Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Transkript

1 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/ Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete počet řešení dané soustavy v závslost na hodnotě parametru a R. c) Určete neznámou y v závslost na hodnotě parametru a. 2. Je dána matce A = a) Defnujte pojem nverzní matce ke čtvercové matc A. b) Uved te některou z nutných a postačujících podmínek exstence nverzní matce. Ověřte splnění této podmínky pro zadanou matc A. c) Vypočítejte A 1, deta, det(a 1 ) a det(aa 1 ). Ověřte z defnce správnost vypočtené matce A Je dána funkce f(x) = x x 2. a) Vypočítejte dervac f (x) a určete defnční obory D(f), D(f ). Napšte rovnc tečny ke grafu této funkce v bodě [x 0, f(x 0 )], je-l x 0 = 8. Pomocí rovnce tečny určete přblžně hodnotu funkce f v bodě x 1 = 7, 8. Popšte chování dané funkce v okolí bodu x 0 = 8, tj. zda je rostoucí nebo klesající, jak rychle (odhad sklonu tečny). b) Zdůvodněte exstenc a nalezněte absolutní extrémy funkce f na ntervalu I = 1; 1 (stanovte polohu extrémů, jejch typ a hodnotu). 4. Je dána funkce f(x) = ln x x a) Určete defnční obor D(f) a vypočítejte lmty funkce f v jeho krajních bodech. b) Určete ntervaly monotone a lokální extrémy této funkce. c) Nalezněte asymptoty grafu funkce f. Graf načrtněte. 5. Vypočítejte následující ntegrály. Nezapomeňte na ntervaly jejch exstence. a) ln 2 x dx b) (cos 2 ϕ + cos 3 ϕ) dϕ V úloze a) ověřte dervováním správnost výsledku. 6. a) Zapšte větu o ntegrac per-partes pro určtý ntegrál. b) Vypočítejte ntegrál 3 c) Vypočítejte nevlastní ntegrál ( kπx ) (x 2) sn dx x 2 dx. (s parametrem k N).

2 Matematka I B ukázkový test 1 pro 2018/ a) Rozhodněte, zda vektory u = (1; 2; 3), v = (0; 1; 1) a w = (3; 2; 1) jsou lneárně nezávslé. b) Je-l to možné, vyjádřete vektor a = (1; 2; 1) jako lneární kombnac vektorů u, v, w (tzn. určete koefcenty a zapšte tuto lneární kombnac). c) Na základě výpočtu rozhodněte, zda jsou vektory u a w na sebe kolmé. Určete úhel, který svírá vektor v s vektorem určujícím kladný směr osy z. 1, 0, 1 ( ) 2. Jsou dány matce A = , 1, 0, B = , 1, 3 a) Zdůvodněte exstenc a určete nverzní matc A 1. Ověřte z defnce správnost výsledku. b) Z rovnce X A = B vyjádřete neznámou matc X. Určete X pro zadané matce A, B. 3. Je dána funkce f(x) = e 2x 4. a) Vypočítejte dervace f (x), f (x) a určete hodnoty f(2), f (2), f (2). b) Napšte Taylorův polynom 2. stupně T 2 (x) funkce f se středem x 0 = 2. c) Napšte rovnc tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )], je-l x 0 = 2. d) Na základě znalost hodnot f(2), f (2), f (2) načrtněte tvar grafu zadané funkce pro x z okolí bodu x 0 = 2. Do téhož obrázku zakreslete tečnu z úlohy c). 4. Dána funkce f(x) = x x a) Určete její defnční obor. Je funkce f sudá nebo lchá? (Odpověd zdůvodněte.) b) Vypočítejte dervac funkce f a určete ntervaly monotóne funkce f. c) Vypočítejte lmty funkce f pro x a x +. Načrtněte graf. 5. Vypočítejte následující ntegrály. Pro ntegrál z úlohy a) uved te nterval(y) jeho exstence. a) r 1 r 2 5x 4 dr b) x 2 8x + 12 dx V úloze a) ověřte dervováním správnost výsledku. 6. a) Vypočítejte ntegrál (3x + 2) cos x dx. b) Vypočítejte obsah obrazce, který je pro x 0, π/2 ohrančen osou x a křvkou y = (3x + 2) cos x.

3 Matematka I A ukázkový test 2 pro 2018/ Jsou dány vektory a = (1; 2; 1), b = (3; 4; 5), c = (2; 1; 3) a d = (1; 2; 3). a) Zdůvodněte (nebo ověřte), že tato skupna vektorů netvoří báz prostoru V (E 3 ). b) Ověřte, zda platí následující geometrcké vztahy mez daným vektory: a d, ( a + b) c. c) Z vektorů a, b, c, d vyberte báz prostoru V (E 3 ). Ověřte, že Vám vybrané vektory skutečně tvoří báz prostoru V (E 3 ). d) Vyjádřete vektory c a d jako lneární kombnac vektorů Vám zvolené báze (tzn. určete koefcenty a zapšte příslušnou lneární kombnac). 0 1 a 1 2. Je dána matce A = 2 2 b a, b R a) Defnujte pojmy regulární a sngulární matce. b) Vypočítejte determnant matce A. Určete hodnost matce A, je-l a = 1, b = 2. c) Pro které hodnoty parametrů a, b R má homogenní soustava A x = 0 pouze trvální ( nulové) řešení? Odpověd zdůvodněte. 3. a) Defnujte pojem lmta posloupnost reálných čísel {a n } n=1. b) Dána posloupnost {a n = n n+1 } n=1. Vypočítejte její lmtu L. Pro ε = 0, 01 určete přrozené číslo n 0 tak, že pro všechna přrozená čísla n n 0 je a n U ε (L). c) Vypočítejte lmtu posloupnost: lm n n 4. Je dána funkce f(x) = x 2 x ( n(n 2) n2 3). a) Určete defnční obor funkce f a průsečíky grafu funkce f s osam x a y. b) Určete ntervaly monotóne a lokální extrémy. c) Vypočítejte lmtu pro x +. Načrtněte graf dané funkce na ntervalu 1; + ). 5. Vypočítejte následující ntegrály. Nezapomeňte na ntervaly jejch exstence. Ověřte dervováním správnost výsledku (stačí u jednoho ntegrálu). a) (x 2 x 3 + 2) sn x dx b) dx 16 x 4 6. Je dána funkce f(x) = 6x + 2 (x 2 1)(x + 3). a) Vypočítejte ntegrál f(x) dx. Určete ntervaly exstence. b) Vypočítejte obsah obrazce, který je pro x 2; 4 ohrančen osou x a křvkou y = f(x). Výsledek upravte. c) Rozhodněte výpočtem, zda konverguje nevlastní ntegrál + 1 f(x) dx.

4 Matematka I B ukázkový test 2 pro 2018/ Je dána soustava rovnc x + y 2z = 1 2x + y = 4 5x + y 3z = 13 a) Určete hodnost matce této soustavy a hodnost matce rozšířené. b) Pomocí Cramerova pravdla určete řešení dané soustavy. Proved te zkoušku Je dána matce A = Nalezněte vlastní čísla této matce. Zvolte jedno z nch a napšte odpovídající soustavu rovnc pro výpočet vlastních vektorů. Vlastní vektory pak určete. 3. a) Vypočítejte dervace 1. řádu daných funkcí: f(x) = 2x 2 5x + 8, g(x) = tg x ln(x 2 + 1). b) Pro funkc f(x) = x2 + 5 x + 2 vypočítejte jednostrannou lmtu zprava v bodě x 0 = 2, tj. f(x). Na zúženém defnčním oboru ( 2, + ) vyšetřete asymptoty této lm x 2 + funkce a zapšte jejch rovnce. (2n 3)(1 2n) c) Vypočítejte lmtu posloupnost: lm. n 5n Je dána funkce f(x) = 2x 3 x. a) Určete D(f), vypočítejte dervac f a stanovte její defnční obor D(f ). b) Určete ntervaly, na nchž je funkce f rostoucí, resp. klesající. c) Určete lokální extrémy funkce f a načrtněte její graf na ntervalu 3/2; Vypočítejte následující ntegrály. Ověřte dervováním správnost výsledku (stačí u jednoho ntegrálu). a) x 6 ln x dx b) sn 3 ϕ cos ϕ dϕ { x 2 pro x 0; 2 6. Na ntervalu 0; 4 je (po částech) defnována funkce f(x) = 6 x pro x ( 2; 4 a) Načrtněte graf funkce f(x) na ntervalu 0; 4. b) Vypočítejte určtý ntegrál funkce f(x), tzn. 4 0 f(x) dx. c) Určete střední hodnoty µ 1 a µ 2 funkce f(x) na ntervalech I 1 = 0; 2 a I 2 = 0; 4.

5 1. Je dána matce A Matematka I A ukázkový test 3 pro 2018/2019 A = a) Najděte spektrum a spektrální poloměr matce A, tzn. najděte množnu σ(a) = {λ } n =1 a číslo ρ(a) = max{ λ } b) Ověřte, že pro Vám vypočtená vlastní čísla platí vztahy pro stopu a determnant matce: n n n tr(a) = a = λ, resp. det(a) = λ = λ 1 λ 2... λ n. c) Pro nejmenší (v absolutní hodnotě) vlastní číslo matce A zapšte soustavu rovnc pro výpočet vlastních vektorů. Soustavu vyřešte a napšte odpovídající vlastní vektory. d) Napšte, jaký platí (obecně) vztah mez vlastním čísly a vektory matce A a A n. Užjte tohoto vztahu a nalezněte vlastní čísla matc A 1 a A 2 (pokud tyto matce exstují). Alespoň pro jedno z těchto vlastních čísel určete odpovídající vlastní vektory. x 2 cos x 2. a) Vypočítejte lmtu funkce lm x 0 cos x 1. Pokud se rozhodnete pro l Hosptalovo pravdlo, ověřte, zda ho lze použít. b) Napšte defnc ostrého lokálního mnma funkce. Napšte, ve kterých bodech může lokální extrém nastat. c) Dány funkce f 1 (x) = x 3 + 2, f 2 (x) = x 2 3x + 2. Načrtněte grafy těchto funkcí a zjstěte (a zdůvodněte), zda dané funkce mají lokální extrémy. Pokud ano, určete jejch polohu, typ a hodnotu. 3. Je dána funkce f(x) = 2x + 1 x2 2. a) Určete defnční obor D(f) a vypočítejte 1. a 2. dervac této funkce. Napšte rovnc tečny a rovnc normály ke grafu dané funkce v bodě [x 0, f(x 0 )], je-l x 0 = 0. b) Pro tuto funkc napšte Taylorův polynom T 2 (x) druhého stupně se středem x 0 = 0. Výsledku použjte pro výpočet přblžné hodnoty dané funkce f v bodě x = 1/2. Načrtněte tvar grafu zadané funkce pro x z okolí bodu x 0 = 0. Do téhož obrázku zakreslete tečnu z úlohy a). c) Napšte Lagrangeův tvar zbytku R 3 (x). Odhadněte velkost chyby př výpočtu přblžné hodnoty funkce f v bodě x = 1/2 pomocí polynomu T 2. d) Určete největší možný nterval 0, b, na němž je R 3 (x) 1/ Je dána funkce f(x) = e x2 +2x. a) Určete ntervaly monotóne a ntervaly, na kterých je funkce konvexní, resp. konkávní. b) Určete lokální extrémy. Najděte průsečíky grafu dané funkce s osam x, y. c) Vypočítejte lmty pro x, x + a načrtněte graf. ( 5. Vypočítejte ntegrály a) ln x + ) 1 ln x x dx, b) (2 3x) cos 5x dx. Nezapomeňte na ntervaly exstence ntegrálů. Ověřte dervováním správnost výsledku (stačí u jednoho ntegrálu). 6. a) Určete defnční obor a načrtněte graf funkce f(x) = x 1. b) Načrtněte obrazec ohrančený křvkam y = x 1, x = 0, y = 0 a y = 1 a vypočítejte jeho plošný obsah. c) Vypočítejte objem tělesa, které vznkne rotací tohoto obrazce kolem osy y.

6 Matematka I B ukázkový test 3 pro 2018/ Je dána soustava rovnc 2x 2y z = 5 x + z = 4 4x 2y + z = 3 a) Určete hodnost matce soustavy a rozšířené matce dané soustavy. b) Je možné k řešení této soustavy použít Cramerovo pravdlo? Zdůvodněte. c) Nalezněte řešení (pokud exstuje) dané soustavy. { } + 2n 1 2. a) Je posloupnost rostoucí nebo klesající? Odpověd zdůvodněte podle defnce. n 2 =1 b) Užtím l Hosptalova pravdla vypočítejte lmtu funkce lm x 0 x/2 x 3 e 2x cos 3x. c) Vypočítejte lmtu složené funkce lm x + ln x + 2 x. 3. Je dána funkce f(x) = 4 x 4 x 2. a) Vypočítejte dervac této funkce a stanovte její defnční obor. Napšte rovnc tečny ke grafu této funkce v bodě [x 0, f(x 0 )], kde x 0 = 2. b) Pomocí rovnce tečny vypočítejte přblžně hodnotu funkce f v bodě x = 2, 2. Popšte chování dané funkce v okolí bodu x 0 = 2, tj. zda je rostoucí nebo klesající, jak rychle (odhad sklonu tečny). c) Nalezněte absolutní extrémy funkce f na ntervalu I = 1; 4 (stanovte polohu extrémů, jejch typ a hodnotu). 4. Je dána funkce f(x) = (x 2) e x. a) Určete ntervaly, na kterých je daná funkce rostoucí, případně klesající. b) Určetete ntervaly, na nchž je tato funkce konvexní, případně konkávní. c) Určete průsečíky grafu s osam. Vypočítejte funkční hodnoty ve významných bodech (lokální extrémy, nflexní body) a načrtněte graf v ntervalu 1, 2. 1 ( x 5. Vypočítejte ntegrály a) (4 3x) e x 2 dx, b) x ) dx. x Uved te nterval exstence druhého ntegrálu. 6. a) Vypočítejte ntegrál x + 1 dx b) Načrtněte obrazec, který je omezen osou x a grafy funkcí y = x + 1, y = 1 x. Vypočítejte obsah tohoto obrazce. c) Vypočítejte objem tělesa, které vznkne rotací tohoto obrazce kolem osy x.