Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

Transkript

1 Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav lineárnch nerovníc a neskôr s tým súvisiacimi úlohami lineárnej optimalizácie. Grafickým riešením lineárnej nerovnice s dvomi neznámmi je množina bodov [, ] v rovine, ktorých súradnice a vhovujú príslušnej nerovnici. Ked že množina bodov [, ], ktoré vhovujú príslušnej rovnici je priamka, tak nerovnici budú vhovovat bod v rovine, vtvárajúce polrovinu, ktorej hranica je práve táto priamka. Ukážeme si to na príklade, grafick vriešime nerovnicu 6 Je zrejmé, že príslušnej rovnici = 6 vhovujú napríklad bod [, ] a [, ], takže grafickým riešením rovnice je priamka, ktorá ich spája. - = Riešením nerovnice potom bude polrovina s touto hraničnou priamkou. Ktorá z dvoch polrovín prichádzajúcich do úvah to bude zistíme l ahko - dosadíme do nerovnice 6 l ubovol ný bod rovin o ktorom vieme, že neleží na hraničnej priamke. Ak nerovnica pre tento

2 Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského bod platí, tak riešením je polrovina, ktorá ho obsahuje. V prípade, že pre tento bod daná nerovnica neplatí je riešením polrovina neobsahujúca tento bod. Jednoduchým dosadením súradníc bodu [, ] do nerovnice 6 zistíme, že tento bod vhovuje. Vhovuje teda aj celá polrovina, ktorá ho obsahuje. Je znázornená na obr. nižšie Ak máme teda riešit sústavu nerovníc, tak výsledkom je prienik tol kých polrovín kol ko nerovníc máme v sústave. Na nasledujúcom obrázku uvidíte grafické riešenie sústav nerovníc + + 5

3 Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského To, ako sa nám zručnosti získané v grafickom riešení sústav lineárnch nerovníc zídu v riešení úloh lineárnej optimalizácie uvidíte na nasledovnom príklade. Príklad: Pri výskume rozvoja živočíšnej výrob sa zistilo, že výkrm jatočných zvierat je vel mi výhodný, ak v denných dávkach bude každé zviera dostávat nie menej ako 6 jednotiek živín A, minimálne jednotiek živín B a nie menej ako jednotk živín C. Na výkrm sa používajú dva druh krmív K a K, pričom jeden kilogram krmivak obsahuje jednotk živin A, jednotk živin B a žiadnu jednotku živin C a jeden kilogram krmiva K obsahuje jednotku živin A, jednotk živin B a jednotk živin C. Ďalej vieme, že za kg krmiva K sa platí,5eur a za kg krmiva K sa platí,6eur. Ako treba podávat krmivá jatočným zvieratám, teda aké množstvo kilogramov K a K dat jednému zvierat u, ab náklad na výkrm boli minimálne? Riešenie: Nech je počet kilogramov krmiva K a je počet kilogramov krmiva K, ktoré treba podat jednotlivému zvierat u. Zviera dostane nie menej ako 6 jednotiek živín A práve vted, ked platí nerovnica + 6 Ďalšie dve podmienk na živin B a C sú úplne analogick opísané d alšími dvomi nerovnicami:

4 Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského + A na záver si treba uvedomit, že pracujeme v prvom kvadrante, pretože kupujeme nezáporné množstvá kilogramov, takže platia aj vzt ah: Tri podmienk na živin teda znázorníme grafick v prvom kvadrante, dostávame obrázok: Vfarbená čast prvého kvadrantu je množina bodov, ktorých súradnice [, ] vhovujú podmienkam výživ zvierat a. Pokračuje d alej v smere osi a v smere osi do nekonečna a nazýva sa množinou prípustných riešení. Nás ale d alej zaujíma, v ktorom z týchto prípustných riešení je minimálna cena nákupu kilogramov krmiva K a kilogramov krmiva K. A preto si musíme uvedomit, že je potrebné minimalizovat výraz, 5+, 6. Najmenšia hodnota spomínaného výrazu b sa nadobudla pre = =. Vted b sme zaplatili eur. Ak však budeme obraz priamk, ktorej rovnica je, 5 +, 6 = rovnobežne posúvat smerom k všším hodnotám a tak časom narazíme na množinu prípustných riešení. Prvý taký bod, ktorý patrí posunutej priamke aj množine prípustných riešení je riešením našej úloh. Stačí si prečítat z grafu jeho súradnice - bude počet kilogramov krmiva K a bude počet kilogramov krmiva K. Treba však na záver podotknút, že posúvaním priamk sa môžeme naraz dostat do množin prípustných riešení v nekonečne vel a bodoch - to vted, ked

5 Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského posúvaná priamka je rovnobežná s niektorou priamkou ohraničujúcou množinu prípustných riešení. Vted má pôvodná úloha nekonečne vel a riešení. Na obrázku, ktorý nasleduje je znázornená priamka, 5 +, 6 = a taktiež jej posunutie na hranicu prípustných riešení, ktorým sa dostávame k riešeniu našej úloh. Je ním jediný bod so súradnicami [, ]. Takže pre jedno zviera je potrebné kúpit kilogram prvého krmiva a kilogram druhého krmiva = c = - Na záver tohoto učebného tetu je potrebné sa zmienit o tom, že ilustrovanou metódou lineárnej optimalizácie možno riešit aj úloh, v ktorých sa vsktuje problém maimalizovat istú hodnotu. Tak ako sme doteraz v úlohe minimalizovali svoje náklad, tak budeme v inej úlohe možno maimalizovat svoj zisk. Ako príklad uvedieme nasledovný problém, ktorý môžete vriešit v rámci samostatného cvičenia. Problém: V závode sa na výrobe dvoch druhov výrobkov podiel ajú stroje. Denné výrobné možnosti jednotlivých strojov v hodinách sú:. stroj najviac hodín,. stroj najviac 8 hodín, tretí stroj najviac 6 hodín,. stroj najviac hodín. Presný čas, ktorý strávi prvý výrobok na. stroji je hodin, na druhom hodinu, na tret om stroji hodin a na štvrtý stroj nejde. Presný čas, ktorý strávi druhý výrobok na. stroji je hodin, na druhom tiež hodin, na tretí stroj nejde a na štvrtom stroji strávi hodin. Zisk z predaja prvého výrobku je eur, z predaja druhého výrobku eur. Zostavte denný výrobný plán tak, ab ste maimalizovali celkový zisk z predaja.