NP-úplnost problému SAT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NP-úplnost problému SAT"

Transkript

1 Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x 1 ] ν =1,[x 2 ] ν =0,[x 3 ] ν =1,je [ϕ 1 ] ν =1. Formule ϕ 2 =(x 1 x 1 ) ( x 2 x 3 x 2 )nenísplnitelná: prolibovolnéohodnocení νplatí[ϕ 2 ] ν =0.

2 Ukázat,žeSATpatřídotřídyNPTIMEjesnadné. Nedeterministický algoritmus řešící SAT v polynomiálním čase pracuje následovně: Nedeterministicky zvolí ohodnocení ν, které přiřazuje booleovskou hodnotu každé proměnné vyskytující se ve formuli ϕ. Vyhodnotí ϕpřiohodnocení ν,tj.spočítáhodnotu[ϕ] ν. Pokud[ϕ] ν =1,vrátíalgoritmusodpověďAno. Jinak vrátí odpověď Ne.

3 Ukázat, že problém SAT je NP-těžký je složitější. Je třeba ukázat, že pro libovolný problém P NPTIME existuje polynomiální redukce z problému P na problém SAT, tj. ukázat, že existuje algoritmus, který: dostane na svůj vstup(libovolnou) instanci problému P, k této instanci vyrobí booleovskou formuli ϕ takovou, že ϕ bude splnitelná právě tehdy, když pro danou instanci problému P bude odpověď Ano, bude mít polynomiální časovou složitost.

4 Jestliže P NPTIME, musí existovat nedeterministický Turingův strojmapolynomp(n)takový,že: Pro libovolnou instanci w problému P(reprezentovanou slovem v nějaké abecedě Σ) platí, že: PokudjeodpověďprowAno,pakexistujealespoňjeden výpočetstrojemnadslovemw,přikterémstrojmvydá odpověď Ano. PokudjeodpověďprowNe,pakvšechnyvýpočtystrojeM nadslovemwskončísodpovědíne. Stroj M provede při libovolném výpočtu nad slovem w nejvýše p( w ) kroků.

5 Ukážeme, jak pro daný nedeterministický Turingův stroj M=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F),polynomp(n)aslovow Σ vyrobit booleovskou formuli ϕ takovou, že: ϕ bude splnitelná právě tehdy, když existuje výpočet stroje M nadslovemw,přikterémmudělánejvýšep( w )krokůa vydá odpověď Ano. Formuli ϕ bude možné vyrobit algoritmem v čase polynomiálním vzhledem k délce slova w.

6 Připomeňme,ževdefiniciTuringovastrojeM=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F): Q množina stavů řídící jednotky Σ vstupníabeceda(σ Γ) Γ pásková abeceda δ:(q F) Γ P(Q Γ { 1,0,+1}) přechodová funkce q 0 Q počátečnístavřídícíjednotky F Q množinakoncovýchstavů Dále předpokládáme, že Γ obsahuje speciální prázdný symbol (blank),přičemž Σ.

7 Vzhledem k tomu, že se v následující konstrukci budeme zabývat pouze stroji, které řeší rozhodovací problémy, budeme předpokládat, že F= {q ano,q ne } Pokudstrojskončívestavuq ano,znamenáto,ževydal odpověď Ano. Pokudstrojskončívestavuq ne,znamenáto,ževydal odpověď Ne.

8 a b a b b a a b q 5 Konfigurace Turingova stroje je dána: stavem řídící jednotky obsahem pásky pozicí hlavy

9 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Totoslovo,vždyobsahujeprávějedenznakz(Q Γ),kterývyznačuje stav řídící jednotky i pozici hlavy.

10 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Poznámka:Znakyz(Q Γ)píšemejako q a místo (q,a).

11 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Ostatní symboly(z Γ) reprezentují obsah pásky.

12 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Políčka pásky, která nejsou ve slově vyznačena, obsahují symbol.

13 a b a b b a a b q 5 Budeme předpokládat, že Turingův stroj používá jednostranně omezenou pásku. Políčkapáskysimůžemeočíslovatčísly1,2,3,...

14 Výpočet Turingova stroje je posloupnost konfigurací, kde: První konfigurace je počáteční konfigurace q 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w n 1 w n kdew 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,kteréje vstupem Turingova stroje M. Každá další konfigurace v posloupnosti je konfigurace, do které se může stroj dostat z předchozí konfigurace provedením jednoho kroku podle přechodové funkce δ. Pokud je výpočet konečný, v poslední konfiguraci musí být řídící jednotka v některém koncovém stavu z množiny F.

15 Předpokládejme nyní, že časová složitost stroje M je shora omezena nějakou funkcí p(n). (Bez ztráty na obecnosti budeme předpokládat, že pro všechna n je p(n) n.) PokudstrojMdostanejakovstupslovowdélkyn,provedeběhem výpočtu nanejvýš p(n) kroků. Protožestrojzačínáshlavounapolíčkučíslo1,můžeseběhem tohovýpočtudostathlavananejvýšnapolíčkočíslop(n)+1 (v každém kroku se posune nanejvýš o jedno políčko).

16 Pokud je tedy časová složitost stroje M shora omezena funkcí p(n), můžeme všechny konfigurace ve výpočtu nad vstupem velikostinzapsatjakoslovadélkyp(n)+1 Napolíčkasčíslyvětšíminežp(n)+1sestrojběhemvýpočtu hlavou nedostane a tato políčka budou obsahovat symbol (připomeňme, že předpokládáme p(n) n).

17 Slova popisující jednotlivé konfigurace ve výpočtu stroje M nad slovemw=w 1 w 2 w n tedymůžemezapsatpodsebedotabulky, kde: Řádky odpovídají jednotlivým konfiguracím(zapsaným jako slovavabeceděγ (Q Γ)). Sloupceodpovídajípolíčkůmpáskysčísly1,2,...,p(n)+1. Z technických důvodů přidáme ještě zleva a zprava sloupce obsahující jen speciální oddělovací znaky# (přičemž# Q Γ).

18 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 # # p(n)+3

19 Jednotlivá políčka tabulky tedy budou obsahovat symboly zabecedy =Γ (Q Γ) {#} Řádkytabulkybudoumítčísla0ažp(n)+1. (Řádek 0 bude obsahovat počáteční konfiguraci). Sloupcebudoumítčísla0ažp(n)+2. (Sloupce0ap(n)+2budouobsahovatznaky#.)

20 Poznámka:Výpočetmůžebýtkratšínežp(n)krokůavtakovém případě by nebyla vyplněna celá tabulka. Abychom i v tomto případě vyplnili celou tabulku, můžeme udělat to, že poslední konfiguraci, ve které se výpočet zastavil, zopakujeme ve všech zbylých řádcích tabulky.

21 Pokud tedy máme dán(nedeterministický) Turingův stroj M s časovou složitostí omezenou shora polynomem p(n) řešící problémpainstancitohotoproblémuzapsanoujakoslovow,je pro tuto instanci odpověď Ano právě tehdy, když existuje nějaký přijímající výpočet stroje M nad slovem w. Takový přijímající výpočet můžeme výše popsaným způsobem zapsatdotabulkyop(n)+1řádcíchap(n)+3sloupcích. Poznámka: Všimněte si, že velikost tabulky je polynomiální vzhledem k n.

22 ProdanýstrojM,polynomp(n)aslovowvytvořímeformuli ϕ takovou, že: Různá ohodnocení ν booleovských proměnných ve formuli ϕ budou reprezentovat všechny možné(i nesmyslné) obsahy dané tabulky. [ϕ] ν =1budeplatitprávěprotaohodnocení ν,která reprezentují takový obsah tabulky, který je zápisem přijímajícího výpočtu stroje M nad vstupem w. Formule ϕ tedy bude splnitelná právě tehdy, pokud bude existovat přijímající výpočet stroje M nad vstupem w.

23 Formule ϕ bude složena pomocí booleovských spojek z atomických tvrzení typu: Políčko(i,j)obsahujesymbola. kde i, j, a budou konkrétní konstanty, například: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Kdyžmluvímeopolíčku(i,j),mámetímnamysli políčkovi-témřádkuaj-témsloupcitabulky.

24 Formule ϕtedybudeobsahovatbooleovsképroměnnéx a i,j,kde: 0 i p(n)+1 0 j p(n)+2 a (kde =Γ (Q Γ) {#}) stím,že[x a i,j ] ν=1znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,při kterémpolíčko(i,j)obsahujesymbola, a[x a i,j ] ν=0znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,přikterém políčko(i,j)neobsahujesymbola.

25 Příklad:Proměnnáx q 5,b 9,4 reprezentuje tvrzení: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Uhodnotz(Q Γ)budemevindexechraději používatzápisq,amísto q a. Pokudtedy[x q 5,b 9,4 ] ν=1,znamenáto,žepřiobsahutabulky q reprezentovaném ν políčko(9, 4) obsahuje symbol 5 b, apokud[x q 5,b 9,4 ] ν=0,takpři νpolíčko(9,4)neobsahuje q 5 b.

26 Celá formule ϕ, která jako celek bude říkat: Tabulka obsahuje přijímající výpočet stroje M nad slovemw, bude složena z mnoha podformulí, kde každá z těchto podformulí bude formulovat nějakou jednoduchou podmínku, která musí být splněna, aby obsah tabulky byl přijímajícím výpočtem stroje M nad slovemw. Tyto podformule budou spojeny pomocí konjunkce. Pokud tedy bude při daném ohodnocení ν některá z těchto podmínek porušena, bude celá formule ϕ při ν nabývat hodnoty false,tj.[ϕ] ν =0.

27 V následujícím výkladu si popíšeme tyto jednotlivé podformule. Pokudvdalšímvýkladuonějakéformuli ψřekneme,že ψpřidámedo ϕ, mámetímnamysli,že ψspojímepomocíkonjunkce( )sdosud vytvořenou částí formule ϕ.

28 Aby tabulka obsahovala přijímající výpočet stroje M nad vstupem w, musí být splněny následující podmínky: 1 Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. 2 Řádekčíslo0obsahujepočátečníkonfiguraciseslovemw. 3 Každý řádek tabulky(kromě řádku 0) obsahuje buď: konfiguraci, která je jedním krokem(podle přechodové funkce δ) dosažitelná z konfigurace zapsané v předchozím řádku, nebo koncovou konfiguraci shodnou s konfigurací v předchozím řádku. 4 Poslednířádektabulkyobsahujekonfiguracisestavemq ano.

29 Je zřejmé, že pokud tabulka obsahuje přijímající výpočet, tak jsou tyto čtyři podmínky splněny. Nadruhoustranujerovněžzřejmé,žepokudbudoutytočtyři podmínky splněny, tak tabulka opravdu obsahuje přijímající výpočetstrojemnadslovemw.

30 Podívejme se nejprve na první podmínku: Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. Tuzajistímetak,žeprokaždépolíčko(i,j)přidámedo ϕ podformuli, která bude říkat: Políčko(i,j)obsahujeprávějedensymbolz, což můžeme formulovat též takto: Právějednazproměnnýchx a 1 hodnotu true, i,j,xa 2 i,j,...,xa k i,j má kde {a 1,a 2,...,a k }jemnožinavšechsymbolůz.

31 Vyjádřittvrzení,žeprávějednazproměnnýchx 1,x 2,...,x k má hodnotutrue(kdex 1,x 2,...,x k jsounějakélibovolnébooleovské proměnné) není složité. Ukážeme si to na příkladě, kde pro jednoduchost budeme mít jen čtyřibooleovsképroměnnéa,b,c,d: ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) Není těžké ověřit, že tato formule nabývá hodnoty true právě při těch ohodnoceních, při kterých má právě jedna z proměnných A,B,C,Dhodnotutrue.

32 ObecněpromnožinuproměnnýchX= {x 1,x 2,...,x k }můžeme tuto podmínku zapsat následovně: x i x j x i X x j X {x i } Všimněmesi,žeprokproměnnýchmátatoformulevelikostO(k 2 ). V našem případě je k =, takže velikost podformule, kterou přidávámeprokaždépolíčko,jeo( 2 )ajetotedykonstanta nezávislá na velikosti vstupu w. Poznámka: Existuje způsob, jak zapsat výše uvedenou podmínku tak,abyvelikostvytvořenéformulebylao(klogk),alemytozde nepotřebujeme.

33 Další podmínkou, která musí být splněna, je: Řádek 0 obsahuje počáteční konfiguraci se slovem w. Pokudtedyw 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,přičemž n 1, musí platit následující: Políčko(0,1)obsahujesymbol(q 0,w 1 ),kdeq 0 jepočáteční stav. Políčka(0,2),(0,3),...,(0,n)obsahují symbolyw 2,w 3,...,w n. Políčka(0,n+1),(0,n+2),...,(0,p(n+1))obsahují symboly. Políčka(0,0)a(0,p(n)+2)obsahujísymboly#.

34 Tuto podmínku tedy můžeme zapsat následující formulí, kterou přidáme do ϕ: ( n ) p(n)+1 x q 0,w 1 0,1 x w i 0,i x 0,i x # 0,0 x# 0,p(n)+2 i=2 i=n+1 Velikost této formule je O(p(n)). Poznámka:Případ,kdyn=0,byselišiljenvtom,žemísto x q 0,w 1 0,1 byformuleobsahovalax q 0, 0,1.

35 Asi nejsložitější je zajištění třetí podmínky: Každý řádek(kromě řádku 0) obsahuje konfiguraci, která vznikne z předchozí provedením jednoho kroku(a nebo je kopií předchozí koncové konfigurace). Vezměme si nějaké dvě po sobě jdoucí konfigurace. Tyto dvě konfigurace se vždy liší nanejvýš na dvou pozicích: napozici,kdesevprvníznichnacházíhlava, anajednézpozic,kterésníbezprostředněsousedí. Obsahydvojicřádkůiai+1vtabulcejsoutedyveliceúzce svázány.

36 Pokud obsah řádku i + 1 neodpovídá konfiguraci dosažitelné jednímkrokemzkonfiguracenařádkui,pakseotommůžeme přesvědčit tak, že najdeme konkrétní pozici, kde konfigurace do sebe nepasují. Můžete si rozmyslet, že v takovém případě můžeme vždycky najít vdanédvojiciřádků okénko velikosti2 3takové,žeotom,že řádky neobsahují dvě po sobě jdoucí konfigurace se můžeme přesvědčit jen prozkoumáním obsahu tohoto okénka(tj. aniž bychom se museli dívat na obsah ostatních políček). j 2 j 1 j j+1 j+2 j+3 j+4 i i+1

37 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 okénko # # p(n)+3

38 Obsahům okének, které se mohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích budeme říkat korektní a těm, které se nemohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích (akterétedydosvědčují,žedanédvařádkyneobsahujídvěposobě jdoucí konfigurace) budeme říkat nekorektní. Přesné konkrétní podmínky, které musí korektní obsahy okének splňovat, zde nebudeme uvádět. Místo toho si ukážeme konkrétní příklady korektních a nekorektních okének. Zkuste si však(po prohlédnutí příkladů) tyto podmínky sami zformulovat.

39 Příklady nekorektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a b # a a q 5 a a b a a q 5 a a b q 4 q b 7 a q 5 a b a q b 6 a b q ano a a a b q 8 a b a b b a b a

40 Příklady korektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a a b a q 5 a a b q a a 3 b b a q 3 b a q 5 a b a b b a a a q ano b a a q ano b # #

41 Množinu všech šestic znaků, které tvoří korektní obsah okének(pro danýkonkrétnístrojm)sioznačímecorr. Tj.(a,b,c,d,e,f) Corrprávěkdyž a b c d e f je korektní obsah okénka. Celkovýpočetvšechmožnýchobsahůokénekje 6,cožje konstanta nezávislá na velikosti vstupu w, takže i počet prvků množiny Corr je konstanta nezávislá na velikosti vstupu.

42 Pro každé okénko v tabulce přidáme do ϕ podformuli, která tvrdí, že obsah daného okénka je korektní(neboli jinak řečeno, že obsahuje některou z korektních šestic). Tj.prokaždéitakové,že0 i <p(n),akaždéjtakové,že 0 j p(n),přidámedo ϕformuli (a,b,c,d,e,f) Corr ( ) xi,j a xb i,j+1 xc i,j+2 xd i+1,j xe i+1,j+1 xf i+1,j+2 KaždáztěchtopodformulímávelikostmaximálněO( 6 ), tj. omezenou nějakou konstantou nezávislou na velikosti vstupu w. CelkovýpočettěchtopodformulíjeO(p(n) 2 )

43 Nyní zbývá zaručit poslední podmínku: Poslední řádek obsahuje koncovou konfiguraci, kde stav řídícíjednotkyjeq ano. To je opět jednoduché stačí přidat do ϕ podformuli, která tvrdí, ženaněkterépozicivposlednímřádku(tj.řádkup(n))senachází dvojice(q ano,a),kdeajenějakýsymbolzγ. Tato podformule vypadá takto: p(n)+1 j=1 a Γ x a p(n),j Velikost této formule je O(p(n)).

44 Z předchozího výkladu vidíme, že velikost formule ϕ vytvořené kdanémuvstupuwvelikostinjeo(p(n) 2 ). Jestližejep(n)polynom,takip(n) 2 jepolynom,takževelikost ϕ je polynomiální vzhledem k n. Vzhledem k jednoduché a pravidelné struktuře formule ϕ je zřejmé, že časová složitost algoritmu, který ke slovu w formuli ϕ vyrobí, je vpodstatěúměrnávelikostiformule ϕ,tedytakéo(p(n) 2 ).

45 Ukázali jsme tedy, že konstrukce je polynomiální, a nyní stručně shrneme, proč je korektní: Předpokládejme,žeprowjevproblémuPodpověďAno,což znamená, že existuje výpočet nedeterministického stroje M (který řeší problém P) nad slovem w vedoucí k odpovědi Ano. Tento výpočet můžeme zapsat do odpovídající tabulky a proměnným ve formuli ϕ můžeme přiřadit booleovské hodnoty podle obsahu této tabulky. Jezřejmé,žepřitomtoohodnoceníbudemít ϕ hodnotu true, protože všechny podmínky testované ve formuli ϕ budou splněny.

46 Předpokládejme nyní, že formule ϕ je splnitelná, tj. pro nějaké ohodnocení νplatí[ϕ] ν =1. Podle ohodnocení ν nyní můžeme vyplnit tabulku. Ztoho,žepřiohodnocení νmusíbýtsplněnyvšechny podmínky popsané ve formuli ϕ, vyplývá, že takto vyplněná tabulkaobsahujepopisvýpočtustrojemnadslovemw,při kterém stroj vydá odpověď Ano, a že tedy takovýto výpočet existuje. Vidíme tedy, že formule ϕ je splnitelná právě tehdy, když existuje výpočetstrojemvedoucíkpřijetíslovaw,tj.právětehdy,když odpověďprowjeano.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Kombinované úlohy - cvičení

Kombinované úlohy - cvičení DUM Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Algoritmy DUM III/2-T1-1-16 PRG-01A-var1 Téma: Kombinované úlohy cvičení Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval:

Více

45 Plánovací kalendář

45 Plánovací kalendář 45 Plánovací kalendář Modul Správa majetku slouží ke tvorbě obecných ročních plánů činností organizace. V rámci plánu je třeba definovat oblasti činností, tj. oblasti, ve kterých je možné plánovat. Každá

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně:

Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně: Účtování o přenesení daňové povinnosti Reverse charge Doklady, u kterých dodavatelé použijí ustanovení 92a zákona o DPH, je třeba do programu zapsat následovně: DF) V případě obdržení došlé faktury zapište

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac 1/31 PLÁN PŘEDNÁŠKY

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické

Více

Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách

Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách Vykazování dat o poskytovaných sociálních službách (verze dokumentu 1.4) Odpovědná osoba: Ing. Radomír Martinka V Praze dne: 24.4.2014 Klasifikace: CHRÁNĚNÉ OKsystem s.r.o. Na Pankráci 125, 140 21 Praha

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů študenti MFF 15. augusta 2008 1 Vážený študent/čitateľ, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Manuál pro NetDOGs práce s administrací

Manuál pro NetDOGs práce s administrací Manuál pro NetDOGs práce s administrací Po přihlášení se nacházíme v administraci V horní části jsou hlavní ikony značící moduly prezentace - REDAKCE - NOVINKY - OSTATNÍ - ADMINISTRACE (a možná i další

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

DENT 12.1 popis novinek

DENT 12.1 popis novinek DENT 12.1 popis novinek Nastavením v předvolbách Parametrech si lze určit, kde má být umístěn kurzor po otevření formuláře nové zakázky Tedy, zda v pořadovém čísle jako dosud, či v položce Odběratel, Příjmení

Více

PŘÍRUČKA PRÁCE SE SYSTÉMEM SLMS CLASS pro učitele

PŘÍRUČKA PRÁCE SE SYSTÉMEM SLMS CLASS pro učitele PŘÍRUČKA PRÁCE SE SYSTÉMEM SLMS CLASS pro učitele Vypracoval : Pavel Žemba Obsah Tvorba vlastních testů... 3 Postup tvorby... 3 Test otázky odpovědi... 3 Zadání otázek testu... 5 Test - cvičení na souboru,

Více

Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1

Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 10 Přednáška Složitost algoritmů Připomněli jsme si, že složitostí algoritmů většinou nemyslíme složitost jejich struktury či obtížnost jejich návrhu,

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix Michal Hrušecký, Jaroslava Hlaváčová Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Motivace Při zpracování přirozeného jazyka nikdy nemůžeme mít

Více

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Výpisy Výsledek zpracování

Výpisy Výsledek zpracování Výpisy Výsledek zpracování Tlačítka (formát(rrrrmm)) a pro zadaný stát. Zobrazí výsledky měsíčního zpracování zadaného období Vytiskne výsledky. Prodejci - provize Třídění se provádí klepnutím na záhlaví

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

V zelené liště vpravo nahoře pod nabídkou Informace naleznete vzory formulářů výkazů, pokyny a vysvětlivky k jejich vyplnění a další informace.

V zelené liště vpravo nahoře pod nabídkou Informace naleznete vzory formulářů výkazů, pokyny a vysvětlivky k jejich vyplnění a další informace. Práce s aplikací pro zpracování statistických výkazů za vysoké školy a ostatní přímo řízené organizace (netýká se škol a školských zařízení v regionálním školství) 1. Postup: Přihlásíte se k internetu

Více

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie

Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát. Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Microsoft Excel kopírování vzorců, adresování, podmíněný formát Mgr. Jan Veverka Střední odborná škola sociální Evangelická akademie Kopírování vzorců v mnoha případech je třeba provést stejný výpočet

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Hra života (Game of Life)

Hra života (Game of Life) Hra života (Game of Life) Vojtěch Brtník Zápočtový program z předmětu NPRG005 Neprocedurální programování Akademický rok 2008/2009 letní semestr Obsah 1 Uživatelská dokumentace 3 1.1 Hra života..............................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Spravování majetku Vzorové příklady zpracování účetních případů v prostředí ekonomického systému Money S3

Spravování majetku Vzorové příklady zpracování účetních případů v prostředí ekonomického systému Money S3 Spravování majetku Vzorové příklady zpracování účetních případů v prostředí ekonomického systému Money S3 Copyright Příklady - Majetek 1 Obsah Daňová evidence... 2 Dlouhodobý hmotný majetek (pořízení,

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií VY_32_INOVACE_33_05 Škola Střední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávací oblast Vzdělávání v informačních a komunikačních

Více

kontakt: Excel Asistent Magazín 06/2003 - pojmenované oblasti a funkce Jiří Číhař jiricihar@dataspectrum.cz

kontakt: Excel Asistent Magazín 06/2003 - pojmenované oblasti a funkce Jiří Číhař jiricihar@dataspectrum.cz popis: autor: kontakt: domovská stránka: Excel Asistent Magazín 06/2003 - pojmenované oblasti a funkce Jiří Číhař jiricihar@dataspectrum.cz www.dataspectrum.cz Přehled mzdy 1. Vytvořit názvy potřebné pro

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Správnost počítačových programů - očekávání a realita.

Správnost počítačových programů - očekávání a realita. Správnost počítačových programů - očekávání a realita. Luboš Brim a Ivana Černá Fakulta informatiky, Masarykova univerzita, Brno Správnost a spolehlivost jsou fundamentální požadavky, které na moderní

Více

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC tabulkový procesor MS EXCEL Zpracoval: mgr. Ježek Vl. Str. 1 MS EXCEL - základy tabulkového procesoru Tyto programy jsou specielně navrženy na

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 4. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 4. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 4. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Datové typy strana 29

Datové typy strana 29 Datové typy strana 29 3. Datové typy Jak již bylo uvedeno, Java je přísně typový jazyk, proto je vždy nutno uvést datový typ datového atributu, formálního parametru metody, návratové hodnoty metody nebo

Více

Složitost a moderní kryptografie

Složitost a moderní kryptografie Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie

Více

Kapitola 7: Návrh relačních databází. Nástrahy relačního návrhu. Příklad. Rozklad (dekompozice)

Kapitola 7: Návrh relačních databází. Nástrahy relačního návrhu. Příklad. Rozklad (dekompozice) - 7.1 - Kapitola 7: Návrh relačních databází Nástrahy návrhu relačních databází Dekompozice (rozklad) Normalizace použitím funkčních závislostí Nástrahy relačního návrhu Návrh relačních databází vyžaduje

Více

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku Znaky - standardní typ char var Z, W: char; - znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku - v TP (často i jinde) se používá kódová

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE. Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice

CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE. Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE 1 Tabulkový kalkulátor představuje

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Hromadná korespondence

Hromadná korespondence Hromadná korespondence Funkce hromadné korespondence se v aplikaci Word používá k vytvoření např. Formulářového dopisu zasílaného mnoha zákazníkům. Každý takový dopis obsahuje stejný druh informací, ale

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1. Pøevody problémù a NP-úplnost

1. Pøevody problémù a NP-úplnost 1. Pøevody problémù a NP-úplnost Všechny úlohy, které jsme zatím potkali, jsme uměli vyřešit algoritmem s polynomiální časovou složitostí. V prvním přiblížení můžeme říci, že polynomialita docela dobře

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Můj paradox - Herní řád soutěže

Můj paradox - Herní řád soutěže Můj paradox - Herní řád soutěže I. Úvodní ustanovení Pořadatelem Hlasování s názvem Můj paradox (dále jen Hlasování ) je společnost eman, s.r.o. se sídlem V Olšinách 16/82, 100 00, Praha 10, IČ 272 03

Více

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí Seminář IVT MS Excel, opakování funkcí Výuka Opakování z minulé hodiny. Založeno na výsledcích Vašich domácích úkolů, podrobné zopakování věcí, ve kterých děláte nejčastěji chyby. Nejčastější jsou následující

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Archiv elektronických dokumentů Zela

Archiv elektronických dokumentů Zela Archiv elektronických dokumentů Zela Instalace po rozbalení servisního balíčku 38 se automaticky spustí instalační program, který nainstaluje potřebné moduly pro provoz archivu dokumentů. Tyto moduly je

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Jednoduchý návod na základní obsluhu Prestashopu 1.6:

Jednoduchý návod na základní obsluhu Prestashopu 1.6: Jednoduchý návod na základní obsluhu Prestashopu 1.6: Správa objednávek Když přijde objednávka, systém automaticky zasílá email provozovateli eshopu a zákazníkovi. Seznam objednávek je zde: Vedle každé

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

IV113 Validace a verifikace

IV113 Validace a verifikace IV113 Validace a verifikace Lehký úvod do analýzy programů Jiří Barnat Analýza programů IV113 Úvod do validace a verifikace: Analýza programů str. 2/29 Cíle programové analýzy Odvodit vlastnosti programů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více