( LEVEL 3 Laplaceova transformace jako nástroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. )
|
|
- Veronika Králová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí... Matematickým modelem edačky je diferenciální rovnice, jejíž řešení popiuje její pohyb. Připomeňme její odvození. F F y c m k y m F1 F F3 F m. g váha řidiče F 1 c. y reakce pružiny F k. y k. dy/dt reakce tlumiče F 3 m. y m. d y/dt etrvačný odpor F 3 F F 1 F m. y k. y c. y F m m 1 m m 1 hmotnot edačky m hmotnot řidiče g gravitační zrychlení c koeficient tuhoti pružiny k koeficient tlumení tlumiče Pro konkrétní hodnoty : m 1 0 kg m 0 kg m m 1 m kg g 10 m/ c N/m F m. g N k, N/m nabývá diferenciální popi tvaru : 100. y 400. y 000. y F Poloha edačky y je vztažena k utálenému tavu, odpovídajícímu deformaci pružiny vyvolané amotnou její váhou bez vnějšího zatížení. Váhu řidiče lze považovat za vnější ílu F [N] půobící na edačku. Poznamenejme, že kladnou výchylku y imulované reakce je nutné chápat tak, jak je naznačeno na obrázku, tedy proednutí měrem dolů.
2 Předpokládejme, že v utáleném klidovém tavu edačky ( nulové počáteční podmínky : y(0) 0, y (0) 0 ) doedne náhle řidič a vyvolá tak její pohyb. Řešení diferenciální rovnice za těchto podmínek a tímto buzením analyticky popiuje vyvolaný pohyb. Řešení : Nejprve připomeňme tatickou úvahu uvedenou již v první čáti textu. Jedná e o určení y( ) lim y(t), tj. celkové proednutí edačky v utáleném tavu, po odeznění t přechodového děje. Tuto hodnotu můžeme určit velmi nadno i jednoduchou úvahou bez použití ložité matematiky ( matematický rozbor však muí tento závěr amozřejmě potvrdit ). Z fyzikální podtaty je zřejmé, že e jedná o tabilní ytém v tom mylu, že po doednutí řidiče na edačku dojde k přechodovému ději, který e za konečný ča prakticky utálí. Po dotatečně dlouhé době t proto platí : F F( ) 00, y y ( ) 0, y y ( ) 0, y y( ) 0. Diferenciální popi tak přechází do tvaru : 100. y ( ) 400. y ( ) 000. y( ) F( ) y( ) 00 y( ) m 10 cm Zabývejme e dále pohybem edačky po doednutí řidiče. Její pohyb je analyticky popán v čae řešením uvedené diferenciální rovnice. Řešme ji pomocí Laplaceovy tranformace. Je to velmi jednoduchý a efektivní aparát, který nám umožní převét lineární diferenciální rovnici na rovnici algebraickou, v tomto tvaru pak nalézt řešení ( jeho obraz ) a opět ho převét zpět do čaové oblati. Byť tento potup vypadá na první pohled ložitě, řešení diferenciální rovnice je tímto způobem velmi jednoduché. K formálnímu řešení vytačíme několika málo korepondencemi a vlatnotmi, viz příloha na konci tohoto textu. Obraz diferenciální rovnice nalezneme nadno : 100. y 400. y 000. y F viz příloha na konci textu F(t) 00 / F( 100.[ y(0 ) y'(0 ) ] 400.[ y(0 ) ] 000. F( Obraz diferenciální rovnice je rovnice algebraická jedinou neznámou, obrazem řešení : y(0 ) [100 y'(0 ) 400 y(0 ) ] F(
3 vyjádřili jme tak obraz reakce dynamického ytému pro jakékoliv buzení a počáteční podmínky, v našem konkrétním případě však : 00 y( 0 ) y'(0 ) 0 ; F( ( 4 0 ) ( 4 )( 0 ) Poznámka : Hodnotu y( ) reakce edačky po odeznění přechodového děje můžeme ověřit již v této fázi řešení z nalezeného obrazu využitím limitních korepondencí mezi obrazem a předmětem (viz příloha na konci textu). y( ) lim lim 0 0 ( 4 )( 0 ) SROVNEJ! Použitím druhé limitní korepondence určíme naopak začátek pochodu, který muí být v ouladu e zadanými počátečními podmínkami. y( 0 ) lim lim ( 4 )( 0 ) 0 y' (0) lim ( 4 )( 0 ) Ověření hody těchto limitních hodnot v této fázi řešení je vhodnou kontrolou právnoti nalezeného obrazu. Poznamenejme však, že hoda hodnot nedokazuje právnot obrazu, ale naopak rozpor by prokázal chybu. 0 Řešení popiující pohyb edačky v reálném čae zíkáme zpětnou Laplaceovou tranformací. Nejprve obraz rozložíme na oučet parciálních zlomků, které pak potupně podle lovníku korepondencí uvedených v příloze na konci textu převedeme do hledaného předmětu. ( 4 )( 0 ) A B ( 4 ) C ( 0 ) A lim lim 0 0 ( 4 )( 0 ) B 1 lim ( 4 ) lim 4 4 ( 0 ) C 1 lim ( 0 ) lim 0 0 ( 4 ) ,05
4 Poznámka : Koeficienty parciálních zlomků lze určit i jiným způobem. Sečteme-li formálně uvažované parciální zlomky a rovnáme-li koeficienty u přílušných mocnin vzniklého polynomu v čitateli polynomem čitatele rozkládaného obrazu, dotaneme outavu algebraických rovnic, jejíž řešením jou hledané koeficienty (tzv.metoda neurčitých koeficientů). A B C A( 4 )( 0 ) B ( 0 ) C ( 4 ) ( 4 ) ( 0 ) ( 4 )( 0 ) (A B C) ( 4A 0B 4C) 0A ( 4 )( 0 ) ( 4 )( 0 ) A B C 4A 0B 4C 0A 0 0 A B C 5 0,05 Metoda neurčitých koeficientů e zdá být jednodušší (nad je i čatěji používaná), výpočet je však v obecném případě pracnější. Uvedený přítup limitními manipulacemi je vyoce efektivní zejména v případě reálných jednonáobných kořenů jmenovatele rozkládané funkce. Poznámka : Povšimněme i, že koeficienty A, B, C parciálních zlomků jou rezidua obrazu v jeho ingulárních bodech (pólech) a také e tak jako rezidua i počítají. Vzhledem ke tupňům polynomů čitatele (nula) a jmenovatele (tři) obrazu muí být jejich oučet roven nule. ( Součet reziduí je roven podílu koeficientů (n-1)-ní mocniny čitatele a n-té mocniny jmenovatele, kde n je nevyšší mocnina ve jmenovateli obraz muí být racionální lomená funkce ryzí. ) Tato kontrola je vhodným ověřením právnoti rozkladu. Ale pozor! V případě vícenáobných pólů nejou obecně koeficienty všech parciálních zlomků rezidua rozkládaného obrazu. V tomto případě je nutné i uvedený výpočet koeficientů parciálních zlomků poněkud modifikovat, viz např. /1/. Pokud máme obraz rozložený na oučet parciálních zlomků, jme již jen kouíček od hledaného řešení diferenciální rovnice. Z integrální podtaty Laplaceovy tranformace totiž vyplývá, že obraz oučtu dílčích funkcí e rovná oučtu jejich obrazů (a obráceně). Můžeme proto velmi jednoduše nalézt pomocí lovníku L-tranformace předměty odpovídající jednotlivým parciálním zlomkům a vyjádřit hledané řešení jejich oučtem. - 5 ( 4 ) 0,05 ( 0 ) Výledné řešení y(t) y'(t) ( - 5 e ( 0,5 e -4t -4t 0,5 e 0,05 e -0t ) η(t) -0t Rychlot pohybu edačky určíme jako derivaci ) η(t) 1 pro t 0 Symbol η (t) 0 t < 0 ( tzv.heaviideův jednotkový kok ) formálně ošetřuje platnot uvedeného vztahu jen pro t 0.
5 Ověřme právnot limitních hodnot řešení na začátku a na konci děje : y (0) lim y (t) lim ( - 5 e -4t 0,05 e -0t ) 0 t 0 y'(0 ) lim y'(t) y ( ) y '( ) lim y '(t) t t 0 t 0 t 0 lim y (t) t lim ( 0,5 e lim ( t -4t - 5 0,5 e e -4t -0t ) -4t -0t lim ( 0,5 e 0,5 e ) 0 SROVNEJ! t 0,05 e Ověření analytického a imulačního výledku imulací v protředí Matlab - Simulink : -0t 0 ) Soubor Model_edacky_3a.mdl viz příloha textu Simulační model edačky řidiče byl doplněn funkčním blokem (ve chématu označeno žlutě) realizujícím analytické řešení diferenciální rovnice. Praktická hoda je prokázána překrytím obou průběhů zakrelených do jednoho grafu (fialový průběh). Technická poznámka : Zobrazení různých průběhů do paralelních oken grafu zajitíme natavením parametru Number of axe v liště zobrazovače.
6 Situace. Dynamický ytém na mezi periodicity. Minimální hodnota tlumení k, při které e ještě neobjevují kmitavé ložky průběhu. Kořeny charakteritické rovnice jou reálné náobné. ( Modifikace matematického řešení. ) Obraz řešení diferenciální rovnice za tejných okolnotí jinými hodnotami kontrukčních parametrů pec m 100 m k c ( k 10 0 ) c 000 charakteritická rovnice a její kořeny 4 k 10 ± k k ; 1, pro dvojnáobný kořen k k ,9 10 [ N/m] 17, ,,94 Hodnota na mezi aperiodicity Obraz řešení je v tomto případě A B Y ( ( k 10 0 ) (,94 ) (,94 ) A lim lim 0 0 (,94 ) B lim (,94 ) lim 0,9,94,94 1 d d C lim { (,94 ) } lim lim,94 1! d,94 d,94 C (,94 ) Poznámka : V případě vícenáobných pólů by e koeficienty parciálních zlomků kleající mocninou kořenového činitele počítaly jako limita ze tejně rotoucí derivace {dtto} vynáobené faktoriálním koeficientem 1/n!, n řád derivace. Poznamenejme, že uvedené limity jou v regulárních bodech, takže e jedná jen o pouhé doazení hodnot (tejně tak, jako i v předcházejícím případě). Poznámka : V tomto případě jou rezidua pouze koeficienty A a C ( pozor! - B není reziduum ). Také i zde amozřejmě platí, že oučet reziduí je roven nule A C 0. 0,9 (,94 ) (,94 ) y(t) ( 0,9 t e -,94t e -,94t ) η(t)
7 Situace 3. Dynamický ytém kmitavý vlatními harmonickými ložkami pohybu. Kořeny charakteritické rovnice jou komplexní. Předpokládejme hodnoty parametrů m 100 [kg], k 400 [N/m], c [N/m] Y m 1 00 k c m 100 k 400 c 000 ( Charakteritická rovnice a její kořeny ; 1, 4 ± ( ) ± i,7 Kořeny charakteritické rovnice jou komplexní, dynamický ytém má vlatní kmity frekvencí,7 [rad/] a exponenciálním tlumením e -t. Rozklad na parciální zlomky předpokládáme díky komplexním kořenům ve tvaru A B C ( 4 0 ) 4 0 Koeficient A určíme nejlépe reziduálním výpočtem, koeficienty B a C metodou neurčitých koeficientů A lim lim B C (B ) (C 0,4) 4 0 ( 4 0 ) ( 4 0 ) B 0 C 0,4 0 0,4 4 0 B ; C 0,4 Náleduje důležitá úprava druhé čáti rozkladu ( parciálního zlomku odpovídajícího dvojici komplexně družených kořenů ) do tvaru podle poledních dvou korepondencí uvedených ve lovníku na konci textu TRIK! y(t) ( e { e 0,4 ( ) 76 -t -t co 76 t 0, e 76 ( ) 0, ( ) 76 ( ) ( ) 76 dále už jen jednoduchý převod podle uvedeného lovníku do předmětu in 0, t ) η(t) [ co(,7 t) 0,0 in(,7 t) ]} η(t) -t 76 ( ) 76
8 Podle vkuu, případně další kometická úprava y(t) [ e -t in (,7 t 1,37) ] η(t) [ e -t co (,7 t 0,) ] η(t) 0,0 ϕ ψ arctg 0,0 0,0 arctg 1,37 0, Situace 3.- jiná varianta řešení Předpokládejme tejnou ituaci, tejnou diferenciální rovnici, ukažme i však jinou variantu přechodu od obrazu k řešení v čaové oblati. Předpokládáme tejné hodnoty parametrů m 100 [kg], k 400 [N/m], c [N/m] Y m 1 00 k c m 100 k 400 c 000 ( ( Stejná je amozřejmě i charakteritická rovnice a její kořeny ; 1, 4 0 ) 4 ± ± i,7 Rozklad na parciální zlomky však předpokládáme ve tvaru komplexními koeficienty ( 4 0 ) A B C ( i,7) ( i,7) Všechny koeficienty A, B, C jou v tomto případě rezidua obrazu v jeho pólech a určíme je A lim lim 0 0 B C lim i,7 lim i,7 ( i,7) ( i,7) 4 0 lim i,7 lim i,7 L 0,05 i 0,01 ( i,7) L 0,05 i 0,01 ( i,7) Poznámka : Koeficienty B a C muejí být nutně komplexně družené, nebylo proto nutné C znovu počítat. Zde jou všechny tři koeficienty parciálních zlomků rezidua obrazu v jeho pólech, proto také platí A B C 0. Rozklad na parciální zlomky ( 4 0 ) 0,05 i 0,01 ( i,7) 0,05 i 0,01 ( i,7) pomocí lovníku (viz na konci textu) přechod do předmětu
9 y(t) [ { e L ( 0,05 i t [( 0,05 i { e 0,01) e -t ( i,7 )t 0,01) (co,7t ( 0,05 i 0,01) e iin,7t) ( 0,05 i ( i,7 )t 0,01) (co,7t [ co(,7 t) 0,0 in(,7 t) ]} η(t) ] η(t) iin,7t)]} η(t) SROVNEJ! Samozřejmě, že výledek je naproto tejný. Obě varianty e liší jen přítupem ke zpětné Laplaceově tranformaci. ( Všechny cety přeci vedou do Říma. :o) ) Jak je tedy ctěná libot, mně e první přítup, bez práce v komplexní oblati, zdá poněkud jednodušší a příjemnější. Čaový průběh pohybu edačky řidiče F y m c k Vypracoval : Janeček J., KŘT TU Liberec
10
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Více( LEVEL 2 něco málo o matematickém popisu, tvorbě simulačního modelu a práci s ním. )
( LEVEL 2 něco málo o matematickém popisu, tvorbě simulačního modelu a práci s ním. ) GRATULUJI! Pokud jste se rozhodli pro čtení této části proto, abyste se dostali trochu více na kloub věci, jste zvídaví
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza elektronických obvodů
Jiří Petržela příklad nalezněte dvě různé realizace admitanční funkce zadané formou racionální lomené funkce Y () () ( ) ( ) : první krok rozkladu do řetězového zlomku () 9 7 9 výledný rozklad ( ) 9 9
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Více25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )
VíceAutomatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou
Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem
Více7 - Ustálený stav kmitavý a nekmitavý, sledování a zadržení poruchy
7 - Utálený tav kmitavý a nekmitavý, ledování a zadržení poruchy Michael Šebek Automatické řízení 018 31-3-18 Automatické řízení - ybernetika a robotika zeílení ytému na frekvenci ω je G( jω) - viz amplitudový
Více4. Práce, výkon, energie
4. Práce, výkon, energie Mechanická práce - konání mechanické práce z fyzikálního hledika je podmíněno vzájemným ilovým půobením těle, která e přitom vzhledem ke zvolené vztažné outavě přemíťují. Vztahy
VícePodpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík
Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík Bakalářká práce 6 ABSTRAKT Abtrakt čeky Tato bakalářká práce e zabývá vzorovým vypracováním zápočtových protokolů polu návrhem zadání
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VOKÁ ŠKOLA BÁŇKÁ TECHNICKÁ NIVEZITA OTAVA FAKLTA TOJNÍ ZÁKLAD ATOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 9. týden doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Otrava 03 doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceSystém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon
Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení
VícePříklady k přednášce 2 - Spojité modely
Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 5 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti -5-5 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice
VícePříklady k přednášce 2 - Spojité modely
Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 8 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti 9-6-8 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentká, 6 7 Liberec POŽADAVKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z FYZIKY Akademický rok: 0/0 Fakulta mechatroniky Studijní obor: Nanomateriály Tématické okruhy. Kinematika
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
VíceRovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..8 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 7 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně píše minut na řešení příkladů
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
Více8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus
8 - Geometrické míto kořenů aneb Root Locu Michael Šebek Automatické řízení 206 0-3-6 Metoda Root Locu Walter R. Evan, AIEE Tranaction, 948 Metoda root locu neboli geometrické míto kořenů vykreluje polohu
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VícePříklady k přednášce 20 - Číslicové řízení
Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Víces požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do
Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
VícePropočty přechodu Venuše 8. června 2004
Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 V tomto dokumentu předkládáme podmínky přechodu Venuše pře luneční kotouč 8. června roku 2004. Naše výpočty jme založili na planetárních teoriích VSOP87 vytvořených
VíceTlumené a vynucené kmity
Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností
VíceMANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0
www.eucitel.cz MANUÁL Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 Autor: RNDr. Jiří Kocourek Licence: Freeware pouze pro oobní potřebu. Použití ve výuce je podmíněno uhrazením ročního předplatného přílušnou
VíceŘešení úloh 1. kola 51. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D = s v 2
Řešení úloh 1. kola 51. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů 1.a) Dobaprvníjízdynaprvníčtvrtinětratije 1 4 1 4 48 t 1 = = h= 1 v 1 60 60 h=1min anazbývajícíčátitrati t = 4 v = 4
Více25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceÚSTŘEDNÍ KOMISE FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY
ÚSTŘEDNÍ KOMISE YZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY E-mail: ivo.volf@uhk.cz, tel.: 493 331 19, 493 331 189 Řešení úloh krajkého kola 55. ročníku yzikální olympiády Kategorie E Předložená řešení by neměla
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceŘešení úloh 1. kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autořiúloh:J.Jírů(1,3,4,7),I.Čáp(5),I.Volf(2),J.JírůaP.Šedivý(6)
Řešení úloh 1. kola 48. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autořiúloh:J.Jírů(1,3,4,7),I.Čáp(5),I.Volf(2),J.JírůaP.Šedivý(6) 1.a) Jetliže kolo automobilu neprokluzuje, je velikot okamžité rychloti
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
Vícepřednáška TLAK - TAH. Prvky namáhané kombinací normálové síly a ohybového momentu
7..0 přednáška TLAK - TAH Prvky namáhané kombinací normálové íly a ohybového momentu Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu tlak Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu Namáhání kombinací
VíceANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM
ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM P Kytka J Novák ČVUT v Praze Fakulta tavební katedra fyziky Práce e zabývá analýzou průchodu paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je
VícePosouzení stability svahu
Inženýrký manuál č. 8 Aktualizace: 02/2016 Poouzení tability vahu Program: Soubor: Stabilita vahu Demo_manual_08.gt V tomto inženýrkém manuálu je popán výpočet tability vahu, nalezení kritické kruhové
VíceVýfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů
Výfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů Úvod Ve fyzice obča narazíme na problémy jejichž řešení je mnohdy komplikované a zdlouhavé. Avšak v určitých případech e tyto ložité problémy dají vyřešit velmi
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
VíceVzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl sloužit jako vzor pro tvorbu vašich vlastních protokolů.
Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl loužit jako vzor pro tvorbu vašich vlatních protokolů. Na příkladech je zde ukázán právný zápi výledků i formát tabulek a grafů.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceTeorie systémů a řízení
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007 Předmluva Studijní materiály eorie
Více1.1.7 Rovnoměrný pohyb II
1.1.7 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 16 Minulou hodinu jme zakončili předpovídáním dalšího pohybu autíčka. Počítali jme jeho dráhy v dalších okamžicích pomocí tabulky a nakonec i přímé úměrnoti: autíčko
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VícePříklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového nosníku
Příklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového noníku Uvažujte železobetonový protě podepřený noník (Obr. 1) o průřezu b = 00 mm h = 600 mm o rozpětí l = 60 m. Noník je oučátí kontrukce objektu pro kladování
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 016 15-4-17 Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy netvoří těleo (jako reálná číla, racionální funkce, ) ale okruh (jako
VíceTéma: Analýza kmitavého pohybu harmonického oscilátoru
PRACOVNÍ LIST č. Téa úlohy: Analýza kitavého pohybu haronického ocilátoru Pracoval: Třída: Datu: Spolupracovali: Teplota: Tlak: Vlhkot vzduchu: Hodnocení: Téa: Analýza kitavého pohybu haronického ocilátoru
Více1 Úvod do číslicové regulace
Automatické říení II Úvod do čílicové regulace V náledujícím textu budou uvedeny ákladní vlatnoti, popiy a přehledy týkající e problematiky čílicové regulace. Některé kapitol budou také obahovat řešené
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Více21 Diskrétní modely spojitých systémů
21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VícePříklady k přednášce 16 - Pozorovatel a výstupní ZV
Příklady k přednášce 6 - Pozorovatel a výtupní ZV Michael Šebek Automatické řízení 08 6-4-8 Příklad: Pozorovatel pro kyvadlo naivně pro kyvadlo frekvencí ω 0 a rovnicemi x 0 x 0 navrhneme pozorovatel dvojitým
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
VícePříklady k přednášce 6 - Spojování a struktury
Příklad k přednášce 6 - Spojování a truktur Michael Šebek Automatické řízení 07 7-3-8 Automatické řízení - Kbernetika a robotika Zpětnovazební pojení tavových modelů Odvození obecného případu (značení
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Více4 HMM a jejich trénov
Pokročilé metody rozpoznávánířeči Přednáška 4 HMM a jejich trénov nování Skryté Markovovy modely (HMM) Metoda HMM (Hidden Markov Model kryté Markovovy modely) reprezentujeřeč (lovo, hláku, celou promluvu)
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceVŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra automatizační techniky a řízení
VŠB - echnická univerzita Otrava Fakulta trojní Katera automatizační techniky a řízení Ověření méně známé metoy eřizování regulátorů čílicovou imulací a na laboratorním moelu teplovzušného agregátu Vypracoval:
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceAnalýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZIT V LIBERCI Savová regulace Liberec Ing. irolav Vavroušek . Savová regulace V práci e budu zabýva analýzou yému popaného diferenciální rovnicí: Řešení bude probíha pomocí yému TLB...
VíceREGULACE EL. POHONŮ Stabilita a tlumení. Obr. 1. Schéma uzavřené regulační smyčky. Obr. 2. Ukazatele kvality regulace
EP-egulace EP EGULACE EL. POHONŮ Stabilita a tlumení Obr.. Schéma uzavřené regulační myčky Obr.. Ukazatele kvality regulace V regulačních pohonech pouzujeme kvalitu regulace nejčatěji dle přechodové charakteritiky,
VíceAutomatizační technika. Obsah. Algebra blokových schémat Vývojové diagramy. Algebra blokových schémat
Akademický rok 07/08 Připravil: adim Farana Automatizační technika Algebra blokových chémat, vývojové diagramy Obah Algebra blokových chémat ývojové diagramy Algebra blokových chémat elikou výhodou popiu
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Gradovaný řetězec úloh Téma: Komolý kužel Autor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy:
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VíceNásobení. INP 2008 FIT VUT v Brně
Náobení INP 2008 FIT VUT v Brně Náobení a náobičky Při náobení číel v dvojkové outavě můžeme náobit abolutní hodnoty číel a pak doplnit do výledku znaménko, anebo raději náobit přímo číla e znaménkem.
VíceAnalýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace
Analýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X k jf j xk, je komplexní číslo r e r e k Oboustranná
Více