[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

Transkript

1 Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t. Tečna t protne polopřímky V M, V N v bodech,. Hledáme tedy kružnici vepsanou trojúhelníku V. Opakování užitečných pojmů a vlastností Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou daných různoběžek, jsou osy úhlů, které tyto různoběžky svírají (obr. 2). a 3 o V 2 b o 2 [obr. 2]

2 Konstrukce (obr. 3) M l N V [obr. 3] estrojíme osu o úhlu MV N a určíme průsečík T s kruhovým obloukem l. V bodě T sestrojíme kolmici k ose o a vyznačíme průsečíky, s polopřímkami V M, V N. Vzniklý trojúhelník V je zřejmě rovnoramenný se základnou. estrojíme osu o vnitřního úhlu V trojúhelníka V, průsečík s osou o je střed hledané kružnice k. hceme-li narýsovat kružnici, která se dotýká dané přímky, musíme nejdřív najít bod dotyku na této přímce. Vedeme proto bodem kolmice na přímky V, V, získáme body dotyku P, Q. Narýsujeme kružnici k se středem a poloměrem daným velikostí úsečky např. T. 2

3 Příklad 2 Kružnice k, k 2 se protínají v bodech P, Q, kterými procházejí další sečny, D. Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají přímky, D (obr. ). k P k 2 2 Q D [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Pro vyřešení úlohy je třeba si nejdříve ujasnit některé následující souvislosti: Dvě přímky v rovině mohou být splývající, rovnoběžné nebo různoběžné. Zvolme si dvě rovnoběžky m n, které protíná přímka p v bodech M, N. Na přímce m si libovolně vyznačíme bod R a na přímce n body, T (obr. 2). M α p R m T α N 80 α n [obr. 2] Úhly RM N a M N T se nazývají střídavé a platí pro ně věta: přímky m, n jsou rovnoběžné, právě když jsou střídavé úhly shodné. Úhel MN je doplňkový k úhlu MNT, má tedy velikost 80 α. Úhly RMN, MN se nazývají přilehlé a platí pro ně věta: přímky m, n jsou rovnoběžné, právě když je součet přilehlých úhlů roven 80. Zvolme si kružnici k o středu a její tětivu (obr. 3). Pokud úsečka není průměrem dané kružnice, rozdělí kružnici k na dva oblouky: větší l odpovídající nekonvexnímu středovému úhlu = 360 ϕ a menší l 2 odpovídající konvexnímu středovému úhlu = ϕ. Na oblouku l zvolíme libovolně body X, X 2, X 3, na oblouku l 2 body X 4, X 5. Úhly X, X 2, X 3, X 4, X 5 se nazývají obvodové a platí pro ně věta: všechny obvodové úhly příslušné témuž středovému úhlu jsou shodné a jejich velikost se rovná polovině velikosti tohoto středového úhlu.

4 Úhly X, X 2, X 3 jsou tedy shodné a mají velikost rovnu α = ϕ 2, úhly X 4, X 5 mají velikost doplňkovou do 80, tj. 80 α = 360 ϕ 2. l X 2 α α X 3 X α 360 ϕ ϕ k p 80 α 80 α l 2 X 4 X 5 [obr. 3] Řešení úlohy Vyznačíme v daných kružnicích k, k 2 tětivy Q, Q (obr. 4). Protože body P, leží na různých obloucích kružnice k určených tětivou Q, má obvodový úhel P Q velikost α, obvodový úhel Q má velikost 80 α. Úhel P Q jako doplňkový k úhlu P Q má velikost 80 α. Úhly P Q, DQ jsou obvodové úhly kružnice k 2, body P, D leží na různých obloucích určených tětivou Q. Úhel DQ má tedy velikost α. Přímky, D jsou protnuty přímkou D. Úhly Q, DQ jsou přilehlé, součet jejich velikostí je 80. k P k 2 2 Q D [obr. 4] Závěr: přímky, D jsou rovnoběžné. 2

5 Příklad 3 Na dané přímce p sestrojte bod, který má od dotykového bodu tečny jím vedené k dané kružnici k(, r) danou vzdálenost d (obr. ). T k d p [obr. ] Rozbor Zvolíme libovolnou kružnici k(, r), na ní dva libovolné body Q, R. V bodech Q, R sestrojíme tečny b, a, na těchto přímkách sestrojíme body E, F, G, H tak, aby úsečky EQ, F Q, GR, HR měly stejnou velikost d (obr. 2). E H d d Q d d R F b G a k [obr. 2] Trojúhelníky EQ, F Q, GR, HR jsou shodné, protože jsou pravoúhlé a odpovídající odvěsny mají stejnou velikost. Proto jsou shodné také přepony těchto trojúhelníků a body E, F, G, H mají od bodu stejnou vzdálenost. Množina bodů, ležících na tečnách dané kružnice k(, r), které mají od bodů dotyku danou vzdálenost d, je kružnice l(, r ), kde r = r 2 + d 2.

6 Konstrukce (obr. 3) k p [obr. 3] Na dané kružnici k zvolíme libovolný bod M a v tomto bodě sestrojíme tečnu t dané kružnice. Na přímce t sestrojíme bod N tak, aby úsečka MN měla požadovanou velikost d. Opíšeme kružnici l se středem procházející bodem N. Kružnice l protne danou přímku p v bodech,. Pro ověření můžeme body, vést tečny ke kružnici k spojíme body, se středem, najdeme středy úseček, a opíšeme Thaletovy kružnice nad průměry, a na kružnici k sestrojit body dotyku T, T. 2

7 Příklad 4 estrojte trojúhelník, je-li dáno: a = 9, v b = 5, t a = 3 (obr. ). [obr. ] Rozbor Výška v b je kolmice na stranu, bod P je pata této kolmice, úhel P je pravý. Těžnice t a je spojnice bodu se středem Q protější strany trojúhelníka. Konstrukce (obr. 2) a [obr. 2] estrojíme pravoúhlý trojúhelník P : narýsujeme úsečku, jejíž velikost je a = 9, určíme střed Q této úsečky a narýsujeme Thaletovu kružnici t(q, a 2 = Q = 4,5). Opíšeme kružnici n(, v b = 5). Průsečík kružnic t, n je bod P. estrojíme polopřímku P. estrojíme kružnici k(q, ta = 3). Vyznačíme průsečíky, kružnice k a polopřímky P. Narýsujeme trojúhelníky,. Diskuse Úloha má vzhledem k zadání dvě řešení v jedné polorovině určené přímkou.

8 Příklad 5 estrojte rovnoběžník D, je-li dána výška v a = 4 a úhlopříčky = e, D = f mají délky e = 2, f = 6 (obr. ). D v a f e [obr. ] Rozbor Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné. Dále platí, že protější strany mají stejnou velikost a jeho úhlopříčky se navzájem půlí, což znamená, že jejich průsečík je střed každé úhlopříčky. od P je pata výšky v a vedené bodem D. od R leží na straně tak, že úsečka R je na ni kolmá. třední příčka trojúhelníka je spojnice středů dvou stran a platí, že je rovnoběžná s třetí stranou, jejímž středem neprochází, a její velikost je rovna polovině velikosti této strany. V trojúhelníku DP je bod střed strany D a úsečka R je rovnoběžná se stranou DP, je to tedy střední příčka trojúhelníka DP. Velikost úsečky R má proto velikost rovnu polovině délky v a. Konstrukce (obr. 2) R [obr. 2] estrojíme pravoúhlý trojúhelník R s pravým úhlem při vrcholu P, kde = e 2 = 6, R = va 2 = 2. od má od bodu vzdálenost rovnu polovině délky úhlopříčky f. estrojíme kružnici k(, f 2 = 3). Kružnice k protne přímku R v bodech,. Na polopřímkách,, sestrojíme body, D, D tak, že =, D =, D =. Diskuse Úloha má dvě řešení.

9 Příklad 6 Je dán ostrý úhel V. estrojte kružnici daného poloměru r, která se dotýká polopřímek V, V (obr. ). r r k V [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou daných různoběžek, jsou osy úhlů, které tyto různoběžky svírají (obr. 2). o 2 k 2 p k 3 k 3 o k 4 q 4 [obr. 2] tředy kružnic daného poloměru, které se dotýkají dané přímky, jsou dvě rovnoběžky s touto přímkou (obr. 3). k k 2 k T T 2 T 3 m [obr. 3]

10 Konstrukce (obr. 4) V [obr. 4] estrojíme osu o daného úhlu V. Na polopřímce V zvolíme libovolný bod T, vedeme kolmici k přímce V, určíme bod uvnitř úhlu V a sestrojíme kružnici k (, r). třed hledané kružnice najdeme v posunutí, jehož směr je dán přímkou V tak, aby bod ležel na ose o. estrojíme kružnici k(, r). Diskuse Úloha má jedno řešení. 2

11 Příklad 7 Jsou dány soustředné kružnice k (, r ), k 2 (, r 2 ), r < r 2, a bod R k. estrojte rovnoběžník D o středu R, jehož vrcholy leží na daných kružnicích (obr. ). D R k k 2 [obr. ] Rozbor Úhlopříčky rovnoběžníka se navzájem půlí, to znamená, že ve středové souměrnosti určené středem R je bod obrazem bodu a bod D je obrazem bodu. Protože body, D leží na kružnici k, leží jejich obrazy, na kružnici k, která je obrazem kružnice k ve středové souměrnosti dané bodem R. Konstrukce (obr. 2) R k k 2 [obr. 2] V souměrnosti dané bodem R sestrojíme bod. estrojíme kružnici k (, r ). Vyznačíme průsečíky, kružnic k, k 2, sestrojíme jejich obrazy D, na kružnici k a doplníme na rovnoběžník D.

12 Diskuse Řešení závisí na počtu průsečíků kružnic k, k 2. Je-li r 2 < 3r, protnou se obě kružnice ve dvou bodech a úloha má jedno řešení (obr. 3), je-li r 2 > 3r, úloha nemá řešení (obr. 4). Pro r 2 = 3r mají tyto kružnice vnitřní dotyk, tedy jediný společný bod a čtyřúhelník nelze sestrojit (obr. 5). r 2 r 2 r R r k r R r k k k k2 k 2 [obr. 3] [obr. 4] k 2 T R k k [obr. 5] 2

13 Příklad 8 Jsou dány tři různé přímky o, o 2, o 3 procházející bodem P a na přímce o je dán bod P. estrojte trojúhelník, jehož osy vnitřních úhlů leží na přímkách o, o 2, o 3 (obr. ). o o 2 P o 3 [obr. ] Rozbor Přímka o 3 je osou úhlu, je tedy také osou souměrnosti přímek,. od přímky se v osové souměrnosti dané osou o 3 zobrazí do bodu na přímce. Podobně v osové souměrnosti dané osou o 2 se přímka zobrazí na přímku. od se v této souměrnosti zobrazí do bodu na přímce. Konstrukce (obr. 2) o o 2 P o 3 [obr. 2] V osové souměrnosti dané osou o 3 sestrojíme bod jako obraz bodu. V osové souměrnosti dané osou o 2 sestrojíme bod jako obraz bodu. od je průsečík přímky s osou o 2. od je průsečík přímky s osou o 3. Doplníme na trojúhelník.

14

15 Příklad 9 Je dána kružnice k(, r) a přímka p procházející jejím středem. Na přímce p je dán bod M, který leží vně kružnice k. estrojte kružnici h tak, aby se dotýkala přímky p v bodě M a kružnice k (obr. ). k O h M p [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Množinou středů kružnic, které se dotýkají dané přímky p v jejím daném bodě M, je přímka o p, M o (obr. 2). o M p [obr. 2] Dvě kružnice k, k, které se navzájem dotýkají v bodě T, jsou stejnolehlé, kde bod T je středem stejnolehlosti. Každému bodu na kružnici k je přiřazen bod na kružnici k tak, že spojnice bodů, prochází bodem T (obr. 3 resp. 4 pro vnější resp. vnitřní dotyk kružnic k, k ). Přitom je. k T T k [obr. 3] k k [obr. 4]

16 Konstrukce (obr. 5) M p k [obr. 5] Použijeme stejnolehlost se středem v neznámém bodě T kružnice k, využijeme vlastnosti stejnolehlosti. estrojíme přímku o kolmou k přímce p jdoucí bodem M. Přímce o jdoucí neznámým středem kružnice h odpovídá přímka o jdoucí bodem, přímky o, o jsou rovnoběžné. Vyznačíme průsečíky M, M 2 přímky o s kružnicí k. Jsou to obrazy bodu M ve stejnolehlosti se středem v bodě dotyku T. Určíme průsečíky T, T 2 přímek MM, MM 2 s kružnicí k. tředy O, O 2 hledaných kružnic h, h 2 jsou průsečíky přímek T, T 2 s přímkou o. Narýsujeme kružnice h, h 2 o středech O, O 2, poloměr je určen velikostí úsečky MO. 2

17 Příklad 0 Je dána přímka p, kružnice k(, r) a bod. estrojte trojúhelník s úhlem o velikosti 60 tak, aby jeho vrchol ležel na přímce p, vrchol na kružnici k a aby velikost strany byla dvojnásobkem velikosti strany (obr. ). k p [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Vzdálenost bodu od přímky p určíme jako velikost úsečky P, kde bod P je pata kolmice vedené bodem na přímku p. estrojíme přímku p p, p, tak, aby vzdálenost rovnoběžek byla rovna vzdálenosti bodu od přímky p, tedy P = P P, kde P p. (obr. 2). Zvolíme libovolný bod X na přímce p a sestrojíme bod X jako průsečík přímek p a X. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že úsečka X je dvakrát větší než úsečka X, tj. X = 2 X. X P p X P p [obr. 2] Otočení je shodné zobrazení dané středem a orientovaným úhlem. V otočení se středem v bodě a úhlem 60 se zobrazí bod, kde = 2, do bodu (obr. 3).

18 60 P P [obr. 3] Konstrukce (obr. 4) k p [obr. 4] odem vedeme kolmici na přímku p, určíme patu kolmice P a sestrojíme přímku p p, která protne kolmici v bodě P tak, že P P = P. Zobrazíme přímku p v otočení o středu a úhlu 60. Otočíme bod P do bodu P a otočená přímka p je kolmá na přímku P. Vyznačíme průsečíky, 2 přímky p s kružnicí k. Přímky, 2 otočíme zpět kolem bodu o úhel +60 a na přímce p získáme body, 2. Vyznačíme trojúhelníky, 2 2. Diskuse Pokud přímka p protne kružnici k ve dvou bodech, má úloha dvě řešení, pokud je p tečnou kružnice k, je jedno řešení, a když ji neprotne, nemá úloha řešení. 2

19 tereometrie Příklad Do pravidelného čtyřbokého jehlanu DV vepište krychli M N P QRT U Z tak, aby čtyři vrcholy krychle ležely v rovině podstavy jehlanu a další čtyři na jeho bočních hranách (obr. ). V Z U R T D Q P M N [obr. ] Geometrické útvary v prostoru zobrazujeme ve volném rovnoběžném promítání, které má následující vlastnosti: obrazce ležící v průčelné rovině (rovině rovnoběžné s nákresnou, tedy tabulí nebo sešitem) rýsujeme ve skutečné velikosti, úsečky kolmé k průčelné rovině zobrazujeme v poloviční velikosti tak, že svírají s vodorovnými přímkami úhel 45 Rozbor Úsečka V, kde je střed podstavy jehlanu, leží v průčelné rovině. Hrany, D jehlanu jsou s průčelní rovinou rovnoběžné. Přímka vedená bodem rovnoběžně s protne hrany D, v bodech K, L a hrany MQ, NP v bodech E, F. pojnice KV, LV leží v bočních stěnách jehlanu stejně jako hrany krychle RU, T. Přímky KV, LV protnou tyto hrany krychle v bodech G, H. Rovina trojúhelníka KLV je v průčelné poloze a protne krychli ve čtverci EF GH, který je shodný se stěnou MNT R (obr. 2). Čtverec EF GH je tedy vepsán do rovnoramenného trojúhelníka KLV. V H G K E F L [obr. 2]

20 tereometrie Úloha vepsat čtverec EF GH do trojúhelníka KLV se řeší užitím stejnolehlosti se středem v bodě V : Na straně KV zvolíme libovolný bod H, sestrojíme bod G na hraně LV a doplníme na čtverec E F G H. Přímky E V, F V protnou úsečku KL v bodech E, F. Doplníme na čtverec EF GH. Konstrukce (obr. 3) V D [obr. 3] tředem podstavy jehlanu vedeme rovnoběžku s, na hranách D, určíme body K, L a vyznačíme trojúhelník KLV. Na hraně KL zvolíme libovolně bod H a sestrojíme čtverec E F G H tak, aby úsečka H G byla rovnoběžná s úsečkou a bod G ležel na úsečce LV. Určíme body E, F jako průsečíky úsečky KL se spojnicemi E V, F V. estrojíme rovnoběžky se stranou procházející body E, F a na úhlopříčkách, D podstavy jehlanu dostaneme body M, N, P, Q. ody M, N, P, Q vedeme rovnoběžky s přímkou V a na bočních hranách jehlanu obdržíme body R, T, U, Z. Doplníme na krychli. 2

21 tereometrie Příklad 2 D Q Je dán pravidelný čtyřboký hranol D D a body K na hraně, L na hraně, M na hraně a body P na hraně a Q na hraně D. estrojte průsečík přímky P Q s rovinou určenou body KLM (obr. ). K M D L [obr. ] Rozbor P Průsečík přímky s rovinou určujeme následujícím způsobem: přímkou proložíme libovolnou rovinu, sestrojíme průsečnici zvolené a dané roviny, průsečík průsečnice a dané přímky je hledaný bod. Konstrukce (obr. 2) D Q K D M L P [obr. 2] Nejdříve sestrojíme řez hranolu rovinou KLM. Jsou-li dvě rovnoběžné roviny protnuty třetí rovinou, jsou obě průsečnice s oběma rovinami také rovnoběžné. Řezem hranolu danou rovinou je tedy rovnoběžník KLMN, kde bod N leží na hraně DD a úsečky LM, KN jsou navzájem rovnoběžné. Přímkou P Q můžeme vést nekonečně mnoho rovin, úlohu nejrychleji vyřešíme, zvolíme-li rovinu rovnoběžnou s bočními hranami hranolu. ody P, Q vedeme rovnoběžky s hranou, na hranách D, získáme body R,. Zvolená rovina procházející přímkou P Q protíná hranol v obdélníku P RQ. Přímky KL, P leží v téže rovině přední stěny hranolu, jsou tedy různoběžné a protínají se v bodě E. Podobně přímky MN, QR ležící v rovině zadní stěny hranolu se protínají v bodě F. Přímka EF je průsečnicí rovin KLM, P RQ. Vyznačíme průsečík X přímek P Q a EF.

22

23 tereometrie Příklad 3 V krychli D D jsou dány body L, M, N jako středy hran, D, D a bod K na hraně tak, že K : K = 4 :. estrojte příčku mimoběžek p = KL, q = MN procházející bodem (obr. ). p M D N q K D L [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Přímky v prostoru mohou být splývající, rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné. Na obr. 2 je dána krychle D D a body R, T na hranách,. Přímky, T jsou splývající, přímky, jsou rovnoběžné (nemají společný bod a určují jednu rovinu), přímky RT, jsou různoběžné (mají jediný společný bod P ). Přímky, jsou mimoběžné (nemají společný bod a neleží v jedné rovině). D R D T U [obr. 2] Přímka, která protíná dvě mimoběžky, se nazývá jejich příčka.

24 tereometrie Rozbor Úlohu najít příčku dvou mimoběžek procházející daným bodem řešíme následujícím způsobem: daný bod a jedna mimoběžka určují rovinu; sestrojíme průsečík druhé mimoběžky s touto rovinou a spojnice tohoto průsečíku s daným bodem je hledaná příčka. Konstrukce (obr. 3) p M D N q K D L [obr. 3] od a přímka p = KL leží v rovině přední stěny dané krychle. V této rovině leží také přímka, přímky, p = KL jsou různoběžné a protínají se v bodě P. Hrana náleží také rovině horní stěny D, ve které leží přímka q = MN. Přímky, MN jsou různoběžné a protínají se v bodě Q. Přímka je hledaná příčka, mimoběžky p = KL, q = MN protíná v bodech P, Q. 2

25 tereometrie Příklad 4 Je dán pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany mají stejnou velikost. Určete konstruktivně odchylku úhlopříček bočních stěn, které vycházejí z téhož vrcholu hranolu (obr. ). ϕ [obr. ] Rozbor Odchylku úhlopříček, určíme jako velikost vnitřního úhlu v trojúhelníku. Řešení V pravidelném hranolu jsou boční hrany kolmé na rovinu podstavy. Protože všechny hrany daného hranolu mají stejnou velikost, jsou jeho boční stěny tvořeny čtverci. [obr. 2]

26 tereometrie Pouze stěna se zobrazí ve volném rovnoběžném promítání jako čtverec ve skutečné velikosti, stěny, se zobrazí jako rovnoběžníky. Trojúhelník je rovnoramenný, jeho základna je v hranolu zobrazena ve skutečné velikosti, délku ramen, určíme z pomocného obr. 2, v němž je narýsována skutečná velikost boční stěny. V obr. 3 narýsujeme rovnoramenný trojúhelník, kde strana má velikost rovnu délce hrany trojbokého hranolu a velikost ramen, je rovna délce úhlopříčky z obr. 2. [obr. 3] Velikost úhlu určuje hledanou odchylku ϕ. Ověření výpočtem Trojúhelník je rovnoramenný, základna má velikost a, ramena jsou úhlopříčky čtverců a mají velikost a 2. Pro výpočet užijeme např. kosinovou větu: a 2 = (a 2) 2 + (a 2) 2 2a 2a 2 cos ϕ. Odtud vypočteme cos ϕ = 3 4, a následně ϕ. = 4,4. Nebo můžeme trojúhelník rozdělit výškou na základnu ve dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a z některého z nich vyjádřit: sin ϕ 2 = a 2 a 2 = 2 4. Výpočtem pak získáme: ϕ 2. = 20,705. 2

27 tereometrie Příklad 5 V krychli DEF GH jsou dány body K, L, M jako středy hran DH, G, EF. Určete vzdálenost bodu M od roviny KL (obr. ). H G E M F K L D [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Vzdálenost bodu M od roviny ρ určíme takto: bodem M vedeme k dané rovině ρ kolmici k, sestrojíme průsečík P této kolmice s danou rovinou; vzdálenost bodu M od roviny ρ je dána velikostí úsečky MP (obr. 2). k k M α β P ρ [obr. 2] ρ [obr. 3] Platí věta, že dvě roviny jsou navzájem kolmé, jestliže jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Roviny α i β obsahují kolmici k k rovině ρ, proto jsou obě k rovině ρ kolmé (obr. 3).

28 tereometrie Konstrukce (obr. 4 a 5) H G E M F M Q K L T D [obr. 4] R [obr. 5] Rovina KL protíná krychli v obdélníku LK. K vyřešení úlohy potřebujeme vést bodem M kolmici k rovině obdélníka LK. odem M vedeme rovinu M RQ rovnoběžnou s boční stěnou GF krychle. Roviny určené obdélníky LK, MRQ jsou kolmé, protože přímka roviny L je kolmá k rovině MR. estrojíme průsečnici RT obou rovin. Kolmice vedená bodem M k rovině L je kolmá k přímce RT. Protože v zobrazení krychle se obdélník MRQ zobrazí jako rovnoběžník a pravý úhel mezi přímkami RT a kolmicí vedenou bodem M se nezobrazí jako pravý, narýsujeme čtverec MRQ ve skutečné velikosti mimo krychli a sestrojíme bod P jako patu kolmice z bodu M na úsečku RT. Vzdálenost bodu M od roviny KL je dána velikostí úsečky MP (obr. 5). Řešení výpočtem Ve čtverci MRQ vyznačíme úsečku MT a sestrojíme úsečku T N kolmou na stranu čtverce MR, kde bod N leží na této straně (obr. 5). Označíme-li velikost strany čtverce a, pak úsečka RT má velikost: RT = a 2 + ( ) a 2 2 = a 2 5. Obsah trojúhelníka MRT můžeme určit dvojím způsobem: MRT = 2 RT MP = a 4 5 MP. = 2 MR NT = 2 a a = a2 2, resp. MRT = Porovnáním obou obsahů získáme velikost úsečky M P : MP = 2a 5 = 2 5 a 5. 2