u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo

Transkript

1 Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce) k... hodnota přblžného řešení v uzlu (x, ) (rovnce závslé na čase t) f j f(x,y j ) Obyčejné dferencální rovnce, okrajové úlohy na ntervalu [a, b] Rovnoměrná sít uzlů x = a+h pro = 0,,2,...,m, kde x 0 a a x m b. Náhrada první dervace Náhrada druhé dervace Grafcké znázornění u (x ) + 2h (symetrcké schéma). u (x ) h 2. + Na hrancích oblast jsou uzlové hodnoty dány okrajovým podmínkam bud přímo u(a) = α 0 = α, u(b) = β m = β, α, β R, nebo nepřímo prostřednctvím rovnc. Je-l v okrajové podmínce přítomna dervace řešení, tj. u, pak zavedeme pomocný uzel vně ntervalu [a,b] a odvodíme dvě dferenční rovnce. Jednu z okrajové podmínky a druhou z dferencální rovnce uvažované v krajním bodě ntervalu. Například podmínka u (a) = α vede k 2h = α = 2hα, () kde u(x ) a x = a h. Dferencální rovnce aproxmovaná v bodě x 0 dává lneární rovnc svazující uzlové hodnoty, 0 a, v níž užtím rovnost () dosadíme za. Tím se zbavíme hodnoty v pomocném uzlu a rovnce spjatá s uzlem x 0 bude obsahovat jen neznámé 0 a. Analogcky se postupuje v bodě b (pomocný bod x m+ = b+h) nebo v případě jných typů okrajových podmínek, např. u (b) = α(u(b) β). Je možné uvažovat aproxmac u (x ) + h, ta je však méně přesná, a proto se jí, pokud je to možné, vyhýbáme. Vz též postup zpracování okrajové podmínky obsahující dervac.

2 Possonova rovnce 2 u x + 2 u = f. (2) 2 y2 Dferenční rovnce v uzlu (x,y j ) (pětbodové schéma): j 2j +j + h 2 Jestlže h = q (čtvercová sít ), pak + j Jestlže navíc f = 0 (Laplaceova rovnce), pak 2 j +j+ q 2 = f j. (3) j +j + +j + j+ 4 j = h 2 f j. (4) j +j + +j + j+ 4 j = 0, (5) z čehož dostaneme j = ( ) j 4 +j + +j + j+. (6) Vztahy (3)-(5) jsou vlastně lneární algebracké rovnce pro hodnoty přblžného řešení ve vntřních uzlech; je třeba sestavt celou soustavu rovnc, a pak j vyřešt. Ze vztahu (6) vychází Lebmannova terace. y j+ j+ j+ j+ + y j j j j + y j j j j + Na hrancích oblast jsou uzlové hodnoty dány okrajovým podmínkam Drchletova typu. 2 pozornění: Aby dferencální operátor přímo odpovídající Possonově rovnc byl poztvně defntní, uvádí se (2) často ve tvaru 2 u x 2 u 2 y = ˆf, jenž, př ˆf = f, je s (2) 2 ekvvalentní. Tomu pak odpovídá schéma j 2j +j + h 2 j 2 j +j+ q 2 = ˆf j. 2 Jné okrajové podmínky jsou možné, ale nebudeme se jm zabývat.

3 Rovnce vedení tepla u t = u a2 2 x 2. Dferenční rovnce v uzlu (x,τ k ) (čtyřbodové explctní schéma): k+ τ k = a 2k 2 k + k + h 2. (7) Podmínka stablty τ h2 2a 2. Z (7) dostáváme explctní vyjádření uzlové hodnoty k+ (hodnoty na k-té vrstvě jsou jž známy): na (k+)-ní časové vrstvě k+ volba τ = h2 rovnost dále zjednoduší 2a2 = k + a2 τ ( ) k h 2 2 k ++ k, k+ = ( ) k 2 ++ k. + k+ k+ k+ + k k + k k k k + Dferenční rovnce v uzlu (x,τ k ) (čtyřbodové mplctní schéma): k k τ = a 2k 2k + k + h 2. Metoda je stablní pro lbovolné τ. Hodnoty na (k )-ní časové vrstvě jsou jž známy, ale na k-té vrstvě ještě ne. Nelze je explctně určt, nýbrž je nutné ze sít ových rovnc sestavt soustavu, jejímž vyřešením dostaneme uzlové hodnoty přblžného řešení na k-té časové vrstvě.

4 + k+ k+ k+ + k k + k k k k + V obou schématech se uzlové hodnoty pro počáteční čas t 0 = 0 dostanou z počáteční podmínky 3 a hodnoty na koncích prostorového ntervalu (pro t,t 2,...) z okrajových podmínek. Vlnová rovnce 2 u t = u 2 a2 2 x2, a > 0. Dferenční rovnce v uzlu (x,τ k ) (pětbodové explctní schéma): k+ Podmínka stablty τ h a. 2 k + k τ 2 = a 2k 2k + k + h 2. (8) Z rovnost (8) dostáváme explctní vyjádření uzlové hodnoty k+ vrstvě (hodnoty na k-té a (k )-ní vrstvě jsou jž známy): k+ = 2 ( a2 τ ) 2 k + a2 τ 2 h 2 h 2 ( k + k + ) k, na (k +)-ní časové volba τ = h a vede k k+ = k +k + k. 3 Počáteční podmínkou je tedy určena počáteční časová vrstva a může být zahájen explctní č mplctní přechod k další časové vrstvě.

5 + k+ k+ k+ + k k + k k k k + zlové hodnoty pro počáteční čas t 0 = 0 se dostanou z počáteční podmínky předepsující u(x,0).zlovéhodnotypročast = t 0 +τ seurčípomocípočátečnípodmínkypředepsující u t (x,0). Tj. = 0 + τ u t (x,0). 4 Hodnoty na koncích prostorového ntervalu (pro t,t 2,...) jsou dány okrajovým podmínkam. Problémy se stabltou metody odpadají u vhodných mplctních schémat, např. u sedmbodového schématu [ ] k+ 2 k + k = k+ τ 2 2 a2 2k+ ++ k+ + k 2k ++ k, h 2 h 2 v němž je druhá parcální dervace podle x aproxmována průměrem dferenčních podílů na časových vrstvách k + a k. Pro každé tř sousední uzlové hodnoty na (k +)-ní časové vrstvě je třeba sestavt lneární algebrackou rovnc. Výsledné soustavě odpovídá třídagonální matce. Jejím vyřešením získáme hodnoty k+, =,...,M (hodnoty 0 k+ a k+ M jsou známy z okrajových podmínek). + k+ k+ k+ + k k + k k k + k Stejně jako u explctní metody, uzlové hodnoty pro počáteční čas t 0 = 0 se dostanou z počáteční podmínky předepsující u(x,0). zlové hodnoty pro čas t = t 0 + τ se určí pomocí počáteční podmínky předepsující u t (x,0), tj. = 0 +τ u t (x,0). 4 Počátečním podmínkam jsou tedy určeny dvě časové vrstvy a může být zahájen explctní přechod k další časové vrstvě.

6 Poznámka Některá schémata vedou k sestavení lneárních algebrackých rovnc pro neznámé hodnoty j (nebo k ) v těch uzlech sítě, v nchž přblžné řešení nelze určt přímo z počátečních a okrajových podmínek. Označení se dvěma ndexy je z hledska algortmu řešení soustavy rovnc neobratné. Proto se neznámé přejmenují novým symbolem s jedním ndexem, např.w l auspořádajídosloupcového vektoruw.paklzesoustavupsátmatcově Aw = g, kde sloupcový vektor g vznkne z hodnot f j (u Possonovy rovnce) nebo z hodnot přblžného řešení na nžší časové vrstvě.