[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]"

Transkript

1 Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t. Tečna t protne polopřímky V M, V N v bodech,. Hledáme tedy kružnici vepsanou trojúhelníku V. Opakování užitečných pojmů a vlastností Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou daných různoběžek, jsou osy úhlů, které tyto různoběžky svírají (obr. 2). a 3 o V 2 b o 2 [obr. 2]

2 Konstrukce (obr. 3) M l N V [obr. 3] estrojíme osu o úhlu MV N a určíme průsečík T s kruhovým obloukem l. V bodě T sestrojíme kolmici k ose o a vyznačíme průsečíky, s polopřímkami V M, V N. Vzniklý trojúhelník V je zřejmě rovnoramenný se základnou. estrojíme osu o vnitřního úhlu V trojúhelníka V, průsečík s osou o je střed hledané kružnice k. hceme-li narýsovat kružnici, která se dotýká dané přímky, musíme nejdřív najít bod dotyku na této přímce. Vedeme proto bodem kolmice na přímky V, V, získáme body dotyku P, Q. Narýsujeme kružnici k se středem a poloměrem daným velikostí úsečky např. T. 2

3 Příklad 2 Kružnice k, k 2 se protínají v bodech P, Q, kterými procházejí další sečny, D. Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají přímky, D (obr. ). k P k 2 2 Q D [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Pro vyřešení úlohy je třeba si nejdříve ujasnit některé následující souvislosti: Dvě přímky v rovině mohou být splývající, rovnoběžné nebo různoběžné. Zvolme si dvě rovnoběžky m n, které protíná přímka p v bodech M, N. Na přímce m si libovolně vyznačíme bod R a na přímce n body, T (obr. 2). M α p R m T α N 80 α n [obr. 2] Úhly RM N a M N T se nazývají střídavé a platí pro ně věta: přímky m, n jsou rovnoběžné, právě když jsou střídavé úhly shodné. Úhel MN je doplňkový k úhlu MNT, má tedy velikost 80 α. Úhly RMN, MN se nazývají přilehlé a platí pro ně věta: přímky m, n jsou rovnoběžné, právě když je součet přilehlých úhlů roven 80. Zvolme si kružnici k o středu a její tětivu (obr. 3). Pokud úsečka není průměrem dané kružnice, rozdělí kružnici k na dva oblouky: větší l odpovídající nekonvexnímu středovému úhlu = 360 ϕ a menší l 2 odpovídající konvexnímu středovému úhlu = ϕ. Na oblouku l zvolíme libovolně body X, X 2, X 3, na oblouku l 2 body X 4, X 5. Úhly X, X 2, X 3, X 4, X 5 se nazývají obvodové a platí pro ně věta: všechny obvodové úhly příslušné témuž středovému úhlu jsou shodné a jejich velikost se rovná polovině velikosti tohoto středového úhlu.

4 Úhly X, X 2, X 3 jsou tedy shodné a mají velikost rovnu α = ϕ 2, úhly X 4, X 5 mají velikost doplňkovou do 80, tj. 80 α = 360 ϕ 2. l X 2 α α X 3 X α 360 ϕ ϕ k p 80 α 80 α l 2 X 4 X 5 [obr. 3] Řešení úlohy Vyznačíme v daných kružnicích k, k 2 tětivy Q, Q (obr. 4). Protože body P, leží na různých obloucích kružnice k určených tětivou Q, má obvodový úhel P Q velikost α, obvodový úhel Q má velikost 80 α. Úhel P Q jako doplňkový k úhlu P Q má velikost 80 α. Úhly P Q, DQ jsou obvodové úhly kružnice k 2, body P, D leží na různých obloucích určených tětivou Q. Úhel DQ má tedy velikost α. Přímky, D jsou protnuty přímkou D. Úhly Q, DQ jsou přilehlé, součet jejich velikostí je 80. k P k 2 2 Q D [obr. 4] Závěr: přímky, D jsou rovnoběžné. 2

5 Příklad 3 Na dané přímce p sestrojte bod, který má od dotykového bodu tečny jím vedené k dané kružnici k(, r) danou vzdálenost d (obr. ). T k d p [obr. ] Rozbor Zvolíme libovolnou kružnici k(, r), na ní dva libovolné body Q, R. V bodech Q, R sestrojíme tečny b, a, na těchto přímkách sestrojíme body E, F, G, H tak, aby úsečky EQ, F Q, GR, HR měly stejnou velikost d (obr. 2). E H d d Q d d R F b G a k [obr. 2] Trojúhelníky EQ, F Q, GR, HR jsou shodné, protože jsou pravoúhlé a odpovídající odvěsny mají stejnou velikost. Proto jsou shodné také přepony těchto trojúhelníků a body E, F, G, H mají od bodu stejnou vzdálenost. Množina bodů, ležících na tečnách dané kružnice k(, r), které mají od bodů dotyku danou vzdálenost d, je kružnice l(, r ), kde r = r 2 + d 2.

6 Konstrukce (obr. 3) k p [obr. 3] Na dané kružnici k zvolíme libovolný bod M a v tomto bodě sestrojíme tečnu t dané kružnice. Na přímce t sestrojíme bod N tak, aby úsečka MN měla požadovanou velikost d. Opíšeme kružnici l se středem procházející bodem N. Kružnice l protne danou přímku p v bodech,. Pro ověření můžeme body, vést tečny ke kružnici k spojíme body, se středem, najdeme středy úseček, a opíšeme Thaletovy kružnice nad průměry, a na kružnici k sestrojit body dotyku T, T. 2

7 Příklad 4 estrojte trojúhelník, je-li dáno: a = 9, v b = 5, t a = 3 (obr. ). [obr. ] Rozbor Výška v b je kolmice na stranu, bod P je pata této kolmice, úhel P je pravý. Těžnice t a je spojnice bodu se středem Q protější strany trojúhelníka. Konstrukce (obr. 2) a [obr. 2] estrojíme pravoúhlý trojúhelník P : narýsujeme úsečku, jejíž velikost je a = 9, určíme střed Q této úsečky a narýsujeme Thaletovu kružnici t(q, a 2 = Q = 4,5). Opíšeme kružnici n(, v b = 5). Průsečík kružnic t, n je bod P. estrojíme polopřímku P. estrojíme kružnici k(q, ta = 3). Vyznačíme průsečíky, kružnice k a polopřímky P. Narýsujeme trojúhelníky,. Diskuse Úloha má vzhledem k zadání dvě řešení v jedné polorovině určené přímkou.

8 Příklad 5 estrojte rovnoběžník D, je-li dána výška v a = 4 a úhlopříčky = e, D = f mají délky e = 2, f = 6 (obr. ). D v a f e [obr. ] Rozbor Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné. Dále platí, že protější strany mají stejnou velikost a jeho úhlopříčky se navzájem půlí, což znamená, že jejich průsečík je střed každé úhlopříčky. od P je pata výšky v a vedené bodem D. od R leží na straně tak, že úsečka R je na ni kolmá. třední příčka trojúhelníka je spojnice středů dvou stran a platí, že je rovnoběžná s třetí stranou, jejímž středem neprochází, a její velikost je rovna polovině velikosti této strany. V trojúhelníku DP je bod střed strany D a úsečka R je rovnoběžná se stranou DP, je to tedy střední příčka trojúhelníka DP. Velikost úsečky R má proto velikost rovnu polovině délky v a. Konstrukce (obr. 2) R [obr. 2] estrojíme pravoúhlý trojúhelník R s pravým úhlem při vrcholu P, kde = e 2 = 6, R = va 2 = 2. od má od bodu vzdálenost rovnu polovině délky úhlopříčky f. estrojíme kružnici k(, f 2 = 3). Kružnice k protne přímku R v bodech,. Na polopřímkách,, sestrojíme body, D, D tak, že =, D =, D =. Diskuse Úloha má dvě řešení.

9 Příklad 6 Je dán ostrý úhel V. estrojte kružnici daného poloměru r, která se dotýká polopřímek V, V (obr. ). r r k V [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou daných různoběžek, jsou osy úhlů, které tyto různoběžky svírají (obr. 2). o 2 k 2 p k 3 k 3 o k 4 q 4 [obr. 2] tředy kružnic daného poloměru, které se dotýkají dané přímky, jsou dvě rovnoběžky s touto přímkou (obr. 3). k k 2 k T T 2 T 3 m [obr. 3]

10 Konstrukce (obr. 4) V [obr. 4] estrojíme osu o daného úhlu V. Na polopřímce V zvolíme libovolný bod T, vedeme kolmici k přímce V, určíme bod uvnitř úhlu V a sestrojíme kružnici k (, r). třed hledané kružnice najdeme v posunutí, jehož směr je dán přímkou V tak, aby bod ležel na ose o. estrojíme kružnici k(, r). Diskuse Úloha má jedno řešení. 2

11 Příklad 7 Jsou dány soustředné kružnice k (, r ), k 2 (, r 2 ), r < r 2, a bod R k. estrojte rovnoběžník D o středu R, jehož vrcholy leží na daných kružnicích (obr. ). D R k k 2 [obr. ] Rozbor Úhlopříčky rovnoběžníka se navzájem půlí, to znamená, že ve středové souměrnosti určené středem R je bod obrazem bodu a bod D je obrazem bodu. Protože body, D leží na kružnici k, leží jejich obrazy, na kružnici k, která je obrazem kružnice k ve středové souměrnosti dané bodem R. Konstrukce (obr. 2) R k k 2 [obr. 2] V souměrnosti dané bodem R sestrojíme bod. estrojíme kružnici k (, r ). Vyznačíme průsečíky, kružnic k, k 2, sestrojíme jejich obrazy D, na kružnici k a doplníme na rovnoběžník D.

12 Diskuse Řešení závisí na počtu průsečíků kružnic k, k 2. Je-li r 2 < 3r, protnou se obě kružnice ve dvou bodech a úloha má jedno řešení (obr. 3), je-li r 2 > 3r, úloha nemá řešení (obr. 4). Pro r 2 = 3r mají tyto kružnice vnitřní dotyk, tedy jediný společný bod a čtyřúhelník nelze sestrojit (obr. 5). r 2 r 2 r R r k r R r k k k k2 k 2 [obr. 3] [obr. 4] k 2 T R k k [obr. 5] 2

13 Příklad 8 Jsou dány tři různé přímky o, o 2, o 3 procházející bodem P a na přímce o je dán bod P. estrojte trojúhelník, jehož osy vnitřních úhlů leží na přímkách o, o 2, o 3 (obr. ). o o 2 P o 3 [obr. ] Rozbor Přímka o 3 je osou úhlu, je tedy také osou souměrnosti přímek,. od přímky se v osové souměrnosti dané osou o 3 zobrazí do bodu na přímce. Podobně v osové souměrnosti dané osou o 2 se přímka zobrazí na přímku. od se v této souměrnosti zobrazí do bodu na přímce. Konstrukce (obr. 2) o o 2 P o 3 [obr. 2] V osové souměrnosti dané osou o 3 sestrojíme bod jako obraz bodu. V osové souměrnosti dané osou o 2 sestrojíme bod jako obraz bodu. od je průsečík přímky s osou o 2. od je průsečík přímky s osou o 3. Doplníme na trojúhelník.

14

15 Příklad 9 Je dána kružnice k(, r) a přímka p procházející jejím středem. Na přímce p je dán bod M, který leží vně kružnice k. estrojte kružnici h tak, aby se dotýkala přímky p v bodě M a kružnice k (obr. ). k O h M p [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Množinou středů kružnic, které se dotýkají dané přímky p v jejím daném bodě M, je přímka o p, M o (obr. 2). o M p [obr. 2] Dvě kružnice k, k, které se navzájem dotýkají v bodě T, jsou stejnolehlé, kde bod T je středem stejnolehlosti. Každému bodu na kružnici k je přiřazen bod na kružnici k tak, že spojnice bodů, prochází bodem T (obr. 3 resp. 4 pro vnější resp. vnitřní dotyk kružnic k, k ). Přitom je. k T T k [obr. 3] k k [obr. 4]

16 Konstrukce (obr. 5) M p k [obr. 5] Použijeme stejnolehlost se středem v neznámém bodě T kružnice k, využijeme vlastnosti stejnolehlosti. estrojíme přímku o kolmou k přímce p jdoucí bodem M. Přímce o jdoucí neznámým středem kružnice h odpovídá přímka o jdoucí bodem, přímky o, o jsou rovnoběžné. Vyznačíme průsečíky M, M 2 přímky o s kružnicí k. Jsou to obrazy bodu M ve stejnolehlosti se středem v bodě dotyku T. Určíme průsečíky T, T 2 přímek MM, MM 2 s kružnicí k. tředy O, O 2 hledaných kružnic h, h 2 jsou průsečíky přímek T, T 2 s přímkou o. Narýsujeme kružnice h, h 2 o středech O, O 2, poloměr je určen velikostí úsečky MO. 2

17 Příklad 0 Je dána přímka p, kružnice k(, r) a bod. estrojte trojúhelník s úhlem o velikosti 60 tak, aby jeho vrchol ležel na přímce p, vrchol na kružnici k a aby velikost strany byla dvojnásobkem velikosti strany (obr. ). k p [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Vzdálenost bodu od přímky p určíme jako velikost úsečky P, kde bod P je pata kolmice vedené bodem na přímku p. estrojíme přímku p p, p, tak, aby vzdálenost rovnoběžek byla rovna vzdálenosti bodu od přímky p, tedy P = P P, kde P p. (obr. 2). Zvolíme libovolný bod X na přímce p a sestrojíme bod X jako průsečík přímek p a X. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že úsečka X je dvakrát větší než úsečka X, tj. X = 2 X. X P p X P p [obr. 2] Otočení je shodné zobrazení dané středem a orientovaným úhlem. V otočení se středem v bodě a úhlem 60 se zobrazí bod, kde = 2, do bodu (obr. 3).

18 60 P P [obr. 3] Konstrukce (obr. 4) k p [obr. 4] odem vedeme kolmici na přímku p, určíme patu kolmice P a sestrojíme přímku p p, která protne kolmici v bodě P tak, že P P = P. Zobrazíme přímku p v otočení o středu a úhlu 60. Otočíme bod P do bodu P a otočená přímka p je kolmá na přímku P. Vyznačíme průsečíky, 2 přímky p s kružnicí k. Přímky, 2 otočíme zpět kolem bodu o úhel +60 a na přímce p získáme body, 2. Vyznačíme trojúhelníky, 2 2. Diskuse Pokud přímka p protne kružnici k ve dvou bodech, má úloha dvě řešení, pokud je p tečnou kružnice k, je jedno řešení, a když ji neprotne, nemá úloha řešení. 2

19 tereometrie Příklad Do pravidelného čtyřbokého jehlanu DV vepište krychli M N P QRT U Z tak, aby čtyři vrcholy krychle ležely v rovině podstavy jehlanu a další čtyři na jeho bočních hranách (obr. ). V Z U R T D Q P M N [obr. ] Geometrické útvary v prostoru zobrazujeme ve volném rovnoběžném promítání, které má následující vlastnosti: obrazce ležící v průčelné rovině (rovině rovnoběžné s nákresnou, tedy tabulí nebo sešitem) rýsujeme ve skutečné velikosti, úsečky kolmé k průčelné rovině zobrazujeme v poloviční velikosti tak, že svírají s vodorovnými přímkami úhel 45 Rozbor Úsečka V, kde je střed podstavy jehlanu, leží v průčelné rovině. Hrany, D jehlanu jsou s průčelní rovinou rovnoběžné. Přímka vedená bodem rovnoběžně s protne hrany D, v bodech K, L a hrany MQ, NP v bodech E, F. pojnice KV, LV leží v bočních stěnách jehlanu stejně jako hrany krychle RU, T. Přímky KV, LV protnou tyto hrany krychle v bodech G, H. Rovina trojúhelníka KLV je v průčelné poloze a protne krychli ve čtverci EF GH, který je shodný se stěnou MNT R (obr. 2). Čtverec EF GH je tedy vepsán do rovnoramenného trojúhelníka KLV. V H G K E F L [obr. 2]

20 tereometrie Úloha vepsat čtverec EF GH do trojúhelníka KLV se řeší užitím stejnolehlosti se středem v bodě V : Na straně KV zvolíme libovolný bod H, sestrojíme bod G na hraně LV a doplníme na čtverec E F G H. Přímky E V, F V protnou úsečku KL v bodech E, F. Doplníme na čtverec EF GH. Konstrukce (obr. 3) V D [obr. 3] tředem podstavy jehlanu vedeme rovnoběžku s, na hranách D, určíme body K, L a vyznačíme trojúhelník KLV. Na hraně KL zvolíme libovolně bod H a sestrojíme čtverec E F G H tak, aby úsečka H G byla rovnoběžná s úsečkou a bod G ležel na úsečce LV. Určíme body E, F jako průsečíky úsečky KL se spojnicemi E V, F V. estrojíme rovnoběžky se stranou procházející body E, F a na úhlopříčkách, D podstavy jehlanu dostaneme body M, N, P, Q. ody M, N, P, Q vedeme rovnoběžky s přímkou V a na bočních hranách jehlanu obdržíme body R, T, U, Z. Doplníme na krychli. 2

21 tereometrie Příklad 2 D Q Je dán pravidelný čtyřboký hranol D D a body K na hraně, L na hraně, M na hraně a body P na hraně a Q na hraně D. estrojte průsečík přímky P Q s rovinou určenou body KLM (obr. ). K M D L [obr. ] Rozbor P Průsečík přímky s rovinou určujeme následujícím způsobem: přímkou proložíme libovolnou rovinu, sestrojíme průsečnici zvolené a dané roviny, průsečík průsečnice a dané přímky je hledaný bod. Konstrukce (obr. 2) D Q K D M L P [obr. 2] Nejdříve sestrojíme řez hranolu rovinou KLM. Jsou-li dvě rovnoběžné roviny protnuty třetí rovinou, jsou obě průsečnice s oběma rovinami také rovnoběžné. Řezem hranolu danou rovinou je tedy rovnoběžník KLMN, kde bod N leží na hraně DD a úsečky LM, KN jsou navzájem rovnoběžné. Přímkou P Q můžeme vést nekonečně mnoho rovin, úlohu nejrychleji vyřešíme, zvolíme-li rovinu rovnoběžnou s bočními hranami hranolu. ody P, Q vedeme rovnoběžky s hranou, na hranách D, získáme body R,. Zvolená rovina procházející přímkou P Q protíná hranol v obdélníku P RQ. Přímky KL, P leží v téže rovině přední stěny hranolu, jsou tedy různoběžné a protínají se v bodě E. Podobně přímky MN, QR ležící v rovině zadní stěny hranolu se protínají v bodě F. Přímka EF je průsečnicí rovin KLM, P RQ. Vyznačíme průsečík X přímek P Q a EF.

22

23 tereometrie Příklad 3 V krychli D D jsou dány body L, M, N jako středy hran, D, D a bod K na hraně tak, že K : K = 4 :. estrojte příčku mimoběžek p = KL, q = MN procházející bodem (obr. ). p M D N q K D L [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Přímky v prostoru mohou být splývající, rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné. Na obr. 2 je dána krychle D D a body R, T na hranách,. Přímky, T jsou splývající, přímky, jsou rovnoběžné (nemají společný bod a určují jednu rovinu), přímky RT, jsou různoběžné (mají jediný společný bod P ). Přímky, jsou mimoběžné (nemají společný bod a neleží v jedné rovině). D R D T U [obr. 2] Přímka, která protíná dvě mimoběžky, se nazývá jejich příčka.

24 tereometrie Rozbor Úlohu najít příčku dvou mimoběžek procházející daným bodem řešíme následujícím způsobem: daný bod a jedna mimoběžka určují rovinu; sestrojíme průsečík druhé mimoběžky s touto rovinou a spojnice tohoto průsečíku s daným bodem je hledaná příčka. Konstrukce (obr. 3) p M D N q K D L [obr. 3] od a přímka p = KL leží v rovině přední stěny dané krychle. V této rovině leží také přímka, přímky, p = KL jsou různoběžné a protínají se v bodě P. Hrana náleží také rovině horní stěny D, ve které leží přímka q = MN. Přímky, MN jsou různoběžné a protínají se v bodě Q. Přímka je hledaná příčka, mimoběžky p = KL, q = MN protíná v bodech P, Q. 2

25 tereometrie Příklad 4 Je dán pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany mají stejnou velikost. Určete konstruktivně odchylku úhlopříček bočních stěn, které vycházejí z téhož vrcholu hranolu (obr. ). ϕ [obr. ] Rozbor Odchylku úhlopříček, určíme jako velikost vnitřního úhlu v trojúhelníku. Řešení V pravidelném hranolu jsou boční hrany kolmé na rovinu podstavy. Protože všechny hrany daného hranolu mají stejnou velikost, jsou jeho boční stěny tvořeny čtverci. [obr. 2]

26 tereometrie Pouze stěna se zobrazí ve volném rovnoběžném promítání jako čtverec ve skutečné velikosti, stěny, se zobrazí jako rovnoběžníky. Trojúhelník je rovnoramenný, jeho základna je v hranolu zobrazena ve skutečné velikosti, délku ramen, určíme z pomocného obr. 2, v němž je narýsována skutečná velikost boční stěny. V obr. 3 narýsujeme rovnoramenný trojúhelník, kde strana má velikost rovnu délce hrany trojbokého hranolu a velikost ramen, je rovna délce úhlopříčky z obr. 2. [obr. 3] Velikost úhlu určuje hledanou odchylku ϕ. Ověření výpočtem Trojúhelník je rovnoramenný, základna má velikost a, ramena jsou úhlopříčky čtverců a mají velikost a 2. Pro výpočet užijeme např. kosinovou větu: a 2 = (a 2) 2 + (a 2) 2 2a 2a 2 cos ϕ. Odtud vypočteme cos ϕ = 3 4, a následně ϕ. = 4,4. Nebo můžeme trojúhelník rozdělit výškou na základnu ve dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a z některého z nich vyjádřit: sin ϕ 2 = a 2 a 2 = 2 4. Výpočtem pak získáme: ϕ 2. = 20,705. 2

27 tereometrie Příklad 5 V krychli DEF GH jsou dány body K, L, M jako středy hran DH, G, EF. Určete vzdálenost bodu M od roviny KL (obr. ). H G E M F K L D [obr. ] Opakování užitečných pojmů a vlastností Vzdálenost bodu M od roviny ρ určíme takto: bodem M vedeme k dané rovině ρ kolmici k, sestrojíme průsečík P této kolmice s danou rovinou; vzdálenost bodu M od roviny ρ je dána velikostí úsečky MP (obr. 2). k k M α β P ρ [obr. 2] ρ [obr. 3] Platí věta, že dvě roviny jsou navzájem kolmé, jestliže jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Roviny α i β obsahují kolmici k k rovině ρ, proto jsou obě k rovině ρ kolmé (obr. 3).

28 tereometrie Konstrukce (obr. 4 a 5) H G E M F M Q K L T D [obr. 4] R [obr. 5] Rovina KL protíná krychli v obdélníku LK. K vyřešení úlohy potřebujeme vést bodem M kolmici k rovině obdélníka LK. odem M vedeme rovinu M RQ rovnoběžnou s boční stěnou GF krychle. Roviny určené obdélníky LK, MRQ jsou kolmé, protože přímka roviny L je kolmá k rovině MR. estrojíme průsečnici RT obou rovin. Kolmice vedená bodem M k rovině L je kolmá k přímce RT. Protože v zobrazení krychle se obdélník MRQ zobrazí jako rovnoběžník a pravý úhel mezi přímkami RT a kolmicí vedenou bodem M se nezobrazí jako pravý, narýsujeme čtverec MRQ ve skutečné velikosti mimo krychli a sestrojíme bod P jako patu kolmice z bodu M na úsečku RT. Vzdálenost bodu M od roviny KL je dána velikostí úsečky MP (obr. 5). Řešení výpočtem Ve čtverci MRQ vyznačíme úsečku MT a sestrojíme úsečku T N kolmou na stranu čtverce MR, kde bod N leží na této straně (obr. 5). Označíme-li velikost strany čtverce a, pak úsečka RT má velikost: RT = a 2 + ( ) a 2 2 = a 2 5. Obsah trojúhelníka MRT můžeme určit dvojím způsobem: MRT = 2 RT MP = a 4 5 MP. = 2 MR NT = 2 a a = a2 2, resp. MRT = Porovnáním obou obsahů získáme velikost úsečky M P : MP = 2a 5 = 2 5 a 5. 2

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

5.2.1 Odchylka přímek I

5.2.1 Odchylka přímek I 5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114 STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků. FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta KLÁŘKÁ PRÁ neta Zgodová olné rovnoběžné promítání edoucí práce: RNr. Jan ondra, Ph.. tudijní program: Matematika tudijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání,

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice

Více

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili Dělení úsečky ŠÁRKA GRGLITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha V tomto článku se budeme zabývat sadou geometrických úloh, které jsou tematicky podobné. Liší se jen hodnotou jednoho

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více