Didaktická príru ka z matematiky pre 1. stupe základných škôl ŠÁRKA FEHÉROVÁ, KAMILA GOLÚCHOVÁ, JANA SABOLOVÁ, EVA K INOVÁ

Transkript

1 Didaktická príru ka z matematiky pre 1. stupe základných škôl ŠÁRKA FEHÉROVÁ, KAMILA GOLÚCHOVÁ, JANA SABOLOVÁ, EVA K INOVÁ TRNAVA 2010

2 Tento projekt je spolufinancovaný Európskym sociálnym fondom a štátnym rozpo tom eskej republiky a Slovenskej republiky. Príru ka vznikla v rámci projektu cezhrani nej spolupráce R SR Diagnostika stavu znalostí a dovedností žák v esko-slovenské p íhrani ní oblasti se zam ením na jejich rozvoj. Recenzenti: PaedDr. Kristína Sotáková, PhD., Mgr.Mária adecká Názov: Didaktická príru ka z Matematiky pre 1. stupe základných škôl Autor: Mgr. Eva Ku inová, Mgr. Šárka Fehérová, Mgr. Kamila Golúchová, PaedDr. Jana Sabolová Preklad: PaedDr. Kristína Sotáková, PhD. Redak né práce: Ing. Viera Peterková, PhD. Vydanie: 1. vydanie, 2010 Text neprešiel jazykovou korektúrou, za jazykovú stránku zodpovedajú autori. Šárka Fehérová, Kamila Golúchová, Jana Sabolová, Eva Ku inová Trnavská univerzita v Trnave ISBN

3 OBSAH Úvod... 4 I. Chápanie ísla ako pojmu vyjadrujúceho kvantitu II. Numerické zru nosti III. Práca so znakmi (symbolmi) IV. Orientácia v tabu ke a práca s tabu kou V. Grafické vnímanie VI. Práca s diagramom a grafom VII. Poznanie rovinných útvarov a práca s nimi VIII. Priestorová predstavivos IX. Funkcia ako vz ah medzi veli inami...71 X. Správnos logickej úvahy Literatúra

4 Úvod Vážené kolegyne a kolegovia, u itelia matematiky, cie om našej práce bolo vytvori didaktický materiál, ktorý obsahuje úlohy so zameraním na rozvoj matematických zru ností. Ponúkame vám niektoré námety, návrhy a odporú ania, ktoré vám majú pomôc pri zlepšovaní matematických zru ností vašich žiakov. Matematika ako všeobecnovzdelávací predmet poskytuje žiakom systém matematických vedomostí, zru ností a návykov, ktoré im umožnia opísa matematickým aparátom prírodné, technické a ekonomické javy, vníma ich súvislosti a racionálne rieši úlohy. Preto by sme vo výu be matematiky mali klás dôraz predovšetkým na tie aspekty školského u iva, ktoré budú dnešní žiaci potrebova vo svojom živote. Záleží od ite a, i bude matematika ob úbeným predmetom. Zadávanými úlohami by sme mali prispie k rozvoju tvorivosti žiaka, k rozmýš aniu, k odvahe uchopi problém a samostatne nájs východisko, k zážitkom pri zaujímavej innosti a k radosti z nájdenia vlastného riešenia. Mali by sme vo výu be o najviac využíva motiva nú metódu, ktorá vzbudzuje záujem žiakov (najmä pri matematizácii reálnych situácií). Motiva ná metóda vedie žiakov k aktívnej a samostatnej práci. Aktivizáciou u žiakov rozvíjame: - pestovanie dôvery vo vlastné schopnosti (každý, ke sa u í, robí chyby a práve na chybách sa u í. Každému je možné da rieši také matematické úlohy, ktoré úspešne vyrieši.), - rozvíjanie kritického myslenia a sústavnej sebakontroly (nau žiakov neprijíma predkladané poznatky pasívne), - schopnos samostatného štúdia (zadávanie individuálnych úloh, vyh adávanie potrebných informácií), - komunikáciu v žiackom kolektíve (nau sa vyslovi vlastný názor a vedie vypo názor spolužiaka, vies dialóg a obháji svoj názor), - vyh adávanie informácií k tvorbe úloh a vytváranie úloh (oživí sa tým výu ba a zvýši sa záujem žiakov o danú problematiku, ke sami zis ujú potrebné údaje vo svojom okolí), - estetické cítenie (vníma krásu ísel, v geometrii pozorovanie predmetov z okolia, dba na grafický prejav). V matematike, tak ako v iných odboroch udskej innosti, sa nedá uspie bez usilovnej práce. Preto je dôležité sústavné a dôsledné precvi ovanie matematických zru ností. Pri precvi ovaní volíme spravidla medzi dvoma základnými typmi úloh: tzv. uzavreté úlohy (spolu so zadaním je uvedená aj ponuka možných riešení, z ktorých žiak vyberá správnu odpove ) a otvorené úlohy (žiak rieši úlohu celkom samostatne bez akejko vek pomoci). Otvorené úlohy majú výrazne vyššiu výpovednú hodnotu. Precvi ovanie uzavretých úloh je zase dôležité preto, že sa objavuje v rôznych testoch (napr. na prijímacích skúškach). Pri ich riešení je nutné ukáza žiakom, že nie je vhodná taká stratégia, pri ktorej používajú bezduchú kalkuláciu s ponukou odpovedí (stru ne povedané: tipujú výsledok). V našich súboroch úloh, ktoré sú sú as ou predkladaného didaktického materiálu, sú použité obidva typy úloh. 4

5 Vytváranie základov pre úspešné riešenie úloh nie je cie om, ale prostriedkom výu by matematiky. Ak má žiak vedie využi matematiku na riešenie praktických problémov, musí najskôr pochopi jej štruktúru a vz ahy medzi matematickými objektmi. A aké kompetencie by mal žiak konkrétne v tejto oblasti získa? Mal by sa nau : - po íta spamäti (úspešné riešenie jednoduchých úloh spamäti zvyšuje matematické sebavedomie a pomáha pri pochopení štruktúry íselných oborov), - robi odhady (odhadovanie je kontrolou správnosti presného riešenia a pomáha pri h adaní najlepšieho postupu), - používa základné písomné algoritmy (ich používanie má vplyv na utváranie predstáv o štruktúre ísel a vlastnostiach po tových operácií), - pracova so vzorcami (predovšetkým ich vedie správne používa a dosadzova do nich), - rozvíja predstavivos (napomáha tomu robenie si ná rtov, meranie, modelovanie, rysovanie), - pracova s diagramami a grafmi (porozumie takýmto obrázkom a vytvára podobné preh adné obrázky), - používa termíny a symboly (kvôli presnému matematickému vyjadrovaniu, aby sme sa ahšie dohovorili), - pracova s kalkula kou (jej použitie musí by vhodné a zmysluplné, jej pred asné používanie vedie k likvidácii matematických zru ností, predovšetkým k strate praxe v po ítaní a neschopnosti odhadu výsledku). V každej matematickej úlohe je daná problémová situácia, ktorú musí žiak vyrieši. Pokia ide o slovnú úlohu, musí sa najskôr nau matematizova reálne situácie a prepoji matematický jazyk s realitou, t.j. najskôr preloži text z bežnej re i do matematického jazyka. Táto as riešenia úlohy je naj ažšia z celého postupu, bez oh adu na to, na akú tému je úloha zadaná. Taktiež je dôležité strieda text s grafickým znázornením situácií a leni informácie do tabuliek. Symboly (znaky), schémy, grafy, diagramy, obrázky, tabu ky a pod. patria do matematického jazyka. V modernej matematike majú tieto grafické vyjadrovacie prostriedky stále vä šie uplatnenie. Ak majú žiaci problémy s riešením úloh, môže to súvisie aj s itate skou gramotnos ou. Prvotné neúspechy na ZŠ i SŠ závisia od porozumenia textu zadania. Preto musíme žiakov nau pracova s textom a túto schopnos precvi ova najmä: - reprodukciou informácií z textu (vyh ada jednu alebo viac informácií v zadaní), - interpretáciou textu (pochopi význam a vyvodi dôsledky), - premýš aním o texte a jeho posudzovaním (priradi informácie v texte k doterajším vedomostiam, predstavám a skúsenostiam). alšou slabinou v matematických zru nostiach žiakov sú grafické vyjadrovacie schopnosti. Grafy a diagramy predstavujú geometrické zobrazenia algebrických vz ahov. Názorný graf alebo diagram povie vä šinou viac než množstvo slov. Zachytené údaje ale povedia nie o len tomu, kto ich dokáže pre íta. Médiá denne prinášajú celý rad grafov a diagramov a medzi nimi sa dajú bez problémov objavi aj také, ktoré žiakov zaujmú. Na hodinách by sme mali využíva grafy a diagramy z tla e, internetu aj z vlastnej tvorby na po íta i. 5

6 Grafické vnímanie a práca s diagramom a grafom úzko súvisí s rozvíjaním predstavivosti. Grafické znázornenie funkcií napomáha pochopeniu matematických vz ahov a rozvoju matematickej intuície. Preto je nutné najmä na za iatku každé riešenie úloh dopl ova názornými obrázkami a grafmi, pretože to, o žiak vidí, pomáha pochopi viac než ke to len po uje. Geometrická predstavivos je závislá od schopnosti žiaka vedie v predstave manipulova s rôznymi objektmi (v rovine aj v priestore). Toho je žiak schopný ale iba vtedy, ak si všetko najskôr ohmatá na geometrických modeloch reálnych objektov. Je potrebné venova zvýšenú pozornos vz ahom objekt model obrázok predstava. Každý z týchto postupných krokov znamená novú kvalitu v myslení žiakov a preto je nutné tieto vz ahy zámerne budova. Pre samotnú výu bu to znamená využíva o najviac názorné pomôcky, s ktorými necháme pracova predovšetkým žiakov. Je vhodné necha žiakov modelova reálne situácie a sta í na to využíva jednoduché pomôcky: špajdle, ceruzky, kružidlo, biele aj farebné papiere, papierové modely rovinných obrazcov, papierové modely telies, vrátane ich sietí. Každý trochu skúsený u ite si je vedomý, že bez dôkladného precvi ovania žiaci nemôžu pochopi a trvale si osvoji preberanú tematiku. Pri tejto innosti u itelia vyh adávajú rôzne zbierky úloh. Náš súbor úloh ponúka iný poh ad na matematické úlohy. Nejde o výkladový materiál ani o klasickú zbierku úloh. Ale súvisí s tým, aby žiaci dokázali vyrieši rôzne matematické úlohy. Pri tomto procese musia vedie použi nielen vedomosti, ale predovšetkým svoje zru nosti. Úloh, na ktorých úspešné vyriešenie posta í jediná zru nos, je ove a menej než úloh, pri ktorých musíme použi viac zru ností. V bežných u ebniciach používané zru nosti nie sú zdôraz ované. Naše súbory úloh sa pokúšajú pomôc u ite om rozvíja zru nosti typické pre matematiku tak, aby sa žiaci nau ili efektívnejšie využíva získané vedomosti. Poslúži k tomu vhodné precvi ovanie alej uvedených úloh so zameraním na zru nosti. Vedomostný rozsah nášho súboru úloh zodpovedá RVP 1 ro níkov, ktoré už žiaci absolvovali. Úlohy sú rozdelené do desiatich kapitol odpovedajúcich desiatim základným matematickým zru nostiam: I. Chápanie ísla ako pojmu vyjadrujúceho kvantitu II. Numerické zru nosti III. Práca so znakmi (symbolmi) IV. Orientácia a práca s tabu kou V. Grafické vnímanie VI. Práca s diagramom a grafom VII. Poznanie rovinných útvarov a práca s nimi VIII. Priestorová predstavivos IX. Funkcia ako vz ah medzi veli inami X. Správnos logickej úvahy Ich opis zodpovedajúci stup u, pre ktorý je súbor úloh ur ený, je uvedený na alších stránkach. Pri vä šine uvedených úloh musí žiak pri ich riešení použi viac ako jednu zru nos. Najviac použije tú zru nos, do akej kapitoly je úloha zaradená. Tým sa tieto súbory úloh líšia od tradi ných matematických 1 Ekvivalentom k Rámcovému vzdelávaciemu programu RVP je na Slovensku Štátny vzdelávací program ISCED (poznámka prekladate a) 6

7 zbierok, v ktorých sú úlohy zaradené pod a tematických okruhov. Za každou uvedenou úlohou v súbore úloh sú rímskymi íslicami ozna ené používané zru nosti, a to v poradí od najviac po najmenej využívanú zru nos, prípadne v poradí ich použitia. Pre kontrolu sú za každou kapitolou uvedené výsledky. Ukážka zadania (úloha je zaradená v X. kapitole): Medve a medvedica konzumujú jablká. Medve žerie dvakrát rýchlejšie ako medvedica. Medvedica zožerie 5 jab k za minútu. Ko ko kusov jab k zožerie medve za 3 minúty? Vyber správny výsledok: a) 15 ks b) 20 ks c) 25 ks d) 30 ks e) 50 ks f) 60 ks X.+ IX.+ II.+ IV. Výsledok: d) 30 ks Vysvetlenie k uvedeným zru nostiam: Na nájdenie správneho riešenia využil žiak tieto zru nosti: X. Správnos logickej úvahy (50 %) IX. Funkcia ako vz ah medzi veli inami (20 %) II. Numerické zru nosti (20 %) IV. Orientácia v tabu ke a práca s tabu kou (10 %) Boli by sme radi, keby ste náš súbor úloh vnímali aj ako námety k vlastnej tvorivosti. Neváhajte uvedené úlohy obmie a zara ova ich pri precvi ovaní pod a vlastného názoru a svojich potrieb. Pri precvi ovaní matematických zru ností, v ktorých žiaci najviac robia chyby, je nutné sa zamera na také úlohy, pomocou ktorých riešitelia pochopia podstatu veci a logické zákonitosti. V alej uvedených súboroch úloh sa pre sústavné a dôsledné precvi ovanie dajú vyh ada také motiva né úlohy, v ktorých žiak: - využíva potrebnú matematickú symboliku a matematický jazyk, - formuluje a rieši reálnu situáciu, - matematizuje jednoduché reálne situácie s využitím premenných a s využitím funk ných vz ahov, - vyh adáva, vyhodnocuje a spracúva dáta, porovnáva súbory dát, - charakterizuje a triedi základné rovinné útvary, zdôvod uje a využíva polohové a metrické vlastnosti základných rovinných útvarov pri riešení úloh a jednoduchých problémov, - analyzuje a rieši aplika né geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu, - ur uje a charakterizuje základné priestorové útvary, analyzuje ich vlastnosti, - rieši úlohy na priestorovú predstavivos, aplikuje a kombinuje poznatky a zru nosti z rôznych tematických a vzdelávacích oblastí, - používa logickú úvahu a kombina ný úsudok pri riešení úloh a problémov a nachádza rôzne riešenia predkladaných alebo skúmaných situácií, 7

8 - dokáže ovláda a používat jednoduché pomôcky, ktoré u ah ujú zložitejšie matematické úkony (tabu ky, kalkulátor, po íta ). Vážené kolegyne, vážení kolegovia, dúfame, že náš didaktický materiál so súborom úloh vám pomôže pri výu be. Snažme sa spolo ne zo všetkých síl vyzbroji našich žiakov potrebnými znalos ami a zru nos ami, ktoré budú potrebova pre svoje budúce uplatnenie v osobnom, profesijnom aj ob ianskom živote. Pekný vz ah žiakov k matematike nám bude odmenou. Autori 8

9 Milí žiaci! Máte pred sebou súbor úloh z matematiky pre 1. stupe ZŠ so zameraním na rozvoj matematických zru ností, ktoré vás sprevádzajú po celý as, odkedy sa venujete matematike. Matematika ako všeobecnovzdelávací predmet vám poskytuje systém zru ností a návykov, ktoré vám umožnia matematickým aparátom opísa prírodné, technické a ekonomické javy a vníma ich súvislosti. V matematike, tak ako v iných odboroch udskej innosti, sa nedá uspie bez usilovnej práce. Preto je dôležité sústavné a dôsledné precvi ovanie zru ností. Zlepši zru nosti vám pomôže aj náš súbor úloh, ktorý je rozdelený do desiatich kapitol pod a zru ností. V každej z nich nájdete úlohy aritmetické aj geometrické. Ak vám niektorá z uvedených zru ností robí problémy, zamerajte sa na ich odstránenie riešením úloh uvedených v príslušnej kapitole. A aké zru nosti si môžete so súborom úloh rozvíja? Pozrite sa na ich preh ad aj s opisem toho, o by ste mali zvládnu. Preh ad zru ností a ich opis pre žiakov 1.stup a ZŠ I. Chápanie ísla ako pojmu vyjadrujúceho kvantitu Chápa íslo ako pojem vyjadrujúci kvantitu je zru nos, pri ktorej si žiak 1. stup a dokáže predstavi pod daným prirodzeným íslom konkrétny súbor s ur itým po tom prvkov (až do ). Žiak dokáže prirodzené ísla zapísa v desiatkovej sústave skráteným aj rozvinutým zápisom. Dokáže zakresli obraz daného ísla na íselnej osi, dokáže prirodzené ísla porovnáva, zaokrúh ova na daný rád a dokáže robi odhady. II. Numerické zru nosti Žiak 1.stup a dokáže v obore prirodzených ísel do s íta a od íta spamäti aj písomne (písomne íta až 4 prirodzené ísla, písomne od íta 2 prirodzené ísla), automaticky používa spoje celej násobilky, násobi spamäti a deli v jednoduchých prípadoch, písomne násobi až štvorciferným inite om, písomne deli najviac dvojciferným delite om, ur ova neúplný podiel a zvyšok. Dop a postupnosti ísel. III. Práca so znakmi (symbolmi) Matematické vyjadrovanie musí by preh adné a stru né. Prispieva k tomu používanie rôznych znakov (symbolov). Potrebujeme ich na to, aby sme sa ahko matematicky dohovorili. Znaky (symboly) nahrádzajú celé skupiny slov, názvov niektorých pojmov a algoritmov. Žiak 1.stup a z aritmetiky pozná znaky >, <, =,, +,,, : a znak pre zaokrúh ovanie ísel (rovná sa s bodkou). V geometrii dokáže ozna bod, priamku, úse ku, priese ník rôznobežiek, zapísa symbol trojuholníka. Dokáže zapísa d žku úse ky (napr. AB = 5 cm), rovnobežnos a kolmos priamok, kružnicu. IV. Orientácia v tabu ke a práca s tabu kou 9

10 Žiak dokáže íta (orientova sa) a zostavova jednoduché tabu ky, ktoré sú asto používané pre svoju preh adnos (napr. ceny tovaru, vzdialenosti, cestovné poriadky, športové výsledky a pod.). Vyh adáva, zbiera a triedi dáta, ktoré zapisuje do tabuliek najmä pri riešení úloh z praktického života. Žiak vie rozpozna pravidlá umiestnenia dát v tabu ke a tým preukazuje, že sa v nej dokáže orientova. V. Grafické vnímanie Grafické vyjadrovacie prostriedky majú nielen v matematike ale aj v praktickom živote oraz vä šie uplatnenie. Pomocou obrázkov, ná rtov, obrazcov, zobrazených telies a pod. zjednodušene vyjadríme aj vz ahy, ktorých slovné vyjadrenie by bylo ažkopádne, prípadne málo zrozumite né. Žiak sa s obrázkami, ná rtmi, obrazcami a vyobrazenými telesami zoznamuje už v predškolskom veku. Ak má žiak dobré grafické vnímanie, dokáže jednotlivé zobrazené prvky pomenova. Žiak 1.stup a dokáže slovné zadanie úlohy previes pomocou ná rtu do grafickej podoby. Rozpozná a znázorní vo štvorcovej sieti jednoduché osovo súmerné útvary a ur í os súmernosti útvaru prekladaním papiera. VI. Práca s diagramom a grafom Grafy a diagramy predstavujú geometrické zobrazenie zadaných vz ahov. Graf a diagram vyjadrí dané údaje len tomu, kto ich dokáže pre íta, o úzko súvisí s grafickým vnímaním. Žiak 1.stup a by na základe grafu alebo diagramu mal vedie opísa zobrazené jednoduché závislosti z praktického života. Dokáže zakres ova jednoduché grafy závislostí v sústave súradníc (napr. zmena teploty po as d a, priebeh jazdy autom a pod.), vie nakresli st pcový diagram, íta a dop a rôzne schémy a figurálne diagramy. VII. Poznanie rovinných útvarov a práca s nimi Žiak 1.stup a rozozná základné geometrické útvary roviny: priamka, polpriamka, úse ka, lomená iara, kružnica, trojuholník, štvorec, obd žnik a kruh. Dokáže zmera d žku úse ky s presnos ou na milimetre, zostroji úse ku danej d žky, ur obvod mnohouholníka s ítaním d žok jeho strán. Pozná základné vlastnosti trojuholníka, štvorca a obd žnika. Narysuje a znázorní základné rovinné útvary (štvorec, obd žnik, trojuholník a kružnicu), používa jednoduché konštrukcie, graficky s íta a od íta úse ky, dokáže zostroji rovnobežky a kolmice. Ur uje obsah obrazca pomocou štvorcovej siete. VIII. Priestorová predstavivos Vzh adom na priestorové objekty sa na ZŠ venuje zvýšená pozornos vz ahom objekt model obrázok predstava. Každý z týchto krokov znamená novú kvalitu v myslení žiaka a preto musíme tieto vz ahy zámerne budova. Žiak 1.stup a rozoznáva základné geometrické telesá: kváder, kocka, valec, gu a, ihlan a kuže na praktických modeloch, obrázkoch a ná rtoch. Základné geometrické telesá dokáže nielen rozozna a pomenova, ale vie ich aj vymodelova pomocou rôznych stavebníc. 10

11 IX. Funkcia ako vz ah medzi veli inami Žiak sa u í nielen základné po tové operácie s prirodzenými íslami, ale zoznamuje sa aj s vlastnos ami týchto operácií, ktoré uplat uje pri riešení numericky zapísaných úloh (vrátane použitia okrúhlych zátvoriek). Na 1.stupni sa alej zoznamuje s niektorými jednotkami a ich vzájomnými prevodmi (km, m, dm, cm, mm; de, h, min, s; ; kg, g; hl, l). Používa aj základné jednotky obsahu, nedokáže ich ale premie. Znalos vz ahu medzi veli inami umož uje žiakovi upravi zápis zadania úlohy a tak vyrieši daný problém. X. Správnos logickej úvahy Úvaha je zamyslenie sa nad daným problémom. V matematike hovoríme o logickej úvahe, o je proces myšlienkového roz lenenia úlohy a h adanie súvislostí medzi jednotlivými jej as ami. Logická úvaha je nutná pri riešení vä šiny matematických úloh (z aritmetiky aj geometrie) a to najmä slovne zadaných úloh. Pri riešení úlohy musí žiak logickými úvahami vyvodi zo známych faktov fakty nové. Správnos logickej úvahy je závislá predovšetkým od porozumenia konkrétneho u iva. Žiak po zoznámení sa s úlohou musí najskôr analyzova zadané informácie (rozobra väzby a vz ahy medzi uvedenými údajmi) a potom sa rozhodnú, ako bude postupova, aby došiel k požadovanému záveru (ujasní si postup na doriešenie úlohy). Žiak na 1. stupni rieši jednoduché praktické slovné úlohy a problémy, ktorých riešenie je do zna nej miery nezávislé od zvy ajných postupov a algoritmov školskej matematiky (napr. dopl ovanie íselných a obrázkových radov, magických štvorcov a pod.). Ako ste už zistili, matematika je ve ké dobrodružstvo v myslení a úrove toho vášho je okrem iného závislá aj od toho, ako zvládnete matematické zru nosti. Prajeme vám ve a radosti a osobnej spokojnosti pri ich zvládaní. Teraz sa už môžete pusti do samotného riešenia. Autori 11

12 I. Chápanie ísla ako pojmu vyjadrujúceho kvantitu Chápa íslo ako pojem vyjadrujúci kvantitu je zru nos, pri ktorej si žiak 1. stup a dokáže predstavi pod daným prirodzeným íslom konkrétny súbor s ur itým po tom prvkov (až do ). Žiak dokáže prirodzené ísla zapísa v desiatkovej sústave skráteným aj rozvinutým zápisom. Dokáže zakresli obraz daného ísla na íselnej osi, dokáže prirodzené ísla porovnáva, zaokrúh ova na daný rád a dokáže robi odhady. 1. Dané sú ísla 259, 255, 592, 995, 529. Vyber íslo, ktoré: a) má dve jednotky, b) má pä desiatok a devä jednotiek, c) má pä stoviek, dve desiatky a devä jednotiek, d) má rovnaký po et stoviek a desiatok, e) má rovnaký po et desiatok a jednotiek. I. 2. Z íselného radu vypíš: a) všetky ísla obsahujúce íslicu 1, b) všetky ísla obsahujúce íslicu 4, c) všetky ísla, ktorých ciferný sú et je 7, d) všetky ísla, ktorých ciferný sú et je 9. ím je tento rad zaujímavý? I. + II. + X. 3. V íselnom rade dopl chýbajúce ísla: a) b) c) d) e) f)

13 I.+ IV. 4. Dané je íslo: a) Zapíš íslo, ktoré je hne pred daným íslom. b) Zapíš íslo, ktoré je hne za daným íslom. c) Zapíš íslo o desa vä šie ako dané íslo. d) Zapíš íslo o sto menšie ako dané íslo I. + II. + V. 5. Nasledujúce ísla zapíš do prvého st pca tabu ky a v tabu ke zapíš, ko ko jednotiek, desiatok, stoviek, tisícok,... majú dané ísla: a) jeden tisíc osem, b) stotisíc jeden, c) jedenás tisíc tristosedem, d) sedemstodva tisíc, e) šes sto tisíc osemnás, f) štyridsa šes tisíc pä desiatštyri, g) tristodvanás tisíc, h) jeden milión dvadsa sedem tisíc devä íslo. J D S T DT ST M a) b) c) d) e) f) g) h) I.+ X.+ IV. 6. a) Zapíš dané ísla v rozvinutom tvare: 643; 8 752; ;

14 b) Rozvinuté zápisy ísel v desiatkovej sústave zapíš prirodzenými íslami: I.+ II. 7. Z íslic 3, 4, 7 zostav a) všetky trojciferné ísla ( íslice sa nesmú opakova ), b) vyber z nich ísla párne, c) vyber z nich ísla vä šie ako 473, d) vyber z nich ísla menšie ako 399. I.+ III.+ IX. 8. Dopl íslo o íslice 0 a 1 tak, aby vzniklo a) o najmenšie íslo, b) o najvä šie íslo. I.+ III. 9. a) Narysuj vodorovnú íselnú os (jednotkou d žky je 1 mm) a vyzna na nej obrazy ísel 0; 23; 32; 48. b) Na íselnej osi (1 dielik má ve kos 5 mm) znázorni ísla: 0; 5; 10; 12; 20. I.+ V.+ VI. 10. Zapíš, aké ísla predstavujú vyzna ené písmená na íselných osiach: a) b) I.+ V.+ VI.+ II. 11. Vyobrazené úse ky sú rozdelené na rovnako dlhé dieliky. Na obrázku a) a d) je uvedená ve kos jedného dielika, b) a c) je uvedená celková d žka úse ky. Ktorým íslom nahradíš otázniky? 14

15 I.+ V.+ II. 12. V nasledujúcich úlohách dopl do chýbajúce ísla, ktoré vyberaj z hodnôt A F uvedených na záver: a) Cesta vlakom z Ostravy do Prahy je dlhá 355 km. Vlak už prešiel vzdialenos 188 km. Do cie a mu ostáva km. b) Dve a pol hodiny je minút. c) Z ceny tovaru bolo zaplatených 56, o je polovica celkovej ceny tovaru. Tovar stojí. d) Sloní a malo hmotnos 57 kg a po as pobytu v novom výbehu pribralo 24 kg. Teraz má hmotnos kg. I.+ II.+ IV. A) 33 B) 81 C) 112 D) 130 E) 150 F) Ur h adané ísla a napíš ich do : a) Ak pripo ítame k íslu A íslo 69, dostaneme A = b) Ak od ítame od ísla B íslo 47, dostaneme B = c) Ak vynásobíme íslo C íslom 8, dostaneme C = d) Ak vydelíme íslo D íslom 5, dostaneme D = I.+ II. 14. Deti v triede zis ovali a zapisovali svou výšku. Zapísali toto: Adela 143, Lenka 133, Dominik 129, Zuzana 142, Adam 146, Patrik 126 a) V akých jednotkách deti zapísali svoju výšku? b) Ktoré z detí je najvyššie? c) Ktoré z detí je najnižšie? d) Aký je rozdiel medzi výškou Lenky a Zuzany? e) Aký je rozdiel medzi najnižším a najvyšším die om? f) Medzi ktorými dvoma de mi je rozdiel vä ší ako 10 cm? g) Zora deti od najvyššieho po najnižšie. I. + II. + X. 15. Ur celkovú d žku vždy v menšej jednotke: a) 55 m cm = b) cm 12 m = mm + 25 dm = mm 560 cm = 123 m mm = 472 dm 32 m = 15

16 m km = 56 km m = I.+ IX.+ II. 16. Vypo ítaj: a) 1 h 26 min + 15 min = b) 4 h 53 min 26 min = 2 h 45 min + 32 min = 1 h 24 min 45 min = 1 h 20 min + 4 h 35 min = 5 h 42 min 3 h 18 min = 2 h 15 min + 3 h 55 min = 2 h 10 min 1 h 37 min = I.+ IX.+ II. Výsledky I.: 1. a) 592; b) 259; c) 529; d) 995; e) a) 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 100 b) 4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54, 64, 74, 84, 94 c) 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70 d) 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90; sú to násobky ísla 9 3. a) 258, 260, 261, 263 b) 798, 800, 801, 803 c) 470, 471, 474, 476, 477 d) 621, 619, 618, 616 e) 933, 930, 929, 927 f) 103, 100, 99, 97, ; b) 636; c) 645; d) íslo J D S T DT ST M a) b) c) d) e) f) g) h) a) b) 325, 4 207, , a) 347, 473, 374, 437, 734, 743; b) 374, 734; c) 734, 743; d) 347, a) ; b)

17 9. a) b) 10. a) A [ 5 ]; B [ 45 ]; C [ 70 ]; D [ 105 ]; b) T [ 4 ]; U [ 18 ]; V [ 34 ] ; Z [ 44 ] km; b) 1 km; c) 3 km; d) 30 km 12. a) F 167 km; b) E 150 minút; c) C 112 ; d) B 81 kg 13. a) A = 27; b) B = 121; c) C = 11; d) D = a) cm; b) Adam; c) Patrik; d) 9 cm; e) 20 cm f) Adela, Dominik; Adela, Patrik; Lenka, Adam; Dominik, Zuzana; Dominik, Adam; Zuzana, Patrik; Adam, Patrik g) Adam, Adela, Zuzana, Lenka, Dominik, Patrik 15. a) cm, mm, mm, m; b) cm, mm, 152 dm, m 16. a) 1 h 41 min, 3 h 17 min, 5 h 55 min, 6 h 10 min; b) 4 h 27 min, 39 min, 2 h 24 min, 33 min 17

18 II. Numerické zru nosti Žiak 1. stup a dokáže v obore prirodzených ísel do s íta a od íta spamäti aj písomne (písomne íta až 4 prirodzené ísla, písomne od íta 2 prirodzené ísla), automaticky používa spoje celej násobilky, násobi spamäti a deli v jednoduchých prípadoch, písomne násobi až štvorciferným inite om, písomne deli najviac dvojciferným delite om, ur ova neúplný podiel a zvyšok. Dop a postupnosti ísel. 1. Usporiadaj výhodne a vypo ítaj spamäti: a) = b) = = = = = = = II.+ IX. 2. Vypo ítaj spamäti: = = = = = = = = II. 3. Spoj príklady s rovnakými výsledkami: II. + IV Vypo ítaj spamäti: a) 6 8 b) 0 8 c) 24 : 6 d) 18 : : 4 40 : : 9 12 : : 7 9 : : 5 42 : 6 II. 18

19 5. K daným dvojiciam prirodzených ísel vypo ítaj sú et, rozdiel, sú in, podiel: 39; 13 48; ; ; 21 19; 19 sú et rozdiel sú in podiel II.+ IV. 6. Do prázdnych rám ekov dopl chýbajúce ísla: : : 9 32 II. + IV. : : Vypo ítaj písomne: a) b) II. 8. Vypo ítaj písomne: a) b) 748 : : : : 8 II. 9. Vymysli, pod a akého pravidla sú dop ané ísla do pyramídy na obrázku a dopl chýbajúce ísla do všetkých polí ok: 19

20 II.+ X.+ IV. 10. Dedko vyrobil 3 drevené autí ka, 6 trojkoliek a 8 kolobežiek. Ko ko koliesok potreboval? Vyber správnu odpove : a) 44 b) 52 c) 46 d) 48 II. + X. + IV. 11. Novákovci vo svojom sade pozbierali 240 kg hrušiek. Janíkovci pozbierali 132 kg hrušiek a Kadlecovci ich pozbierali 389 kg. a) O ko ko kilogramov hrušiek pozbierali Kadlecovci viac ako Novákovci? b) O ko ko kilogramov hrušiek pozbierali Janíkovci menej ako Kadlecovci? c) Ko ko kilogramov pozbierali všetky rodiny spolu? d) Pozbierali Novákovci a Janíkovci spolu viac ako Kadlecovi? II. + I. + X. 12. Cyklisti prešli prvý de výletu 46 km, druhý de 32 km, tretí de odpo ívali a štvrtý de išli rovnakou cestou domov. a) Ko ko kilometrov prešli za prvé dva dni? b) Ko ko kilometrov prešli za štyri dni? II. + X. 13. Manželia Slobodoví si vzali pôži ku na bývanie. Dlh chceli zaplati 18 mesa nými splátkami, každou v hodnote Po siedmich mesiacoch splácania im na zaplatenie dlhu prispeli rodi ia iastkou Ko ko eur musia Slobodovci ešte splati? II.+ X. 14. Jedna pracovní ka pois ovne bola pri priehradke dve hodiny, druhá jeden a pol hodiny. Bolo zaznamenané, že každý klient zotrval pri priehradke priemerne šes minút. Ko ko klientov spolu obslúžili obe pracovní ky? Vyber správnu odpove : a) 15 b) 20 c) 35 d) 40 II.+ X.+ IX.+ IV. 15. Vylúšti tajni ku. Návod na postup: Najskôr vypo ítaj príklady. K výsledku každého príkladu je priradené písmeno. Pod príkladmi je tabu ka, v ktorej sú v prvom riadku ísla (výsledky), do druhého riadku zapíš písmeno, ktoré zodpovedá danému výsledku. Pokia budeš správne po íta, objaví sa v druhom riadku tajni ka. 20

21 Príklady Výsledky Písmená a) ( ) 44 =... I b) 33 (66 44) =... c) =... Í d) (66 33) 44 =... K e) =... N f) =... O g) ( ) 66 =... P h) =... R i) =... T j) ( ) 33 =... Y k) =... A II.+ IX.+ IV. Výsledky II.: 1. a) 160, 97, 470, 95, b) 1 020, 1 650, 1 300, , 9, 65, 16, 125, 207, 489, a) 48; 21; 36; 15; 42; b) 0, 18; 28; 30; 56; c) 4; 8; 8; 6; 8; d) 9; 5; 4; 9; ; 13 48; ; ; 21 19; 19 sú et rozdiel sú in podiel

22 : : : : a) 4 178, 1 459, , ; b) 1 586, , , a) , , , ; b) 187, 785, 7 678, c) a) 149 kg; b) 257 kg; c) 761 kg; d) nie 12. a) 78 km; b) 156 km klientov 15. a) 4 356, b) 726, c) 1 518, d) 1 452, e) 1 386, f) 2 222, g) 5 082, h) 2 134, i) 2 871, j) 3 630, k) 143 Tajni ka: PIATY RO NÍK 22

23 II. Práca so znakmi (symbolmi) Matematické vyjadrovanie musí by preh adné a stru né. Prispieva k tomu používanie rôznych znakov (symbolov). Potrebujeme ich na to, aby sme sa ahko matematicky dohovorili. Znaky (symboly) nahrádzajú celé skupiny slov, názvov niektorých pojmov a algoritmov. Žiak 1. stup a z aritmetiky pozná znaky >, <, =,, +,,, : a znak pre zaokrúh ovanie ísel (rovná sa s bodkou). V geometrii dokáže ozna bod, priamku, úse ku, priese ník rôznobežiek, zapísa symbol trojuholníka. Dokáže zapísa d žku úse ky (napr. AB = 5 cm), rovnobežnos a kolmos priamok, kružnicu. 1. Dopl znaky <, >, = tak, aby platilo: III.+ I. 2. Porovnaj dané prirodzené ísla: III.+ II. 3. Dopl znaky =, tak, aby bol zápis pravdivý (výsledky príkladov nie je potrebné po íta ): : 8 32 : : 1 III. + X. 4. Porovnaj údaje a dopl medzi ne niektorý zo znakov <, >, = : a) 3 m 3 cm 33 cm b) 5 t kg 2 m 40 cm 240 cm 200 g 2 kg cm 4 km 1 kg 4 g g 105 mm 10 cm 5 mm 3 t 80 kg kg 2 dm 3 cm 203 cm 15 t kg III.+ IX. 5. Dopl znak = alebo tak, aby zápis bol pravdivý: 23

24 (70 + 8) (8 + 16) 6 ( ) ( ) (5 + 11) (32 8) ( ) 3 3 (195 34) 32 : (16 2 4) ( ) : 9 III.+ IX. 6. Napíš všetky prirodzené ísla, ktoré vyhovujú uvedeným vz ahom: a) 18 x 23 d) 199 > s 196 b) 258 < y 264 e) > t > c) < z < f) s > III.+ X.+ I. 7. Namiesto hviezdi ky dopl íslice tak, aby bol zápis správny (uve všetky možnosti): a) 51 > 5* e) 54 > *9 b) 3* > 37 f) *8 < 32 c) 46 < 4* g) 4*6 < 416 d) 324 > 32* h) *96 < 752 III. + IX.+ I. 8. Zaokrúhli dané ísla: na desiatky na stovky na tisícky na desa tisícky III.+ I.+ IV Z daných ísel vyber tie, ktoré sú nesprávne zaokrúhlené: III.+ I. a) na stovky b) na tisícky Prezri si polí ka v dolných astiach dvoch tachometrov na obrázku a odpovedz na otázky: a) Aký najvä ší po et prejdených kilometrov môžu jednotlivé tachometre ukazova? b) Na ktorom z oboch tachometrov je uvedený vyšší po et prejdených kilometrov? 24

25 III.+ I.+ V. 11. Zapíš pomocou geometrickej symboliky: a) bod A b) polpriamka AB c) priamka p d) úse ka CD e) trojuholník KLM III.+ VII. 12. Na obrázku je osem trojuholníkov. Zapíš ich pomocou vrcholov. D C A B III.+ V.+ VII. 13. Na obrázku je trojuholník ABC. Aké znaky doplníš do rám eka v zápisoch: B AB + BC AC AC + BC AB AB + AC BC III.+ VII.+ V. A C 14. Pre trojicu úse iek AB, CD, EF platí AB + CD = EF, EF = 5 cm. Aké d žky v centimetroch môžu ma úse ky AB a CD? III.+ V.+ II. 15. Pre strany trojuholníka KLM platí KL LM KM, KL = LM = KM. Ako sa nazýva tento trojuholník? III.+ V.+ VII. Výsledky III.: < < > = < > < >

26 < > < = > < < > = : 8 32 : = = 8 : 1 4. a) 3 m 3 cm > 33 cm b) 5 t = kg 2 m 40 cm = 240 cm 200 g < 2 kg cm < 4 km 1 kg 4 g < g 105 mm = 10 cm 5 mm 3 t 80 kg = kg 2 dm 3 cm < 203 cm 15 t > kg 5. (70 + 8) (8 + 16) 6 ( ) = ( ) = (5 + 11) (32 8) ( ) 3 = 3 (195 34) 32 : (16 2 4) = ( ) : 9 6. a) 18, 19, 20, 21, 22, 23; b) 259, 260, 261, 262, 263, 264; c) ; d) 198, 197, 196; e) nevyhovuje žiadne íslo; f) a) 0; b) 8; 9; c) 7; 8; 9; d) 0; 1; 2; 3; e) 1; 2; 3; 4; f) 1; 2 ; g) 0; h) 1; 2; 3; 4; 5; na desiatky na stovky na tisícky na desa tisícky a) 2 755, 3 854, ; b) , a) A , B ; b) na tachometri B 11. a) A; b) AB; c) p ; d) CD; e) KLM 12. ABC, ABE, ABD, ACD, AED, BCD, BCE, ECD 13. AB + BC > AC; AC + BC > AB; AB + AC > BC 14. AB = 1 cm, CD = 4 cm; AB = 2 cm, CD = 3 cm; AB = 3 cm, CD = 2 cm; AB = 4 cm, CD = 1 cm 26

27 15. rovnostranný trojuholník KLM IV. Orientácia a práca s tabu kou Žiak dokáže íta (orientova sa) a zostavova jednoduché tabu ky, ktoré sú asto používané pre svoju preh adnos (napr. ceny tovaru, vzdialenosti, cestovné poriadky, športové výsledky a pod.). Vyh adáva, zbiera a triedi dáta, ktoré zapisuje do tabuliek najmä pri riešení úloh z praktického života. Žiak vie rozpozna pravidlá umiestnenia dát v tabu ke a tým preukazuje, že sa v nej dokáže orientova. 1. Dopl tabu ku pod a tohto pravidla: v hornom riadku a avom krajnom st pci sú s ítance, v obd žnikoch v tabu ke je ich sú et. a) b) IV.+ IX.+ II. 2. Dopl tabu ku pod a tohto pravidla: v hornom riadku a avom krajnom st pci sú initele, v obd žnikoch v tabu ke je ich sú in. a) b) IV.+ IX.+ II. 3. Dopl do tabu ky: a) a a b) b b

28 IV.+ II. 4. K daným dvojiciam ísel vypo ítaj ich rozdiel a podiel. 32; 8 81; 9 36; 4 45; 5 42; 7 60; 6 rozdiel podiel IV.+ II. 5. Dopl do tabu ky: a a : 2 a : 4 10 a a IV.+ IX.+ II. 6. V nasledujúcich úlohách porovnaj hodnoty zapísané v avom a pravom rám eku a vyber správnu odpove z uvedených možností: a. Vä šia hodnota je v avo. b. Vä šia hodnota je vpravo. c. Obe hodnoty sú rovnaké. d. Nedá sa ur, ktorá hodnota je vä šia. a) b) c) d) e) : : 7 po et dní v mesiaci august po et párnych prirodzených jednociferných ísel v auguste sú prázdniny po et nepárnych prirodzených jednociferných ísel IV.+ I.+ IX.+ II.+ X. 7. Papier bol balený po 5000 ks. V jednotlivých kanceláriách za pol roka minuli rôzny po et hárkov papiera. Dopl do tabu ky po et balíkov papiera dodaných do každej kancelárie a tiež po et zvyšných hárkov papiera: IV.+ X.+ II. minuté hárky papiera Dopl po et balíkov do zvyšné hárky papiera tabuliek pod a tohto pravidla: a, b, c sú d žky strán trojuholníka, o je jeho obvod. 28

29 a) a b c o 5 cm 6 cm 4 cm 3 cm 4 cm 5 cm 7 cm 8 cm 7 cm 6 cm 9 cm 4 cm 8 cm 8 cm 3 cm b) a b c o 5 cm 4 cm 17 cm 3 cm 7 cm 19 cm 10 cm 12 cm 36 cm 3 cm 3 cm 9 cm 10 cm 8 cm 26 cm IV.+ II.+ VII. 9. Partia kopá ov vyh bi za osemhodinovú smenu priekopu dlhú 32 metrov. Dopl v nasledujúcej tabu ke odpovede na jednotlivé otázky: Za osemhodinovú smenu vyh bi a) Akú dlhú priekopu vyh bi za jednu hodinu? b) Akú dlhú priekopu vyh bi za 3 pracovné dni? c) Akú dlhú priekopu vyh bi za celý pracovný týžde? d) Akú dlhú priekopu vyh bi za dva pracovné týždne? IV.+ IX.+ II. 32 m 10. Lucka sa starala o králika a pravidelne každý mesiac ho vážila. Hodnoty si zapísala do tabu ky: mesiac apríl máj jún júl august hmotnos v g a) Ur najvä ší mesa ný prírastok hmotnosti králika. b) O ko ko sa zvýšila hmotnos králika za sledované obdobie? c) Akú hmotnos bude ma králik v septembri, ak sa jeho hmotnos zvýšila o 120 g? IV.+ II. 11. V tabu ke sú uvedené d žky tokov známych svetových riek v kilometroch: 29

30 názov rieky Labe Níl Dunaj Amazonka Vltava žka toku v km a) Ktorá z uvedených riek má najvä šiu d žku toku? b) O ko ko kilometrov sa líšia d žky tokov Labe a Nílu? c) Zaokrúhli d žku toku Dunaja na tisícky. d) Usporiadaj uvedené rieky pod a d žky toku od najkratšej po najdlhšiu. IV.+ I.+ III.+ II. 12. Jedenás ro ný Pavol v roku 2008 vraví: Môj otecko sa narodil v r a dedko toho roku oslávil šes desiat rokov života. Mami ka je o pä rokov mladšia od ocka a sestra sa narodila, ke mala mami ka 23 rokov. Pomôžte Pavlovi vyplni priloženú tabu ku: Rok narodenia Vek v r Otecko Mami ka Dedko Sestra Pavol IV.+ II.+ X. 13. Štyria kamaráti boli na výlete. Peniaze, ktoré každý z nich dal ako zálohu, bezo zvyšku minuli. Pri závere nom ú tovaní celkové výdavky rovnomerne rozdelili na osobu. Niekto potom musel dopláca a inému sa peniaze vrátili. Vyú tovanie zapísali do tabu ky. Dopl správne ísla do prázdnych polí ok: Meno Záloha Adam 540 Filip 490 Ján 470 Peter 500 Musí doplati Bude mu vrátené IV.+ X.+ II. 14. Turisti si pri zájazde objednávajú ubytovanie v hoteli na 2 týždne. Ceny lôžok na rôznych izbách aj kapacitu hotelu ŠPORT je možné vy íta z tabu ky: po et izieb po et lôžok v izbe cena za 1 lôžko v izbe za 2 týždne v

31 a) Aký najvä ší po et osôb sa môže ubytova v hoteli ŠPORT? b) Ko ko eur zaplatí skupina 22 osôb za najlacnejšie možné ubytovanie? c) Ko ko eur zaplatí skupina, ktorá obsadí všetky lôžka v hoteli? d) Ko ko eur dostane vedúci zájazdu so 44 ú astníkmi naspä, ak zaplatil tri krát po 5000 eur? IV.+ X.+ II.+ III. 15. Na obrázku je magický štvorec. Do jeho polí ok zapíš chýbajúce ísla od 1 do 9 tak, aby bol sú et v každom riadku, v každom st pci aj na každej uhloprie ke rovnaký. IV.+ X.+ II Výsledky IV.: 1. a) b) a) b) a) a a b) b b

32 32; 8 81; 9 36; 4 45; 5 42; 7 60; 6 rozdiel podiel a a : a : a a a) c; b) b; c) a; d) d; e) b 7. minuté hárky papiera po et balíkov zvyšné hárky papiera a) b) a b c o 5 cm 6 cm 4 cm 15 cm 3 cm 4 cm 5 cm 12 cm 7 cm 8 cm 7 cm 22 cm 6 cm 9 cm 4 cm 19 cm 8 cm 8 cm 3 cm 19 cm a b c o 5 cm 4 cm 8 cm 17 cm 3 cm 9 cm 7 cm 19 cm 14 cm 10 cm 12 cm 36 cm 3 cm 3 cm 3 cm 9 cm 10 cm 8 cm 8 cm 26 cm 9. a) 4 m; b) 96 m; c) 160 m; d) 320 m 10. a) 350 g; b) g; c) g 11. a) Amazonka; b) km; c) km; d) Vltava, Labe, Dunaj, Níl, Amazonka 12. Otecko Mami ka Dedko Sestra Pavol Rok narodenia Vek v r

33 13. Meno Záloha Musí doplati Bude mu vrátené Adam Filip Ján Peter a) 44 osôb; b) ; c) ;

34 V. Grafické vnímanie Grafické vyjadrovacie prostriedky majú nielen v matematike, ale aj v praktickom živote, oraz vä šie uplatnenie. Pomocou obrázkov, ná rtov, obrazcov, zobrazených telies a pod. zjednodušene vyjadríme aj vz ahy, ktorých slovné vyjadrenie by bolo ažkopádne, prípadne málo zrozumite né. Žiak sa s obrázkami, ná rtmi, obrazcami a vyobrazenými telesami zoznamuje už v predškolskom veku. Ak má žiak dobré grafické vnímanie, dokáže jednotlivé zobrazené prvky pomenova. Žiak 1. stup a dokáže slovné zadanie úlohy previes pomocou ná rtu do grafickej podoby. Rozpozná a znázorní v štvorcovej sieti jednoduché osovo súmerné útvary a ur í os súmernosti útvaru prekladaním papiera. 1. Ur dvojice hodín, ktoré ukazujú rovnaký as: a) b) c) d) A) 11:00 B) 8:30 C) 9:00 D) 14:30 V. + IV.+ I. 2. Pod a nákresu zapíš: a) Ko ko bodiek leží v trojuholníku? b) Ko ko bodiek leží len v kruhu? c) Ko ko bodiek je zárove v kruhu aj trojuholníku? d) Ko ko bodiek leží mimo trojuholníka? e) Ko ko bodiek leží mimo kruhu a trojuholníka? V. + VII.+ X. 3. Na obrázku je zobrazený kruh, trojuholník a štvorec. 34

35 a) Ktoré ísla ležia v štvorci? b) Ktoré ísla ležia mimo kruhu? c) Ktoré ísla neležia v žiadnom zo zobrazených obrazcov? d) Ktoré ísla ležia vo všetkých troch obrazcoch? V.+ VII.+ X. 4. Aký obvod majú zobrazené trojuholníky? Rozmery sú uvedené v centimetroch. a) b) c) V. + II.+ VII Ko ko trojuholníkov je na obrázku? Zapíš ich pomocou vrcholov. O P N K L M V.+ VII.+ III. 6. Ko ko štvorcov vidíš na obrázkoch? (Štvorce majú rôznu ve kos.) a) b) V.+ VII. 7. Ko ko štvorcov a ko ko trojuholníkov je na obrázku? V.+ VII. 35

36 8. Dopl hrozná pod a vzoru: a b a-b a) b) V.+ IV.+ II. 9. Dopl chýbajúce ísla: V.+ IV.+ II. 10. Na obrázku sú tri obrazce. Zisti, ktoré dva majú rovnaký obsah. V.+VII.+X. 11. Do tabu ky dopl vrcholy a strany obd žnika ABCD: D C vrcholy strany V. + VII. + IV. A B 36

37 12. Pilot vyhliadkového lietadla má v nádrži palivo na 70 km letu. Pod a nákresu zisti, ktorými trasami môže letie, aby bezpe ne doletel spä na letisko. Údaje sú v kilometroch. hrad rozh ad a letisko kúpele Vyber správnu odpove : a) letisko hrad rozh ad a kúpele letisko b) letisko rozh ad a hrad letisko c) letisko kúpele rozh ad a letisko d) letisko hrad kúpele letisko e) letisko - kúpele hrad rozh ad a letisko V. + II.+ IV. 13. Na obrázku je znázornené schodisko so 14 schodmi postavené na ploche d žky 500 cm. a) Vypo ítaj celkovú výšku schodiska, ak je každý schod vysoký 18 cm. b) Aká dlhá je rovná plocha nad schodiskom meraná od hrany schodu, ak je každý schod široký 30 cm? V.+ II. 14. Na obrázkoch sú dopravné zna ky. Ktoré z nich sú osovo súmerné? 37

38 V. 15. Slovo SOBOTA išlo na výlet k jazeru a prezeralo sa na vodnej hladine. Vyber, ktorý obraz videlo: a) b) c) d) V. + IV. 16. Kratšia strana obd žnika na obrázku má d žku 32 mm. Pod a zakreslenej štvorcovej siete bol rozstrihaný a štvor eky boli poskladané bez medzier ved a seba do jedného pásu. Vypo ítaj d žku pásu, ktorý tieto štvor eky vytvorili. V.+ VII.+ II. 17. Tomáš a Dávid strie ali na strelnici do ter a zobrazeného na obrázku. Každý strie al pä krát. Dávid dosiahol 100 bodov, Tomáš 50 bodov. Ko kokrát ktoré pole každý z chlapcov trafil? V.+ X.+ II. Výsledky V.: 1. a) C); b) B); c) D); d) A) 2. a) 5; b) 1; c) 3; d) 3; e) 2 3. a) 3, 9, 1, 6; b) 4, 8, 7, 1, 6; c) 7, 8; d) 9 4. a) 16 cm; b) 19 cm; c) 12 cm 5. 8 trojuholníkov, KLO, KMO, KMN, KLP, KNO, KPO, LMO, PNO 6. a) 9 štvorcov; b) 16 štvorcov 7. a) štvorcov 6; trojuholníkov a) b)

39 a), c) 11. vrcholy strany A, B, C, D AB,BC,CD,DA 12. c) letisko kúpele rozh ad a letisko, t.j. 66 km d) letisko hrad kúpele letisko, t.j. 63 km 13. a) 252 cm; b) 110 cm 14. a), b), d) 15. b) mm 17. Dávid 2 krát 29 a 3 krát 14; Tomáš 2 krát 7 a 3 krát 12 39

40 VI. Práca s diagramom a grafom Grafy a diagramy predstavujú geometrické zobrazenie zadaných vz ahov. Graf a diagram vyjadrí dané údaje len tomu, kto ich dokáže pre íta, o úzko súvisí s grafickým vnímaním. Žiak 1. stup a by na základe grafu alebo diagramu mal vedie opísa zobrazené jednoduché závislosti z praktického života. Dokáže zakres ova jednoduché grafy závislostí v sústave súradníc (napr. zmena teploty po as d a, priebeh jazdy autom a pod.), vie nakresli st pcový diagram, íta a dop a rôzne schémy a figurálne diagramy. 1. Deti sa hrajú hru LODE. Umiestnenie lodí na hracom poli je na obrázku. Vyber možnosti, v ktorých všetky strely znamenajú zásah: A B C D E F G H I J a) B8; F10; D3 b) C3; H2; J5 VI. + IV. + V. c) B7; F5; H10 d) E9; B6; D7 e) I2; C4; D9 2. Skauti pripravujú vodácku výpravu na rieku Hornád. Trasu si nakreslili tak, ako je to znázornené na obrázku. 20 km 15 km 17 km 16 km Obišovce Kysak Trebejov Soko Družstevná pri Hornáde a) Ktorý úsek trasy bude najkratší? b) Ktorý úsek trasy bude najdlhší? c) Ko ko kilometrov meria celá trasa? d) Rado sa k výprave pripojí až v Trebejove. Ko ko kilometrov s výpravou prejde? VI.+ V.+ II.+ III. 3. Vypo ítaj, o ko ko kilometrov si vodi pred ži cestu z Drienova do Lemešian, ak je nútený ís obchádzkou. Lemešany 22 km 8 km 19 km Drienov 40 obchádzka 23 km 6 km

41 VI.+ V.+ II. 4. Súrodenci Klára a Dávid sa boli pozrie v predajni hra iek, ko ko stojí autí ko a ko ko bábika. Pán vedúci im ukázal obrázkový diagram, ktorý vidíš na obrázku. Je lacnejšie autí ko alebo bábika? O ko ko eur? = 22 VI.+ V.+ X. = Janko išiel kúpi do predajne hra iek autí ko a lopti ky. Ur pod a obrázkového diagramu, ktorý vidíš na obrázku, o je drahšie a o ko ko eur. = 19 = 14 VI.+ V.+ X. 6. V grafe je uvedený po et chlapcov a diev at tretích tried základnej školy: a) Ko ko diev at navštevuje 3.C? b) Ko ko chlapcov navštevuje 3.A? c) V ktorej triede je najviac chlapcov? d) V ktorej triede je najviac diev at? e) Ktorá trieda má rovnaký po et diev at a chlapcov? f) Ktorá trieda má najmenší po et žiakov? g) Ktoré triedy majú rovnaký po et žiakov? VI. + II. 41

42 7. Na obrázku je znázornený po et ú astníkov závodu horských bicyklov v rokoch 2004 až 2009: 100 závodníkov 10 závodníkov a) Do tabu ky zapíš po ty ú astníkov závodu v jednotlivých rokoch: rok po et b) V ktorom roku bol po et ú astníkov závodu nižší ako v predchádzajúcom roku? c) Aký je rozdiel medzi po tom ú astníkov závodu v prvom a poslednom roku? d) Ko ko ú astníkov závodu sa zú astnilo závodu za týchto šes rokov? VI. + II. + IV. + V. 8. V diagrame je znázornené množstvo zrážok v niektorých našich mestách, ktoré boli namerané v milimetroch Pre ítaj z diagramu a zapíš do tabu ky množstvo zrážok v jednotlivých mestách. Žilina Zvolen Košice Štúrovo Slia Komárno mesto Žilina Zvolen Košice Štúrovo Slia Komárno zrážky v mm VI.+ V.+ IV. 9. V obd žnikovom diagrame je uvedený preh ad známok žiakov 3. triedy z písomnej práce. Písomnú prácu písali všetci žiaci z triedy. 42

43 6 žiakov 12 žiakov 4 žiaci 2 žiaci 2 žiaci jednotka dvojka trojka štvorka pä ka a) Ko ko žiakov chodí do tejto 3. triedy? b) Akú známku dostalo najviac žiakov z triedy? c) Žiaci s nedostato nou budú písa písomnú prácu znova. Ko ko to bude žiakov? d) Dvojku dostalo dvakrát viac žiakov ako jednotku. ÁNO NIE e) Trojku dostalo dvakrát menej žiakov ako dvojku. ÁNO NIE f) Štvorku a pä ku dostalo rovnaký po et žiakov. ÁNO - NIE VI. + II. 10. Na obrázku je graf so záznamom teploty vzduchu od 0 h do 24 h. Pre ítaj z grafu: a) najnižšiu zaznamenanú teplotu v C, b) o ko kej hodine bola zaznamenaná najvyššia teplota, c) o ko kej hodine bola zaznamenaná teplota 3 C, d) aká bola teplota o 16 h? VI.+ IX. 11. Jana navštívila nieko ko rozh adní. Zapisovala si ich výšku a zostavila graf, ktorý je na obrázku: 85m 85m Rohu a 62m 60m Ve ká Homo a Stavok - Baranie Košice - Hradová 35m Krupina - Vrtovka 29m 26m Sitno 35m 29m 7m Vápenný vrch 43

44 26m a) Ko ko rozh adní Jana navštívila? b) Ktorá z týchto rozh adní je najvyššia? c) Ktorá z týchto rozh adní je najnižšia? d) Zora rozh adne od najvyššej po najnižšiu. e) Ktoré rozh adne sú vyššie ako 50 m? f) Vypo ítaj rozdiel medzi výškou najnižšej a najvyššej rozh adne. g) Medzi ktorými dvomi rozh ad ami je najmenší výškový rozdiel? VI.+ V.+ II.+ III. 12. Na letnom tábore bolo 100 detí. Rozhodovali sa, ako strávia popoludnie. Ich vedúci im ponúkol nieko ko možností. Všetky deti sa rozhodli tak, ako je to znázornené na obrázku. stolné hry pešia túra športové hry kreslenie zber oriedok 17 detí 20 detí 22 detí 28 detí Ko ko detí sa rozhodlo pre zber oriedok? Vyber správnu odpove : a) žiadne b) nedá sa ur c) 13 detí d) 17 detí VI. + II.+ IV. 13. Na horskej chate jedenkrát mesa ne merali a zaznamenávali výšku snehovej prikrývky. Z údajov zostavili graf, ktorý je znázornený na obrázku: 44

45 a) Pod a grafu dopl tabu ku: Dátum Výška snehovej prikrývky v cm b) Aká bola nameraná najvyššia snehová prikrývka? c) V ktorých mesiacoch ubúdalo snehu? d) Ko ko cm snehu pribudlo v decembri? e) Ko ko cm snehu pribudlo vo februári? f) Aká bola výška snehovej prikrývky na Nový rok? VI. + II. + IV. 14. Zostroj body zadané pomocou súradníc do súradnicovej sústavy a spoj ich lomenou iarou. A [ 1 ; 3 ], B [ 2 ; 2 ] C [ 4 ; 4 ], D [ 6 ; 3 ] E [ 8 ; 5 ], F [ 9 ; 5 ] G [ 11 ; 7 ], H [ 13 ; 3 ] VI.+ III. 15. Zapíš súradnice bodov A, B, C, D, E, F, G, H, J, K, L, M, N, ktoré sú zobrazené v sústave súradníc na obrázku. 45

46 VI.+ III. 16. V grafe je uvedený po et návštevníkov výstavy za jeden de : dospelí deti a) Ko ko návštevníkov navštívilo výstavu? Vyber správnu odpove : a. 531 b. 541 c. 601 d. 574 b) Aký je rozdiel medzi po tom detí a dospelých, ktorí navštívili výstavu? Vyber správnu odpove : a. 57 b. 47 c. 37 d. 27 VI. + II. + IV. Výsledky VI.: 1. c) B7; F5; H10; e) I2; C4; D9 2. a) Kysak Trebejov; b) Obišovce Kysak; c) 68 km; d) 33 km km 4. autí ko o 4 5. autí ko o 5 6. a) 14; b) 12; c) 3.D; d) 3.A; e) 3.B; f) 3.A; g) 3.C; 3.D 7. a) rok po et b) 2008; c) 170; d) mesto Žilina Zvolen Košice Štúrovo Slia Komárno zrážky v mm a) 26 žiakov; b) Najviac žiakov dostalo dvojku. c) 2 žiaci; d) ÁNO; e) NIE; f) ÁNO 10. a) 3 C; b) o 13 h; c) o 8 h a o 20 h; d) 9 C 11. a) Jana navštívila 7 rozh adní; b) Ve ká Homo a; c)vápenný vrch; d) Ve ká Homo a, Stavok - Baranie, Košice - Hradová, Rohu a, Krupina - Vrtovka, Sitno, Vápenný vrch; e) Ve ká Homo a, Stavok - Baranie, Košice - Hradová; f) 78 m; g) Stavok - Baranie, Košice - Hradová 12. c) 13 detí 46

47 13. a) 14. Dátum Výška snehovej prikrývky (cm) b) 105 cm; c) november, marec, apríl; d) 15 cm; e) 35 cm; f) 55 cm 15. A [ 5 ; 4 ], B [ 7 ; 9 ], C [ 11 ; 8 ], D [ 13 ; 5 ], E [ 7 ; 2 ], F [ 1 ; 7 ], G [ 2 ; 1 ], H [ 9 ; 2 ], J [ 9 ; 0 ], K [ 3 ; 6 ], L [ 3 ; 3 ], M [ 12 ; 10 ], N [ 0 ; 5 ] 16. a) b.541; b) c

48 VII. Poznanie rovinných útvarov a práca s nimi Žiak 1. stup a rozozná základné geometrické útvary roviny: priamka, polpriamka, úse ka, lomená iara, kružnica, trojuholník, štvorec, obd žnik a kruh. Dokáže zmera d žku úse ky s presnos ou na milimetre, zostroji úse ku danej d žky, ur obvod mnohouholníka s ítaním d žok jeho strán. Pozná základné vlastnosti trojuholníka, štvorca a obd žnika. Narysuje a znázorní základné rovinné útvary (štvorec, obd žnik, trojuholník a kružnicu), používa jednoduché konštrukcie, graficky s íta a od íta úse ky, dokáže zostroji rovnobežky a kolmice. Ur uje obsah obrazca pomocou štvorcovej siete. 1. K íslu pri geometrickom obrazci prira písmeno pri jeho názve: A trojuholník B krivá iara C kruh D priama iara E štvorec F lomená iara G obd žnik VII. + V. 2. Na obrázku sú dopravné zna ky ozna ené písmenami A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K: A B C D E F G H J K a) Ktorá zna ka má tvar kruhu? 48

49 b) Ktorá zna ka má tvar trojuholníka? c) Ktorá zna ka má tvar obd žnika? d) Ktorá zna ka má tvar štvorca? VII. + V. 3. Na obrázku sú geometrické tvary ozna ené písmenami A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K: A B C D E F G H I J K a) Zapíš všetky štvoruholníky. b) Zapíš všetky obd žniky. c) Zapíš všetky štvorce. d) Zapíš všetky trojuholníky. e) Zapíš geometrické tvary, ktoré majú aspo dve susedné strany kolmé. f) Zapíš geometrické tvary, ktoré majú aspo dve proti ahlé strany rovnobežné. VII. + V.+ X. 4. Na obrázku je trojuholník OPR a d žky jeho strán: R 7 cm 3 cm a) Zapíš jeho vrcholy. b) Zapíš jeho strany. O 5 cm P c) Vypo ítaj obvod trojuholníka OPR. VII. + V. + III. + II. 5. Ko ko meria strana b obd žnika na obrázku, ak je obvod obd žnika 32 cm. Vyber správny výsledok: a) 20 cm b) 16 cm c) 10 cm d) 8 cm e) 5 cm 6 cm VII.+ IX.+ II.+ IV. b 49

50 6. Obd žnik a štvorec majú rovnako dlhé obvody. Štvorec má stranu dlhú 14 cm. Vypo ítaj strany obd žnika, ak vieš, že jeho d žka je o 12 cm vä šia ako šírka. VII.+ IX.+ II. 7. Rovinné útvary na obrázku sú ozna ené písmenami A I. Dopl do nasledujúcej tabu ky: VII.+ V.+ IV. názov obrazca pravouhlý trojuholník kosod žnik štvoruholník šes uholník ozna enie útvaru G A F H D 8. V tabu ke sú v prvom riadku zobrazené pravidelné n-uholníky. V druhom riadku je daná jeho d žka strany. Vypl v tre om riadku jeho obvod. n-uholník VII.+ IX.+ II.+ IV. žka strany 3 cm 13 dm 6 cm 54 km 17 m 8 cm 9 mm obvod 9. V tabu ke sú v prvom riadku zobrazené pravidelné n-uholníky. V druhom riadku je daný jeho obvod. Vypl v tre om riadku d žku strany. n-uholník VII.+ IX.+ II.+ IV. obvod 6 m 45 cm 5 dm 6 cm 48 km 500 m 89 cm 4 mm 154 mm žka strany 10. Útvar na obrázku je zložený zo zhodných štvorcov a má obvod 72 cm. Aký je obvod jedného štvorca? Vyber správny výsledok: a) 6 cm b) 12 cm c) 18 cm d) 24 cm e) 48 cm 50

51 VII.+ V.+ IX.+ II.+ IV. 11. Obd žnikový obraz aj s rámom má rozmery 50 cm x 70 cm. Šírka rámu všetkých strán je 5 cm. Ur rozmery obrazu. VII.+ X.+ II. 12. Zora geometrické rovinné útvary ozna ené písmenami A E pod a obsahu plochy od najmenšieho po najvä ší. VII.+ V.+ III. 13. Dedko chce vyrobi drevený rám ek v tvare štvorca. Najskôr si rám ek nakreslil tak, ako je znázornený na obrázku. Aká je najvhodn jšia d žka drevenej latky, ktorú bude k výrobe potrebova? Vyber správnu odpove. 18 cm a) 50 cm b) 60 cm c) 80 cm d) 1m VII. + II. + IV.+ X. 14. Na obrázku je znázornené ihrisko na vybíjanú a jeho rozmery. Hrá i ho pri rozcvi ke obehli trikrát. Ko ko metrov prebehli? Vyber správnu odpove. 51

52 9 m 18 m a) 158 m b) 162 m c) 168 m d) 176 m VII. + II. + IV. 15. Rovinné obrazce na obrázku rozde na štvorce so stranou 1 cm a ur ich obsah. VII.+ V.+ IX.+ II. Výsledky VII.: 1. 1.G; 2.D; 3.C; 4.B; 5.A; 6.F; 7.E 2. a) B, D; J b) A, K c) E, H d) C, F 3. a) A, B, E, F, G, H, J, K; b) A, J c) G, K; d) C, I; e) A, C, G, J, K f) A, B, D, G, H, J, K 4. a) O, P, R; b) OP, PR, RO; c) 15 cm 5. c) 10 cm 6. žka 20 cm, šírka 8 cm 7. názov obrazca ozna enie útvaru štvorec G pravouhlý trojuholník E kosod žnik B trojuholník A kruh F štvoruholník C osemuholník H šes uholník I obd žnik D 52

53 8. n-uholník žka strany 3 cm 13 dm 6 cm 54 km 17 m 8 cm 9 mm obvod 9 cm 544 cm 270 km 102 m 623 mm 9. n-uholník obvod 6 m 45 cm 5 dm 6 cm 48 km 500 m 89 cm 4 mm 154 mm žka strany 215 cm 14 cm m 149 mm 22 mm 10. d) 24 cm cm x 60 cm 12. B, C, A, E, D 13. c) 80 cm 14. b) 162 m 15. A 12 cm 2, B 9 cm 2, C 10 cm 2, D 7 cm 2 53

54 VIII. Priestorová predstavivos Vzh adom na priestorové objekty sa na ZŠ venuje zvýšená pozornos vz ahom objekt model obrázok predstava. Každý z týchto krokov znamená novú kvalitu v myslení žiaka a preto musíme tieto vz ahy zámerne budova. Žiak 1. stup a rozoznáva základné geometrické telesá: kváder, kocka, valec, gu a, ihlan a kuže na praktických modeloch, obrázkoch a ná rtoch. Základné geometrické telesá dokáže nielen rozozna a pomenova, ale vie ich aj vymodelova pomocou rôznych stavebníc. 1. Na obrázkoch ozna ených íslami sú vyobrazené predmety, ktoré poznáš zo svojho okolia. K íslu na obrázku prira písmeno pri názve jeho tvaru: A kváder B kocka C valec D gu a VIII. + V. 2. K íslu pri obrazci prira písmeno pri jeho názve: 54

55 A valec B kocka C kváder VIII. + V. 3. Telesá na obrázku sú ozna ené íslami 1 5. Dopl nasledujúcu tabu ku. názov telesa kuže valec íslo obrázka VIII.+ V.+ IV. 4. Pod a obrázku dopl do tabu ky po et vrcholov, stien a hrán vyobrazených telies: VIII.+ V.+ IV. 5. Z ko kých jednotkových kociek sú zložené kvádre na obrázku? jednotková kocka kocka kváder trojboký hranol trojboký ihlan štvorboký ihlan steny vrcholy hrany VIII.+ V.+ II. 6. Všetky kvádre na obrázku sú postavené z rovnakých kociek. Jeden z nich je však postavený z iného po tu kociek ako ostatné. Ur, ktorý z nich to je. 55

56 VIII.+ V.+ II. 7. Z ko kých kociek sú postavené tieto stavby? a) b) c) VIII. + V. 8. Ko ko malých kociek musíme najmenej doplni do stavby, aby vznikla kocka? a) b) c) VIII. + V. 9. Jurko si upratuje malé kocky. Chce ich posklada do škatule. Zistil, že na dno škatule do jedného radu naskladá 6 kociek, do jedného st pca 10 kociek a na seba môže da 3 kocky. Ko ko kociek najviac Jurko uloží do škatule? Vyber správnu odpove : a) 19 b) 60 c) 163 d) 180 VIII. + V. + X. + II. + IV. 10. Na štvor ekový papier nakresli, ako by si videl telesá na obrázku pri poh ade: a) spredu, b) zhora, c) sprava. 56

57 VIII.+ V. 11. Vypo ítaj povrch telies na obrázku. Telesá vznikli zložením rovnakých kociek s d žkami hrán a = 1 cm. Ktoré telesá majú rovnaký povrch? VIII.+ V.+ IX.+ II. 12. Sú et bodiek na každých dvoch proti ahlých stenách hracej kocky je sedem. Na obrázku sú tri hracie kocky postavené na sebe. Sú et bodiek na predných stenách je 14 a na stenách vidite ných sprava 4. a) Ur sú et bodiek na zadných stenách kociek. b) Ur sú et bodiek na stenách z ava. c) Ko ko bodiek môže by na spodnej stene 3. kocky? VIII.+ V.+ X.+ II. 13. Pri nasledujúcich šiestich obrázkoch zakrúžkuj ÁNO, pokia útvar predstavuje sie kocky. Pokia sa z útvaru nedá zloži kocka, zakrúžkuj NIE kocka 3. kocka ÁNO-NIE ÁNO-NIE ÁNO-NIE ÁNO-NIE ÁNO-NIE ÁNO-NIE VIII.+ V. 57