Aplikace matematiky. František Nožička Fundamentální principy mechaniky a jejich ekvivalence. Terms of use:

Transkript

1 Aplkace matematky Frantšek Nožčka Fundamentální prncpy mechanky a jejch ekvvalence Aplkace matematky, Vol. 4 (1959), No. 4, Pertent URL: Term of ue: Inttute of Mathematc AS CR, 1959 Inttute of Mathematc of the Academy of Scence of the Czech Republc provde acce to dgtzed document trctly for peronal ue. Each copy of any part of th document mut contan thee Term of ue. Th paper ha been dgtzed, optmzed for electronc delvery and tamped wth dgtal gnature wthn the project DML-CZ: The Czech Dgtal Mathematc Lbrary

2 SVAZEK 4 (1959) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 4 ČLÁNKY FUNDAMENTÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY A JEJICH EKVIVALENCE FRANTIŠEK NOŽIČKA DT (Došlo dne 10. března 1958.) V prác e odvozují fundamentální pohybové rovnco outavy hmotných bodů podrobených holonomním vazbám cetou geometrcké nterpretace a metodou tenorového poctu za trktní formulace předpokladů. Různým vhodným přepy těchto fundamentálních rovnc e dochází ke známým "dferencálním prncpům mechanky a prokazuje e jejch vzájemná ekvvalence. Klacká mechanka opírající e o Newtonovy zákony je velm propracovanou dcplnou teoretcké fyky a je zachycena v řadě encyklopedckých prací, učebncové lteratuře, monografích, ouborných článcích a pecálních vědeckých publkacích. Prncpy mechanky jou v této lteratuře uváděny a dokazovány různým způobem. Účelem tohoto článku je odvození fundamentálních pohybových rovnc pro outavu hmotných bodu podrobených holonomním vazbám cetou vhodné geometrcké nterpretace, dále odvodt nejznámější přepy těchto pohybových rovnc a prokázat jejch ekvvalenc ve mylu v prác uvedeném. Užívá e přtom metody tenorového počtu, tj. téže metody, kterou e např. pracuje v teor relatvty. Článek je tedy též ukázkou, jak lze využít tenorového počtu v klacké dynamce a čtenář, obeznámen tímto potupem v klacké mechance, eznámí e pak velm nadno pracovní metodou ve pecální obecné teor relatvty. Autor e omezuje v článku pouze na dferencální prncpy dynamky outav hmotných bodů pro případ holonomních vazeb. Je velm nadné použít analogckého potupu pro případ tzv. anholonomních vazeb. Po úvodním odtavc 1, v němž jou ctována ta nejzákladnější data z teore /^-rozměrných varet v ^-rozměrném eukldovkém protoru, vylovuje e v odtavc 2 základní fyka ln prncp (axomatckého charakteru), který je v podtatě ďalembertovým zákonem ve lovní formulac. Na ba tohoto prncpu e odvo- 243

3 zují fundamentální pohybové rovnce (2, 15) pro outavu hmotných bodů o daném počtu tupňů volnot, jejchž různé ekvvalentní přepy jou dkutovány v odtavc 3 (ďalembertův prncp, Lagrangeovy rovnce I. a II. druhu, Gauův prncp, Hamltonovy kanoncké rovnce). Autor e vyhýbá důledně některým obvykle užívaným pojmům (jako vrtuální pouv, neoprávněně používaný pojem varace, varované cety, vrtuální práce, nekonečně malé velčny aj.), které nejou an ryze matematcké an ryze fykální a jejchž účelnot pro doažení vytčeného cíle je pochybná. 1. NĚKTERÉ POJMY Z GEOMETRIE m-rozměrných REGULÁRNÍCH VARIET v n-rozmérném EUKLIDOVSKÉM PROSTORU Nechť x A (A = 1,...,n) jou pravoúhlé kartézké ouřadnce v w-rozměrném eukldovkém protoru E n. Budž dáno n reálných funkc x A (n a ) (A = l,......,n)m reálných proměnných rf (a = 1,..., m), přčemž] 1 < m < n. Předpokládejme: (I) x A (r a ) mají pojté parcální dervace apoň druhého řádu v oblat O proměnných rj al ) (II) Matce z elementů tj. matce *-%' B\B\ Bl B* Bl B l Pm&m tí m má v každém bodě rf e O 2 ) hodnot m. Potom říkáme, že rovncem x A = x A (rf), A = l,...,n (1,3) je v E n parametrcky popána m-rozměrná regulární vareta druhé- třídy. Proměnné rf(a = 1,..., m) nazýváme parametry, oblat O pak defnčním oborem této varety. Varetu popem (1,3) budeme v dalším označovat ymbolem V m. x ) 0 je m-rozměrná oblat v lneárním protoru E m o pravoúhlých kartézkých ouřadncích?/ (a = 1,.,., m). 2 ) Míto bod o ouřadncích r\ a (a = 1,..., m) v O" říkáme tručněj,,bod r\ a e 0". 244

4 Budž rf e O. Potom rovncem o x A =.. x A (rf, rf,..., rf" 1, rf, >f +1,..., rj m ) (1,4) o o o o o je popána v E n regulární křvka druhé třídy 3 ), která patří k varetě V m a která prochází bodem x A == x A (?f) varety V m. Tuto křvku nazýváme parametrckou o o rf-křvkou (a e 1,..., m) procházející bodem x A = x A (rf) varety V. Velčna m o o B A z defnčních rovnc (1,1) v bodě rf jet tečným vektorem parametrcké o?? a -křvky v tomto bodě (jak je z (1,4) zřejmé). Každým bodem rf e O prochází tedy m parametrckých křvek o tečných vektorech B A, a 1,..., m v tomto bodě. Z předpokladu (II) vyplývá, že vektory B A, B..., B m jou nezávlé v každém bodě rf e O a defnují tedy v každém takovém bodě varety V m určtý m-rozměrný lneární podprotor T E m protoru E n, který nazýváme tečným protorem varety V m. Nechť g AB (A, B 1,..., n) je tzv. metrcký tenor protoru E n, tj. ytém velčn takto defnovaných _ / 1 pro A B, \ 0 pro A -I- B. 9 A B Z = Potom prvým metrckým tenorem varety V m nazýváme oubor elementů *g ab^b A B c g AC, (1,5) kde čítáme ve mylu Entenovy konvence pře ndexy A, C od jedné do n. Této Entenovy konvence e budeme v celém dalším textu vždy přdržovat. Z předpokladu (II) plyne nadno, že tenor *g ab (který je zřejmě tenorem ymetrckým), je potvně defntní, tj. *g ab y"y b > 0 pro každou m-tc (y 1, y 2,... m..., y m ), pro kterou ^(ž/ a ) 2 > 0. Za těchto okolnotí jou ytémem rovnc a=l * r, a c % _ A* l d a _ / - P r a = h \ fl 6^ 9 9 f» - d 6 \d b - \ Q p r o a + f (1,6) jednoznačně defnovány velčny *g ac (a, c = 1,..., w). Soubor těchto velčn e nazývá kontragredentním tenorem k tenoru *<7 aď. Tenor *(j ab je rovněž ymetrcký, tj. *(j a& = *g ha. Podobně jako u plochy v E 3 defnujeme elementy \ab} 1 *9"( d **9» + db *y««~ 0 «Vc*)*), (1,6) jejchž oubor nazýváme metrckou konexí varety V m. 3 ) Tj. regulární křvka druhé třídy v E n ve mylu Gauovy defnce. 8 4 ) 8 a*9db = ^ *^^& 245

5 Defnujme vektor T A ytémem rovnc B A T A = 0, a=l,...,m. (1,7) Z našeho předpokladu (II) a ze známé věty z lneární algebry plyne, že vždy extuje (v každém bodě varety V m ) n m lneárně nezávlých vektorů T A ( 1,...,n TO), které jou řešením rovnc (1, 7) a že každé řešení ÍF4 rovnc (1, 7) lze pát jako lneární kombnac vektorů T A, tj. n - m TA = I?*TA (A = l,...,n), (1,8) 8=1 kde /u jou koefcenty této lneární kombnace. Defnujme v E n vektory NA _ gabt^ m (1>9) Vektory N A, = l,...,n m jou v každém bodě varety V m nezávlé a defnují tedy v každém tomto bodě určtý lneární podprotor N E n^m (dmene n m) protoru E n, který nazýváme normálním protorem varety V m v uvažovaném jejím bodě. Z (1,9), (1,7) plyne 9ACB A N C =0, =l,...,n-m, (1,10) tj. vektory N A ( = 1,..., n m) jou kolmé k vektorům B A (a 1,..,, m) v bodě varety V m, tj. každý vektor N A je kolmý k tečnému protoru v bodě varety V m. Odtud a z předchozího plyne, že též každý vektor T E m n m N A z=2vn A (1,11) =l je v uvažovaném bodě kolmý k tečnému lneárnímu protoru E m. Není na újmu obecnot, jetlže vektory N A budeme volt tak, aby byly plněny podmínky 6 ) g AB N A NB = d r (,r=l,...,n- m), (1,12) r což je ekvvalentní předpokladem, že vektory N A jednotkové a vzájemně kolmé. ( 1,..., n TO) jou 5 ) Složky vektorů N A jou v témžo ytému ouřadném numercky tytéž jako ložky vektoru T A (zde je opět ^ < J ^ j ^ ) 6) 3 = < * pr 5 = r '.246

6 Lbovolný vektor U A v bodě x A varety V m můžeme pak pát jako lneární kombnac vektorů B A (a = 1,..., m), N A ( = 1,..., n m); tedy U A = Bfa? -m + 2 f F ' =l kde u, f jou koefcenty přílušné lneární kombnace. Př pevných ndexech a, b lze též vektor hbr-~b pát jako lneární kombnac vektorů B A, N A v uvažovaném bodě varety V m, tj. n - m d h BÍ=Al h B A o- 2K»N A. = 1 Z dferencální geometre je známo, že pro koefcenty A c, ab kombnace platí tj. platí formule h ab této lneární A l, = íll> K* = - N A (d a B c ) g AC, (1,13) \ab j 1 n-m { ab ab\ B *~-ž h Tato formule e nazývá Gauovou formulí pro varetu V m v E n, Defnujme ještě elementy B A takto: T' (1' M) B" A Bt = 6l í=/l VTOa = l!)a,b^l,..., m, A b 6^6 \ o pro a 4= 6/ ' 5 ^ = 0, -l,...,?-m. (1,15) Dá e nadno ukázat, že elementy B A jou rovncem (1,15) jednoznačně defnovány a že vyhovují náledujícím relacím: B A = g AC B c *g» a, (1,16). n _ m B5BÍ = ^5-2 ^ c = 1 (!» 16 )b Pojmy a relace, které jme v předchozím uvedl z teore m-rozměrných regulárních varet v E n, budou účelné pro další naše teoretcko-fykální úvahy. Přtom jme vycházel z předpokladu, že vareta je dána parametrckým popem (1,3). Vedle parametrckého popu m-rozměrné varety bude pro další naše úvahy účelné uvét tzv. mplctní defnc regulární m-rozměrné varety v E n. 247

7 Budž dáno n m (\ <Ln m <. r) funkcí o nchž budeme předpokládat: F(x A ), 1,...,n m, (1) F (x A ) ( = 1,..., n m) jou defnovány v určtém okolí U(x A ) bodu o x A e í? n a mají v tomto okolí pojté parcální dervace podle vých argumentů o x A (A 1,..., n) apoň druhého řádu. (2) Jet F(xF A ) = 0 pro 1,..., n m. (3) Matce S 0 /дғ дғ дx 1 õx 2 дf дf 2 2 дx 1 дx 2 8F \ \ &E 2" (1,И) e ғ в ғ n ~m n-m ô ғ n m má v bodě x A maxmální možnou hodnot, tj. n m. o Za těchto předpokladů říkáme, že ytémem rovnc F(x A ) = 0, 1,..., n m ДД8) je mplctně v okolí bodu x A e E n defnována regulární vareta druhé. o třídy (Mongeova defnce). Ze známé věty z teore mplctních funkcí a z předchozích našch předpokladů (1), (2), (3) vyplývá, že z rovnc (1,18) můžeme (lokálně v dotatečně malém okolí bodu x A ) vypočítat n m neznámých x, jakožto funkce zbývao jících m proměnných x. Není na újmu obecnot, jetlže předpokládáme, že determnant (n m)-tého tupně utvořený z poledních n m loupců matce (1,17) je od nuly různý. Potom můžeme (lokálně v dotatečně malém okolí bodu x A ) teoretcky míto ytému (1,18) pát ekvvalentní ytém rovnc o x m +)(x 1,... x m ), = x n (x г,...,x m ). (1Д9) Přmylíme-l k ytému rovnc (1,19) dentty x A x A (A = 1,..., m),potom je zřejmé, že rovnce (1,19) polu uvedeným denttam jou lokálním pecál- 248

8 ním parametrckým popem téže m-rozměrné varety, která je mplctně popána relacem (1,18). Ze hora ctované věty plyne též hned, že vareta popaná relacem (1,19) jet regulární?w-rozměrnou varetou druhé třídy ve mylu dříve uvedené parametrcké defnce. Z předchozího je evdentní, že v případě, kdy jde o m rozměrnou varetu v E n mplctně popanou rovncem (1,18) př platnot předpokladů (1), (2) (3) o funkcích F(x A ), je možné vždy mylet pro takovouto varetu její pecální parametrcký pop. Teore vycházející z parametrckého popu (1, 3) m-rozměrných varet v E n e vztahuje tedy (pokud e omezujeme jen na lokální vlatnot) též na varety mplctně popané, jetlže doažené výledné formule vhodně přepíšeme. Za uvedených předpokladí je každou z "relací v (1,18), tj. relací F(x A ) = 0, ( l,..., n m) lokálně popána regulární nadplocha (tj. vareta dmene n 1) ve V n. Vektor df F A ^9 AB ~ B (1,20) je vektorem ve měru normály této nadplochy v uvažovaném jejím bodě. Vektory F A ( = 1,..., n m) defnují pak jednoznačně normální protor N E n _ m varety V m (popané relacem (1,18)) v každém jejím bodě. Tím jme vyčerpal ta nejnutnější data o m-rozměrných varetách v E n, která nám budou v dalším užtečná. Zbývá nám ještě pojednat hledka matematckého o regulární křvce druhé třídy na m-rozměrné varetě V m. Nechť rovncem (1,3) je parametrcky popána regulární vareta druhé třídy v E n v nějaké oblat O c E m parametrů rf x ). Buďtež dále dáno m reálných funkcí rf(t) reálného parametru t, které vyhovují těmto předpokladům: (oc)rj a (t) (a = 1,...,m) mají pojté dervace apoň druhého řádu podle t v nějakém ntervalu / (uzavřeném, otevřeném nebo polootevřeném) parametru t. dr a (/?) Dervace rr- (a = 1,..., m) nejou oučaně rovny nule pro každé t e L (y) Pro každé tel je bod rf y] a (t) bodem oblat O c E m (tedy bodem z defnčního oboru funkcí x A (r] a )). Za platnot těchto předpokladů je rovncem > x A = x A (rj a (t)), tel (A = 1,...,n) (1,21) popána v E n regulární křvka druhé třídy, která leží ve varetě popané rovncem (1,3). 249

9 dx A Tečný vektor křvky (1,21) je vektor v E n o ložkách v A =_ (_4 = 1,... dř...,n) počátečním bodem v uvažovaném bodě dané křvky. Pro tento vektor plyne z (1,21) a (1,1) -*$ Pro abolutní velkot tohoto vektoru plyne z (1,22) a (1,5) da: 71 díc G 1T d?7 a d^b dř dt \f ' ab dt dt ' (1 > 22 > (1,23) Oblouk = (t) křvky (1,21) je pak defnován náledujícím běžným způobem t kde t Q je pevně zvolená hodnota z ntervalu L Pro vektor --=^- plyne z (1,22), (1,14) d_ 2^ dř 2 [ n-m W 4» J w ^ +jya^-' «J =l - tedy po úpravě d 2^ - R* [ d^ -rø 4- \ \ ^ d A V h dí?0 df]b N A (1 25\ dř 2 c \dř 2 ' \ab\ dt dt --V* dř dř Zavedeme-H označen ' v J ' =l đ?/ 0 đ 2?/ c, í c ì d^a d^ V ' r # + R ' ďw a d?7^ (1 ' 26 >- ^ Affl6 ~ď7"ďř (*= ->. >»»»). (1,26)!, potom můžeme relac (1,25) přepat na tručnější tvar ^--?*^-2»r (^> Symbol V/ je tedy ymbolem abolutní dervace, známým z dferencální geometre. Vztah (1,27) bude pro ná v dalším velm důležtým vztahem, na který e budeme čato odvolávat. fd 2^"! d z x A Označíme-H ymbolem r--- ložku vektoru r-^- do tečného protoru, [ d2 ah1 ^-~ ložku téhož vektoru do normálního protoru varety V m> potom z (1,27) je hned vdět, že platí 250

10 Závěrem tohoto odtavce ještě podotkněme, že každý vektor P A, defnovaný v bodech regulární varety (1,3), lze pát jako lneární kombnac lneárně nezávlých vektorů B A, N A (a = 1,..., m; = m -f- 1,..., n), jak jž bylo v textu uvedeno. Tedy n-m PA = BA w* + 2 r N A - 1 ' 29 ) =l Složka vektoru P A, dané varety, jet Z (1,29), (1,15) plyne pak a tedy padající v uvažovaném bodě do tečného protoru [P A ]T = B A w a. B\P A T E m [P A ] T = B A B Ь CPC. 1,30) 2. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ O DANÝCH STUPNÍCH VOLNOSTI Nechť v E?j je dána outava o počtu N hmotných bodů p x, p 2,..., p o hmo- JV tách m,m,...,mv uvedeném pořadí. Označme x a (a = 1, 2, 3) ouřadnce bodu 1 2 JV p { v E 3 ( e 1, 2,..., JV). Necht?7 a (a =- 1,..., m; 1 < m < 3N) jou nezávlé parametry, jmž je konfgurace outavy (tj. poloha všech bodů dané outavy) jednoznačně určena. Tento předpoklad lze potřebným matematckoteoretckým předpoklady nadno matematcky formulovat. Budž dáno 3N reálných funkcí x a (r] a ) (a = 1, 2, 3; = 1,..., N) reálných parametrů rf(a 1,..., m), 1 < m < 3N, které vyhovují těmto předpokladům: (1) a: a (^ ) ( 1,..., N; <x 1, 2, 3) mají pojté parcální dervace nejméně druhého řádu podle rf v nějaké oblat O c E^) parametrů rf. (2) Matce / 8X 1 dx 2 8x 3 8X 1 dx 2 dx 3 dx 1 dx 2 dx 3 \ JV N N ^ 8rf drf 8rf drf drf drf ' ' drf drf drf dx 1 8x 2 dx 3 dx 1 čx 1 dx drf drf drf drf drf drf dx 1 8x 2 dx 3 N N N ~o~rf Jrf ~дrf [2,1) dx 1 dx 2 8x 3 Sx 1 8x 2 8x 3 1_ ^ \ drf 1 ~drf h drf' drf Jrf 1 drf 1 má v každém bodě rf e O hodnot m. dx 1 dx 2 dx 3 N N N ' Щm ЦmҖm/ 251

11 Za těchto předpokladů je ytémem rovnc xa. ^^a) f a = 1,2,3; = 1,..., N (2,2) popána v E outava N bodů o m tupních volnot. Necht je dáno dále m reálných funkcí rj a (t) (a = 1, 2,..., m) reálného parametru t, které vyhovují podmínkám (a), (/?), (y) z odtavce 1. Potom relacem rf = V"(t), tel, (1 = 1 fl (2,3) je popána v E^1) regulární křvka druhé třídy, která leží ve hora ctované oblat O c E m. Doadíme-l do pravých tran rovnc (2,2) za rf funkce rf(ť) z rovnc (2,3), potom relacem x«= x«(rj«(t)), tel, a, = 1, 2, 3; = 1,..., N (2,4) je popána závlot polohy každého bodu dané outavy na jedném parametru t. Jetlže parametr t v (2,4) má fykální význam čau, potom relacem (2, 4) je popán zcela určtý pohyb dané outavy hmotných bodů a to takový, že v každém Čae t e I má myl mluvt o okamžté rychlot a o okamžtém zrychlení každého jejího bodu; přtom v lbovolném čae tel je okamžtá rychlot apoň jednoho bodu dané outavy nenulová. Tyto okolnot zdůvodňují účelnot našch ryze matematckých předpokladů pro vlatní mechanckoťykální problematku. Nechť ymbol P<* repreentuje vektor úhrnné íly 7 ) půobící na hmotný bod p( e 1,..., N). Kdyby hmotné body dané outavy nepodléhaly žádným vazbám, potom pohyb jednotlvých bodů outavy by byl popán ytémem Newtonových rovnc d 2 a m-^p--= P-(ť = l,...,n;a= 1,2,3). (2,5) Stuace by byla pak taková, že pohyb outavy by byl charakterován pohybem jednotlvých jejích bodů př naproté nezávlot těchto pohybů. Přílušné matematcké řešení pro pohyb outavy je pak realováno řešením dferencálních rovnc (2, 5) př každém v úvahu přcházejícím ndexu ú 1,......, N. Rovnce (2, 2) však předtavují určté vazby mez body dané outavy P«jou obecně funkcem proměnných ŮX* x*,t, (a =. 1, 2, Ъ; = 1,...,N). åt 252

12 a to vazby v parametrckém vyjádření. Zde je třeba přjmout a vylovt určtý fykam axom, který je opřen o fykální zkušenot a který je fundamentálním pro další tudum. Než tento prncp vylovíme, zavedeme určtá označení, účelná pro náš další potup. jednotlvých hmotných bodů outavy v náledu Setavme ouřadnce x a jící matc x 1 x г x 3 x 1 X л X" /V»l /X* Í /y»*> IAJ *A *A (2,6) X 1 Ж 2 X 3 1 N N N ' Defnujme nyní velčny Í A (A = 1,..., 3N) takto: kde л m = x a 2 ' _4 = 3(í lj + «(= 1,...,N;ct = 1, 2, 3). (2,7). (2,7) Ł Je zřejmé, že přřazením (2, 7) b je každé dvojc (, %) ( = 1,..., N; cx = 1, 2, 3) jednoznačně přřazeno čílo J. = 1,..., 3N. Položíme-H př daném A -= 1,......, 3N ;2,7) ( kde obvyklý ymbol značí takové celé čílo /c, pro které k < [--»-] <н, potom relacem (2,7) b, (2,7) c je defnováno jedno-jednoznačné přřazení celých číel A (A 1,..., 3N) celočíelným dvojcím (, «) ( = 1,..., N; oc = 1, 2, 3)- Právě popaná ouvlot mez ndexy A,, a je evdentní, jetlže použjeme matce (2,6); čílo A značí pořadové čílo míta" elementu x a v matc (2,6) př obvyklém očílování mít" zleva doprava a hora dolů, tak jak čteme jakýkol text. Analogcky defnujme P A = 1 P*. (2,8) ]/2m І 253

13 Př ymbolce (2, 7) a, (2, 8) můžeme v případě outavy hmotných bodů bez vazeb Newtonovy pohybové rovnce (2,5) přepat na jednodušší tvar á 2 Ě A -^fr = P ^ A = l,...,zn. (2,9) Doadme-l za x a elementy Í A z defnčních relací (2,7) a do levých tran v (2,2), potom rovnce (2,2) lze uvét na tvar ^ = = A ( r? a ) j A=1,...,3N, (2,10) kde funkce A vyhovují zřejmě požadavkům (1), (2) uvedeným na začátku odt. 2, přčemž dpa - jm dx a B ^ Í r a = ^^^a{a = l,...,n;a=l,...,m). (2,11) K zavedení nové ymbolky vedla tato úvaha: Pohyb dané outavy N hmotných bodů v uvažovaném čaovém ntervalu budeme znát, jetlže budeme znát ouřadnce x a každého hmotného bodu outavy jakožto funkce čau v pří lušném čaovém ntervalu, tj. dráhu jednotlvých hmotných bodů outavy. Pohyb outavy je pak popán ytémem rovnc x a f a (t) (oc 1, 2, 3; = = 1,..., N) anebo př označení (2,7) a ytémem rovnc A = FA( t^ A = 1,...,3N. - (2,12) Za určtých předpokladů o.funkcích F A (t) je rovncem (2,12) popána regulární křvka v eukldovkém protoru E m v kartézkých ouřadncích ; A (A = = 1,..., 3N). Pohyb dané outavy můžeme tedy nterpretovat jako pohyb určtého abtraktního bodu" po křvce v protoru E SN. Pro ouřadnce tohoto bodu I" 4 -platí však relace (2,10), které vzhledem k naším předpokladům a vzhledem k defncím z odtavce 1 předtavují regulární varetu dmene m v E ZN. Pohyb dané outavy N hmotných bodů, která má m tupňů volnot (1 < m < < 3N), můžeme tak převét na pohyb jedného (geometrckého) bodu po křvce, která leží na určté m-rozmérné vareté v E 3N. S tohoto hledka budou vedeny další naše úvahy. Je amozřejmé, že výledek vždy přepíšeme tak, abychom přešl opět k původní outavě hmotných bodů v E 3. Vylovme nyní důležtý fykální axom v náledující geometrcky průznačné formulac: Budž dána v E z outava N hmotných bodů o m tupních volnot (1 < m < 3N) parametrckým popem (2,2) rep. (2,10), který předtavuje lokálně geometrcké vazby mez jednotlvým body outavy. Potom íly kolmé k vazbám e nezúčatní pohybu a Newtonovy pohybové rovnce (2,5) rep. (2,9) platí lokálně v tečném protoru varety (2,10) 8 ). 8 ) Vareta (2, 10) předtavuje vazby outavy. 254

14 Tomuto zákonu dáme hned náledující matematckou formulac: (d 2 Í A d 2 A tj. ložka vektoru -j-r P A v E 3N, která padá do tečného protoru varety tlí (2,10), je rovna nule 9 ). Zřejmě můžeme předchozí ytém rovnc přepat na tvar Podle (1,28) je Гd 2 Л L dí ч = [P A ìт (2ДЗ) г = B A V t ~, (2,14) dr a kde B A mají význam z (2,11), ymbol V ť -~ je defnován v (l,26) a. Doadíme-H of z (2,14) a (1,30) do (2,13), dotaneme po úpravě B (v, * - B P c) = o, a tedy vzhledem k lneární nezávlot vektorů B A (a 1,.,., m) V ^ - ^ P S a=l,...,m, (2,15) což jou pohybové rovnce dané outavy o m tupních volnot. Rovnce (2,15) popují pohyb dané outavy v tzv. nvarantním tvaru hledka tenorového počtu. Rovnce (2,15) předtavují ytém obyčejných dferencálních rovnc druhého řádu pro neznámé funkce rf = rf(ť). Za platnot extenčního teorému Cauchyova, např. v tom případě, kdy funkce x a (rf) z (2,2) mají v uvažovaném oboru proměnných rf pojté parcální dervace nejméně třetího řádu a funkce P al ) mají pojté parcální dervace podle vých argumentů v přílušném vém defnčním oboru (který jme hora vymezl), je počátečním podmínkam M H = Ě ^V a o \at f t=t o (a=l,...,m) o lokálně jednoznačně defnováno řešení rf = rf(t) rovnc (2,15). Těmto počátečním podmínkam jou však podle (2,2) jednoznačně určeny hodnoty dx*\ dx a \ <rn=r<r> <rn ^-)-H^ c lh tj. počáteční poloha a počáteční rychlot všech bodů dané outavy. 9 ) Vz též označení v (1,28). 255

15 Z rovnc (2,15) můžeme zjtt bezprotředně některé fykálně okolnot, které uvedeme v dalším ub (I) až (VII). závažné (I) Nechť daná outava nepodléhá žádným vnějším lám, tj, P a = 0 pro 1,..., N\ OÍ = 1, 2, 3. Potom pohybové rovnce (2,15) e redukují na tvar tj. podle (1,26). dn a V ť --L-=-0, a=l,...,m, Rovnce (2,16) předtavují rovnce tzv. geodetckých čar varety V m v E 3N popem (2,10) známých z dferencální geometre. Výledek můžeme formulovat takto: Nen-l outava hmotných bodů, která je podrobena vazbám a která je outavou o m tupnch volnot (1 fs m < 3N) pod vlvem vnějších l, potom pohyb dané outavy probhá tak, ze jej lze př zvolené nterpretac geometrcké 10 ) popat jako pohyb jedného (geometrckého) bodu po geodetcké čáře m-rozměrné varety, repreentujíc vazby dané outavy (prncp prncp). Z (2,16) však dotaneme další zajímavý důledek. Z (1,24) plyne d _ dt ~" tjfd\ 2 ^ dr/ a drf> 9aЬ dř dř etrvačnot v protoru V m, tzv. Hertzův V*n ^Ĺ^t- V УaЬ dt dt ' Poněvadž křvka ve V m je oučaně křvkou v E ZN, je zřejmě a tedy, podle (2,7)., /-, \2 3JV,A2 dv _ gj^dg dt) ~ 9 A B dt dt N 3 m/dx a \2 N m kde j->.\ dt / --w ---v 2 \ dř / ---Í 2-4=1 \ ' ]=lí=l 2 = 1 d.r a dxl 7 z je čtverec okamžté rychlot bodu p dané outavy. OznaČíme-l ymbolem 10 ) Vz též Oornelu Lanczo: The varatonal Prncple of Mechanc, Toronto 1949, tr

16 E ka knetckou energ dané outavy, pak plyne z předchozího dtj 9ab dt dt PoužjemeJ vztahů (l,26) a, (2,17), (1,6), pak můžeme pát (pro regulární křvku druhé třídy popem rf rf l (t)) ka - d. _ / d '* \ d?! a d <V. 9* n V ÚV b _ ff} * v «V d >/ & <V, dl ^kn ~~ p ^6 ) ~dt ~dt + 2 ^ "ďt" "df - {dc 9ab) ~ďt ~ďt ~ďt + 2% ív d?r H d?f d7? 1 d^'-2% Iv * )*. (8 * 2 ^( v t^t-{ a c 4^T ďtfd H V ť d W d ( * * n * n ae(p. * n /) */7..:.- fl */7 \ ^ ^ ^ í/a& Í7 l^c íjcíí ^ d Uce c e V cd) "ÍT -"jt" "3T d?? a \ dí? 6 df? c d^d díf ^a drj a drj b drj c ''~dt~ďf~d7-2*^ v "d!t/ -S- ~df ^ + ť ~dt ^- ~ct -S- "dt -- (a c *^& - ae*7 M - ^*<7 C6 + a,*^,) Snadno ověříme, že druhý čítanec na pravé traně předchozí rovnce je roven nule. Tedy l ' ; Pro pohyb outavy, popaný rovncem (2,16), plyne z (2,18) -r- E kn 0, tj. kn je kontanta. Máme tak výledek, který lze ntutvně očekávat: Knetcká energe takové outavy hmotných bodů, která není pod vlvem vnějšího lového pole, je kontantní. (II) Povšmněme ještě, že knetcká energe dané outavy je funkcí prodr a měnných r) a, r) a == -~ (a = 1,..., m). To plyne z (2,17), jetlže uvědomíme defnc (1,5) velčn *<7 a6 (př významu (2,11) ymbolů.b^). Je tedy E kn -= *g ah (rf) ff \f _ ^J. (2,19) Odtud plyne O 77T " >ltn _ */7 fw& 4_ */y,/,a,s& 9*/y a z kterýchžto rovnc plyne dále použtím (l,26) a í n 9,'*/y ^a\ _ 9 / * n \ ^o^a _ _ 9*/; _ ;,a dř ap" ~ dt [ M } ~ 2 \drf 9ea j n V + 9ea dt }j ~ = 2(d*g ea ) r) r) a + 2*g ea V t rf - *g e *g ad (d*g db + d b *g cd - 8 d *g cb ) rfřf = =- 2*flf*V ^ + frf(2d*g eb - fl.fy., - B b *g ce + Č,*^) - - 2*g ea V t řf + ^) c 3 c *0 e6 - r) b rj«b b *g ce + r)v 3 e *<7 c6. (2,20) 257

17 Vzhledem k ymetr tenoru *g ab je takže dotaneme z předchozího r'ň c dc*g e * = řj b V c h*qa, kn -2*a V řfl -4- wtvf f) */7 Z (2,19) plyne však át dřj e yeavtv r rj rj o e g ( 8E V = (Be *g e1,) ň c ň b, takže můžeme relace (2,20) přepat na tvar chj A _! 5-2 % V r," (2 21. Rovnce (2,21) budou nám velm užtečné v další kaptole. (III) Z dferencální geometre je známo, že ytémem rovnc _?+{:} -$ kde f(t) je pojtě dferencovatelná funkce proměnné t, je popána obecně geodetcká čára varety V n m ); v případě, že f(t) není dentcky rovna nule v uvažovaném čaovém ntervalu, potom parametr t není metrckým obloukem této křvky ve V m. Položme nyní otázku, jaká je závlot knetcké energe dané outavy na čae v případě, že pop pohybu outavy je vyjádřen rovncem (2,22). Z (2,18), (2,17), (1,26). a (2,22) plyne pak j t^a =2*g ab f(t) á^á^ = 2E k J(t), tj. ^log^kn = 2/(ř), z čehož plyne ^ kde E ía je knetcká energe outavy v čae ř = 0. o Ve pecálním případě f(t) = (2,23) na tvar *_ =. _ > *. (2,23) 0 k 2 ~, kde h 4= 0 je kontanta, přejde formule o což odpovídá (zdealovanému) tavu, kdy daná outava je bržděna" ve měru pohybu jednotlvých vých bodů homogenním protředím, v němž e pohybuje. u ) Vz např.: J. A. Schouten-D. J. StruJc: Бnführung ín de neueгen Methodon der ГJfferentalgeometгe, Gгonngen-Batava 1935, tr

18 d) a (IV) Poaďme do (2,18) za V ř - z rovnc (2,15). Dotaneme tak, vzhledem k (l,16) a, (1,6), (2,11) J] <r>* n Rape V 9* n * n actapc n ^ ^ ^kn - 9al) 1S C r ^f ů 9ab 9 & c r 9CA ~^ ~ dn h d A Je však podle (2,7) a, (2,8) ЗJV,v з / m dж* лt dxp ZA <>^ - ^ /2m \ "2" "ďt ~ ^ ""^ dí ' kde Je tedy 1 pro <x = [3 9ač = ( *, p - 1, 2, 3. (2,23*) X 0 pro a + /J Nechť E kn značí knetckou energ dané outavy v počátečním čae t, ymbol o o E kn pak knetckou energ téže outavy v čae t (t je z uvažovaného čaového ntervalu), potom plyne z předchozí rovnce * r dx0 * r E ka - f kn == 2 J ř/^p a ~- dí - J J ^P* d^ ' í==1 ť í==1 *.. ' l (2' 24) kde fg aj3 P a dx0 je křvkový ntegrál (druhého druhu) podél trajektore hmotn, ného bodu p v čaovém ntervalu (t, ť). Velčny o A = fg af P*áz>, =l,...,m (2,25) k jou kaláry v E, př čemž A t předtavuje jak z mechanky známo prác vynaloženou lou repreentovanou vektorem P<* př přemítění hmotného bodu p dané outavy podél jeho trajektore z jeho počáteční polohy v čae t 0 do jeho polohy v čae t. Formul (2,24) můžeme tedy fykálně nterpretovat takto: Pro uvazovanou outavu hmotných bodů je úhrnná práce všech l na outavu půobících za dobu t t rovna přírůtku knetcké energe outavy. o 259

19 (V) Necht je dána funkce V(x a,x a,..., x a ) == V(x a ), která je pojtě dfe- 1 2 JV rencovatelnou funkcí apoň druhého řádu v nějaké 3N-rozměrné jednoduše ouvlé oblat U protoru E 3N, a to takové, že pro všechny hodnoty parametrů rf (a l,...,m) z oblat OcE m, v níž platí předpoklady (1), (2) z počátku odtavce 2, jou body x a x a (n a ) z oblat U. Předpokládejme dále, že platí g a( P a = - J~ pro = 1,..., N, (2,26) což je známý případ tzv. konervatvních l. Užtím (2,26) přejde formule (2,24) na tvar kde C 1 dx# an - f =-^2j 1 S"dT dí = г = x kn í ť!іm%*!ъ* <?-ъ 0 / г=l V = F(a-) ř, F = F ( я.«) V tomto pecálním případě platí tedy L\ n + V = E kn + V. (2,27) o o Platí-l pro lové pole, půobící na danou outavu, relace (2,26), potom přílušným lám říkáme íly- konervatvní a funkc V(x a ) nazýváme potencální energ outavy. Výledek (2,27) má náledující běžnou fykální formulac: Př pohybu outavy hmotných bodu v pol konervatvních l je úhrnná energe, tj. oučet energe knetcké a potencální, kontantní (na čae nezávlá). d 2 f 4 (VI) Obraťme e nyní k té ložce vektoru ry, která padá do normálního protoru \ N E 3N _ m varety V m (popané parametrcky rovncem (2,10)) v každém z uvažovaných bodů této varety V m. Podle označení zavedeného v (1,28) jde tedy o ložku L JV == kde h mají význam z (l,26) b a N- 4, = 1,..., 3N m jou jednotkové vek- S S tory v E^ vzájemně k obě kolmé a ležící v protoru N E 3N,_ m v uvažovaném bodě. 260

20 Podle (1,27) je však, př označení zvoleném v (2,10), r_!_-ť î J9~V.^ dí 2 ' dí a tedy, podle (2,15), (l,16) b, [ d2e_4-j,» _,32 ta / 3^_: ^1=^ - wc=^ ~ r ž r^r) pc = Odtud a z (2,28) vyplývá AZtA dí 2 3JV _ m ^p ~ P " + Z, = ( T c PC ) NA d 2 č A Q 3 ;V - TO V»-l S 8 Pro čtverec abolutní velkot vektoru Z A ohledem na (2,7) a, (2,8) v E 3N plyne pak z předchozího z.= Ěd 2 A \/d* B \ ř^. ž.=^(_f-p-)(_f._p»)_ a ý a o PB - p^p c - 9AB dt2 dt2-9ab dfž * -h W ^ - JV 3 m d 2 x a \2 ]/m d 2 x a l \~wl ~ 2 yfwn~w p * + 2^ ( p a ) t ) >.«_ «=1. anebo, použtím ymbolu g aj A r m d 2 «d % xp N d 2 x a _v ^=_> -_- ^ _. -a - 2» > -ďf. PÍ ^rr <2-29 ) Vektor Z A nazveme vektorem vazbové íly, kalár \Z\ pak mírou vazby hmotné outavy 12 ). Pro outavu volnou, pro níž platí Newtonovy rovnce (2,5), je \Z\ = 0, což je z předchozího evdentní. (VII) V odtavc 2 jme předpokládal, že je 1 ís m < 3V. Položme nyní otázku, jaký význam mají relace (2,2) rep. (2,10) v případě m 3N. S hle- 12 ) Termín vektor vazbové íly" v uvedeném pojetí e zde novo zavádí. Termín míra vazby" nahrazuje v naší lteratuře nevhodně užívaný pojem vázanot" nebo nutkání". 261

21 dka fykálního mohl bychom tuto tuac nterpretovat tak, že jde o outavu N hmotných bodů, která má 3N tupňů volnot. V takovémto případě můžeme (2", 10) pát ve tvaru ^ = W ) > A,B*=l,...,dN. (2,30) Za předpokladu, že funkce Í A (r] B ) mají v nějaké 3N rozměrné oblat proměnných 7] B pojté parcální dervace druhého řádu a že hodnot čtvercové matce 8S A z elementů -r ^ =- A A je v každém bodě uvažované oblat rovna 3N, potom relace (2,30) předtavují lokálně regulární tranformac ouřadnc v protoru E 3N. To je známá věc z dferencální geometre. Zaveďme v tomto případě obvyklejší ymbolku * B == rj B ; potom relace (2,30) mají přep přčemž defnujeme ^ = =^ (*^B ) J A,B=1,...,3N, (2,31) AA = = 8č A (7g *'B - 8 ^ B Metrcký tenor z defnce (1,15) má tvar > *9*A*B A* A A* B g AD ; je to tenor g AD v novém ytému ouřadném *Š A. Snadno e převědčíme, že pohybové rovnce (2,15) mají v tomto uvažovaném případě tvar d*ě A V t ~± r = *P A, (2,32) kde *P A = A* B P B a V; je ymbol abolutní dervace přílušný konex *{BC] = \ * g * A ' {8 -** g ' 'c + d ' c * g *** - d ' D ****> Rovnce (2,32) nejou pak nčím jným než přepem Newtonových pohybových rovnc do nových (obecně křvočarých) ouřadnc. S tohoto hledka můžeme tzv. volnou outavu o N hmotných bodech uvažovat jako outavu o 3N tupních volnot a zahrnout j do naš předchozí teore (tj. uvažovat v dalším 1 ^ ra ^ 3N). Všmněme ještě, že pro volnou outavu, pro kterou platí v ouřadncích A pohybové rovnce (2,9), je míra vazby, zavedená v (VI), nulová. To opravňuje též název velčny Z A v (VI). 3. DIFERENCIÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY A JEJICH EKVIVALENCE V odtavc 2 jme odvodl pohybové rovnce outavy N hmotných bodů, o které e předpokládá, že má ra tupňů volnot. Tyto pohybové rovnce (2,15), která jou vlatně popem pohybu jedného bodu v ra-dmenonální 262

22 varetě vnořené v E m ", nevythují názorným způobem to, co jme položl jako úkol, tj. najít pohybové rovnce dané outavy o m-tupních volnot v E 3. Je proto žádoucí přepat rovnce (2,15) na rovnce jm ekvvalentní, v nchž by vytupoval jednak ouřadnce (a jejch dervace podle čau) jednotlvých hmotných bodů dané outavy v E 3, jednak kutečné íly P a ( = 1,......, N; a. = 1, 2, 3), které na body outavy půobí. Uvedeme v dalším nejznámější a nejčatěj užívané přepy a prokážeme jejch vzájemnou ekvvalenc tak, že ukážeme, že každý z těchto přepů je ekvvalentní 13 ) ám o obě rovncem (2,15). (1) Prncp (ťalembertův. Vyjdeme z pohybových rovnc (2,15). Náobme tyto rovnce elementem B A a ečtěme pře ndex a (a = 1,..., m), tedy Odtud a z (1,27) plyne BV t á^ = B?MPc. n-m 'é A + 5/ hn A = E A E a cp c (3,1) S«=l S 8 Jet však podle (1,10), (1,5), (l,16) a, (1,0), n-m 9 AD ('é A + I ^A) B = g AD é A B (b = ",..., m), =l 9ADP A B C P C B? - *g a MP c = *ga,g CE B* *g«a P c ^ g CE BfPc = g AD B?P*. Odtud a z (3,1) plyne 9AD(Í A - P A ) B = 0 pro 6 = 1,..., m. (3,2) Sytém rovnc (3,2) přepšme na tvar 3JV 2(Í A -P A )B A = 0 (&=-l...,w)..4=1 S použtím (2,7) a, (2,8), (2,11) plyne pak odtud /v 3 A/m. ]/m 8x«a tedy po úpravě N 3 dx* 2 2 ( f - pa ) -h = Í=I*=I»< * ^ 13 ) Pojmu ekvvalence jet zde rozumět takto: Máme dva ytémy dferencálních rovnc, ytém I a ytém II. Nechť každé řešení ytému I je oučaně řešením ytému II a každé řešení ytému II je též řešením ytému I. Potom říkáme, že ytémy I a II jou ekvvalentní. 203

23 Jetlže ještě použjeme ymbolu g^p defnovaného v (2,23)*, dotaneme N 0x a y g af (mx* ~ P«) ^ = 0 (b = l,...,m). (3,3) ť=1 oy Nechť v h (b = 1,...,m) jou zcela lbovolná číla, z nchž apoň jedno je od nuly různé. Potom vektory 8x a v a = 4-r v b, = 1,..., N (3,4) v E 3, jchž počátečný bod klademe do přílušných hmotných bodů p, vyhovují relac N žg a/ (mx a -P a )vč = 0. (3,5) ť =l Vektory vp jou tedy vektory v E 3, které e dají pát ve tvaru (3,4), jnak jou zcela lbovolné. Defnujeme-l V A -== v a př ndexové korepondenc (2,7) b, (2,7) c, potom je, jak plyne z (2,11), (3,4), V A = tj. vektor v A, který repreentuje oubor vektorů v a ( = 1,..., N) v E 3N, leží v tečném protoru m-dmenonální varety v E 3N, která repreentuje přílušné vazby mez body uvažované- outavy. Říkáme tručné, že vektor v A udává za těchto okolnotí měr ncdentní vazbam. Je to tedy měr, který charakteruje možný pohyb outavy př daných vazbách. Poznamenejme zde, že v klacké mechance e míto ymbolů v a užívá ymbolů dv a. My e však tomuto označení vyhýbáme, poněvadž zde nejde vůbec o žádné varace, pro které je užívání ymbolu d obvyklé. Relace (3,5) nazývá e v dynamce zákonem ďalembertovým (prncp ďahmbertův). Dokažme nyní, že z (3,5) plyne (2,15). Platí-l pro pohyb dané outavy relace (3,5) př každém ouboru vektorů v a ( 1,...,N), které jou tvaru (3,4), potom platí zřejmě (3,3) a tedy též ( použtím defnčních vztahů (2,7) a, (2,8)) též rovnce (3,2). Avšak rovnce (3,2) říkají právě tolk, že ložka [F A ] T vektoru F A = jž A P A, padající do tečného protoru T E m varety F" TO 34) v jejím By, 14 ) Ym J e vareta, repreentující v E m vazby hmotných bodů dané outavy. 264

24 uvažovaném bodě, je nulová. To ověříme takto: Vektor F A pšme (podle (1,29)) ve tvaru n m F A = B A w a 2 rna ) S=l S.9 >A, Je zřejmě [F A ] T = B A w a. Z předchozích relací plyne ohledem na (1,10), (1,5) 9ACF A B C - g AC B A B c w a = *g ab w a. Z (3,2) a z defnce velčny F A vyplývá však, že levé trany v předchozích rovncích e anulují. Je tedy též *g ab w a = 0 pro b = 1,..., m. Pak je však *g bc *gabw a = t5> w c = 0 a tedy též [F A ] T = B A w a = 0. Je tedy [F A ] T = (Í A - P A ) T = [l A ] T ~ [P A ] T = 0, tj. platí (2,13). To je však podmínka, z níž jme dříve odvodl rovnce (2,15). Je tedy ďalembertův prncp, matematcky formulovaný v (3,5), ekvvalejtní pohybovým rovncím (2,15). Tím je ekvvalence rovnc (2,15) a (3,5) prokázána. Z předchozího vyvítá též, že fykální axom vylovený před podmínkam (2,13), je vlatní fykální formulací ďalembertova prncpu. (2) Lagrangeovy rovnce II. druhu. Vyjdeme opět z pohybových rovnc (2,15). Náobme (2,15) tenorem *g ab (defnovaným v (1,5)) a ečtěme pře ndex a = 1,..., m. Máme pak *9a~t d - *g ab B a cp c. (3,6) Podle (2,21) a (l,16) a, (1,6) je však 9aJ,V _H = l ld д ~,ы җ. dí 2 \dí drjb ~dr/b j ' *g ab B c P c = *g ab *g a *B» g DC pc - db%g DC P c - g DC B P c. (3,7) Odtud a z (3,6) plyne d ^kn ^kn át^b~~-l)rj^2^cb?p c. (3,8) Použjme vztahů (2,11), (2,7) a, (2,8), (2,23). Potom je ЗЛ' JV з І L ђ L ^9ncB^P c = 2 2, B A P A - 2^ J ľ - Л Ï7== Px ~ pm л= í=l Л=l N 3 2 * ^ fø" " дxß = - Z, P*~ - / a P* l Doadíme-l odtud do (3,8), dotaneme 2V л d a de kn y 8^ át df ' ^rj - fa 9«e P a ~ (b = 1,., m). (3,9) 265

25 Rovnce (3,9) nazývají e Lagrangeovým rovncem druhého druhu. Jetlže přpomeneme vztahy (2,2) a (2,17), pak je evdentní, že rovnce (3,9) předtavují ytém w-dferencálních rovnc druhého řádu pro neznámé funkce rf' tf(t). Vypočtením těchto funkcí ze ytému (3,9) (př daných počátečních podmínkách) a jejch doazením za rf do rovnc (2,2) dotaneme pak trajektore hmotných bodů dané outavy v parametrckém popu x* = x a (r) a (t)). Dokážeme nyní, že každé řešení tf(t) rovnc (3,9) je oučaně řešením rovnc (2,15). Tím bude ověřena jednak ekvvalence rovnc Lagrangeových druhého druhu pohybovým rovncem (2.15), jednak prncpem ďalembertovým. Z (3,8), (3,7) plyne hned přep (3,6) rovnc (3,9). Náobíme-l (3,6) tenorem *<7 6c (a ečteme pře b = 1,..., m), plyne odtud na základě relací (1,6) hned formule (2,15). Poznamenejme zde ještě, že Lagrangeovy rovnce II. druhu jou právě výhodné v tom případě, kdy daná outava o m tupních volnot je popána relacem (2,2), tj. parametrcky. V případě, že vazby mez hmotným body outavy jou dány ve tvaru (1,18), je výhodný jný přep pohybových rovnc (2,15), který nyní odvodíme., (3) Lagrangeovy rovnce I. druhu. Nechť je dána v E 3 outava N hmotných bodů f ( = 1,,,., N) o pravoúhlých kartézkých ouřadncích x a (<x = 1,2, 3), přčemž vazby mez body této outavy jou popány ytémem relací cp(x 1, x 2, x 3, x 1, x 2, x 3,..., x 1, x 2, x 3 ) = 0 (.5=1,..., 3N m) S N N N nebo tručněj cp(x a ) = 0, = 1,..., 3N m (1 < m < 3N). (3,10) S Budeme předpokládat, že funkce rp(x a ) ( = 1,..., 3N m) mají polečnou defnční oblat vých proměnných x a ( = 1,..., N; a = 1, 2, 3), v níž extují jejch pojté parcální dervace apoň druhého řádu. Dále budeme předpokládat, že množna 3N-tc číelných (x x,x 2,x 3, x x,x 2,x 3,..., x l, x 2, x 3 ) z uvažo N N 'N váné defnční oblat, které vyhovují relacím (3,10), není množnou prázdnou a že pro každou takovouto 3N-tc má matce z parcálních dervací ( = = 1,..,, 3N m; = 1,..., N; a = 1, 2, 3) maxmální možnou hodnot, tj, hodnot 3N m. Stručně řečeno: Necht pro outavu rovnc (3,10) jou lokálně plněny podmínky věty o mplctních funkcích. 266 dep

26 Zaveďme opět míto proměnných x a velčny A defnované v (2,7) a př ndexové korepondenc (2,7) bjc. Potom relace (3,10) můžeme přepat na tvar F(Š A ) = 0 ( = 1,..., 3N - m; A = 1,..., 3N). (3,11) Z našch právě uvedených předpokladů o funkcích (p plyne pak hned platnot podmínek (1), (2), (3) uvedených na traně 248 pro funkce F($ A ) ( = 1,...,.,., 3N-m). Na základě dat uvedených v odtavc 1 na traně 248 je pak relacem (3,11) popána lokálně v E ZN regulární vareta V m druhé třídy, která má dmen m. Na základě úvah téhož odtavce můžeme j^ro tuto varetu, která je geometrckou nterpretací daných vazeb outavy hmotných bodů, mylet její lokální parametrcký pop, který je pecálním případem rovnc (2,2). Potom však platí rovnce (2,15) pro pohyb dané outavy hmotných bodů, jak jme ukázal v odtavc 2. Jde tedy nyní jen o vhodný přep relací (2,15), účelný pro uvažovaný případ. Vyjdeme z pohybových rovnc (2,15) a ze vztahů (1,27) (kde míto x A ČL71 a Š A ). Doaďme do (1,27) za V t ~- oř píšeme z pohybových rovnc (2,15). Dotaneme tak 3N-m l A = B A B* C P C - 2 hn A. S=l Použjeme-h relac (l,16) b, pak můžeme přepat předchozí vztahy na tvar 3IV-TO VÍ _ PA _ 2 (T C N C +h)n A, (3,12) =l jak je též uvedeno v příkladě (VI) v odtavc 2. Položme v == (T C N C + h) (5=1,..., 3N - m). Potom můžeme (3,12) pát tručněj ve tvaru ZN-n l* _ PA j_ ^ V NA (A = 1,...,ZN). (3,12)* =l Právě tak jako vektory N A ( 1,..., 3N m), tak také vektory F A ( = 1, [..., 3N m), defnované v (1,20), defnují v uvažovaném bodě varety V m jednoznačně její normální protor N E 3N _ m v tomto bodě jak bylo uvedeno v odtavc 1. Můžeme tedy v každém bodě varety V m pát vektor N-' 1 == 2 jako lneární kombnac vektorů F A, 31V -m tj. 3N-m 3V-m =l vn A _ vn A = 2 t*f A (3,13) 207

27 Na základě (3,13) dotaneme přep 3JV-ÍH $A = PA + 2 lf A (A = 1,..., 3N) (3,14) =l a nčního vztahu Je tedy rovnc (3,12)*. Rovnce (3,14) přepíšeme tak, že míto A, P A, F A zavedeme 8<p původní velčny x a, P a, -^ podle relací (2,7) a, (2,8), přčemž použjeme def CJ\C F(Š A ) == <p(x*(š A )) ( == 1,..., 3N - m). "" lm p^ p«/2m * df d<p 1 / é) ^ 8x a ]/ m př korepondenc ndexů (2,7) b, (2,7) c. дf Poznamenejme, že numercky jou velčny F A 8, F A = -^ tejné, takže je v daném ytému ðf ouřadném Rovnce (3,14) nabudou pak tvaru 8<p = -- I/ 1 еж* I/ те a tedy po úpravě yff = y2m^a + 2 í 1/m^ ЗV-m gçз те * = P* + 2 Я " ^ (ѓ = 1,...,N;oc = 1, 2, 3), (3,15) г г ' OX =l př čemž X = 2//. Sytém rovnc (3,15) polu vazbovým podmínkam cp{x*) = 0 ( = 1,... 3N m) (3,15)* S í jou pohybovým rovncem dané outavy hmotných bodů podrobené vazbám popaným relacem (3,15)*. Rovnce (3,15) e nazývají Lagrangeovým 208

28 pohybovým rovncem prvního druhu. Spolu vazebním podmínkam (3,15)* předtavují celkem 6N m rovnc pro tentýž počet neznámých funkcí x a (ť), A(t). Dokážeme ještě, že každé řešení x a (t) rovnc (3,15), (3,15)* jet řešením pohy bových rovnc (2,15) v tom mylu, že mylíme-l pro varetu V m popem (3,11) lokálně parametrcký pop (2,2), potom př těchže počátečních podmínkách defnují rovnce (2,15) jednoznačně funkce 'r) a (t) takové, že x a (ť) = x a (r] a (t)), Rovnce (3,15) dávají př označení (2,7) a, (2,8) přep (3,14) ekvvalentní přepu (3,12)*. Z (3,12)* plyne však vzhledem k (1,15) aj B A ^ BAPA (a=l,..., m). (3,16) Mylíme-l v (1,27) míto x A ymboly g A, potom vzhledem k (1,15), (1,6), plyne odtud a tedy relace (3,16) přejdou v rovnce (2,15). Tím je ekvvalence rovnc (3,15) rovncem (2,15) prokázána. Součaně je tím dokázáno, že Lagrangeovy rovnce I. druhu jou ve mluveném dříve mylu ekvvalentní ďalembertovým prncpem a Lagrangeovým rovncem II. druhu, (4) Gauův prncp. Lagrangeovy rovnce I. druhu e dají velm nadno odvodt z ďalembertova prncpu matematcky formulovaného rovncem (3,5). Je však ještě jná ceta, která vede k rovncím (3,15) a která unadňuje nadnou jejch fykání nterpretac, V odtavc 2 příkladě (VI) jme defnoval pojmy vektor vazbové íly" a míra vazby". Míru vazby dané outavy hmotných bodů jme na ctovaném mítě defnoval jako abolutní velkot vektoru z Á = g A P A (A = 1,... 3N) ve m. Pro čtverec míry vazby jme odvodl rovnce (2,29). Defnujme kvadratckou funkc v proměnných a a ( = 1,..., N; oc => 1, 2, 3) ÍV m N N uw ""21 g^ap - 2 g^aapp + 2 0<" papft (3 ' 17) ^ ^ - ^ ^ 2 = 1 X - 1 = 1 v lbovolném bodě (x 1, x 2, x 3, x 1, x 2, x 3,..., x 1, x 2, x 3 ), pro který platí N N N (p(x a ) = 0, == 1,..., 3N - m, (3,18). tedy v lbovolném bodě varety V m c E m, která je geometrckou nterpretací vazbových podmínek (3,18). Předpokládejme v dalším, že funkce q>(x a ) jou S pojtě dferencovatelné nejméně druhého řádu ve vém defnčním oboru. 269

29 Př pohybu, dané outavy podrobené vazbám. (3,18) dotaneme trajektore každého bodu p outavy jako řešení Lagrangeovýeh rovnc I. druhu (3,15) ve tvaru x a x a (t). Je tedy též (p(x a (t)) = 0 pro 8 = 1,..., 3N m, S z kterýchžto dentt plyne za našch předpokladů jednak 15 ) jednak :v лг ć 2 гp dx a dx'! (kp d 2 x a N b(p dx 2«a = 0 ' < 3 > 18 >> ť- S ly, ' ; -í- -r + ~ J - ~r:a = 0» = 1,..., 3N - m. (3,18),., Z*\^ bx a (W dř dř 8x a dř 2 v h I V čae ř pevně zvoleném je poloha jednotlvých bodů p dané outavy cha dx a rakterována jejch ouřadncem x a (t) a vektory okamžté rychlot ^ ( );. v tomto čae t klaďme na proměnné a a A',-v a 2 (p dx a dx : d(p z (3,17) náledující podmínky: (a a ) == V I T v -r ; -4- ~r- + T" 1 - «a I = 0,.9 = 1,..., 3N m. (,19). < Z, l Z/ dx a dx' j v ; dt dí d.^ ' ' ' ' -l 3=1 2 ' Hledejme nyní mnmum kvadratcké formy U(a a ) z (3,17) na množně všech číelných 3N-tc {a a }, které jou podrobeny vedlejším podmínkám (3,10). Podle známé teore o vyhledávání lokálních vázaných extrémů funkcí 16 ) defnujme funkc ZN - m K(a a ).: Ct(a«) - 2 A<I>(««), (3,20) ť S=1 S S í kde A jou zatím neurčená číla (neurčté multplkátory). Z (3,20), (3,17) a (3,19) plyne ; 3V -w» fí(x> a*,- J j \ ^ Z^ 8 (íx a -- 1 a 2 K. /. /I pro = 7* t, / 1 pro a = B\ r r- mo J by.f I O,-,- = /,., O,* = / '. <?a«í?a^ " Ál ya \ " \ 0 pro t * 7 ' \ 0 pro a + /I 15 ) Sčítá e v dalším pro a od 1 do ) Vz např. V. Jarník: Dferencální počet, Praha 1953, Nakladateltví ČSAV, tr

30 IV Odtud vak plyne, ze kvadratcká forma > Y a Yl? e potvně z-w da a ca' 1 í,í=1 j ' defntní. Podle známé věty z teore vázaných extrémů funkcí 36 ) plyne odtud, že řešení (jednoznačné) a# ytému rovnc mg^ - g^p p :ÍN m 8(p - y A - = 0, ( - 1,..., N; * = 1, 2, 3) (3,21) * 4 3 C/ X 8=1 vede k mnmu formy (3,17) na uvažované množně 3N-tc {a a } za platnot podmínek (3,19). Vzhledem k defnc (2,23)* ymbolu g afl můžeme (32,1) přepat na tvar SN-m ()(p maf.= pn + V A -^, ( = 1,... N; 0 =- 1, 2, 3). ť Í J^~í $ (l X' Z Lagrangeových rovnc (3,15) víme, že v uvažovaném (pevném) čae t vektor d 2 x a d 2 x a - L- = x a vyhovuje právě předchozím rovncím. Je tedy Tf = - ^-. Výledek můžeme formulovat touto větou: Jkdz dána outava N hmotných bodů v E, A podrobená vazbám popaným relacem (3,I8) b (za předpokladů v předchozím uvazovaných). Potom pohyb dané outavy je takový, ze v každém čae vykazuje míra vazby mnmum v porovnání e všem tavy polybu, charakterovaným těmtéz poloham a rychlotm jednotlvých Jtmotných bodů outavy, avšak př lbovolných zrychleních, která, jou ve Jíodě podmínjcam (3,18) c, plynoucích z vazbových podmínek (3,18) a. Právě vylovené tvrzení e nazývá Gauovým prncpem. Z předchozího je zřejmé, že tento prncp není nčím jným, než fykálním závěrem plynoucím z Lagrangeových rovnc prvního druhu. Na Lagrangeovy rovnce (3,15) polu podmínkam (3,15)* e tedy můžeme dívat jako na matematckou formulac Gauova prncpu. Z ekvvalence Lagrangeových rovnc I. druhu prncpem ďalembertovým plyne pak hned ekvvalence Gauova prncpu ďalembertovým (a tím pochoptelně e všem přepy pohybových rovnc (2,15)), které jme doud uvedl. (5) Kanoncké Hamltonovy rovnce. Předpokládejme nyní, že íly půobící na hmotné body p ( = 1,..., N) dané outavy (pro kterou vazby jou popány rovncem (2,2), jou íly konervatvní, tj. extuje funkce (vz té tr. 260) V(x l, x 2, x 3, x 1, x 2, x 3,..., x l, x 2, x 3 ) = V(x a ) N N N (pojtě dferencovatelná apoň druhého řádu v nějaké 3N-rozměrné oblat vých argumentů takové, že funkce defnující vazby mez hmotným body 271

31 outavy mají myl a vyhovují tam požadavkům, které jme v předchozím vždy považoval) vlatnotí 17 ) H* _ gaf Z_ ( _ 1?.. N; _ 1 } a? 2, 3). (3,22) Za těchto pecálních okolnotí lze dát Lagrangeovým rovncím II. druhu (3,9) jednodušší tvar. Pro pravou tranu v (3,9) plyne z (3,22) Defnujme N dx a N ()x a 2 {h/jl - a 'é~~~^~~~ář~'~~~- 2=1 Í=l (3,23) L(rf, f) = E Un - V. (3,24) Na základě této defnce dotaneme vzhledem k (2,17), (3,22) _í n p Odtud, z (3,23), (3,24) plyne pak náledující přep rovnc (3,9) Í% ^1-V, b=l,...,m. (3,25) v ; dř órf drf ' ' Míto ymbolu V zaveďme ymbol E pot, což je zdůvodněno tím, že funkce V ve fyce předtavuje tzv. potencální energ dané outavy. Podle (3,24), (2,17) je tedy L(rf, f) - E kn - E pot - *g ab * ^ - V(rf). (3,24)* Odtud, plyne však d 2 L -;-.-T.T = 2*í7al> (3,26) Jab óf df v ; ' Defnujme nyní funkc HV, r) ffl ) - - L(íf, f) +?f ^ fo», *)«) (3,27) a a položme dále et P. = ^p fa*> p), (a ===!,...,»»). (3,27),, Dívejme e na defnční vztahy (3,27) b jako na ytém m rovnc pro m neznámých f(c = 1,...,m).\ Jakobán outavy (3,27) je determnant z elementů... a tedy podle (3,26) až na číelný faktor determnant ze ložek J crf crf ' tenoru *g abí defnovaného v (1,5), který je jak bylo uvedeno v odtavc ] různý od nuly v každém bode uvažovaného oboru. Podle známé věty "~~ ~TI/*-* =?> \ o, «+ p.

32 o mplctních funkcích je to však potačující podmínka k tomu, aby outava (3,27) Ď byla lokálně jednoznačně řeštelná vzhledem k elementům f(c = l,......, m). Můžeme tedy (3,27) Ď přepat lokálně na ekvvalentní tvar rf = f(rf, p c ). (3,28) 87.) 87.) Z dřívějších našch předpokladů plyne extence parcálních dervací ~~~, - -1, tj. parcálních dervací d 2 L 8. 8f 8r] ' 8f 8?) Podle defnce funkce L v (3,24)* rep. (3,24) je totž wk = 2 h *' Mr)h = 2(ř * g " 6) f wk = 2 *"- Odtud a ze známé věty o mplctních funkcích plyne též extence dervací 8f(?f, p_ 8_ a _r\", _) V " ' ~ Wh Doaďme do (3,27) a za f pravé trany rovnc (3,28); dotaneme tak funkc H(?f, p c ) == - L(rf, ]<Írf, p b )) + f(?«, p c )p b. (3,29) Pro funkc H(?f, p c ) z (3,29) odvodíme na základě Lagrangeových rovnc (3,25) a defnčních relací (3,27) 811 8L 8L 8f дf 8L _ d 8L d 8?] c 8r] c 8f 8rf 8rf ~ 8rf ~ át 8f ~ )otáváme tak ytém rovnc 811 8L 8?) a, 8f,. wг-wй + ú ' ŕ + ' ŕ = n 8H eн.. - Ve > -- = П (c = I,... m). o? Г r 8p 0 (3,30) Př známé funkc H(rf, p a ) je ytém (3,20) ytémem obyčejných dferencálních rovnc prvého řádu pro 2m neznámých funkcí p a (t), rf(t). Tím je řešení Lagrangeových rovnc (3,25) převedeno na řešení rovnc (3,30). Rovnce (3,30) nazývají e Hamltonovým rovncem; jou tzv. kanonckým tvarem, pohybových rovnc (3,25). Výhoda práce kanonckým rovncem (3,30) oprot rovncím (3,25) počívá v tom, že rovnce (3,25) jou ytémem dferencálních rovnc druhého řádu pro hledané funkce rf(t) (a 1,..., m), zatím co rovníce (3,30) předtavují ytém dferencálních rovnc prvého řádu. Je třeba nyní ukázat, že rovnce (3,30) jou ekvvalentní rovncem (3,25). Pak je však třeba k rovncím (3,30) přpojt defnční vztahy (3,27) a b. Z (3,27) b plyne především *-áh- < 3 ' 2 > Pc; 273

33 Přepšme (3,27) a na tvar n / L(r] a, r) a ) = - H(r] a, r) a ) + řf (rf, řf). úr] Podle naší defnce je však a tedy H(r] a, řf) = H(r] a, p a (rf, r) c )) 0 L L(rf, rf) -= - H(r] a, p a (r] c, řf)) + řf (rf, řf). Užtím (3,30) dotáváme dále 8L _ 8H _8H JJ 8 2 L 8rf ~~ ~ ~8r~f 8p c 8r] a P» + r) ~ a ^ 8 2 L_, b 8 2 L _. - Va ~ t V fya^-p"' Odtud a z (3,31) plyne pak hned ytém rovnc (3,25). Tím je prokázána ekvvalence Hamltonových rovnc * Lagrangeovým rovncem druhého druhu v případě, že íly P a jou konervatvní. Tím je však prokázána oučaně ekvvalence Hamltonqvých rovnc e všem přepy pohybových rovnc, které jme uvedl v předchozím ovšem za předpokladu, že jde o pole konervatvních l. Poznamenejme ještě, že funkce H(r] c, p c ) e nazývá funkcí Hamltonovou, zatím co funkc L(r] c, r) c ) říkáme funkce Lagrangeova. Souvlot mez oběma těmto funkcem najdeme velm nadno. Z (3,29), (3,24) plyne r)j H = E,- + E + j c ^kn T" -^pot T 0 Q-c 1 1 Na druhé traně plyne z (3,24) Platí tj. tedy H = tj- Dále jet, jak plyne z (3,30) 5*- H 8H. = rf! + 8rf ' H Ыa + E pot + 2E Ыn, = (^kn + ^pot) д H -a I H kont. ř] c p c = 0, 4. ZÄVËR Metodou, kterou jme potupoval, bylo by možno odvodt další přepy fundamentálních pohybových rovnc (2,15), např. přepy známé v dynamce 274