Numerická matematika A

Transkript

1 Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B, X = U J X + V, kde U J = D (L + P a V = D B Jacobova metoda je dána vzorcem X = U J X k + V J b Dle a je matce U J = D (L + P, nebo-l prvky matce U J = (u j jsou nulové na dagonále (u =, a mmo dagonální prvky jsou dány jako Pro řádkovou normu matce U J platí U J = max j u j = a j a a j u j = max a = max 1 a j 4 4 j, 1 a j < max a a = 1, kde poslední nerovnost platí vzhledem k tomu, že matce je ODD v řádcích c Matce A je ODD v řádcích, nebot platí (od 1 do 3 řádku 4 > 1 + 1, 4 > 1 + 1, > 1 d Dále s soustavu rovnc přepíšeme ve složkovém zápse z kterého vyjádříme -tou složku z -té rovnce Tedy rovnce 4x 1 + 1x x 3 = 4 1x 1 + 4x + 1x 3 = 4 x 1 + 1x + x 3 = upravíme a doplníme čísla terací: x ( 1 = 1 4 x ( = 1 4 x ( 3 = 1 ( ( 4 x (k + x (k 3 4 x (k 1 x (k 3 ( x (k 1 x (k,,

2 Volíme X = ( 4, 4, T, dosadíme do předchozích rovnc a spočteme 5 X 1 = 15 Dále X 1 X ( = Normy tohoto vektoru jsou = X (1 X ( = 3, X (1 X ( 1 = 8 A y + y y + 1 (y = y( =, y ( =, y ( = 1 a Rovnc zapíšeme jako y = y y 1 + (y, nebo y = g(x, y, y, y, kde g(x, y, y = y y 1 + (y Užjeme substtuc z 1 = y, z 1 = z z = y, z = z 3 z 3 = y, z 3 = z 1 z z, nebo Z = F (x, Z, kde Z = (z 1, z, z 3 T a F (x, Z = z z 3 z 1 z z b Postačující podmínky pro exstenc a jednoznačnost řešení dané úlohy jsou spojtost funkce g, g y, g y,g y Vdíme, že funkce g a parcální dervace g y = y, g y = y, g y = y jsou spojté pro lbovolný argument [x, y, y, y ], tedy hledaná oblast je G = {[x, y, y, y ] R 4 } c Dále x =, h =, Z ( = k 1 = F (, Z ( =

3 k = F (1, Z pom = Z (1 = Z ( + h = k Z pom = Z ( + h k 1 = A3 Je dána smíšená úloha pro rovnc vedení tepla = = u t = u + 4x v oblast Ω = {[x, t] : x (, 1, t > }, x u(x, = x + pro x, 1 a u(, t =, u(1, t = 4 t pro t a V případě mplctního schéma užjeme v bodě P = [x, t ] náhrady u (P = t u(p u(p k τ + O(τ U U k τ u u(p u(p + u(p +1 (P x = + O(h U +1 h Použjeme tyto náhrady v rovnc a dostaneme U + U h U U k τ = U +1 U + U + 4 x h Rovnc vynásobíme τ, označíme σ = τ h σ U +1 a upravíme + (1 + σ U σ U = U k + 4τ x b Volíme h = 5 a τ = 1, tedy σ = τ h = 5 = 8 Nejprve s načrtneme sít v oblast: A B C t = 1 t = x = 1 x = x = 1

4 Sestavíme rovnce dle a, v uzlech na první časové vrstvě (označených v obrázku zelenou barvou užjeme počáteční podmínku (x +, v hrančních uzlech (modrá barva užjeme okrajové podmínky ( a 4 t Tedy 8 ( + 6 U A 8 U B = ( ( ( 5, 8 (U A + 6 U B 8 U C = ( ( (, 8 (U B + 6 U C 8 (4 1 = ( ( (5 Soustavu rovnc upravíme a zapíšeme např v matcovém tvaru 6 8 U A U B = 8 6 U C 63 c Soustava rovnc je soustava se symetrckou poztvně defntní matcí a také ostře dagonálně domnantní matcí Vzhledem k tomu, že matce je ODD, tak je Jacobova terační metoda konvergentní A4 Řešíme Drchletovu okrajovou úlohu pro Possonovu rovnc v oblast Ω ve tvaru čtyřúhelník ABCD a u x u y = 5 b Nejprve s nakreslíme schema pro neregulární uzel a sousední regulární uzel u R h N δh Q stova prmka následně pak z podobnost trojúhelníků dostaneme U N U R h = ϕ(q U R (1 + δh, a tedy po úpravě ϕ(q = (1 + δu N δu R b Volte krok h = 1 a sít tak, aby bod [, ] byl uzlem sítě Sestavte sít ové rovnce v dané oblast

5 P C D A B Q Regulární uzly 4U A U B U C 1 1 = 1 4U C U A U D 1 1 = 1 Neregulární uzly (1 + 3 U B 3 U A = 1 ( U D 3 U C = 1

6 B1 Tabulka hodnot Numercká matematka B x 1 1 y 1 a Z tabulky hodnot vypočteme 1 = 4, x = 4, y = 5, x = 6, x y = 7, a dostaneme soustavu rovnc a a 1 a x 3 = 1, x y = 11, = x 4 = 18, b Řešení soustavy je a =, a 1 =, a = 1 polynom p (x = x 1 x c p (1 = 15 B Je dána Cauchyova úloha ( 1 Ẋ = ( t X + a Určete nterval maxmálního řešení dané úlohy (, X( = b Užtím Collatzovy metody s krokem h = 1 spočítejte přblžnou hodnotu X( a rovnce je lneární, dané funkce jsou spojté všude, tedy I = (, b Výpočet Collatz: k 1 = f(, X ( = t =, X ( = ( 1 ( (, h = 1 + (, = (

7 X pom = X ( + h ( k 1 = ( + 5 = ( ( ( ( ( 1 1 k = f(5, X pom = + = ( ( ( ( 1 X (1 = + 1k = + 1 =, B3 Je dána Drchletova okrajová úloha pro rovnc v samoadjungovaném tvaru (xy + (x + 1y =, y(1 = 1, y(3 = a Zapšte podmínky, které jsou postačující pro exstenc a jednoznačnost řešení obecné okrajové úlohy v samoadjungovaném tvaru Ověřte, zda jsou splněny Postačující podmínky pro ex a jedn řešení pro okrajovou úlohu pro rovnc jsou ( p, p, q, f - spojté na I = 1, 3 ( p(x >, q(x pro x I (p(xy + q(xy = f(x, V dané úloze p(x = x, (a také p (x = 1, q(x = x + 1 a f(x = jsou spojté na I Také p(x > a q(x b Zapšte sít ové rovnce pro krok h = Rozhodněte, zda matce této soustavy je ODD Zapíšeme nejprve sít ové rovnce pro krok h = 5 v uzlech x 1 = 15, x = a x 3 = ( y y = 5, 75 y 1 + ( y 5 y 3 = 5, 5 y + ( y 3 75 = 5, kde jsme hodnoty y = y(1 = a y 4 = y( = z okrajových podmínek Upravíme y y = 75, 75 y y 5 y 3 = 5, 5 y y 3 = 5,

8 c Matce soustavy je ODD, Jacobho metoda je konvergentní B4 a Podmínky souhlasu: Poloha (u, Rychlost (u t Bod x =, t = : x x= = t t=, 1 = 1 Bod x = 1, t = : 1 = 1, 1 1 = b Podmínka stablty pro h = 5 a τ = : c Nakreslíme s obrázek: σ = τ h = 4 5 = 64 A t = 4 B C D t = E t = x = 75 x = 1 Hodnota U E = 75 je dána počáteční podmínkou (nultá vrstva a hodnota U D = 1 je dána okrajovou podmínkou Hodnoty na první časové vrstvě spočteme (náhrada na 1 časové vrstvě U B = 5 + (1 5 = 6, U C = 75 + (1 75 = 8 Určíme přblžnou hodnotu řešení v bodě A[75, 4] tedy U A = σ U B + ( σ U C + σ U D U E + τ f(c, U A = 64 (6 + 7 ( (1 (75 + ( 75 = 86