Isaac Newton a 13 koulí (Problém líbání)

Transkript

1 Isaac Newton a 13 koulí (Problém líbání) Jan Kábrt

2 Koule je nejpravidelnější a v jistém smyslu nejjednodušší tvar v našem trojrozměrném světě. V 17. století byl ohledně koulí řešen tzv. problém líbání. Je snadné jej formulovat a nazřít. A je snadné podlehnout při jeho nazření předsudkům.

3 O čem bude řeč 1. Problém líbání 2. Newton a Gregory 3. Prezentace problému na českém webu 4. Prezentace na webech v angličtině 5. Problém líbání a pravidelná tělesa 6. Kolik je tedy volného místa? 7. Souvislost s hmotným světem 8. Problém líbání v prostorech vyšší dimenze

4 1. Problém líbání Jaký největší počet koulí může obklopit centrální kouli tak, aby se jí dotýkaly? Všechny koule budiž shodné. Tradiční terminologie: Obklopující koule líbají centrální kouli.

5 Snadné úvahy pro začátek Šest obklopujících koulí v jedné vrstvě může být pouze v případě, že se dotýkají centrální koule na její hlavní kružnici.

6 Jde o problém líbání pro dvojrozměrný prostor.

7 Ve 3-d uvažujme čtyři vrstvy koulí, které mají na obrázku vodorovný směr. 1. Kolik koulí se vejde do druhé 2. nebo třetí vrstvy? (Šest by bylo mnoho. Dotyk je na menší než 3. hlavní kružnici.) 4. ((14 líbajících se nevejde.))

8 Do druhé a třetí vrstvy se vejde po pěti koulích. Oranžová kružnice s dotyky má od šedé hlavní kružnice úhlovou vzdálenost (deklinaci) více než 31o 43. My chceme umístit koule s dotyky na deklinaci 30.

9 Líbajících koulí tedy může být nejméně o Úhel 31o 43 3 (přesně potkáme. 31o 43 3 ) ještě

10 Dnes známá skutečnost Obklopujících koulí může být 12, nikoli 13. Mohou být umístěny do středů stěn pravidelného dvanáctistěnu tedy do vrcholů pravidelného dvacetistěnu.

11 2. Newton a Gregory Dne 4. května 1694 diskutovali Isaac Newton a David Gregory o kosmických tělesech a jiných vědeckých problémech. O 16 let mladší Gregory se choval k Newtonovi jako k váženějšímu a erudovanějšímu vědci. O Newtonových úvahách si dělal poznámky.

12 Cambridge diskuse nebo Newtonova přednáška Gregory prý občas nestíhal a Newton mu bral poznámky z ruky a psal a maloval do nich osobně. Při řeči o hvězdných velikostech se dostali k problému líbajících se koulí.

13 Isaac Newton ( ) k líbajícím se koulím prohlásil, že koulí je třináct včetně koule centrální. Obr.:

14 David Gregory ( ) s Newtonem nesouhlasil. Vyslovil domněnku, že koulí může být třináct kolem centrální koule. Obr.:

15 3. Prezentace problému na českém webu Mnohé české texty k problému líbajících se koulí obsahují (často i doslovně shodná) vyjádření určitého typu, která mohou svádět k představám, jež neodpovídají realitě. Týká se to i textů označených jako diplomová či ročníková práce.

16 Předsudky v některých pracích Počet dvanácti obklopujících koulí je podle mnohých českých textů jasný. Obklopující koule jsou ve vrcholech dvacetistěnu, dokonce se tak sami fyzicky řadí a ten dvaceti- či dvanáctistěn vytvoří. (Míčky stažené prožnou fólií.)

17 Volného místa mezi dvanácti koulemi je podle takových autorů velmi málo, nebo se o něm příliš nezmiňují.

18 Přitom je text často doprovázen (většinou stejným) obrázkem bez centrální koule, na němž je volné místo zveličeno:

19 4. Prezentace problému na webech v angličtině Na anglických webech lze najít mnohé texty, které Gregoryho (nesprávnou) domněnku považují za docela logickou. Lze najít i teoretické určení volného místa pro 14,9 obklopující koule.

20 Volné místo mezi dvanácti Odvození místa pro další 2,9 koule ale započítává i prostor, který je mezi dotýkajícími se koulemi nutně prázdný.

21 5. Problém líbání a symetrická tělesa Mezi nejznámější souměrná tělesa patří pravidelné mnohostěny pět platónských těles. ( Pravidelnost je zde pojata nejpřísněji.) Obr.:

22 Dualita platónských těles (stěny vrcholy) Obr.:

23 Dualita spočívá v záměně stěn a vrcholů. Lze ji snadno nahlédnout při umisťování jednoho z duálních těles do druhého. (Vrcholy vnitřního jsou ve středech stěn vnějšího.) Také lze uvažovat otočení hran o pravý úhel kolem spojnice středu hrany se středem tělesa.

24 Dvanáctistěn, dvacetistěn a zlaté obdélníky Obr.:

25 Zlatý obdélník

26 Archimédovská (polopravidelná) tělesa Obr.:

27 Symetrická rozmístění dvanácti obklopujících koulí Rozmístění podle dvanáctistěnu resp. dvacetistěnu není jedinou symetrickou možností. Jde o čtyři vrstvy s počty a s otočením pětičetných o 36 stupňů.

28 Symetrická rozmístění dvanácti obklopujících koulí Druhou možností je resp to je shodné rozmístění. (Dokázal Kepler.) Třetí variantou je bez otočení pětičetných vrstev o desetinu plného úhlu.

29 Obr.:

30 6. Kolik je tedy volného místa? Vyjděme z pravidelného rozmístění koulí, to je ve středech stěn pravidelného dvanáctistěnu. Spojnice středu centrální koule se středy obklopujících koulí spolu svírají úhly, to je přibližně 31o Lze určit mezery mezi obklopujícími koulemi. Je to 2(2 sin 1) násobek poloměru.

31 31o o 43 3

32 Mezera něco přes 5,1 % průměru

33

34 Netřeba větším než proto, že uvažujeme zvětšení pro zjištění volného místa. Nechceme větší koule vzdalovat od středu centrální koule. Dále však využijeme skutečnost, že při průřezu sférou místo roviny se zvětšují plochy vrchlíků výrazněji než přímé vzdálenosti bodů na sféře.

35

36

37 Dnes je známo, že Newtonova domněnka 13 včetně byla správná. Šlo o domněnku, byť sám Newton napsal asi r známý výrok hypotheses not fingo. Volné místo mezi obklopujícími koulemi a nesnadnost důkazu jeho nevyužitelnosti příliš neopravňuje k výrokům o zřejmosti řešení a již vůbec ne o samořazení koulí do dvanáctistěnu resp. dvacetistěnu.

38 Důkaz Newtonovy domněnky provedli až roku 1953 Kurt Schütte a Bartel Leendert van der Waerden. Obr.:

39 Rok 1953 není pro matematiku zrovna prehistorie. Dříve byly vyřešeny například tyto matematické problémy: 1806 základní věta algebry J.-R. Argand ( ) 1873 transcendence e Ch. Hermite ( ) 1882 transcendence p C. L. F. Lindeman ( ) 1938 nalezení dokonalého čtverce skupina v Cambridge Naopak později bylo např. dokázáno: 1963 bezespornost hypotézy kontinua i její negace v ZF teorii množin P. Cohen ( ) 1994 velká Fermatova věta A. J. Wiles (nar. 1953) 2002 Keplerova hypotéza pomocí počítače

40 7. Souvislost s hmotným světem Atomy v krystalové mřížce. Kosmologie. Obr.:

41 8. Problém líbání v prostorech vyšší dimenze Dimenze Dolní mez Horní mez Zdroj:

42 Líbání ve vyšších dimenzích (Závislost se zdá býti exponenciální, základ se těžko odhaduje.) Zdroj: