NP-úplnost problému SAT

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NP-úplnost problému SAT"

Transkript

1 Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x 1 ] ν =1,[x 2 ] ν =0,[x 3 ] ν =1,je [ϕ 1 ] ν =1. Formule ϕ 2 =(x 1 x 1 ) ( x 2 x 3 x 2 )nenísplnitelná: prolibovolnéohodnocení νplatí[ϕ 2 ] ν =0.

2 Ukázat,žeSATpatřídotřídyNPTIMEjesnadné. Nedeterministický algoritmus řešící SAT v polynomiálním čase pracuje následovně: Nedeterministicky zvolí ohodnocení ν, které přiřazuje booleovskou hodnotu každé proměnné vyskytující se ve formuli ϕ. Vyhodnotí ϕpřiohodnocení ν,tj.spočítáhodnotu[ϕ] ν. Pokud[ϕ] ν =1,vrátíalgoritmusodpověďAno. Jinak vrátí odpověď Ne.

3 Ukázat, že problém SAT je NP-těžký je složitější. Je třeba ukázat, že pro libovolný problém P NPTIME existuje polynomiální redukce z problému P na problém SAT, tj. ukázat, že existuje algoritmus, který: dostane na svůj vstup(libovolnou) instanci problému P, k této instanci vyrobí booleovskou formuli ϕ takovou, že ϕ bude splnitelná právě tehdy, když pro danou instanci problému P bude odpověď Ano, bude mít polynomiální časovou složitost.

4 Jestliže P NPTIME, musí existovat nedeterministický Turingův strojmapolynomp(n)takový,že: Pro libovolnou instanci w problému P(reprezentovanou slovem v nějaké abecedě Σ) platí, že: PokudjeodpověďprowAno,pakexistujealespoňjeden výpočetstrojemnadslovemw,přikterémstrojmvydá odpověď Ano. PokudjeodpověďprowNe,pakvšechnyvýpočtystrojeM nadslovemwskončísodpovědíne. Stroj M provede při libovolném výpočtu nad slovem w nejvýše p( w ) kroků.

5 Ukážeme, jak pro daný nedeterministický Turingův stroj M=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F),polynomp(n)aslovow Σ vyrobit booleovskou formuli ϕ takovou, že: ϕ bude splnitelná právě tehdy, když existuje výpočet stroje M nadslovemw,přikterémmudělánejvýšep( w )krokůa vydá odpověď Ano. Formuli ϕ bude možné vyrobit algoritmem v čase polynomiálním vzhledem k délce slova w.

6 Připomeňme,ževdefiniciTuringovastrojeM=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F): Q množina stavů řídící jednotky Σ vstupníabeceda(σ Γ) Γ pásková abeceda δ:(q F) Γ P(Q Γ { 1,0,+1}) přechodová funkce q 0 Q počátečnístavřídícíjednotky F Q množinakoncovýchstavů Dále předpokládáme, že Γ obsahuje speciální prázdný symbol (blank),přičemž Σ.

7 Vzhledem k tomu, že se v následující konstrukci budeme zabývat pouze stroji, které řeší rozhodovací problémy, budeme předpokládat, že F= {q ano,q ne } Pokudstrojskončívestavuq ano,znamenáto,ževydal odpověď Ano. Pokudstrojskončívestavuq ne,znamenáto,ževydal odpověď Ne.

8 a b a b b a a b q 5 Konfigurace Turingova stroje je dána: stavem řídící jednotky obsahem pásky pozicí hlavy

9 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Totoslovo,vždyobsahujeprávějedenznakz(Q Γ),kterývyznačuje stav řídící jednotky i pozici hlavy.

10 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Poznámka:Znakyz(Q Γ)píšemejako q a místo (q,a).

11 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Ostatní symboly(z Γ) reprezentují obsah pásky.

12 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Políčka pásky, která nejsou ve slově vyznačena, obsahují symbol.

13 a b a b b a a b q 5 Budeme předpokládat, že Turingův stroj používá jednostranně omezenou pásku. Políčkapáskysimůžemeočíslovatčísly1,2,3,...

14 Výpočet Turingova stroje je posloupnost konfigurací, kde: První konfigurace je počáteční konfigurace q 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w n 1 w n kdew 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,kteréje vstupem Turingova stroje M. Každá další konfigurace v posloupnosti je konfigurace, do které se může stroj dostat z předchozí konfigurace provedením jednoho kroku podle přechodové funkce δ. Pokud je výpočet konečný, v poslední konfiguraci musí být řídící jednotka v některém koncovém stavu z množiny F.

15 Předpokládejme nyní, že časová složitost stroje M je shora omezena nějakou funkcí p(n). (Bez ztráty na obecnosti budeme předpokládat, že pro všechna n je p(n) n.) PokudstrojMdostanejakovstupslovowdélkyn,provedeběhem výpočtu nanejvýš p(n) kroků. Protožestrojzačínáshlavounapolíčkučíslo1,můžeseběhem tohovýpočtudostathlavananejvýšnapolíčkočíslop(n)+1 (v každém kroku se posune nanejvýš o jedno políčko).

16 Pokud je tedy časová složitost stroje M shora omezena funkcí p(n), můžeme všechny konfigurace ve výpočtu nad vstupem velikostinzapsatjakoslovadélkyp(n)+1 Napolíčkasčíslyvětšíminežp(n)+1sestrojběhemvýpočtu hlavou nedostane a tato políčka budou obsahovat symbol (připomeňme, že předpokládáme p(n) n).

17 Slova popisující jednotlivé konfigurace ve výpočtu stroje M nad slovemw=w 1 w 2 w n tedymůžemezapsatpodsebedotabulky, kde: Řádky odpovídají jednotlivým konfiguracím(zapsaným jako slovavabeceděγ (Q Γ)). Sloupceodpovídajípolíčkůmpáskysčísly1,2,...,p(n)+1. Z technických důvodů přidáme ještě zleva a zprava sloupce obsahující jen speciální oddělovací znaky# (přičemž# Q Γ).

18 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 # # p(n)+3

19 Jednotlivá políčka tabulky tedy budou obsahovat symboly zabecedy =Γ (Q Γ) {#} Řádkytabulkybudoumítčísla0ažp(n)+1. (Řádek 0 bude obsahovat počáteční konfiguraci). Sloupcebudoumítčísla0ažp(n)+2. (Sloupce0ap(n)+2budouobsahovatznaky#.)

20 Poznámka:Výpočetmůžebýtkratšínežp(n)krokůavtakovém případě by nebyla vyplněna celá tabulka. Abychom i v tomto případě vyplnili celou tabulku, můžeme udělat to, že poslední konfiguraci, ve které se výpočet zastavil, zopakujeme ve všech zbylých řádcích tabulky.

21 Pokud tedy máme dán(nedeterministický) Turingův stroj M s časovou složitostí omezenou shora polynomem p(n) řešící problémpainstancitohotoproblémuzapsanoujakoslovow,je pro tuto instanci odpověď Ano právě tehdy, když existuje nějaký přijímající výpočet stroje M nad slovem w. Takový přijímající výpočet můžeme výše popsaným způsobem zapsatdotabulkyop(n)+1řádcíchap(n)+3sloupcích. Poznámka: Všimněte si, že velikost tabulky je polynomiální vzhledem k n.

22 ProdanýstrojM,polynomp(n)aslovowvytvořímeformuli ϕ takovou, že: Různá ohodnocení ν booleovských proměnných ve formuli ϕ budou reprezentovat všechny možné(i nesmyslné) obsahy dané tabulky. [ϕ] ν =1budeplatitprávěprotaohodnocení ν,která reprezentují takový obsah tabulky, který je zápisem přijímajícího výpočtu stroje M nad vstupem w. Formule ϕ tedy bude splnitelná právě tehdy, pokud bude existovat přijímající výpočet stroje M nad vstupem w.

23 Formule ϕ bude složena pomocí booleovských spojek z atomických tvrzení typu: Políčko(i,j)obsahujesymbola. kde i, j, a budou konkrétní konstanty, například: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Kdyžmluvímeopolíčku(i,j),mámetímnamysli políčkovi-témřádkuaj-témsloupcitabulky.

24 Formule ϕtedybudeobsahovatbooleovsképroměnnéx a i,j,kde: 0 i p(n)+1 0 j p(n)+2 a (kde =Γ (Q Γ) {#}) stím,že[x a i,j ] ν=1znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,při kterémpolíčko(i,j)obsahujesymbola, a[x a i,j ] ν=0znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,přikterém políčko(i,j)neobsahujesymbola.

25 Příklad:Proměnnáx q 5,b 9,4 reprezentuje tvrzení: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Uhodnotz(Q Γ)budemevindexechraději používatzápisq,amísto q a. Pokudtedy[x q 5,b 9,4 ] ν=1,znamenáto,žepřiobsahutabulky q reprezentovaném ν políčko(9, 4) obsahuje symbol 5 b, apokud[x q 5,b 9,4 ] ν=0,takpři νpolíčko(9,4)neobsahuje q 5 b.

26 Celá formule ϕ, která jako celek bude říkat: Tabulka obsahuje přijímající výpočet stroje M nad slovemw, bude složena z mnoha podformulí, kde každá z těchto podformulí bude formulovat nějakou jednoduchou podmínku, která musí být splněna, aby obsah tabulky byl přijímajícím výpočtem stroje M nad slovemw. Tyto podformule budou spojeny pomocí konjunkce. Pokud tedy bude při daném ohodnocení ν některá z těchto podmínek porušena, bude celá formule ϕ při ν nabývat hodnoty false,tj.[ϕ] ν =0.

27 V následujícím výkladu si popíšeme tyto jednotlivé podformule. Pokudvdalšímvýkladuonějakéformuli ψřekneme,že ψpřidámedo ϕ, mámetímnamysli,že ψspojímepomocíkonjunkce( )sdosud vytvořenou částí formule ϕ.

28 Aby tabulka obsahovala přijímající výpočet stroje M nad vstupem w, musí být splněny následující podmínky: 1 Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. 2 Řádekčíslo0obsahujepočátečníkonfiguraciseslovemw. 3 Každý řádek tabulky(kromě řádku 0) obsahuje buď: konfiguraci, která je jedním krokem(podle přechodové funkce δ) dosažitelná z konfigurace zapsané v předchozím řádku, nebo koncovou konfiguraci shodnou s konfigurací v předchozím řádku. 4 Poslednířádektabulkyobsahujekonfiguracisestavemq ano.

29 Je zřejmé, že pokud tabulka obsahuje přijímající výpočet, tak jsou tyto čtyři podmínky splněny. Nadruhoustranujerovněžzřejmé,žepokudbudoutytočtyři podmínky splněny, tak tabulka opravdu obsahuje přijímající výpočetstrojemnadslovemw.

30 Podívejme se nejprve na první podmínku: Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. Tuzajistímetak,žeprokaždépolíčko(i,j)přidámedo ϕ podformuli, která bude říkat: Políčko(i,j)obsahujeprávějedensymbolz, což můžeme formulovat též takto: Právějednazproměnnýchx a 1 hodnotu true, i,j,xa 2 i,j,...,xa k i,j má kde {a 1,a 2,...,a k }jemnožinavšechsymbolůz.

31 Vyjádřittvrzení,žeprávějednazproměnnýchx 1,x 2,...,x k má hodnotutrue(kdex 1,x 2,...,x k jsounějakélibovolnébooleovské proměnné) není složité. Ukážeme si to na příkladě, kde pro jednoduchost budeme mít jen čtyřibooleovsképroměnnéa,b,c,d: ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) Není těžké ověřit, že tato formule nabývá hodnoty true právě při těch ohodnoceních, při kterých má právě jedna z proměnných A,B,C,Dhodnotutrue.

32 ObecněpromnožinuproměnnýchX= {x 1,x 2,...,x k }můžeme tuto podmínku zapsat následovně: x i x j x i X x j X {x i } Všimněmesi,žeprokproměnnýchmátatoformulevelikostO(k 2 ). V našem případě je k =, takže velikost podformule, kterou přidávámeprokaždépolíčko,jeo( 2 )ajetotedykonstanta nezávislá na velikosti vstupu w. Poznámka: Existuje způsob, jak zapsat výše uvedenou podmínku tak,abyvelikostvytvořenéformulebylao(klogk),alemytozde nepotřebujeme.

33 Další podmínkou, která musí být splněna, je: Řádek 0 obsahuje počáteční konfiguraci se slovem w. Pokudtedyw 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,přičemž n 1, musí platit následující: Políčko(0,1)obsahujesymbol(q 0,w 1 ),kdeq 0 jepočáteční stav. Políčka(0,2),(0,3),...,(0,n)obsahují symbolyw 2,w 3,...,w n. Políčka(0,n+1),(0,n+2),...,(0,p(n+1))obsahují symboly. Políčka(0,0)a(0,p(n)+2)obsahujísymboly#.

34 Tuto podmínku tedy můžeme zapsat následující formulí, kterou přidáme do ϕ: ( n ) p(n)+1 x q 0,w 1 0,1 x w i 0,i x 0,i x # 0,0 x# 0,p(n)+2 i=2 i=n+1 Velikost této formule je O(p(n)). Poznámka:Případ,kdyn=0,byselišiljenvtom,žemísto x q 0,w 1 0,1 byformuleobsahovalax q 0, 0,1.

35 Asi nejsložitější je zajištění třetí podmínky: Každý řádek(kromě řádku 0) obsahuje konfiguraci, která vznikne z předchozí provedením jednoho kroku(a nebo je kopií předchozí koncové konfigurace). Vezměme si nějaké dvě po sobě jdoucí konfigurace. Tyto dvě konfigurace se vždy liší nanejvýš na dvou pozicích: napozici,kdesevprvníznichnacházíhlava, anajednézpozic,kterésníbezprostředněsousedí. Obsahydvojicřádkůiai+1vtabulcejsoutedyveliceúzce svázány.

36 Pokud obsah řádku i + 1 neodpovídá konfiguraci dosažitelné jednímkrokemzkonfiguracenařádkui,pakseotommůžeme přesvědčit tak, že najdeme konkrétní pozici, kde konfigurace do sebe nepasují. Můžete si rozmyslet, že v takovém případě můžeme vždycky najít vdanédvojiciřádků okénko velikosti2 3takové,žeotom,že řádky neobsahují dvě po sobě jdoucí konfigurace se můžeme přesvědčit jen prozkoumáním obsahu tohoto okénka(tj. aniž bychom se museli dívat na obsah ostatních políček). j 2 j 1 j j+1 j+2 j+3 j+4 i i+1

37 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 okénko # # p(n)+3

38 Obsahům okének, které se mohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích budeme říkat korektní a těm, které se nemohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích (akterétedydosvědčují,žedanédvařádkyneobsahujídvěposobě jdoucí konfigurace) budeme říkat nekorektní. Přesné konkrétní podmínky, které musí korektní obsahy okének splňovat, zde nebudeme uvádět. Místo toho si ukážeme konkrétní příklady korektních a nekorektních okének. Zkuste si však(po prohlédnutí příkladů) tyto podmínky sami zformulovat.

39 Příklady nekorektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a b # a a q 5 a a b a a q 5 a a b q 4 q b 7 a q 5 a b a q b 6 a b q ano a a a b q 8 a b a b b a b a

40 Příklady korektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a a b a q 5 a a b q a a 3 b b a q 3 b a q 5 a b a b b a a a q ano b a a q ano b # #

41 Množinu všech šestic znaků, které tvoří korektní obsah okének(pro danýkonkrétnístrojm)sioznačímecorr. Tj.(a,b,c,d,e,f) Corrprávěkdyž a b c d e f je korektní obsah okénka. Celkovýpočetvšechmožnýchobsahůokénekje 6,cožje konstanta nezávislá na velikosti vstupu w, takže i počet prvků množiny Corr je konstanta nezávislá na velikosti vstupu.

42 Pro každé okénko v tabulce přidáme do ϕ podformuli, která tvrdí, že obsah daného okénka je korektní(neboli jinak řečeno, že obsahuje některou z korektních šestic). Tj.prokaždéitakové,že0 i <p(n),akaždéjtakové,že 0 j p(n),přidámedo ϕformuli (a,b,c,d,e,f) Corr ( ) xi,j a xb i,j+1 xc i,j+2 xd i+1,j xe i+1,j+1 xf i+1,j+2 KaždáztěchtopodformulímávelikostmaximálněO( 6 ), tj. omezenou nějakou konstantou nezávislou na velikosti vstupu w. CelkovýpočettěchtopodformulíjeO(p(n) 2 )

43 Nyní zbývá zaručit poslední podmínku: Poslední řádek obsahuje koncovou konfiguraci, kde stav řídícíjednotkyjeq ano. To je opět jednoduché stačí přidat do ϕ podformuli, která tvrdí, ženaněkterépozicivposlednímřádku(tj.řádkup(n))senachází dvojice(q ano,a),kdeajenějakýsymbolzγ. Tato podformule vypadá takto: p(n)+1 j=1 a Γ x a p(n),j Velikost této formule je O(p(n)).

44 Z předchozího výkladu vidíme, že velikost formule ϕ vytvořené kdanémuvstupuwvelikostinjeo(p(n) 2 ). Jestližejep(n)polynom,takip(n) 2 jepolynom,takževelikost ϕ je polynomiální vzhledem k n. Vzhledem k jednoduché a pravidelné struktuře formule ϕ je zřejmé, že časová složitost algoritmu, který ke slovu w formuli ϕ vyrobí, je vpodstatěúměrnávelikostiformule ϕ,tedytakéo(p(n) 2 ).

45 Ukázali jsme tedy, že konstrukce je polynomiální, a nyní stručně shrneme, proč je korektní: Předpokládejme,žeprowjevproblémuPodpověďAno,což znamená, že existuje výpočet nedeterministického stroje M (který řeší problém P) nad slovem w vedoucí k odpovědi Ano. Tento výpočet můžeme zapsat do odpovídající tabulky a proměnným ve formuli ϕ můžeme přiřadit booleovské hodnoty podle obsahu této tabulky. Jezřejmé,žepřitomtoohodnoceníbudemít ϕ hodnotu true, protože všechny podmínky testované ve formuli ϕ budou splněny.

46 Předpokládejme nyní, že formule ϕ je splnitelná, tj. pro nějaké ohodnocení νplatí[ϕ] ν =1. Podle ohodnocení ν nyní můžeme vyplnit tabulku. Ztoho,žepřiohodnocení νmusíbýtsplněnyvšechny podmínky popsané ve formuli ϕ, vyplývá, že takto vyplněná tabulkaobsahujepopisvýpočtustrojemnadslovemw,při kterém stroj vydá odpověď Ano, a že tedy takovýto výpočet existuje. Vidíme tedy, že formule ϕ je splnitelná právě tehdy, když existuje výpočetstrojemvedoucíkpřijetíslovaw,tj.právětehdy,když odpověďprowjeano.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Výpočetní složitost I

Výpočetní složitost I Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

Paralelní programování

Paralelní programování Paralelní programování přednášky Jan Outrata únor duben 2011 Jan Outrata (KI UP) Paralelní programování únor duben 2011 1 / 14 Atomické akce dále nedělitelná = neproložitelná jiným procesem izolovaná =

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2 Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

45 Plánovací kalendář

45 Plánovací kalendář 45 Plánovací kalendář Modul Správa majetku slouží ke tvorbě obecných ročních plánů činností organizace. V rámci plánu je třeba definovat oblasti činností, tj. oblasti, ve kterých je možné plánovat. Každá

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Řídicí struktury jazyka Java Struktura programu Příkazy jazyka Blok příkazů Logické příkazy Ternární logický operátor Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Struktura programu

Více

Kombinované úlohy - cvičení

Kombinované úlohy - cvičení DUM Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Algoritmy DUM III/2-T1-1-16 PRG-01A-var1 Téma: Kombinované úlohy cvičení Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval:

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký)

2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) 2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) Model Ram Při analýze algoritmu bychom chtěli nějak popsat jeho složitost. Abychom mohli udělat toto, potřebujeme nejprve definovat výpočetní model.

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

Implementace LL(1) překladů

Implementace LL(1) překladů Překladače, přednáška č. 6 Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 30. října 2007 Postup Programujeme syntaktickou analýzu: 1 Navrhneme vhodnou LL(1) gramatiku

Více

Manuál pro NetDOGs práce s administrací

Manuál pro NetDOGs práce s administrací Manuál pro NetDOGs práce s administrací Po přihlášení se nacházíme v administraci V horní části jsou hlavní ikony značící moduly prezentace - REDAKCE - NOVINKY - OSTATNÍ - ADMINISTRACE (a možná i další

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná.

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná. Průběžná klasifikace Nová verze modulu Klasifikace žáků přináší novinky především v práci s průběžnou klasifikací. Pro zadání průběžné klasifikace ve třídě doposud existovaly 3 funkce Průběžná klasifikace,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

8. Převody problémů a NP-úplnost

8. Převody problémů a NP-úplnost 8. Převody problémů a NP-úplnost Všechny úlohy, které jsme zatím potkali, jsme uměli vyřešit algoritmem s polynomiální časovou složitostí. V prvním přiblížení můžeme říci, že polynomialita doceladobřevystihujepraktickoupoužitelnostalgoritmu.

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět:

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět: MQL4 COURSE By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES Vítám vás ve třetí lekci svého MQL4 kurzu. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět: Jaký formát můžete

Více

ÚVODNÍ ZNALOSTI. datové struktury. správnost programů. analýza algoritmů

ÚVODNÍ ZNALOSTI. datové struktury. správnost programů. analýza algoritmů ÚVODNÍ ZNALOSTI datové struktury správnost programů analýza algoritmů Datové struktury základní, primitivní, jednoduché datové typy: int, char,... hodnoty: celá čísla, znaky, jednoduché proměnné: int i;

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

13. Třídící algoritmy a násobení matic

13. Třídící algoritmy a násobení matic 13. Třídící algoritmy a násobení matic Minulou přednášku jsme probírali QuickSort, jeden z historicky prvních třídících algoritmů, které překonaly kvadratickou složitost aspoň v průměrném případě. Proč

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jana Kalinová [ÚLOHA 35 TABULKY A OSTATNÍ VÝSTUPY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jana Kalinová [ÚLOHA 35 TABULKY A OSTATNÍ VÝSTUPY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jana Kalinová [ÚLOHA 35 TABULKY A OSTATNÍ VÝSTUPY] 1 CÍL KAPITOLY Naučit uživatele pracovat s alternativními výstupy, umožňujícími zjednodušené zadávání

Více

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku Znaky - standardní typ char var Z, W: char; - znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku - v TP (často i jinde) se používá kódová

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Klasická predikátová logika

Klasická predikátová logika Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Paměť počítače. alg2 1

Paměť počítače. alg2 1 Paměť počítače Výpočetní proces je posloupnost akcí nad daty uloženými v paměti počítače Data jsou v paměti reprezentována posloupnostmi bitů (bit = 0 nebo 1) Připomeňme: paměť je tvořena řadou 8-mi bitových

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Vyúčtování daně z příjmu ve Mzdách Profi 2015

Vyúčtování daně z příjmu ve Mzdách Profi 2015 Vyúčtování daně z příjmu ve Mzdách Profi 2015 Rozsáhlý formulář Vyúčtování daně se dosud podával klasicky na tištěném formuláři, přičemž program Mzdy Profi pro něj sestavil a vytisknul podklad pro vyplnění.

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Kopírování vzorců v mnoha případech je třeba provést stejný výpočet

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

Voltampérová charakteristika diody

Voltampérová charakteristika diody Voltampérová charakteristika diody Pozn.: Voltampérovou charakteristiku diod, resp. i rezistorů, žárovek aj. lze proměřovat se soupravou ISES-PCI a též i s ISES-USB. Souprava ISES-PCI, resp. ISES-PCI Professional

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

INFORMACE. ÚČETNICTVÍ ORGANIZAČNÍCH KANCELÁŘÍ KOMPLEXNÍ SYSTÉM PRO VEDENÍ ÚČETNICTVÍ www.okuok.cz. Naplňování faktury do formuláře PDF.

INFORMACE. ÚČETNICTVÍ ORGANIZAČNÍCH KANCELÁŘÍ KOMPLEXNÍ SYSTÉM PRO VEDENÍ ÚČETNICTVÍ www.okuok.cz. Naplňování faktury do formuláře PDF. ÚČETNICTVÍ ORGANIZAČNÍCH KANCELÁŘÍ KOMPLEXNÍ SYSTÉM PRO VEDENÍ ÚČETNICTVÍ www.okuok.cz INFORMACE Naplňování faktury do formuláře PDF Zpracoval: Ing. Václav Říha RNDr. Josef Stuhl Datum vydání: Datum aktualizace:

Více

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně:

Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně: Účtování o přenesení daňové povinnosti Reverse charge Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně: DF) V případě obdržení došlé faktury zapište

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Postup při studiu principu výpočtu řezných podmínek obrábění programu Nortns. Princip výpočtu.

Postup při studiu principu výpočtu řezných podmínek obrábění programu Nortns. Princip výpočtu. Postup při studiu principu výpočtu řezných podmínek obrábění programu Nortns. Princip výpočtu. Výpočet času obrábění včetně určení a optimalizace řezných podmínek je prováděn na základě parametrů konkrétního

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Elektronické zpracování dotazníků AGEL. Verze 2.0.0.1

Elektronické zpracování dotazníků AGEL. Verze 2.0.0.1 Elektronické zpracování dotazníků AGEL Verze 2.0.0.1 1 Obsah 2 Přihlášení do systému... 1 3 Zápis hodnot dotazníků... 2 3.1 Výběr formuláře pro vyplnění dotazníku... 2 3.2 Vyplnění formuláře dotazníku...

Více

V zelené liště vpravo nahoře pod nabídkou Informace naleznete vzory formulářů výkazů, pokyny a vysvětlivky k jejich vyplnění a další informace.

V zelené liště vpravo nahoře pod nabídkou Informace naleznete vzory formulářů výkazů, pokyny a vysvětlivky k jejich vyplnění a další informace. Práce s aplikací pro zpracování statistických výkazů za vysoké školy a ostatní přímo řízené organizace (netýká se škol a školských zařízení v regionálním školství) 1. Postup: Přihlásíte se k internetu

Více

Nepodstatné/administrativní změny v projektu Administrace v IS CEDR

Nepodstatné/administrativní změny v projektu Administrace v IS CEDR Nepodstatné/administrativní změny v projektu Administrace v IS CEDR Obsah 1 Nepodstatné a administrativní změny... 3 2 Podání žádosti o změnu projektu konečným příjemcem... 4 2.1 Založení nové žádosti

Více

Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách

Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách (verze dokumentu 1.4) Odpovědná osoba: Ing. Radomír Martinka V Praze dne: 24.4.2014 Klasifikace: CHRÁNĚNÉ OKsystem s.r.o. Na Pankráci 125, 140 21 Praha

Více