2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC

Transkript

1 25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc v matcovém tvaru (Frobenova věta); že jednoznačné řešení soustavy lneárních rovnc lze vyjádřt elegantně pomocí matcového počtu, a to buď pomocí nverzní matce nebo pomocí determnantů (Cramerovo pravdlo); matcovou formulac elmnační metody Klíčová slova této kaptoly: matcový záps soustavy lneárních rovnc, matce soustavy, sloupec (vektor) neznámých, sloupec (vektor) pravých stran, rozšířená matce soustavy, Frobenova věta, matcový záps řešení soustavy lneárních rovnc, Cramerovo pravdlo, elmnační metoda, zpětná substtuce Čas potřebný k prostudování učva kaptoly: 0,5 +,5 hodny (teore + řešení příkladů)

2 Matcový záps soustavy lneárních rovnc Defnce Nechť je dána soustava m lneárních rovnc o n neznámých: a x + a x + + a x = b 2 2 n n a2x + a22x2 + + a2nxn = b2 a x + a x + + a x = b m m2 2 mn n m a a a a a a 2 n k = am am2 a mn a) Matc A n ( a ) typu (, ) b) Matc A ( a ; b ) n 2 typu (, ) mn nazýváme matcí soustavy a a2 a n b a a a b k k = mn+ nazýváme rozšířenou matcí am am2 amn b m soustavy x T x x2 = x :, x2,, xn nazýváme vektorem (sloupcem) neznámých x n b b T b 2 = b, b2,, bm nazýváme vektorem (sloupcem) pravých : b m stran c) Sloupcovou matc ( ) d) Sloupcovou matc ( ) Věta Soustavu m lneárních rovnc o n neznámých, uvedenou v předchozí defnc, můžeme zapsat v matcovém tvaru Ax = b Poznámka Na pravé straně rovnce se jedná o matcové násobení Ověřte sam, že typově je vše v pořádku Frobenova věta Věta Soustava lneárních rovnc je řeštelná právě tehdy, má-l matce soustavy A a rozšířená matce soustavy A stejnou hodnost h Pak pro h= n exstuje právě jedno řešení, pro h< n exstuje řešení nekonečně mnoho

3 Poznámka a) Pro homogenní soustavu rovnc, tj soustavu, jejíž vektor pravých stran b je nulovým vektorem, z uvedené věty plyne, že má vždy aspoň jedno řešení (protože matce rozšířená se od matce soustavy lší přdáním nulového sloupce a tato operace nemění hodnost) b) Uvážíme-l platnost relace h( A) mn ( m, n), platí v případě, kdy soustava má řešení, tj kdy h( A) = h( A ) = h, nerovnost h m Jestlže je tato nerovnost v konkrétním případě ostrá, tj h< m, znamená to, že soustava obsahuje pouze h sgnfkantních rovnc a zbytek ( m h) jsou rovnce, které z těchto rovnc vyplývají a můžeme je jako nadbytečné vypustt c) Případ, kdy soustava nemá žádné řešení, tj kdy h( A) h ( A ), nastává právě tehdy, když se v soustavě vyskytuje aspoň jedna rovnce, která je nekompatblní s ostatním (rovnce se navzájem vylučují) Poznámka V prax nejčastějším případem je jednoznačně řeštelná soustava, ve které žádná rovnce nechybí an nepřebývá Tehdy (a jen tehdy) platí m= n= h, nebo-l matce soustavy je čtvercová řádu n a regulární Na tento případ se nyní zaměříme Matcový záps řešení soustavy lneárních rovnc Věta Je-l matce A soustavy n lneárních rovnc o n neznámých Ax = b regulární, je jejím řešením vektor (sloupec) proměnných x= A b Důkaz Důkaz je trvální: Ax = b A Ax = A b Ex = A b x = A b, cbd Využívá se faktu, že matce soustavy je regulární, tudíž k ní exstuje matce nverzní Poznámka Uvedené řešení je formulováno pro celý vektor (sloupec) neznámých najednou Můžeme ale jít ještě dále a pomocí matcového počtu (přesněj determnantů) elegantně vyjádřt lbovolnou neznámou x Cramerovo pravdlo Věta Je-l matce A soustavy n lneárních rovnc o n neznámých Ax = b regulární, pak -tá neznámá se dá vyjádřt ve tvaru x =, kde det A a je determnant matce, která vznkne z matce soustavy A tak, že v ní -tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran b

4 Elmnační metoda V prax soustavy rovnc řešíme nejčastěj elmnační metodou Vyjdeme z rozšířené matce soustavy a promyšleným přčítáním a odečítáním vhodných násobků jednotlvých řádků převádíme tuto matc na horní trojúhelníkovou Máme-l vynulovány všechny prvky pod hlavní dagonálou, pak z posledního ( n -tého) řádku vypočteme přímo n -tou neznámou x n a tzv zpětnou substtucí postupně dopočteme ostatní proměnné od xn až k x Shrnutí kaptoly: Soustavu m lneárních rovnc o n neznámých můžeme zapsat v matcovém tvaru Ax = b, kde tzv matce soustavy A je matce koefcentů u jednotlvých neznámých, sloupcová matce x je vektor (sloupec) neznámých a b je vektor (sloupec) pravých stran Zavádí se dále rozšířená matce soustavy A jako matce soustavy A, ke které je zprava přpsán sloupec b pravých stran Soustava lneárních rovnc může mít, jak známo, žádné řešení, právě jedno řešení nebo nekonečně mnoho řešení O řeštelnost soustavy lneárních rovnc pojednává důležtá Frobenova věta Ukazuje se, že řeštelnost soustavy závsí na hodnost matce soustavy A a hodnost rozšířené matce soustavy A V prax je nejčastěj třeba řešt soustavu, kdy počet neznámých odpovídá počtu rovnc a jejíž matce A je regulární Řešení této soustavy se dá formulovat matcovým počtem dvěma způsoby Pro vektor (sloupec) neznámých platí x= A b, a -tou neznámou lze podle Cramerova pravdla explctně vyjádřt ve tvaru x =, kde a jsou jsté determnanty V prax se pro řešení soustav lneárních rovnc vyšších řádů používá nejčastěj elmnační metoda, vycházející z rozšířené matce soustavy Otázky: Jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu? Defnujte matc soustavy, sloupec neznámých, sloupec pravých stran, rozšířenou matc soustavy Jaká matcová operace vystupuje v požadovaném zápsu? Čeho se týká a jak přesně zní Frobenova věta? Kolka způsoby můžeme matcově zapsat řešení soustavy lneárních rovnc v případě, že počet rovnc je roven počtu neznámých a matce soustavy je regulární? Čím se tyto způsoby lší? Formulujte přesně řešení soustavy lneárních rovnc pomocí nverzní matce soustavy Kdy lze tento způsob použít? Formulujte přesně řešení soustavy lneárních rovnc pomocí Cramerova pravdla Za jakých podmínek lze toto pravdlo použít? Jaká je základní dea elmnační metody?

5 Příklad Vyřešte soustavu lneárních rovnc (je-l to možné) Cramerovým pravdlem, pomocí nverzní matce soustavy a elmnační metodou, případně jnak: a) x + 2 y = 6 x + y = 3 ; b) x + 2 y = 2 x 4 y = 2 ; c) x + 2 y = 2 x 4 y = ; d) x + 3 y + 2 z = 2 x + 2 y + z = ; 3 x + y + z = 2 e) 2 x + 3 y 2z = 2 x 2 y = 4 ; f) 3 x + y z = 2 3 x y 2 z = 3 2 x + 2 y z = 3 y 2 z = 0 Řešení příkladů 4 a) Právě jedno řešení ; b) Nekonečně mnoho řešení 2y y, y R; 0 c) Žádné řešení; d) Právě jedno řešení 3 ; 5 e) Právě jedno řešení 7 3 ; f) Právě jedno řešení 2 0 Další zdroje: POLÁK, J Přehled středoškolské matematky 6 vyd Praha: Prometheus, POLÁK, J Středoškolská matematka v úlohách I vyd Praha: Prometheus, POLÁK, J Středoškolská matematka v úlohách II vyd Praha: Prometheus, REKTORYS, K a spol Přehled užté matematky 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 995 ZÁVĚR: [Tady klepněte a pšte]