5. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 5. cvičení z Matematické analýz října - 3. litopadu linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v bodě 5.9, 0.0. b Pomocí diferenciálu vhodné funkce ve vhodném bodě počtěte přibližnou hodnotu výrazu a Pro a =, je linearizace funkce f v bode a 0 tvaru ga = fa 0 + f a 0 [a a 0 ] = = + 36 Přibližná hodnota funkce f v bode 5.9, 0.0 tak je f5.9, 0.0. = g5.9, 0.0 = Pro rovnání: přená hodnota zaokrouhlená na 5 deetinných mít je f5.9, 0.0. = b Pro jednoduchot budeme uvažovat funkci definičním oborem,, z > 0 a předpiem f,, z = = 2 z 3 3 z 4 a najdeme její linearizaci v bodě a 0 =,,. Pak je f,, z = 2 3 z 4, z 4, z 5 4 f,, = a linearizace tak pro a = a 0 + h, kde h = h, h 2, h 3 je 2, 3, 4 ga 0 + h = fa 0 + f a 0 [ h] = + 2, 3 4, h h 2 h 3 = + 2h 3 h 2 4 h 3. Pro a =.03, 0.98,.05 tj. h = a a 0 = 0.03, 0.02, 0.05 tak máme přibližnou hodnotu funkce f jako fa =. ga = = tečné rovin Předpokládejme, že výška terénu v R 3 je popána grafem funkce f : R 2 R, f, = V bodě A = 2,,? uputíme míč. Určete měr při pohledu hora, tj. v R 2, i v protoru, tj. v R 3, kterým e bude kutálet.

2 Dále určete, zda je trmější tečná rovina v bodě A nebo v bodě B = 0,,? tj. porovnejte úhl, které tto rovin vírají e základnou z = 0. Míč e bude kutálet ve měru největšího pádu funkce, tj. proti měru gradientu 2 gradfa = , = 4 49, 4 49 a=2, ted ve měru určenému vektorem v =, pro jednoduchot jme ho nenormovali. V protoru to pak bude měr určený vektorem V = v, v =,, Úhel α, který vírá tečná rovina v bodě A = 2,, 7 e základnou z = 0, je určen jako tgα = v a, kde v = gradfa gradfa. Neboli tgα = v a = gradfa[ v ] = gradfa = Podobně, úhel β, který vírá tečná rovina v bodě B = 0,, 3 e základnou z = 0, je určen jako tgβ = gradfb = 0, 9 4 = 4 9. Protože je tgβ > tgα, je v bodě B rovina trmější než v bodě A. 5.3 tečné rovin Najděte rovnici tečné rovin k a elipoidu z 2 =, která je rovnoběžná rovinou ϱ : z = 3. b elipoidu z2 9 =, která vtíná tejné úek na všech ouřadnicových oách. Použijeme náledující důledek vět o implicitní funkci: Věta: Necht G je otevřená množina v R 3, f : G R je pojitě diferencovatelná na G. Označme M = {a G fa = 0} vrtevnici funkce f. Jetliže pro každé a M platí, že gradfa 0, pak tečná rovina k M v bodě a 0 = 0, 0, z 0 M má rovnici 0 gradfa 0 0 z z 0 = 0. a V našem případě je f,, z = z 2 a G = R 3. Zřejmě gradfa = 2, 4, 2z. Takže gradfa = 0 právě kdž a = 0, 0, 0. Ovšem tento bod není v M. Můžeme proto použít uvedenou větu a normálový vektor tečné rovin v bodě a 0 = 0, 0, z 0 M je právě gradfa 0. Tato rovina bude rovnoběžná ϱ, která má normálový vektor n ϱ = 4, 2,, právě kdž 2 0, 4 0, 2z 0 = gradfa 0 = λ n ϱ = λ 4, 2, pro nějaké λ R, ted 0, 0, z 0 = 2λ, λ/2, λ/2. Součaně má také platit, že z0 2 =. Po doazení pak dotaneme 2λ 2 + 2λ/2 2 + λ/2 2 = ted λ = ±2/ 9. Hledané tečné rovin pak muí mít normálový vektor n ϱ, ted rovnici z = c, kde neznámé hodnot c R určíme doazením počítaných bodů a 0 = ± 9 4,,, kterými tečné rovin muí procházet. Výledek je z = 9 a z = 9. Page 2

3 b Potupujeme podobně. Rovina, která vtíná tejné úek na všech ouřadnicových oách, má normálový vektor n =,,. Ted 20 25, 2 0 6, 2z 0 = gradfa 0 = λ n = λ,, 9 pro nějaké λ R. Dotáváme λ = ±2/ 25 a tečné rovin jou + + z = 5 2 a + + z = úhl grafů funkcí Nalezněte úhel, který vírají a graf funkcí f, = ln a g, = in v bodě, 0,?. b ploch M : z 2 = 8 a N : z 3 2 = 6 v bodě 2, 0, 2. a Úhel, který vírají graf funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými tečnými rovinami a ten je zae určen jejich normálovými vektor, tj. gradient. Graf i zadáme implicitně: pro f to bude Γ f = {,, z R 3 F,, z = 0 &, 0, 0}, kde F,, z = 2 ln2 + 2 z a pro g to bude Γ g = {,, z R 3 G,, z = 0}, kde G,, z = in z. Normálové vektor tečných rovin v A =, 0, 0 jou n = grad F A = 2 + 2, 2 + A 2, =, 0, n 2 = grad GA = co, co, = 0,, Úhel α 0, π 2 je dán jako co α = n n2 n = n 2 2, ted α = π 3. a b Gradient funkcí F,, z = z 2 8 G,, z = z v bodě A = 2, 0, 2 jou n = grad F A = 2, 2, 2z A = 4, 0, 4 n 2 = grad GA = 2, 2 2, 2z 3 = 2, 4, 2. Úhel α 0, π 2 je dán jako co α = n n2 n = 0, ted α = π n 2 2. A A Page 3

4 5.5 všší parciální derivace Ukažte, že a každá funkce tvaru H, t = f + at + g at, kde f, g mají pojitou druhou derivaci a a R, je řešením vlnové rovnice 2 H 2 = a2 2 H 2. b každá funkce tvaru F, = f 2 2, kde f má pojitou derivaci, je řešením rovnice 2 + = F. c každá funkce tvaru F, = n f 2, kde f má pojitou derivaci a n N, je řešením rovnice + 2 = nf. a Jen pro úplnot: Jetliže funkce f má pojité všechn druhé parciální derivace na nějaké otevřené množině G, pak ve všech bodech množin G eituje také druhá derivace funkce f. Eitenci druhé derivace funkce H tak máme zaručenu. Při výpočtu použijeme derivaci ložené funkce a tandardní pravidla pro počítání derivacemi: Dále máme takže opravdu 2 H 2 = a 2 2 H 2. H, t = f + at a + g at a H, t = f + at + g at 2 H 2, t = f + at a 2 + g at a 2 2 H 2, t = f + at 2 + g at 2 Řešení vjadřuje dva proti obě potupující ignál na přímce, které e pohbují tejnou rchlotí o velikoti a. b Eitence první derivace funkce F je opět zaručena. Výpočet je opět tandardní:, = f 2 2 2, = f2 2 + f Takže opravdu 2, +, = = 2 3 f f f 2 2 = = f 2 2 = F,. Page 4

5 c Eitence první derivace funkce F je opět zaručena, definičním oborem jou bod, kde 0. Potupujeme podobně:, = nn f 2 + n f 2 2 3, = n f 2 2 Takže opravdu = n n f + 2 = 2 2 n 2 f n 2 f 2 = n n f 2 = nf,. = 5.6 tranformace diferenciálního výrazu Tranformujte výraz a pomocí polárních ouřadnic. b + pomocí nových proměnných r = a ϕ = arctg. c pomocí proměnných a t takových, že = t a = t +. Vvětlení: Co to znamená vjádřit nějaký výraz případně rovnici v jiných ouřadnicích? Předtavme i to tak, že v R n žije funkce f tj. f : R n R. Protor R n nebo jeho čát můžeme ale popiovat také pomocí jiných křivočarých ouřadnic Φ : G R n, kde G R n je vhodná množina. Je to podobné, jako kdž nějaké území na Zemi zachcujeme na různých mapách. A tejně jako nějaká oblat na Zemi vpadá na různých mapách vžd trochu jinak, tejně tak e funkce f vjádřená pomocí ouřadnicového popiu Φ bude také pokaždé jevit jinak půjde totiž o funkci f Φ : G R. Pokud např. v případě a funkci f : R 2 R přiřadíme funkci + : R2 R popanou tandardními ouřadnicemi, pak chceme vědět, jak bude vpadat odpovídající přiřazení v polárních ouřadnicích pomocí tranformace Φ, kd funkci F := f Φ : G R přiřazujeme funkci Φ : G R. + Poledně zmíněnou funkci ovšem chceme vjádřit pomocí derivací funkce F podle nových ouřadnic. Jak je vidět, i pře ložení funkce f e zobrazením Φ, jde vlatně pořád o tentýž objekt, tj. tutéž funkci na protoru R 2. Poznámka: Tranformace ouřadnic je bijektivní zobrazení. Pro diferencovatelnou tranformaci, pak požadujeme, ab definiční obor i obor hodnot bl obě otevřené množin a inverzní zobrazení blo také diferencovatelné. a Máme polární ouřadnice Φ : 0, + 0, 2π R 2 \ {, 0 0} r, ϕ, Page 5

6 ve formě = r co ϕ = r in ϕ. Není těžké zjitit, že e jedná kutečně o bijekci tj. Φ je proté a urjektivní a inverzní zobrazení je také diferencovatelné. Definiční obor tranformace Φ i můžeme náledně vzít i jiný např. 0, + π, π abchom pak pokrli další čát R 2, kterou jme mueli vnechat při první volbě definičního oboru tranformace. Ovšem bod, = 0, 0 budeme muet v oboru hodnot vnechávat vždck, protože tam b tranformace nebla bijektivní. Nní potřebujeme vjádřit hodnot, = Φr, ϕ a F r, ϕ = f,. Vezmeme i ted rovnot a použijeme na ní a neboli = čímž dotaneme, a F r, ϕ = fr co ϕ, r in ϕ, pomocí hodnot a fr co ϕ, r in ϕ = co ϕ + in ϕ = fr co ϕ, r in ϕ = r in ϕ + r co ϕ co ϕ = r in ϕ in ϕ r co ϕ r, ϕ a r, ϕ, kde Odud vpočítáme např. invertováním matice nebo analogick vnáobením rovnic tak, abchom zíkali výraz co 2 ϕ + in 2 ϕ = : = co ϕ in ϕ r = in ϕ + co ϕ r Takže po doazení a vjádření a pomocí r a ϕ dotáváme = r co ϕ in ϕ + co ϕ r r in ϕ co ϕ in ϕ r = r b Jedná e zae o polární ouřadnice tentokrát zúžené, i kdž to není hned úplně vidět, protože je to zadáno pomocí inverzního zobrazení. Kdž i totiž vezmeme Φ : 0, + π 2, π {, > 0} 2 ve formě tak pro Φ dotaneme r, ϕ, = r co ϕ = r in ϕ r = tgϕ =. Page 6

7 Poznámka: Původní výraz r = a ϕ = arctg ice tvoří diferencovatelné zobrazení na množině {, 0}, ale na této množině toto zobrazení není proté: pro, je tejná hodnota jako pro,. Položme F = f Φ. Parciální derivace f vjádřené pomocí parciální derivace F ted můžeme počítat přímo, což také z cvičných důvodů uděláme i kdž výledek amozřejmě už známe z předchozího příkladu. Z rovnoti f, = F 2 + 2, arctg ihned máme = = = = Takže po doazení a vjádření a pomocí r a ϕ dotáváme = = = = r = c Budeme potupovat tejně jako v příkladu a. Položíme F = f Φ pro Φ, t =, a ted F, t = f, t,, t a dotáváme = + neboli takže máme = = t 2 = + = = Po doazení a vjádření a pomocí a t dotáváme t 2 2 t+ t+ 2 t+ t t+ = t 2 2 t + t t = + 2 t + + t t + = Page 7

8 t = t t + t + t t t + = +. Poznámka: Měli bchom ještě zjitit jakým zobrazením Φ jme vlatně pracovali, tj. najít definiční obor a obor hodnot tak, ab zobrazení blo bijektivní atd.: Definiční obor e určitě muí vhnout přímce = 0. Dále zjitíme, které bod, můžeme jednoznačně popat pomocí, t, neboli ze vztahu = t a = t + určíme a t. Máme = t a = + = + ted = a t = + + pokud. Pokud je = pak je t = a ted = t + = 0. Tudíž vzor bodu, =, 0 jou bod, pro 0 R. Jetliže i ted zvolíme definiční obor zobrazení Φ jako pak jeho bijektivním obrazem bude obor hodnot D Φ = {, t R t 0} H Φ = {, R 2 0} Obě tto množin jou otevřené a navíc e obě rozpadají na 4 dijunktní ouvilé otevřené množin. Zobrazení Φ je ted určené vým předpiem a tím odkud a kam jde Φ : D Φ H Φ. Co e týče diferencovatelnoti zobrazení Φ i jeho inverze, tu už jme vlatně zkontrolovali výše a je vidět, že právě t výraz ve jmenovatelích, které b nám vadil, jme odtranili při volbě definičního oboru Φ. Page 8