...,w n. Políčka(0,n+1),(0,n+2),...,(0,p(n+1))obsahují symboly. Políčka(0,0)a(0,p(n)+2)obsahujísymboly#.
34 Tuto podmínku tedy můžeme zapsat následující formulí, kterou přidáme do ϕ: ( n ) p(n)+1 x q 0,w 1 0,1 x w i 0,i x 0,i x # 0,0 x# 0,p(n)+2 i=2 i=n+1 Velikost této formule je O(p(n)). Poznámka:Případ,kdyn=0,byselišiljenvtom,žemísto x q 0,w 1 0,1 byformuleobsahovalax q 0, 0,1.
35 Asi nejsložitější je zajištění třetí podmínky: Každý řádek(kromě řádku 0) obsahuje konfiguraci, která vznikne z předchozí provedením jednoho kroku(a nebo je kopií předchozí koncové konfigurace). Vezměme si nějaké dvě po sobě jdoucí konfigurace. Tyto dvě konfigurace se vždy liší nanejvýš na dvou pozicích: napozici,kdesevprvníznichnacházíhlava, anajednézpozic,kterésníbezprostředněsousedí. Obsahydvojicřádkůiai+1vtabulcejsoutedyveliceúzce svázány.
36 Pokud obsah řádku i + 1 neodpovídá konfiguraci dosažitelné jednímkrokemzkonfiguracenařádkui,pakseotommůžeme přesvědčit tak, že najdeme konkrétní pozici, kde konfigurace do sebe nepasují. Můžete si rozmyslet, že v takovém případě můžeme vždycky najít vdanédvojiciřádků okénko velikosti2 3takové,žeotom,že řádky neobsahují dvě po sobě jdoucí konfigurace se můžeme přesvědčit jen prozkoumáním obsahu tohoto okénka(tj. aniž bychom se museli dívat na obsah ostatních políček). j 2 j 1 j j+1 j+2 j+3 j+4 i i+1
37 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 okénko # # p(n)+3
38 Obsahům okének, které se mohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích budeme říkat korektní a těm, které se nemohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích (akterétedydosvědčují,žedanédvařádkyneobsahujídvěposobě jdoucí konfigurace) budeme říkat nekorektní. Přesné konkrétní podmínky, které musí korektní obsahy okének splňovat, zde nebudeme uvádět. Místo toho si ukážeme konkrétní příklady korektních a nekorektních okének. Zkuste si však(po prohlédnutí příkladů) tyto podmínky sami zformulovat.
39 Příklady nekorektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a b # a a q 5 a a b a a q 5 a a b q 4 q b 7 a q 5 a b a q b 6 a b q ano a a a b q 8 a b a b b a b a
40 Příklady korektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a a b a q 5 a a b q a a 3 b b a q 3 b a q 5 a b a b b a a a q ano b a a q ano b # #
41 Množinu všech šestic znaků, které tvoří korektní obsah okének(pro danýkonkrétnístrojm)sioznačímecorr. Tj.(a,b,c,d,e,f) Corrprávěkdyž a b c d e f je korektní obsah okénka. Celkovýpočetvšechmožnýchobsahůokénekje 6,cožje konstanta nezávislá na velikosti vstupu w, takže i počet prvků množiny Corr je konstanta nezávislá na velikosti vstupu.
42 Pro každé okénko v tabulce přidáme do ϕ podformuli, která tvrdí, že obsah daného okénka je korektní(neboli jinak řečeno, že obsahuje některou z korektních šestic). Tj.prokaždéitakové,že0 i <p(n),akaždéjtakové,že 0 j p(n),přidámedo ϕformuli (a,b,c,d,e,f) Corr ( ) xi,j a xb i,j+1 xc i,j+2 xd i+1,j xe i+1,j+1 xf i+1,j+2 KaždáztěchtopodformulímávelikostmaximálněO( 6 ), tj. omezenou nějakou konstantou nezávislou na velikosti vstupu w. CelkovýpočettěchtopodformulíjeO(p(n) 2 )
43 Nyní zbývá zaručit poslední podmínku: Poslední řádek obsahuje koncovou konfiguraci, kde stav řídícíjednotkyjeq ano. To je opět jednoduché stačí přidat do ϕ podformuli, která tvrdí, ženaněkterépozicivposlednímřádku(tj.řádkup(n))senachází dvojice(q ano,a),kdeajenějakýsymbolzγ. Tato podformule vypadá takto: p(n)+1 j=1 a Γ x a p(n),j Velikost této formule je O(p(n)).
44 Z předchozího výkladu vidíme, že velikost formule ϕ vytvořené kdanémuvstupuwvelikostinjeo(p(n) 2 ). Jestližejep(n)polynom,takip(n) 2 jepolynom,takževelikost ϕ je polynomiální vzhledem k n. Vzhledem k jednoduché a pravidelné struktuře formule ϕ je zřejmé, že časová složitost algoritmu, který ke slovu w formuli ϕ vyrobí, je vpodstatěúměrnávelikostiformule ϕ,tedytakéo(p(n) 2 ).
45 Ukázali jsme tedy, že konstrukce je polynomiální, a nyní stručně shrneme, proč je korektní: Předpokládejme,žeprowjevproblémuPodpověďAno,což znamená, že existuje výpočet nedeterministického stroje M (který řeší problém P) nad slovem w vedoucí k odpovědi Ano. Tento výpočet můžeme zapsat do odpovídající tabulky a proměnným ve formuli ϕ můžeme přiřadit booleovské hodnoty podle obsahu této tabulky. Jezřejmé,žepřitomtoohodnoceníbudemít ϕ hodnotu true, protože všechny podmínky testované ve formuli ϕ budou splněny.
46 Předpokládejme nyní, že formule ϕ je splnitelná, tj. pro nějaké ohodnocení νplatí[ϕ] ν =1. Podle ohodnocení ν nyní můžeme vyplnit tabulku. Ztoho,žepřiohodnocení νmusíbýtsplněnyvšechny podmínky popsané ve formuli ϕ, vyplývá, že takto vyplněná tabulkaobsahujepopisvýpočtustrojemnadslovemw,při kterém stroj vydá odpověď Ano, a že tedy takovýto výpočet existuje. Vidíme tedy, že formule ϕ je splnitelná právě tehdy, když existuje výpočetstrojemvedoucíkpřijetíslovaw,tj.právětehdy,když odpověďprowjeano.
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
VíceDefinice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.
9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceKonstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
VíceNP-úplnost. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května / 32
NP-úplnost M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května 2007 1/ 32 Rozhodovací problémy Definice Rozhodovací problém je takový, kde je množina možných výstupů dvouprvková
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceProblém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.
Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceSložitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
VíceDalší NP-úplné problémy
Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako
Více3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice
3.10. Rezoluční metoda ve výrokové logice [070405-1102 ] 27 3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice Rezoluční metoda rozhoduje, zda daná množina klausulí je splnitelná nebo je nesplnitelná. Tím je také
VíceSložitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost
1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
VíceVýhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.
Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?
VíceNaproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
VíceTURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
TURINGOVY STROJE Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 12 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceDefinice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
VíceYZTI - poznámky ke složitosti
YZTI - poznámky ke složitosti LS 2018 Abstrakt Poznámky k přednášce YZTI zabývající se složitostí algoritmických problémů a teorií NP-úplnosti. Složitost algoritmu a problému Zabýváme se už pouze rekurzivními
VíceAlgoritmy. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 15. dubna / 39
Algoritmy Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 15. dubna 2018 1/ 39 Algoritmy Příklad: Popis algoritmu pomocí pseudokódu: Algoritmus 1: Algoritmus pro nalezení největšího prvku v poli 1 Find-Max(A,n):
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VíceTýden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která
VíceAlgoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.
Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceTeoretická informatika průběh výuky v semestru 1
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 7 Přednáška (Výpočetní) problémy, rozhodovací(ano/ne) problémy,... Připomněli jsme si obecné definice a konkrétní problémy, jako např. SAT[problém
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Vícedoplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
VícePŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM:
PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Závěrečný test z předmětu Vyčíslitelnost a složitost Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 100 bodů Obecné pokyny: Po obdržení testu ihned do pravého horního rohu napište
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
Více10. Složitost a výkon
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří
VíceVýpočetní složitost I
Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Více2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce
2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž
VíceÚvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
VíceTýden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
Více12. Globální metody MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceAplikace: Znalostní báze
Aplikace: Znalostní báze 1 Znalostní báze je systém, který dostává fakta o prostředí a dotazy o něm. Znalostní báze je agentem ve větším systému, který obsahuje prostředí (také agent), správce (agent),
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceRegulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
VícePrincipy indukce a rekurentní rovnice
Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VícePrincipy indukce a rekursivní algoritmy
Principy indukce a rekursivní algoritmy Jiří Velebil: A7B01MCS 19. září 2011: Indukce 1/20 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.
VíceAlgoritmizace. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Úvod stránky předmětu: https://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/a4b33alg/start cíle předmětu Cílem je schopnost samostatné implementace různých variant základních
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceKMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost
KMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost Paměťová složitost, Savitchova věta, třída PSPACE, PSPACE-úplné problémy, a jako bonus: Bremermannova mez Jan Konečný 3. prosince 2013 Jan Konečný KMI/VCS1 Vyčíslitelnost
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceSubstituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1
Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceZ. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43
Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceOd Turingových strojů k P=NP
Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely
VíceMinimalizace KA - Úvod
Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
VíceZ. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 11. prosince / 63
Výpočetní modely Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 11. prosince 2018 1/ 63 Nutnost upřesnění pojmu algoritmus Dosavadní definice pojmu algoritmus byla poněkud vágní. Pokud bychom pro nějaký problém
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VícePozn.MinulejsmesekPSPACEnedostali,protojezdepřekryvstextemzminula.
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Pozn.MinulejsmesekPSPACEnedostali,protojezdepřekryvstextemzminula. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceProblémy třídy Pa N P, převody problémů
Problémy třídy Pa N P, převody problémů Cvičení 1. Rozhodněte o příslušnosti následujících problémů do tříd Pa N P(N PCověříme později): a)jedanýgrafsouvislý? danýproblémjeztřídy P,řešíhonapř.algoritmyDFS,BFS.
VíceDijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094
10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)
VíceVztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více