NP-úplnost problému SAT

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NP-úplnost problému SAT"

Transkript

1 Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x 1 ] ν =1,[x 2 ] ν =0,[x 3 ] ν =1,je [ϕ 1 ] ν =1. Formule ϕ 2 =(x 1 x 1 ) ( x 2 x 3 x 2 )nenísplnitelná: prolibovolnéohodnocení νplatí[ϕ 2 ] ν =0.

2 Ukázat,žeSATpatřídotřídyNPTIMEjesnadné. Nedeterministický algoritmus řešící SAT v polynomiálním čase pracuje následovně: Nedeterministicky zvolí ohodnocení ν, které přiřazuje booleovskou hodnotu každé proměnné vyskytující se ve formuli ϕ. Vyhodnotí ϕpřiohodnocení ν,tj.spočítáhodnotu[ϕ] ν. Pokud[ϕ] ν =1,vrátíalgoritmusodpověďAno. Jinak vrátí odpověď Ne.

3 Ukázat, že problém SAT je NP-těžký je složitější. Je třeba ukázat, že pro libovolný problém P NPTIME existuje polynomiální redukce z problému P na problém SAT, tj. ukázat, že existuje algoritmus, který: dostane na svůj vstup(libovolnou) instanci problému P, k této instanci vyrobí booleovskou formuli ϕ takovou, že ϕ bude splnitelná právě tehdy, když pro danou instanci problému P bude odpověď Ano, bude mít polynomiální časovou složitost.

4 Jestliže P NPTIME, musí existovat nedeterministický Turingův strojmapolynomp(n)takový,že: Pro libovolnou instanci w problému P(reprezentovanou slovem v nějaké abecedě Σ) platí, že: PokudjeodpověďprowAno,pakexistujealespoňjeden výpočetstrojemnadslovemw,přikterémstrojmvydá odpověď Ano. PokudjeodpověďprowNe,pakvšechnyvýpočtystrojeM nadslovemwskončísodpovědíne. Stroj M provede při libovolném výpočtu nad slovem w nejvýše p( w ) kroků.

5 Ukážeme, jak pro daný nedeterministický Turingův stroj M=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F),polynomp(n)aslovow Σ vyrobit booleovskou formuli ϕ takovou, že: ϕ bude splnitelná právě tehdy, když existuje výpočet stroje M nadslovemw,přikterémmudělánejvýšep( w )krokůa vydá odpověď Ano. Formuli ϕ bude možné vyrobit algoritmem v čase polynomiálním vzhledem k délce slova w.

6 Připomeňme,ževdefiniciTuringovastrojeM=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,F): Q množina stavů řídící jednotky Σ vstupníabeceda(σ Γ) Γ pásková abeceda δ:(q F) Γ P(Q Γ { 1,0,+1}) přechodová funkce q 0 Q počátečnístavřídícíjednotky F Q množinakoncovýchstavů Dále předpokládáme, že Γ obsahuje speciální prázdný symbol (blank),přičemž Σ.

7 Vzhledem k tomu, že se v následující konstrukci budeme zabývat pouze stroji, které řeší rozhodovací problémy, budeme předpokládat, že F= {q ano,q ne } Pokudstrojskončívestavuq ano,znamenáto,ževydal odpověď Ano. Pokudstrojskončívestavuq ne,znamenáto,ževydal odpověď Ne.

8 a b a b b a a b q 5 Konfigurace Turingova stroje je dána: stavem řídící jednotky obsahem pásky pozicí hlavy

9 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Totoslovo,vždyobsahujeprávějedenznakz(Q Γ),kterývyznačuje stav řídící jednotky i pozici hlavy.

10 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Poznámka:Znakyz(Q Γ)píšemejako q a místo (q,a).

11 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Ostatní symboly(z Γ) reprezentují obsah pásky.

12 a b a b b a a b q 5 KonfiguracimůžemezapsatjakoslovovabeceděΓ (Q Γ): a b a b q 5 b a a b Políčka pásky, která nejsou ve slově vyznačena, obsahují symbol.

13 a b a b b a a b q 5 Budeme předpokládat, že Turingův stroj používá jednostranně omezenou pásku. Políčkapáskysimůžemeočíslovatčísly1,2,3,...

14 Výpočet Turingova stroje je posloupnost konfigurací, kde: První konfigurace je počáteční konfigurace q 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w n 1 w n kdew 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,kteréje vstupem Turingova stroje M. Každá další konfigurace v posloupnosti je konfigurace, do které se může stroj dostat z předchozí konfigurace provedením jednoho kroku podle přechodové funkce δ. Pokud je výpočet konečný, v poslední konfiguraci musí být řídící jednotka v některém koncovém stavu z množiny F.

15 Předpokládejme nyní, že časová složitost stroje M je shora omezena nějakou funkcí p(n). (Bez ztráty na obecnosti budeme předpokládat, že pro všechna n je p(n) n.) PokudstrojMdostanejakovstupslovowdélkyn,provedeběhem výpočtu nanejvýš p(n) kroků. Protožestrojzačínáshlavounapolíčkučíslo1,můžeseběhem tohovýpočtudostathlavananejvýšnapolíčkočíslop(n)+1 (v každém kroku se posune nanejvýš o jedno políčko).

16 Pokud je tedy časová složitost stroje M shora omezena funkcí p(n), můžeme všechny konfigurace ve výpočtu nad vstupem velikostinzapsatjakoslovadélkyp(n)+1 Napolíčkasčíslyvětšíminežp(n)+1sestrojběhemvýpočtu hlavou nedostane a tato políčka budou obsahovat symbol (připomeňme, že předpokládáme p(n) n).

17 Slova popisující jednotlivé konfigurace ve výpočtu stroje M nad slovemw=w 1 w 2 w n tedymůžemezapsatpodsebedotabulky, kde: Řádky odpovídají jednotlivým konfiguracím(zapsaným jako slovavabeceděγ (Q Γ)). Sloupceodpovídajípolíčkůmpáskysčísly1,2,...,p(n)+1. Z technických důvodů přidáme ještě zleva a zprava sloupce obsahující jen speciální oddělovací znaky# (přičemž# Q Γ).

18 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 # # p(n)+3

19 Jednotlivá políčka tabulky tedy budou obsahovat symboly zabecedy =Γ (Q Γ) {#} Řádkytabulkybudoumítčísla0ažp(n)+1. (Řádek 0 bude obsahovat počáteční konfiguraci). Sloupcebudoumítčísla0ažp(n)+2. (Sloupce0ap(n)+2budouobsahovatznaky#.)

20 Poznámka:Výpočetmůžebýtkratšínežp(n)krokůavtakovém případě by nebyla vyplněna celá tabulka. Abychom i v tomto případě vyplnili celou tabulku, můžeme udělat to, že poslední konfiguraci, ve které se výpočet zastavil, zopakujeme ve všech zbylých řádcích tabulky.

21 Pokud tedy máme dán(nedeterministický) Turingův stroj M s časovou složitostí omezenou shora polynomem p(n) řešící problémpainstancitohotoproblémuzapsanoujakoslovow,je pro tuto instanci odpověď Ano právě tehdy, když existuje nějaký přijímající výpočet stroje M nad slovem w. Takový přijímající výpočet můžeme výše popsaným způsobem zapsatdotabulkyop(n)+1řádcíchap(n)+3sloupcích. Poznámka: Všimněte si, že velikost tabulky je polynomiální vzhledem k n.

22 ProdanýstrojM,polynomp(n)aslovowvytvořímeformuli ϕ takovou, že: Různá ohodnocení ν booleovských proměnných ve formuli ϕ budou reprezentovat všechny možné(i nesmyslné) obsahy dané tabulky. [ϕ] ν =1budeplatitprávěprotaohodnocení ν,která reprezentují takový obsah tabulky, který je zápisem přijímajícího výpočtu stroje M nad vstupem w. Formule ϕ tedy bude splnitelná právě tehdy, pokud bude existovat přijímající výpočet stroje M nad vstupem w.

23 Formule ϕ bude složena pomocí booleovských spojek z atomických tvrzení typu: Políčko(i,j)obsahujesymbola. kde i, j, a budou konkrétní konstanty, například: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Kdyžmluvímeopolíčku(i,j),mámetímnamysli políčkovi-témřádkuaj-témsloupcitabulky.

24 Formule ϕtedybudeobsahovatbooleovsképroměnnéx a i,j,kde: 0 i p(n)+1 0 j p(n)+2 a (kde =Γ (Q Γ) {#}) stím,že[x a i,j ] ν=1znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,při kterémpolíčko(i,j)obsahujesymbola, a[x a i,j ] ν=0znamená,že νreprezentujeobsahtabulky,přikterém políčko(i,j)neobsahujesymbola.

25 Příklad:Proměnnáx q 5,b 9,4 reprezentuje tvrzení: Políčko(9, 4) obsahuje symbol q 5 b. Poznámka:Uhodnotz(Q Γ)budemevindexechraději používatzápisq,amísto q a. Pokudtedy[x q 5,b 9,4 ] ν=1,znamenáto,žepřiobsahutabulky q reprezentovaném ν políčko(9, 4) obsahuje symbol 5 b, apokud[x q 5,b 9,4 ] ν=0,takpři νpolíčko(9,4)neobsahuje q 5 b.

26 Celá formule ϕ, která jako celek bude říkat: Tabulka obsahuje přijímající výpočet stroje M nad slovemw, bude složena z mnoha podformulí, kde každá z těchto podformulí bude formulovat nějakou jednoduchou podmínku, která musí být splněna, aby obsah tabulky byl přijímajícím výpočtem stroje M nad slovemw. Tyto podformule budou spojeny pomocí konjunkce. Pokud tedy bude při daném ohodnocení ν některá z těchto podmínek porušena, bude celá formule ϕ při ν nabývat hodnoty false,tj.[ϕ] ν =0.

27 V následujícím výkladu si popíšeme tyto jednotlivé podformule. Pokudvdalšímvýkladuonějakéformuli ψřekneme,že ψpřidámedo ϕ, mámetímnamysli,že ψspojímepomocíkonjunkce( )sdosud vytvořenou částí formule ϕ.

28 Aby tabulka obsahovala přijímající výpočet stroje M nad vstupem w, musí být splněny následující podmínky: 1 Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. 2 Řádekčíslo0obsahujepočátečníkonfiguraciseslovemw. 3 Každý řádek tabulky(kromě řádku 0) obsahuje buď: konfiguraci, která je jedním krokem(podle přechodové funkce δ) dosažitelná z konfigurace zapsané v předchozím řádku, nebo koncovou konfiguraci shodnou s konfigurací v předchozím řádku. 4 Poslednířádektabulkyobsahujekonfiguracisestavemq ano.

29 Je zřejmé, že pokud tabulka obsahuje přijímající výpočet, tak jsou tyto čtyři podmínky splněny. Nadruhoustranujerovněžzřejmé,žepokudbudoutytočtyři podmínky splněny, tak tabulka opravdu obsahuje přijímající výpočetstrojemnadslovemw.

30 Podívejme se nejprve na první podmínku: Každé políčko tabulky obsahuje právě jeden symbol z. Tuzajistímetak,žeprokaždépolíčko(i,j)přidámedo ϕ podformuli, která bude říkat: Políčko(i,j)obsahujeprávějedensymbolz, což můžeme formulovat též takto: Právějednazproměnnýchx a 1 hodnotu true, i,j,xa 2 i,j,...,xa k i,j má kde {a 1,a 2,...,a k }jemnožinavšechsymbolůz.

31 Vyjádřittvrzení,žeprávějednazproměnnýchx 1,x 2,...,x k má hodnotutrue(kdex 1,x 2,...,x k jsounějakélibovolnébooleovské proměnné) není složité. Ukážeme si to na příkladě, kde pro jednoduchost budeme mít jen čtyřibooleovsképroměnnéa,b,c,d: ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) ( A B C D) Není těžké ověřit, že tato formule nabývá hodnoty true právě při těch ohodnoceních, při kterých má právě jedna z proměnných A,B,C,Dhodnotutrue.

32 ObecněpromnožinuproměnnýchX= {x 1,x 2,...,x k }můžeme tuto podmínku zapsat následovně: x i x j x i X x j X {x i } Všimněmesi,žeprokproměnnýchmátatoformulevelikostO(k 2 ). V našem případě je k =, takže velikost podformule, kterou přidávámeprokaždépolíčko,jeo( 2 )ajetotedykonstanta nezávislá na velikosti vstupu w. Poznámka: Existuje způsob, jak zapsat výše uvedenou podmínku tak,abyvelikostvytvořenéformulebylao(klogk),alemytozde nepotřebujeme.

33 Další podmínkou, která musí být splněna, je: Řádek 0 obsahuje počáteční konfiguraci se slovem w. Pokudtedyw 1 w 2...w n jsoujednotlivésymbolyslovaw,přičemž n 1, musí platit následující: Políčko(0,1)obsahujesymbol(q 0,w 1 ),kdeq 0 jepočáteční stav. Políčka(0,2),(0,3),...,(0,n)obsahují symbolyw 2,w 3,...,w n. Políčka(0,n+1),(0,n+2),...,(0,p(n+1))obsahují symboly. Políčka(0,0)a(0,p(n)+2)obsahujísymboly#.

34 Tuto podmínku tedy můžeme zapsat následující formulí, kterou přidáme do ϕ: ( n ) p(n)+1 x q 0,w 1 0,1 x w i 0,i x 0,i x # 0,0 x# 0,p(n)+2 i=2 i=n+1 Velikost této formule je O(p(n)). Poznámka:Případ,kdyn=0,byselišiljenvtom,žemísto x q 0,w 1 0,1 byformuleobsahovalax q 0, 0,1.

35 Asi nejsložitější je zajištění třetí podmínky: Každý řádek(kromě řádku 0) obsahuje konfiguraci, která vznikne z předchozí provedením jednoho kroku(a nebo je kopií předchozí koncové konfigurace). Vezměme si nějaké dvě po sobě jdoucí konfigurace. Tyto dvě konfigurace se vždy liší nanejvýš na dvou pozicích: napozici,kdesevprvníznichnacházíhlava, anajednézpozic,kterésníbezprostředněsousedí. Obsahydvojicřádkůiai+1vtabulcejsoutedyveliceúzce svázány.

36 Pokud obsah řádku i + 1 neodpovídá konfiguraci dosažitelné jednímkrokemzkonfiguracenařádkui,pakseotommůžeme přesvědčit tak, že najdeme konkrétní pozici, kde konfigurace do sebe nepasují. Můžete si rozmyslet, že v takovém případě můžeme vždycky najít vdanédvojiciřádků okénko velikosti2 3takové,žeotom,že řádky neobsahují dvě po sobě jdoucí konfigurace se můžeme přesvědčit jen prozkoumáním obsahu tohoto okénka(tj. aniž bychom se museli dívat na obsah ostatních políček). j 2 j 1 j j+1 j+2 j+3 j+4 i i+1

37 q # 0 w w 2 w 3 w w n... # # # # # p(n)+1 okénko # # p(n)+3

38 Obsahům okének, které se mohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích budeme říkat korektní a těm, které se nemohou vyskytnout ve dvou po sobě jdoucích konfiguracích (akterétedydosvědčují,žedanédvařádkyneobsahujídvěposobě jdoucí konfigurace) budeme říkat nekorektní. Přesné konkrétní podmínky, které musí korektní obsahy okének splňovat, zde nebudeme uvádět. Místo toho si ukážeme konkrétní příklady korektních a nekorektních okének. Zkuste si však(po prohlédnutí příkladů) tyto podmínky sami zformulovat.

39 Příklady nekorektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a b # a a q 5 a a b a a q 5 a a b q 4 q b 7 a q 5 a b a q b 6 a b q ano a a a b q 8 a b a b b a b a

40 Příklady korektních okének, přičemž předpokládáme, že δ(q 5,a)={(q 8,b, 1),(q 3,a,+1)}: a b a a b a q 5 a a b q a a 3 b b a q 3 b a q 5 a b a b b a a a q ano b a a q ano b # #

41 Množinu všech šestic znaků, které tvoří korektní obsah okének(pro danýkonkrétnístrojm)sioznačímecorr. Tj.(a,b,c,d,e,f) Corrprávěkdyž a b c d e f je korektní obsah okénka. Celkovýpočetvšechmožnýchobsahůokénekje 6,cožje konstanta nezávislá na velikosti vstupu w, takže i počet prvků množiny Corr je konstanta nezávislá na velikosti vstupu.

42 Pro každé okénko v tabulce přidáme do ϕ podformuli, která tvrdí, že obsah daného okénka je korektní(neboli jinak řečeno, že obsahuje některou z korektních šestic). Tj.prokaždéitakové,že0 i <p(n),akaždéjtakové,že 0 j p(n),přidámedo ϕformuli (a,b,c,d,e,f) Corr ( ) xi,j a xb i,j+1 xc i,j+2 xd i+1,j xe i+1,j+1 xf i+1,j+2 KaždáztěchtopodformulímávelikostmaximálněO( 6 ), tj. omezenou nějakou konstantou nezávislou na velikosti vstupu w. CelkovýpočettěchtopodformulíjeO(p(n) 2 )

43 Nyní zbývá zaručit poslední podmínku: Poslední řádek obsahuje koncovou konfiguraci, kde stav řídícíjednotkyjeq ano. To je opět jednoduché stačí přidat do ϕ podformuli, která tvrdí, ženaněkterépozicivposlednímřádku(tj.řádkup(n))senachází dvojice(q ano,a),kdeajenějakýsymbolzγ. Tato podformule vypadá takto: p(n)+1 j=1 a Γ x a p(n),j Velikost této formule je O(p(n)).

44 Z předchozího výkladu vidíme, že velikost formule ϕ vytvořené kdanémuvstupuwvelikostinjeo(p(n) 2 ). Jestližejep(n)polynom,takip(n) 2 jepolynom,takževelikost ϕ je polynomiální vzhledem k n. Vzhledem k jednoduché a pravidelné struktuře formule ϕ je zřejmé, že časová složitost algoritmu, který ke slovu w formuli ϕ vyrobí, je vpodstatěúměrnávelikostiformule ϕ,tedytakéo(p(n) 2 ).

45 Ukázali jsme tedy, že konstrukce je polynomiální, a nyní stručně shrneme, proč je korektní: Předpokládejme,žeprowjevproblémuPodpověďAno,což znamená, že existuje výpočet nedeterministického stroje M (který řeší problém P) nad slovem w vedoucí k odpovědi Ano. Tento výpočet můžeme zapsat do odpovídající tabulky a proměnným ve formuli ϕ můžeme přiřadit booleovské hodnoty podle obsahu této tabulky. Jezřejmé,žepřitomtoohodnoceníbudemít ϕ hodnotu true, protože všechny podmínky testované ve formuli ϕ budou splněny.

46 Předpokládejme nyní, že formule ϕ je splnitelná, tj. pro nějaké ohodnocení νplatí[ϕ] ν =1. Podle ohodnocení ν nyní můžeme vyplnit tabulku. Ztoho,žepřiohodnocení νmusíbýtsplněnyvšechny podmínky popsané ve formuli ϕ, vyplývá, že takto vyplněná tabulkaobsahujepopisvýpočtustrojemnadslovemw,při kterém stroj vydá odpověď Ano, a že tedy takovýto výpočet existuje. Vidíme tedy, že formule ϕ je splnitelná právě tehdy, když existuje výpočetstrojemvedoucíkpřijetíslovaw,tj.právětehdy,když odpověďprowjeano.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. 9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g). 7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Výpočetní složitost I

Výpočetní složitost I Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem

Více

10. Složitost a výkon

10. Složitost a výkon Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Od Turingových strojů k P=NP

Od Turingových strojů k P=NP Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML

Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML 6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML http://ktiml.mff.cuni.cz/~surynek/nail094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Složitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Složitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Složitost Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika 2 Opakování z minulé přednášky Co říká Churchova teze? Jak lze kódovat Turingův stroj? Co je to Univerzální

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Základy algoritmizace, návrh algoritmu

Základy algoritmizace, návrh algoritmu Základy algoritmizace, návrh algoritmu Algoritmus Předpoklady automatického výpočtu: předem stanovit (rozmyslet) přesný postup během opakovaného provádění postupu již nepřemýšlet a postupovat mechanicky

Více

TGH12 - Problém za milion dolarů

TGH12 - Problém za milion dolarů TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu

Více

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2 Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Paralelní programování

Paralelní programování Paralelní programování přednášky Jan Outrata únor duben 2011 Jan Outrata (KI UP) Paralelní programování únor duben 2011 1 / 14 Atomické akce dále nedělitelná = neproložitelná jiným procesem izolovaná =

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

45 Plánovací kalendář

45 Plánovací kalendář 45 Plánovací kalendář Modul Správa majetku slouží ke tvorbě obecných ročních plánů činností organizace. V rámci plánu je třeba definovat oblasti činností, tj. oblasti, ve kterých je možné plánovat. Každá

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

[1] samoopravné kódy: terminologie, princip

[1] samoopravné kódy: terminologie, princip [1] Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód Samoopravné kódy, k čemu to je [2] Data jsou uložena (nebo posílána do linky) kodérem podle určitého pravidla

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky.

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky. PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Písemná zkouška z předmětu Teoretická informatika (UKÁZKA) Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 65 bodů Minimální bodový zisk nutný k uznání: 25 bodů (jak je ovšem

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Řídicí struktury jazyka Java Struktura programu Příkazy jazyka Blok příkazů Logické příkazy Ternární logický operátor Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Struktura programu

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce , strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

Kombinované úlohy - cvičení

Kombinované úlohy - cvičení DUM Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Algoritmy DUM III/2-T1-1-16 PRG-01A-var1 Téma: Kombinované úlohy cvičení Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval:

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Implementace LL(1) překladů

Implementace LL(1) překladů Překladače, přednáška č. 6 Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 30. října 2007 Postup Programujeme syntaktickou analýzu: 1 Navrhneme vhodnou LL(1) gramatiku

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY RADIM BĚLOHLÁVEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký)

2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) 2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) Model Ram Při analýze algoritmu bychom chtěli nějak popsat jeho složitost. Abychom mohli udělat toto, potřebujeme nejprve definovat výpočetní model.

Více

Manuál pro NetDOGs práce s administrací

Manuál pro NetDOGs práce s administrací Manuál pro NetDOGs práce s administrací Po přihlášení se nacházíme v administraci V horní části jsou hlavní ikony značící moduly prezentace - REDAKCE - NOVINKY - OSTATNÍ - ADMINISTRACE (a možná i další

Více

57. ročník Matematické olympiády 2007/2008

57. ročník Matematické olympiády 2007/2008 57. ročník Matematické olympiády 2007/2008 Úlohy domácího kola kategorie P každého příkladu musí obsahovat podrobný popis použitého algoritmu, zdůvodnění jeho správnosti a diskusi o efektivitě zvoleného

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky.

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky. PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Písemná zkouška z předmětu Teoretická informatika (UKÁZKA struktury) Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 62 bodů Minimální bodový zisk nutný k uznání: 25 bodů jealenutnétakédocílitalespoňminima11bodůseparátněukaždézedvoučástípísemky

Více

Testování a spolehlivost. 1. Laboratoř Poruchy v číslicových obvodech

Testování a spolehlivost. 1. Laboratoř Poruchy v číslicových obvodech Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 1. Laboratoř Poruchy v číslicových obvodech Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v PRaze Příprava studijního programu Informatika

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

COMPLEXITY

COMPLEXITY Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět:

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět: MQL4 COURSE By Coders guru www.forex-tsd.com -3 DATA TYPES Vítám vás ve třetí lekci svého MQL4 kurzu. Doufám, že předchozí lekce SYNTAX se vám líbila. V té jsme se pokoušeli zodpovědět: Jaký formát můžete

Více

Úplný systém m logických spojek. 3.přednáška

Úplný systém m logických spojek. 3.přednáška Úplný sstém m logických spojek 3.přednáška Definice Úplný sstém m logických spojek Řekneme, že množina logických spojek S tvoří úplný sstém logických spojek, jestliže pro každou formuli A eistuje formule

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

ÚVODNÍ ZNALOSTI. datové struktury. správnost programů. analýza algoritmů

ÚVODNÍ ZNALOSTI. datové struktury. správnost programů. analýza algoritmů ÚVODNÍ ZNALOSTI datové struktury správnost programů analýza algoritmů Datové struktury základní, primitivní, jednoduché datové typy: int, char,... hodnoty: celá čísla, znaky, jednoduché proměnné: int i;

Více

Telemetrický komunikační protokol JETI

Telemetrický komunikační protokol JETI Dokument se bude zabývat popisem komunikačního protokolu senzorů JETI model. Telemetrické informace se přenášejí komunikační sběrnicí ze senzorů do přijímače a bezdrátově se přenášejí do zařízení, např.

Více

Programovací jazyk Pascal

Programovací jazyk Pascal Programovací jazyk Pascal Syntaktická pravidla (syntaxe jazyka) přesná pravidla pro zápis příkazů Sémantická pravidla (sémantika jazyka) pravidla, která každému příkazu přiřadí přesný význam Všechny konstrukce

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více