Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Transkript

1 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht jsou funkce p 0, p 1,..., p n 1, q spojité na intervalu I, úloha 6), 7) právě jedno řešení na I. 0 I, y 0, y 1,..., y n 1 ) R n. Pak má Cauchyova homogenní LDR: q) = 0 pro každé I nehomogenní LDR: q) 0 alespoň pro jedno I přidružená homogenní rovnice: v rovnici nahradíme q nulovou funkcí označíme-li D : y y n) + p n 1 y n 1) p 1 y + p 0 y, je D lineární zobrazení a rovnici 6) lze přepsat ve tvaru Dy) = q z linearity zobrazení D máme: pro homogenní LDR řádu n : množina řešení je lineární prostor; lze ukázat, že jeho dimenze je n viz Větu 1.10 dále) fundamentální systém řešení FSŘ) množina n lineárně nezávislých řešení homogenní LDR obecné řešení homogenní LDR řádu n : y = c 1 y 1 + c y c n y n, I, kde {y 1,..., y n } je FSŘ, c 1,..., c n R pro nehomogenní LDR řádu n : předpokládejme, že y 1, y řeší danou rovnici a y 0 řeší přidruženou homogenní rovnici, pak platí a) y 1 y řeší přidruženou homogenní rovnici b) y 1 + y 0 řeší danou rovnici a)+b) pro obecné řešení y LDR platí: y = ŷ + ỹ, kde ŷ je jedno pevné řešení dané rovnice tzv. partikulární řešení) a ỹ je obecné řešení přidružené homogenní rovnice Věta 1.4 princip superpozice) : Je-li y 1 řešení rovnice Dy) = q 1 a y řešení rovnice Dy) = q, pak y 1 + y je řešení rovnice Dy) = q 1 + q.

2 1..1 Metoda variace konstant [MA1-18:P1.8] {y 1,..., y n }... FSŘ homogenní rovnice přidružené k rovnici 6) partikulární řešení ŷ rovnice 6) hledáme ve tvaru y) = c 1 )y 1 ) + c )y ) c n )y n ) stačí nám najít jednu n tici funkcí c 1 ),..., c n ) ) princip metody ukážeme na následujícím příkladu: Příklad 1.4: Najděte obecné řešení rovnice y + y y =, { víte-li, že přidružená homogenní rovnice má FSŘ 1, 1 },. Řešení: Funkce p ) =, p 1) =, p 0) = 0, q) = jsou spojité na intervalech I 1 =, 0), I = 0, ), hledáme tedy řešení rovnice na těchto intervalech dále už to nebudu uvádět) 1. obecné řešení přidružené homogenní rovnice je ỹ) = c 1 + c + c 3 1 c 1, c, c 3 R). partikulární řešení nehomogenní rovnice tedy hledáme ve tvaru ŷ) = c 1 ) + c ) + c 3 ) 1 hledáme tři funkce můžeme na ně mít tři podmínky: jednu dostaneme dosazením do rovnice, zbylé dvě zvolíme tak, aby se nám zjednodušily derivace spočítáme 1. derivaci funkce ŷ: ŷ ) = c 1) + c ) + c ) + c 3) 1 + c 3) 1 ) aby se nám v další derivaci neobjevily druhé derivace funkcí c 1, c, c 3, budeme chtít, aby platilo c 1) + c ) + c 3) 1 = 0 8) pak ovšem ŷ ) = c ) + c 3 ) 1 ) ) spočítáme. derivaci funkce ŷ: ŷ ) = c ) + c ) + c 3) 1 ) + c 3 ) 3 ze stejných důvodů jako u 1. derivace budeme chtít, aby platilo c ) + c 3) 1 ) = 0 9) pak ovšem ŷ ) = c ) + c 3 ) 3 ) spočítáme 3. derivaci funkce ŷ: ŷ ) = c ) + c 3) 3 + c 3) 6 ) 4

3 [MA1-18:P1.9] poslední podmínku pro funkce c 1, c, c 3 nyní dostaneme dosazením do zadané rovnice pro její levou stranu máme Dŷ) = ŷ + ŷ ŷ = = c ) + c 3) 3 + c 3) 6 ) ) 4 + c ) + c 3 ) 1 )) = = c ) + c 3) 3 + c ) 0 + ) + }{{} Dy )=0 +c 3 ) = c ) + c 3) ) 3 1 ) ) }{{ = } Dy 3 )=0 3 c ) + c 3 ) ) 3 kdyby funkce y 1 neměla všechny derivace nulové, objevil by se tu také člen c 1 ) Dy 1 ) = 0 ) dosazením do rovnice tedy dostáváme c ) + c 3) 3 = 10) pro každé tak podmínky 8) 10) představují soustavu tří lineárních rovnic s neznámými c 1), c ), c 3) a maticí soustavy y 1 y y 3 0 ) obecně: y 1 y y y 1 y y 3 q tuto soustavu lineárních rovnic vyřešíme například pomocí Cramerova pravidla a dostaneme tedy např. odtud již máme 3. obecné řešení nehomogenní rovnice nyní je c 1) = 1, c ) = 1 3, c 1 ) =, c ) = 1 3, c 3) = 3 c 3) = ) ŷ) = ) 1 = y) = + c 1 + c + c 3 1,, 0) nebo 0, ) c 1, c, c 3 R) 1.. Rovnice s konstantními koeficienty Homogenní rovnice y n) + A n 1 y n 1) A 1 y + A 0 y = 0, A n 1,..., A 0 R 11) charakteristická rovnice rovnice 11): λ n + A n 1 λ n A 1 λ + A 0 }{{} = 0 charakteristický polynom rovnice 11)

4 Věta 1.5 : [MA1-18:P1.10] Jsou-li λ 1,..., λ r všechny) kořeny charakteristického polynomu rovnice 11) a k 1,..., k r jejich násobnosti, pak systém funkcí e λ1, e λ1,..., k1 1 e λ1, tvoří fundamentální systém řešení rovnice 11) na R.. e λr, e λr,..., kr 1 e λr Věta 1.6 : Jsou-li s e λ, s e λ, λ = α + βj, β 0, dvě funkce z FSŘ z Věty 1.5, lze tyto dvě funkce v systému nahradit dvojicí funkcí s e α cos β, s e α sin β. reálný FSŘ: ve FSŘ z Věty 1.5 nahradíme všechny dvojice řešení s e λ, s e λ, kde λ R, podle Věty 1.6 díky vlastnostem kořenů polynomů s reálnými koeficienty nezbude v systému žádná funkce, která není reálná) Nehomogenní rovnice y n) + A n 1 y n 1) A 1 y + A 0 y = q), q spojitá na I 1) partikulární řešení ŷ najdeme: - pro obecné q metodou variace konstant - pro q ve speciálním tvaru metodou odhadu Metoda odhadu Věta 1.7 : Jestliže pravou stranu rovnice 1) lze zapsat ve tvaru kvazipolynomu q) = P ) e α cos β + Q) e α sin β, kde α, β R a P, Q jsou polynomy stupně nejvýše r, pak lze nalézt řešení rovnice 1) ve tvaru ŷ) = k P ) e α cos β + k Q) e α sin β, kde P, Q jsou polynomy stupně nejvýše r a k je násobnost λ = α + βj jako kořene charakteristického polynomu rovnice. Poznámka : Při ověřování, zda je pravá strana rovnice ve tvaru z Věty 1.7, je často potřeba si uvědomit, že 1 = cos 0 = e 0 a že polynomy P, Q mohou být i nulové. Příklad 1.5: Najděte řešení rovnice y 4y = cos + 4 e. vyhovující počátečním podmínkám y0) = 1, y 0) = 1, y 0) = 0. Řešení: Protože je pravá stran spojitá pro každé R, dostaneme řešení na celém R. A) B) Přidružená homogenní rovnice y 4y = 0 má charakteristickou rovnici λ 3 4λ = 0, jejímiž kořeny jsou čísla λ 1 = 0, λ = a λ 3 =. Obecné řešení přidružené homogenní rovnice je tedy tvaru ỹ) = c c e + c 3 e. Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme na základě principu superpozice Věta 1.4) ve tvaru ŷ = ŷ 1 +ŷ +ŷ 3, kde část řešení ŷ 1 odpovídá části pravé strany q 1 ) = 8, část ŷ pravé straně q ) = 10 cos a část ŷ 3 pak funkci q 3 ) = 4 e.

5 [MA1-18:P1.11] 1. Můžeme psát q 1 ) = 8 = 8 e 0 cos0). Odtud při použití značení z Věty 1.7 je P ) = 8, Q) = 0, r = 1, λ = j = 0, k = 1 0 je jednoduchý kořen charakteristické rovnice). Řešení ŷ 1 proto hledáme ve tvaru ŷ 1 ) = A + B) e 0 = A + B. Funkci ŷ 1 třikrát zderivujeme ŷ 1 = A+B, ŷ 1 = A, ŷ 1 = 0) a pak funkci s jejími derivacemi dosadíme do rovnice s pravou stranou q 1. Dostaneme tak rovnost dvou polynomů 0 4A+B) = 8. Tyto polynomy se rovnají, pokud mají u stejných funkcí stejné koeficienty. Potřebujeme tedy porovnat koeficienty u funkcí 1 = a 0 = 1 na obou stranách rovnosti. Rovnosti koeficintů u a 1 nám postupně dávají, že musí platit 8A = 8 a 4B = 0. Dostali jsme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých A a B. Jejím řešením jsou A = 1 a B = 0. Odtud ŷ 1 ) =.. Druhou část pravé strany přepíšeme ve tvaru q ) = 10 cos = 10 e 0 cos1). Protože λ = j není kořenem charakteristické rovnice, máme tentokrát k = 0. Konstantní funkce P ) = 10 je polynom stupně nula, tedy r = 0, polynom Q je opět nulový. Část řešení ŷ proto hledáme ve tvaru ŷ ) = C cos + D sin. Všiměte si, že i když se v pravé straně q vyskytoval jen kosinus, musím v řešení očekávat i sinus. A jak dále uvidíme, může ale nemusí se v řešení objevit jen sinus a ne už kosinus.) Dosazením funkce C cos +D sin do rovnice s pravou stranou q dostaneme rovnost C sin D cos + 4C sin 4D cos = 10 cos. Opět porovnáme koeficienty u stejných funkcí na obou stranách. Pro sin dostáváme 5C = 0 a pro cos pak 5D = 10, což je soustava dvou lineárních rovnic pro neznámé C a D. Jejími řešeními jsou C = 0 a D =. Máme tak ŷ ) = sin. 3. Konečně q 3 ) = 4 e = 4 e cos 0. Tedy tentokrát P ) = 4, Q) = 0, r = 0, λ = + 0 j =, k = 1 je jednoduchý kořen charakteristické rovnice). Funkci ŷ 3 proto hledáme ve tvaru ŷ 3 ) = E e. Po dosazení do rovnice s pravou stranou q 3 dostanem rovnost E e 8+1) 4E e +1) = 4 e a po úpravě 8E e = 4 e. Odtud 8E = 4, tj. E = 1. Tedy ŷ 3 ) = 1 e. Celkem tak dostáváme partikulární řešení nehomogenní rovnice ŷ = sin + 1 e. C) Kombinací výsledků z bodů A) a B) dostáváme, že obecné řešení y = ŷ+ỹ rovnice y 4y je tvaru = +3 cos + e y) = sin + 1 e + c 1 + c e + c 3 e R c 1, c, c 3 R). D) Abychom vybrali řešení vyhovující počátečním podmínkám, spočítáme první dvě derivace obecného řešení y ) = cos + 1 e + 1) + c e c 3 e, y ) = + sin + 1 e 4 4) + 4c e + 4c 3 e a následně hodnoty y0), y 0), y 0). Jejich porovnáním s počátečními podmínkami pak dostaneme pro koeficienty c 1, c, c 3 soustavu lineárních rovnic y0) = 1 : c 1 + c + c 3 = 1 y 0) = 1 : 3 + c c 3 = 1 y 0) = 0 : 4 + 4c + 4c 3 = 0 která má řešení c 1 = 0, c = 1, c 3 = 0. Hledaným řešením Cauchyovy úlohy tak je funkce y) = sin + 1 e + e R.

6 1..3 Homogenní LDR řádu n [MA1-18:P1.1] y n) + p n 1 )y n 1) p 1 )y + p 0 )y = 0 13) Množina řešení : jádro zobrazení D je to tedy lineární prostor tj. součet dvou řešení je řešením, násobek řešení je řešením) Pro f 1, f,..., f n C n 1) I) kde C k I) je prostor všech funkcí s k spojitými derivacemi na I a speciálně pro k = 0 je CI) = C 0 I) prostor všech spojitých funkcí na I ) definujeme Wronského determinant: W f1,...,f n ) = f 1 ) f )... f n ) f 1) f )... f n) f n 1) 1 ) f n 1) )... f n n 1) ) Věta 1.8 : Jsou-li funkce f 1, f,..., f n C n 1) I) lineárně závislé, pak W f1,...,f n ) = 0 I. Poznámka : Obrácené tvrzení neplatí např. funkce f 1 ) = 3, f ) = 3 jsou na R lineárně nezávislé, ale W f1,f ) = 0 pro každé R. Věta 1.9 : Jsou-li funkce y 1, y,..., y n lineárně nezávislá řešení rovnice 13), pak W y1,...,y n ) 0 I. Věta 1.10 : Množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu n je lineární prostor dimenze n.