DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Zuzana Marchalínová Koncentrační riziko

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc Zuzana Marchalínová Koncentrační riziko Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Mgr Jiří Herman Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Praha 2011

2 Ráda bych zde poděkovala svému vedoucímu Mgr Jiřímu Hermanovi za vedení diplomové práce, cenné rady, konzultace a poskytnutá data

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č 121/2000 Sb, autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy oužitítétoprácejakoškolníhodílapodle 60odst1autorskéhozákona V Praze, 5 srpna 2011 Zuzana Marchalínová

4 Název práce: Koncentrační riziko Autor: Bc Zuzana Marchalínová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr Jiří Herman vedoucího: hermanj@cpintlcz Abstrakt: Cílem této práce je změřit koncentrační riziko portfolia jako součást investičního rizika z pohledu pojišťoven pomocí různých metod a porovnat dosažené výsledky Koncentrační riziko v portfoliích vzniká z nerovnoměrného rozdělení investovaných prostředků mezi jednotlivé společnosti a je nutné ho říditvteoretickéčástijsouuvedenydvěmetody,atojednajižužívanávpraxi (CreditMetrics TM )adruhá,směrniceevropskéunie,ukterésechystázavedení do praxe v rámci Evropské unie(solvency II) V praktické části jsou obě metody aplikovány na vzorová portfolia a jsou zkoumány a porovnávány výsledky, jak která z metod zohledňuje koncentrační riziko Klíčováslova:Koncentračníriziko,SolvencyII,CreditMetrics TM,ValueatRisk Title: Concentration risk Author: Bc Zuzana Marchalínová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr Jiří Herman Supervisor s address: hermanj@cpintlcz Abstract:Thegoalofthisthesisistomeasuretheconcentrationriskofaportfolioasapartofainvestmentriskconsideredfromtheviewofinsurancecompanies by various methods and also to compare achieved results Concentration risk in credit portfolios originates in uneven distribution of invested funds to individual obligors and it is important to manage it In the theoretical part there aretwomethodspresented-oneisbeingusedinpractice(creditmetrics TM ),the otherone,theeudirective,willbeputintoeffectinthenearfuture(solvency II)Inthepracticalpartthemethodsareappliedonmodelportfoliosandthe results are compared in order to decide how the methods reflect the concentration risk Keywords:Concentrationrisk,SolvencyII,CreditMetrics TM,ValueatRisk

5 Obsah Úvod 3 1 Základní pojmy 5 2 Metody měření koncentračního rizika 8 21 SolvencyII Úvod Rozsahpodmodulukoncentračníhorizika Schémapodmodulukoncentračníhorizika Kalibrace Vstupní data požadovaná pro finanční koncentrační riziko Výstupnídata Výpočet ZvláštníustanoveníproUCITS Kapitál koncentračního rizika v případě nemovitostí Rizikoúvěrovéhorozpětí CreditMetrics TM Oceněnídluhopisu Různézpůsobyměřeníkreditníhorizika Vstupnídata Odhadkorelacímeziratingy Odhadkorelacíaktiv SimulaceMonteCarlo Rozšířeníproportfoliosvíceemitenty 28 3 Výpočet koncentračního rizika Vstupnídata VstupnídataproSolvencyII VstupnídataproCreditMetrics Numerickévýsledky VýpočetpodleSolvencyII VýpočetpodleCreditMetrics Popisvýsledků VýsledkySolvencyII VýsledkyCreditMetrics Srovnání 42 Závěr 45

6 Literatura 46 A Přílohy k metodě CreditMetrics 47

7 Úvod Riziko je historický výraz pocházející ze 17 století, kdy se objevil v souvislosti slodníplavbouvýraz risico pocházízitalštinyaoznačovalnebezpečí,kterému se museli plavci vyhnout Dnes riziko znamená pravděpodobnost vzniku ztráty a je vhodné ho identifikovat, zhodnotit, řídit a nadále sledovat Toto je úkolem risk managementu, který k tomu využívá různých metod a postupů Risk management se proto snaží snížit riziko, kterému společnost nechce být vystavena Snižování rizika lze uskutečnit např zajištěním či vytvářením rezerv Nedostatečný risk management může mít vážné následky jak pro společnosti, tak pro jednotlivce Efektivní risk management umožňuje maximalizovat příležitosti V současnosti neexistuje univerzálně přijímaná teorie ani praxe řízení rizik Cílem řízení rizik není rizika eliminovat, ale pochopit je, aby bylo možné využít silných stránek a minimalizovat slabé K tomu je nutné vědět, jaká rizika jsme ochotni podstoupit, do jaké míry a jestli máme zavedeny postupy na jejich řízení Jednou z nejpoužívanějších metod pro měření rizika je hodnota v riziku(value atrisk-var)varbylpoprvéuvedenvroce1997bankoujpmorganpozději byl prezentován firmou Risk Metrics Group v jejich softwaru pro risk managementjednouznevýhodvarjeto,ženenívždysubaditivnítoznamená,ževar nemusí být schopný identifikovat diverzifikační příležitosti Z tohoto důvodu byl VaR velmi kritizován v literatuře, ale přesto je stále hojně užívanou metodou pro měření rizika hlavně kvůli tomu, že je intuitivně interpretovatelný, a také proto, že je v některých odvětvích vyžadován regulací Kreditní riziko je jedním ze základních finančních rizik a jeho řízení má velký význam pro úspěch nebo neúspěch instituce Kreditní riziko závisí na typu a kreditní kvalitě cenného papíru, do kterého investujeme, a na velikosti expozice vůči jednotlivým institucím Základním prvkem řízení kreditního rizika je průběžné hodnocení finanční situace emitentů a smluvních protistran s následným nastavením strukturovaných limitů Cílem této práce je uvést různé způsoby měření koncentračního rizika, které je součástí investičního rizika, aplikovat je na konkrétní portfolia a pozorovat, jak je koncentrační riziko zohledněno a zda vůbec Vybrány byly dvě metody První metoda je standardní formule, která je směrnicí Evropské unie pro pojišťovny amábýtdopraxeteprvezavedena,druhámetodajemetodapoužívanávpraxi v rámci interního modelu pojišťovny Struktura práce je rozdělena do tří kapitol První kapitola definuje a popisuje koncentrační riziko Druhá kapitola pojednává o zmíněných metodách měření tohoto rizika, tedy o evropské směrnici Solvency II a v praxi použitelné metodě CreditMetrics TM Třetíkapitolaobsahujevstupnídataprovýpočet,popisvýpočtu a numerické výsledky pro obě metody měření Dále je pak uveden popis 3

8 výsledků a jejich srovnání 4

9 Kapitola 1 Základní pojmy Koncentrační riziko lze obecně definovat jako libovolnou expozici nebo skupinu expozic, které mohou způsobit tak velké ztráty, že může být ohrožena solventnost nebo finanční situace pojišťoven a zajišťoven Koncentrační riziko tak můžeme chápat jako dodatečný kapitál, který je nutné držet, pokud portfolia mají stejnou kvalitu, ale nejsou dobře diverzifikována Schéma koncentračního rizika je znázorněno na Obr 11 Obr 11: Schéma koncentračního rizika Koncentrační riziko vzniká z velkých expozic vůči jednotlivým věřitelům, významných expozic protistran, jejichž pravděpodobnost defaultu je řízena společnými faktory jako jsou např ekonomický sektor, zeměpisná poloha, měna, apod 5

10 Existují dva typy koncentračního rizika v závislosti na dvou typech nedokonalé diverzifikace První typ, koncentrace subjektů, souvisí s nedokonalou diverzifikací idiosynkratickéhorizika 1 vportfoliubuďkvůlijehomalévelikosti,nebokvůlivelké expozici vůči určitému jednotlivému dlužníkovi Druhý typ, sektorová koncentrace,souvisísnedokonaloudiverzifikacínapříčsystematickýmisložkamirizika 2, konkrétně sektorovými faktory Management koncentračního rizika typicky závisí na různých nástrojích zahrnujících limity na expozice jednoho subjektu či celého sektoru buď ve smyslu celkových kreditních limitů, nebo ekonomického kapitálu Aby společnosti správně řídily koncentrační riziko, měly by definovat zdroje koncentračního rizika relevantní pro jejich portfolia a zavést adekvátní procedury a procesy pro aktivní sledování a řízení koncentračního rizika, aby zajistily, že zůstane ve stanovených limitech, a také by měly zavést techniky snižování rizika Dále se budeme zabývat typickým portfoliem pojišťoven Pojištovna získává prodejem pojištení klientům finanční prostředky, které dále zhodnocuje investováním, čímž podstupuje investiční riziko Jelikož garantuje zhodnocení prostředků klienta každý rok, snaží se ve větší míře vyhnout volatilním cenným papírům(akciím), aby v případě nepříznivého vývoje nebyla nucena dotovat klienty z vlastních prostředků Pojišťovny tedy investují zejména do dluhových cenných papírů (státních dluhopisů) a jejich akciové expozice bývají nízké V dalším se tedy budeme zaměřovat na kreditní riziko, zejména na koncentrační riziko jakožto významnou složku investičního rizika Kreditní riziko je riziko ztráty, která vyplývá z možnosti selhání protistrany z důvodu nesplnění svých závazků včas a v plné výši Ztráta na dané investici může nastat v důsledku: insolvenceprotistrany, změny kreditní kvality protistrany(ratingu) Kreditním rizikem rozumíme riziko spojené s jakýmikoliv úvěrovými událostmi jako jsou např změny ratingu, změny kreditního spreadu a případ defaultu Velikost kreditního rizika je částka, kterou můžeme ztratit, pokud riziko bude realizováno v důsledku výše uvedených situací V diplomové práci se budeme zabývat koncentračním rizikem dluhopisů Dluhopis(obligace, bond) je rozšířený druh cenných papírů Emitent dluhopisu(dlužník)sezavazujesplatitmajitelidluhopisu(věřiteli)k danémudatu zapůjčenou částkuapřípadněplatitv danýchtermínech sjednanýúrokmezizákladnítypy dluhopisů patří např: bezkuponová obligace(zero-coupon bond): nevyplácí se kuponové platby, ale je emitována s diskontem, kuponová obligace(coupon bond): vyplácí se kuponové platby, obligace krytá majetkem emitenta(mortgage bond): jedná se především o krytí nemovitostmi 1 idiosynkratickérizikojeriziko,kteréjeunikátníprourčitéaktivumnebospolečnost 2 systematickérizikojeriziko,kteréjenesenoceloutřídouaktiva/nebozávazkůmůžebýt aplikováno na určitý stát nebo průmysl nebo na celou globální ekonomiku 6

11 Pro zjednodušení se budeme zabývat bezkuponovými dluhopisy, konkrétně portfoliem bezkuponových dluhopisů, protože mají pouze jeden peněžní tok, a to nominál Portfolio je(v našem případě) soubor dluhopisů, jimiž se investor(pojišťovna) snaží zhodnotit prostředky pojistníků alespoň ve výši garantovaného zhodnocení 7

12 Kapitola 2 Metody měření koncentračního rizika Jednou z nejpoužívanějších metod měření rizika portfolia je Value at Risk(VaR) Tatometodajevpraxivelmioblíbenámimojinékvůlitomu,žejeVaRsnadno interpretovatelný Nechť X je nezáporná náhodná veličina s kumulativní distribuční funkcí F X (z)=p[x z] představující ztrátu VaR náhodné veličiny X na hladině spolehlivosti α [0, 1] pakje VaR α (X)=min{z: F X (z) α}, tj VaR α (X)je α-kvantilnáhodnéveličiny X nebolinejmenšíhodnotaztráty (rizika), která bude překročena s pravděpodobností nejvýše 1 α VaR ovšem neříkánicotom,jakvelkábudeztrátavpřípadě,žeknídojde V této kapitole uvedeme dvě metody pro měření koncentračního rizika První metoda je standardní formule Solvency II Tato metoda je směrnicí Evropské unie a umožňuje výpočet rizikového kapitálu dvojím způsobem: 1 pomocí standardního modelu, 2 pomocí interního modelu, který musí být schválen orgánem dohledu Druhámetoda,CreditMetrics TM,jemetodavrámcibodu2 Budemeuvažovathladinu α=995%,neboťtajevyžadovánasolvencyii avdalšímbudemeprojednoduchostpoužívatznačení VaR 995 % (X):= VaR 21 Solvency II Solvency II je nová směrnice Evropské unie[6] nahrazující stávající Solvency I Tatometodamávstoupitvplatnost1ledna2013SolvencyIIsenarozdílodSolvency I snaží zohlednit rizika, kterým je pojišťovna vystavena Cílem Solvency II je zachytit ustanovení, která jsou konzistentní s těmi dle Basel II pro banky Přestože v dalším se budeme zabývat pouze dluhopisy, uvádíme zde ucelený výčet investic, které mohou přispívat ke koncentračnímu riziku Vzhledem k tomu, že studium materiálů probíhalo v době, kdy se jednalo 8

13 o materiály CEIOPS(Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors), a že v průběhu došlo k přejmenování CEIOPS na EIOPA(European Insurance and Occupational Pensions Authority), je v práci uváděn název CEIOPS Z důvodu kontinuálního vývoje nemusí být práce ani v jiných oblastech zcela aktuální, nicméně principy výpočtu zůstavají stejné Aktuální znění lze naléztv[15] 211 Úvod V souladu s QIS4(Kvantitativní dopadová studie)[7] prezentuje podmodul koncentračního rizika v průměru 72%(životního), 179%(neživotního) a 95% (smíšeného) solventnostního kapitálového požadavku(solvency Capital Requirement-SCR)protržníriziko Pro investice společnosti existují 3 typy koncentrace: geografická, sektorová a koncentrace vůči jedné společnosti(single-name) Obecně lze říci, že společnost soustřeďující své investice ve stejném geografickém území nebo ve stejném ekonomickém sektoru nese vyšší riziko než v případě geograficky/sektorově diverzifikovaného portfolia Problém je to, jak měřit tyto typy koncentrace Geografická koncentrace Většina velkých společností je přítomna po celém světě a je tedy obtížné najít spolehlivé měření jejich geografických investic Řízení geografických expozic vyžaduje důkladné pochopení každé investice a poměrně složitý proces monitorování Navíc kalibrace různých parametrů v souladu s každým geografickým územím není bezprostřední Krize ukázala, že výhody diverzifikace se snižují nebo jsou zanedbatelné ve stresových situacích CEIOPS v současném znění uznává existenci diverzifikačních efektů, ale poukazuje na to, že nefungují stejně v normálních a krizových situacích Sektorová koncentrace Na sektorovou koncentraci platí podobné stanovisko jako na geografickou s jemnýmirozdílyrizikanákazya dominoefekty zvýšilymezisektorovékorelace v době krize takovým způsobem, že v některých případech je korelace mezi subjekty různých sektorů, které spolu úzce souvisí, tak významná, že lze uvažovat tyto subjekty jako jeden Single-name koncentrace Single-name koncentrace je riziko přílišné angažovanosti vůči jedné společnosti Tato angažovanost může způsobit tak velké ztráty, že může být ohrožena solventnost pojišťovny nebo zajišťovny Vzhledem k výše vyjmenovaným důvodům současné znění nezohledňuje v kapitálovém požadavku geografickou nebo sektorovou diverzifikaci finančních investic 9

14 Z toho důvodu mají být tato rizika uvažována např prostřednictvím interních modelů V této práci se budeme zabývat single-name koncentrací 212 Rozsah podmodulu koncentračního rizika Podmodul koncentračního rizika tak, jak ho popisuje směrnice Solvency II, se vztahuje na aktiva zohledněná v podmodulech akciového rizika, úvěrového rizika, rizika kreditního rozpětí a nemovitostního rizika, které jsou součástí modulu tržního rizika, a vylučuje aktiva pokrytá modulem rizika selhání protistrany, aby nedocházelo k dvojímu započítávání ve výpočtu SCR Pokud chceme vhodně posoudit koncentrační riziko, musíme zvážit obě expozice- přímé i nepřímé, odvozené z investic zahrnutých v rozsahu tohoto podmodulu Co se týče přímých expozic, je důležité rozlišovat mezi minimálně dvěma případy: Investice, kde neúspěch nebo selhání emitenta, částečně nebo úplně, nese držitel investice Toto je případ akcií a velkého počtu dluhopisů Investice, kde neúspěch nebo selhání emitenta neimplikuje jakoukoliv ekonomickou ztrátu pro držitele investice Toto může být případ některých dluhopisů nebo sekuritizací(prostředky snižování rizika nejsou přípustné v tomto případě, jelikož přímé vystavení riziku jednodušše neexistuje) Příklad: Účelová společnost(special Purpose Vehicle- SPV) zřízená k pracování se sekuritizací cenných papírů krytých peněžními příjmy, ve kterých selhání SPV neimplikuje ztrátu společnosti Co se nepřímých expozic týče, rozlišují se dva případy: Investice, kde je rozumné a funkční aplikovat konzervativní přístup lookthrough 1 nebokdenenídůkazotom,ženepříméexpozicejsoupřijatelně dobře diverzifikované, a proto je z důvodu obezřetnosti relevantní požadovat přístup look-through Investice, kde neexistují žádné důkazy nebo právní záruky, že nepřímé expozice jsou přijatelně dobře diverzifikovány, a to takovým způsobem, aby bylo možné dosáhnout jistoty o nedostatečné významnosti každé jednotlivé nepřímé expozice Státní dluhopisy jsou zatím považovány za bezrizikové a tudíž jsou vyloučeny z aplikace tohoto podmodulu Vyloučení se týká půjček poskytnutých nebo prokazatelně garantovaných vládou státu OECD(Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj) nebo EEA(Evropský hospodářský prostor) vydaných v měně státu, který dluhopis vydal, nebo vydaných mezinárodní rozvojovou bankou nebo jinou mezinárodní organizací jak je uvedeno v[5] V případě aktiv, která kryjí závazky investičního životního pojištění, kde investiční riziko nese pojistník, postrádá ekonomický smysl uvažovat tato aktiva 1 Přístup look-through jezaložennaanalýzeceléhopoolupodkladovýchaktiv,tznnapř v případě investičního fondu budeme analyzovat detailní složení fondu a dále pracovat s těmito jednotlivými investicemi 10

15 ve výpočtech tohoto podmodulu Vzhledem k častému výskytu UCITS(Instituce pro kolektivní investování do převoditelných cenných papírů) v investičním portfoliu pojišťovny je vhodné uvést, jak se s nimi zachází V[16] jsou zahrnuty diverzifikační požadavky týkající se emitentů aktiv držených UCITS V[16], Článek 22(1), je stanoveno, že UCITS nemohou investovat více než 5% svých aktiv ve formě převoditelných cenných papírů nebo nástrojů peněžního trhu vydaných stejným subjektem a 20% svých aktiv ve formě depozit u stejného subjektu Členské státy mají několik možností jak zmírnit tyto limity Např 5% limit může být zvýšen na 10%(bez dalších podmínek); 25% pro uvěrové instituce, na které je určitým způsobem dohlíženo; 35% pro subjekty, které jsou státy, místní orgány a určité veřejné mezinárodní orgány; 35%,pokudseUCITSpokoušíkopírovatindexajsousplněnyurčitépodmínky; 100% pro subjekty, které jsou státy, místní orgány nebo určité veřejné mezinárodní orgány, pokud jsou splněny další požadavky Expozice prostřednictvím investičních fondů je třeba posuzovat na základě přístupu look-through,pokudzdeneníuvedenojinaktosaméplatíprotranše zajištěných dluhových obligací(collateralized Debt Obligation- CDO) a podobné investicevloženédo strukturovanýchproduktů Finanční deriváty na akcie a dluhopisy, které jsou sjednány za účelem zajištění, by měly být správně přiřazeny k čisté expozici, tj akciové PUT opce snižují akciovouexpozicinapodkladovéaktivum(akcie)a single-namebuyprotection CDS(Credit Default Swap- swap úvěrového selhání) snižuje dluhovou expozici na podkladové aktivum(protistrana) Expozice při selhání protistrany opce nebo CDS nejsou ošetřeny v tomto modulu, ale v modulu rizika selhání protistrany Také kolaterály zajišťující dluhopisy by měly být brány v úvahu, jelikož snižují riziko ztráty 213 Schéma podmodulu koncentračního rizika Koncentrační riziko ve finančních investicích představuje dodatečné riziko pojišťovny nebo zajišťovny kvůli dodatečné volatilitě, která existuje v koncentrovaných portfoliích, a dodatečnému riziku částečných či úplných ztrát v důsledku úpadku emitenta 11

16 Přístup Solvency II je založen na stanovení určitých limitů(tyto limity budeme dále označovat jako CT- Concentration Threshold) v závislosti na ratingu protistrany Pro ty expozice, jejichž hodnota je pod limitem, není stanovena žádná kapitálová přirážka, zatímco pro ty nad limitem je vyžadován dodatečný kapitálový požadavek Všechny expozice vůči stejné protistraně musí být agregovány Pro správné zohlednění rizika skupiny musí být expozice různých subjektů v rámci jedné skupiny sečteny dohromady V důsledku toho různé právnické subjekty skupiny nebo finančního konglomerátu zahrnuté ve výpočtu mají být uvažovány jako jedna expozice a není brán v úvahu žádný diverzifikační efekt mezi subjekty Proces výpočtu vyžaduje detailní analýzu všech expozic společnosti, přímých či nepřímých, explicitních či skrytých 214 Kalibrace Z kalibračních dokumentů [6] plyne, že kalibrace je uvažována tak, aby byla ve shodě s 99,5% VaR a jednoletým časovým obdobím a zahrnovala zkušenosti z nedávné krize[8] poskytuje údaje o celkovém dopadu navrhovaných kalibrací, které nejsou omezené pouze na SCR, ale zahrnují i technické rezervy a vlastní kapitál Základní myšlenkou kalibrace tohoto podmodulu je to, že riziko špatně diverzifikovaného portfolia je větší než v případě dobře diverzifikovaného portfolia Kalibrační proces je založen na pozorování historických VaR dobře diverzifikovaného portfolia a VaR sady portfolií, kde reprezentativnost konkrétní expozice je zvyšována krok za krokem o 1% Jinými slovy, zpočátku dobře diverzifikované portfolio je postupně transformováno v hůře a hůře diverzifikované portfolio při postupně rostoucím významu jedné konkrétní expozice V každém kroku je počáteční VaR porovnávána s VaR postupně se zhoršujících portfolií a generuje hrubou linii mapující dvoudimenzionální souvislost mezi zvýšením úrovně koncentrace investic a zvýšením VaR Zavedení jednoduché funkce je konečný krok k získání potřebných parametrů Výše uvedený proces je opakován pro každou expozici z původně dobře diverzifikovaného portfolia, aby byly získány konkrétní parametry pro expozice s různým ratingem Pokud uvažujeme, že vlastní zdroje pojišťovny reprezentují v průměru 25% celkových aktiv, pak by stanovení CT limitu 5% vzhledem k celkovým aktivům znamenalo, že společnost by mohla vystavit riziku okolo 20% svých vlastních zdrojů s jedinou expozicí bez stanovení kapitálového požadavku pro tuto koncentraci Krize ukázala nevhodnost tohoto limitu, nejen pokud jde o expozice snejhoršímratingem,aletaképokudjdeotysnejlepším Proto současné znění navrhuje limit 3% v případě expozic s ratingem AAA, AAaA,cožznamená,ževprůměrunebudevyžadovánkapitálaždovýše12% celkových vlastních zdrojů Pro expozice s jiným ratingem nebo bez ratingu je navrhovaný limit 15% celkových aktiv MSCI World Index, který byl použit na kalibraci akciového scénáře předešlých úloh QIS zahrnuje okolo 1600 titulů a největší složka přispívá asi 2% k celkové tržní kapitalizaci indexu Protože přirážka koncentračního rizika je prostředek pro korekci předpokladů akciového scénáře, který říká, že pojistitel drží stejně dobře diverzifikované portfolio, CEIOPS věří, 12

17 že navrhované snížení limitů je oprávněné V případě nemovitostí jsou navrhované limity vyšší 215 Vstupní data požadovaná pro finanční koncentrační riziko Rizikové expozice v aktivech musí být seskupeny podle příslušných protistran Označme: E i = čistáexpozicepřiselháníprotistrany i Assets xl = výšecelkovýchaktivstátnídluhopisymusíbýtzahrnutyvtéto výši nehledě na výjimky specifikované dříve rating i = externíratingprotistrany i Vpřípadě,žespolečnostmávíceexpozicvůčijednéprotistraně,pak E i jeúhrn těchtoexpozicpřiselhání Rating i odpovídáprůměrnémuratinguvrámcijedné skupiny(váženému expozicí) Čistá expozice při selhání protistrany i musí zahrnovat všechna aktiva obsažená ve výčtu aktiv pokrytých tímto podmodulem Při výpočtu čistých expozic musí být finanční techniky snižování rizika zahrnutyvtomtopodmodulusvýjimkoutoho,žeužbylyzahrnutyvjinýchmodulech či podmodulech Musí být zahrnuty pouze tehdy, pokud splňují požadavky vymezené pro finanční techniky snižování rizika 216 Výstupní data Podmodul poskytne následující výstupní data: Mkt conc Mkt concfinancial Mkt concproperties = celkovákapitálovápřirážkapodmodulukoncentračního rizika = kapitálovápřirážkaprofinančníkoncentračníriziko = kapitálovápřirážkapronemovitostníkoncentračníriziko 217 Výpočet CEIOPS na základě podmínek vymezených v úvodním textu kalibroval podmodul v souladu s 99,5% VaR a jednoletým časovým obdobím Kalkulace se provádí ve třech krocích: 1 stanovení nadměrné expozice, 2 výpočet přirážky koncentračního rizika po protistranách, 3 agregace Nadměrnáexpozice XS i sepočítápodlevzorce(21) { XS i =max 0; E i Assets xl CT 13 }, (21)

18 kde koncentrační limit CT závisející na ratingu protistrany i je uveden v Tab 21 rating i koncentrační limit(ct) AAA-AA 3% A 3% BBB 15% BBnebonižší 15% Tab 21: Hodnoty koncentračního limitu Přirážka rizika koncentrace protistrany i se počítá podle vzorce(22) Conc i = Assets xl XS i g i + Liab ul, (22) kde XS i jevyjádřenosohledemnajednotku(tjpřebytekexpozice inadlimit 8%dá XS i =008)aparametr g i závisejícínauvěrovémratinguprotistranyse určujepodletab22akde Liab ul jedopad(propojištění,kdepojistníknese rating i stupeňuvěrovékvality g i AAA AA A BBB BB nebo nižší/bez ratingu 4-6/- 073 Tab22:Hodnotyparametru g i investiční riziko) změny hodnoty aktiv emitenta v důsledku koncentračního rizika na pasiva společnosti Pro protistrany, které se vyskytují pouze u aktiv užívaných jakopodkladprooceněnípasiv,jepřirážkakoncentračníhorizikapodlejména i počítánajako conc i = Liab ul,i Kapitálový požadavek pro finanční koncentrační riziko je stanoven pro každou protistranu i vzorcem(23) Mkt conc financial = Conc 2 i (23) 218 Zvláštní ustanovení pro UCITS Investice do jedné UCITS i jsou vyloučeny z podmodulu koncentračního rizika, pokud maximální podíl aktiv UCITS, které jsou investovány do jediného subjektu, nepřesáhne Assets xl CT UCITS,i = CT, MW UCITS,i kde i 14

19 CT UCITS,i = koncentačnílimitproucits i, MW UCITS,i = tržníhodnotainvesticespolečnostidoucits i, CT = koncentrační limit podmodulu, jak je definováno výše To, zda je UCITS dostatečně diverzifikována, aby splnila tato kritéria, může být určeno např ze složení aktiv UCITS v den ocenění(např ze seznamu top společností) ze složení indexu, pokud investiční politikou UCITS je kopírovat určitý index nebo z požadavků diverzifikace pro UCITS členského státu, ve kterém je UCITS situována Přístup look-through bymělbýtaplikovánnavšechnyucits,kterénejsou vyloučeny z tohoto podmodulu 219 Kapitál koncentračního rizika v případě nemovitostí Společnosti musí identifikovat expozice v jediné nemovitosti vyšší než 10% celkovýchaktiv uvažovanýchvtomtopodmoduluvsouladusaktivyuvedenými v sekci 212 Pro tento účel musí společnost vzít v úvahu všechny nemovitosti- přímo vlastněné i ty nepřímo vlastněné(tj nemovitostní fondy) a také oboje- vlastnictví i jakékoliv jiné skutečné expozice(hypotéky a jakýkoliv jiný právní nárok týkající se nemovitostí) Nemovitosti umístěné ve stejné budově nebo dostatečně blízko musí být uvažovány jako jediný majetek Kapitálová přirážka je počítána pro nemovitostní koncentrační riziko pod podmínkou, že předpoklady o budoucích podílech na výnosech(odražených v ocenění budoucích dobrovolných plnění výše technických rezerv) zůstávají nezměněné před a po předpokládané změně volatility a/nebo výchozí úrovně koncentrovaných aktiv Expozice přesahující limit musí stanovit kapitálový požadavek vypočtem pomocí formule zmíněné v tomto podmodulu pro finanční investice s hodnocením AA Kapitálové požadavky pro různé nemovitosti musí být agregovány za předpokladu nulového korelačního faktoru mezi požadavky pro každou nemovitost Koncentrační přirážka pro nemovitostní riziko je Mkt conc = Conc 2 i 2110 Riziko úvěrového rozpětí Abychom dále mohli porovnávat výsledky obou metod, zaveďme si pojem riziko úvěrovéhorozpětí (spreadrisk),neboťjetřebakvýpočtukapitálovéhopožadavku pro celé kreditní riziko Spread risk je tedy riziko ztráty ze změn rizikového rozpětí u cenných papírů různého úvěrového hodnocení Úvěrové rozpětí je 15 i

20 rozdíl mezi výnosností do splatnosti daného finančního nástroje a výnosností do splatnosti obdobného bezrizikového finančního nástroje Čím je finanční nástroj rizikovější, tím je rozpětí větší Vstupní data Pro výpočet spread risku jsou vyžadována následující vstupní data: rating i = externíratingrizikovéexpozice i, dur i = modifikovanáduracerizikovéexpozice i, MV i = rizikováexpozice istanovenápodletržníhodnoty(expozicepři defaultu) Výstupní data Výpočet spread risku poskytuje následující výstupní data: Mkt sp = kapitálovápřirážkaprospreadrisk Výpočet Kapitálová přirážka pro spread risk dluhopisů se vypočítá podle vzorce(24) Mkt sp = i MV i m(dur i ) F(rating i )+ Liab ul, (24) kde F(rating i ) = funkceratingovétřídyrizikovéexpozice,kterájenastavena tak,abyvýstupníšokbylkonzistentnísvar995%, m(dur i ) = funkceduracerizikovéexpozice, Liab ul = celkovýdopadnastranupasivpropojištění,kdepojistníci nesou investiční riziko v důsledku spread risku Funkci m určíme následovně: max(min(dur i ;8);1), pokud rating i =BB, max(min(dur i ;6);1), pokud rating i =B, m(dur i )= max(min(dur i ;4);1), pokud rating i =CCCnebonižší, max(dur; 1) jinak Funkce FjeurčenaTab23 Výpočet kapitálové přirážky pro spread risk by měl být odvozen za podmínky, že předpoklady o budoucích podílech na výnosech zůstávají neměnné před a po předpokládané změně úrovně rozpětí 16

21 Rating i F(Rating i ) AAA 025% AA 025% A 103% BBB 125% BB 339% B 560% CCCnebonižší 1120% Bez ratingu 200% Tab23:FunkceF 22 CreditMetrics TM Metoda CreditMetrics[11] byla vyvinuta společností JPMorgan v roce 1997 a slouží k výpočtu kreditního rizika v rámci interního modelu pojišťovny na základě metody Value at Risk Koncept modelu lze znázornit způsobem na Obr 21 Expozice Kreditní VaR Korelace Portfólio Kreditní rating Seniorita Kreditní spready Ratingová historie, akciová historie Tržní volatilita Pravděpodobnosti migrace mezi ratingy Míra návratnosti Odhad souč hodnoty dluhopisu Modely (např korelační) Rozdělení expozice Směrodatná odchylka hodnoty způsobená změnou kreditní kvality pro jednu expozici Sdružená změna kreditního ratingu Kreditní Value at Risk portfólia Obr21:KonceptmodeluCreditMetrics TM Tato metoda je založena na odhadu budoucích hodnot portfolia Změny hodnot závisí na změně ratingu emitenta, která je modelována pomocí pravděpodobností přechodu z jedné ratingové kategorie do jiné(včetně defaultu) v daném časovém horizontu Matice přechodu se vypočítá na základě historických dat pomocí nichž se odhadnou změny ratingu a default V Tab 24 je příklad matice pravděpodobností přechodu mezi ratingovými kategoriemi v časovém horizontu jednoho roku podle společnosti Standard& Poor s(s&p) Výpočtem marginálních rizikových odhadů zjistíme koncentraci uvnitř portfolia 17

22 AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA AA A BBB BB B CCC Tab24:MaticepřechodupodleS&P,horizont1rok(v%) 221 Ocenění dluhopisu Ocenění dluhopisu je založeno na diskontování budoucích peněžních toků Pro diskontování je použita riziková diskontní míra skládající se z bezrizikové úrokové míry a rizikové prémie Velikost rizikové prémie závisí na přiřazeném ratingu Pokud tedy uvažujeme jednu obligaci, získáme při ocenění až osm různých hodnot (neboť máme sedm možných ratingů a default, viz Tab 24) Těchto osm hodnot padne do dvou kategorií První je v případě defaultu, kdy odhadneme míru návratnosti(recovery rate) založenou na senioritě dluhopisu Druhá je v případě poklesu či vzestupu či setrvání, kdy se v závislosti na ratingu mění výše spreadu, která ovlivňuje výslednou hodnotu dluhopisu Ocenění v případě defaultu Pokud se dlužník nachází po změně ratingu v defaultu, pak očekáváme, že nám bude vyplacena pouze poměrná část investice(tzv míra návratnosti, recovery rate), která závisí na senioritě dluhopisu Recovery rate u dluhopisů je uvedena v Tab 25 Nová hodnota dluhopisu je pak recovery rate přenásobená nominálem dluhopisu Seniorita Recovery rate Seniorní dluhopis 30% Podřízený dluhopis 20% Tab 25: Recovery rate pro dluhopisy Ocenění v ostatních případech V případě, že se protistrana na konci časového období nenachází v defaultu, použijeme přímé přecenění na základě přiřazeného ratingu To znamená následující: 1 získat bezrizikovou forwardovou křivku, 2 připočíst rizikovou přirážku dle výsledného ratingu, 3 užitím těchto rizikových křivek přecenit zbývající peněžní toky na konci období 18

23 Úrokovou sazbu užitou při diskontu získáme součtem bezrizikové úrokové míry akreditníhospreaduoznačme f tn forwardovoubezrizikovouúrokovousazbuzačínajícívčase1akončícívčase t n,kde t n jedobadosplatnosti,askreditní spreadnechťdálepočetdluhopisůje Na CF tn značípeněžnítokvčase t n,pak současná hodnota dluhopisu je dána vzorcem(25) PV= N n=1 CF tn (1+f tn +s) tn (25) Forwardovou bezrizikovou úrokovou sazbu určíme ze vzorce(26) (1+r f st = t s+t ) s+t 1, (26) (1+r s ) s kde r t jespotovásazbaplatnávčase ta r t = 1 1, P1/t kde P je hodnota jednotkového bezkuponového bezrizikového dluhopisu Forwardová riziková křivka se mění pro různé ratingové kategorie prostřednictvím spreadu 222 Různé způsoby měření kreditního rizika CreditMetrics počítá riziko portfolia dvěma způsoby- pomocí směrodatné odchylky nebo pomocí kvantilu Model, který je základem pro oba způsoby výpočtu, je stejný, a proto oba způsoby odrážejí potenciální ztráty ze stejného rozdělení portfolia Měření pomocí směrodatné odchylky Směrodatná odchylka měří rozptyl okolo pruměrné hodnoty portfolia Čím větší je rozptyl okolo průměrné hodnoty, tím větší je směrodatná odchylka a tím větší riziko Střední hodnotu portfolia o n protistranách na konci časového horizontu spočítáme podle vzorce(27) n µ P = µ i, (27) kde akde µ i = i=1 8 p ij V ij (28) p ij jepravděpodobnost,žeemitent i-téhodluhopisujevestavu j, V ij jehodnota i-téhodluhopisuvestavu j j=1 Nechť V 1,,V n jsouhodnotyjednotlivýchdluhopisůnakoncičasovéhohorizontu,jimžodpovídajístředníhodnoty µ 1,,µ n ajejichžrozptylyjsou σ 2 (V 1 ),,σ 2 (V n ) 19

24 Celkováhodnotaportfoliaje V 1 + +V n aprovýpočetsměrodatnéodchylky použijeme vzorec(29), neboť směrodatná odchylka je druhou odmocninou z rozptylu Pokud užijeme vztah pak můžeme psát n σp 2 = σ 2 (V i )+2 i=1 n 1 n i=1 j=i+1 Cov(V i,v j ) (29) σ 2 (V i +V j )=σ 2 (V i )+2 Cov(V i,v j )+σ 2 (V j ), (210) n 1 σp 2 = n i=1 j=i+1 σ 2 (V i +V j ) (n 2) n σ 2 (V i ) (211) i=1 Tím jsme převedli výpočet rozptylu celého portfolia na výpočet rozptylů subportfolií o dvou dluhopisech Rozptyl i-tého subportfolia obsahujícího dva dluhopisy se vypočítá pomocí vztahu(212) kde 64 σi= 2 i p j ( i V j i µ) 2, (212) j=1 i p j jepravděpodobnost,žesubportfoliojevestavu j, i V j jehodnotasubportfoliavestavu j, i µjestředníhodnotasubportfolia Vzhledem k tomu, že rozdělení není symetrické(je zešikmené a má těžký chvost), není tato metoda zcela vhodná, protože se dále budeme zabývat hodnotami právě ve chvostech a směrodatná odchylka neposkytuje vhodnou aproximaci pro hodnoty ve chvostu Měření pomocí kvantilu α% kvantil je nejmenší hodnota, které portfolio dosáhne v α% případů Pokud tedy určíme α% kvantil, pak pravděpodobnost, že aktuální hodnota portfolia klesnepodtutohodnotuje α%proznámározděleníportfoliajakonapřnormální či Studentovo lze určit kvantil pomocí směrodatné odchylky V opačném případě musíme užít jiný postup Pro výpočet kvantilu je tedy nutné nejprve buď určit rozdělení hodnoty portfolia, nebo, pokud nejde odvodit analytickou formuli, použít výpočetní techniku k simulování vývoje portfolia V našem případě použijeme k simulování možných scénářů metodu Monte Carlo, která bude popsána v kapitole 226 Zatímco simulování scénářů může být časově náročné, po jejich získání je výpočet kvantilu velmi snadný Abychom kvantil zjistili, seřadíme všechny možné hodnoty portfolia vzestupně Pokud uvažujeme 1% kvantil, tak při simulování hodnot portfolia je 1% kvantil 1000 nejmenší hodnota 20

25 223 Vstupní data CreditMetrics vyžaduje následující vstupní data: pravděpodobnosti změny ratingu včetně pravděpodobnosti defaultu, sdružené pravděpodobnosti změny ratingu všech dlužníků, stanovení hodnot portfolia pro každou kombinaci ratingů Pravděpodobnosti změny ratingu jsou dány maticí přechodu(viz Tab 24) Sdružené pravděpodobnosti, pokud nejsou dluhopisy nezávislé, kdy stačí pouhé vynásobení jednotlivých pravděpodobností, lze vypočítat různými způsoby, které uvedeme později 224 Odhad korelací mezi ratingy Větší množství titulů v portfoliu nemusí nutně znamenat, že je portfolio dobře diverzifikováno Je potřeba zkoumat historii chování ratingů, abychom zjistili, jakým způsobem se protistrany vzájemně ovlivňují a zda jsou ovlivněny stejným faktorem K dispozici je několik přistupů, jak korelace mezi protistranami odhadnout Jsou to Přímý odhad sdružených pravděpodobností změny ratingu; Odhad korelací pomocí spreadů dluhopisů; Asset value model- nepřímý přístup Dále bude podrobněji rozebrán nepřímý přístup Asset value model Asset value model Tento model je dobře použitelný, je založen na nejdostupnějších předpokladech a v případě nedostupnosti ho lze nahradit aproximací Asset value model zahrnuje dva kroky: navrhnout základní proces řídící změny ratingu, odhadnout parametry pro tento základní proces Je zřejmé, že hodnota aktiv firmy určuje její schopnost dostát svým závazkům Lze předpokládat, že existuje určitá mez taková, že pokud aktiva firmy klesnou pod tuto mez, nebude schopná dostát svým závazkům a zdefaultuje Pokud budeme uvažovat pouze změny hodnoty v důsledku defaultu, byl by to adekvátní model Pokud však chceme zahrnout i změny hodnoty portfolia v důsledku změny ratingu, potřebujeme mnohem komplexnější model Předpokládejme, že máme škálu hodnot aktiva, která určuje rating společnosti na konci časové periody Hodnoty aktiv, které odpovídají změnám ratingu, jsou označované jako hraniční hodnoty Předpokládejme nyní, že tyto hraniční hodnoty známe Tímto způsobem lze pak modelovat změny ratingu pomocí změn hodnoty aktiv společnosti Předpokládejme, že procentuální změny v hodnotě aktiv(tj výnosy aktiv, 21

26 které označíme R) jsou normálně rozdělené se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou(volatilitou) σ Je třeba poznamenat, že tato volatilita nesouvisí s kreditním instrumentem, ale s výnosy aktiv společnosti Pro jednoduchost budeme předpokládat µ=0 2 Nynímůžemestanovitsouvislostmezihraničnímihodnotami aktiv a pravděpodobnostmi přechodu Uvažujme společnost s ratingem BB Pravděpodobnosti přechodu mezi ratingy zjistíme z matice přechodu(viz Tab 24)Dálevíme,žeexistujíhraničníhodnotyvýnosůaktiv Z Def, Z CCC, Z BBB, atdtakové,žepokud R < Z Def,dlužníkzdefaultuje,pokud Z Def < R < Z CCC, sníží se rating dlužníka na CCC, atd To znamená, že pokud by bylo např Z Def = 65%,pakbysníženíhodnotyaktivo65%nebovícevedlokdefaultu Budeme-li předpokládat normalitu výnosu aktiv R vypočítáme pravděpodobnosti všech potenciálních změn ratingu podle vzorců(213) P[Default]=P[R < Z Def ]=Φ ( P[CCC]=P[Z Def < R < Z CCC ]=Φ ( ZDef Z CCC σ σ ), ) Φ ( ZDef σ ), (213) atd, kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení Tyto pravděpodobnosti(pro dlužníka s ratingem BB) jsou uvedené v Tab 26 Pravděpodobnosti Pravděpodobnostidle Rating přechodu(%) Asset value model AAA Φ ( Z AA ) σ AA 014 Φ ( ) ( Z AA σ Φ ZA A 067 Φ ( ) ( Z A σ Φ ZBBB ) σ BBB 773 Φ ( ) ( Z BBB σ Φ ZBB ) σ BB 8053 Φ ( Z BB ) ( σ Φ ZBσ ) B 884 Φ ( Z Bσ ) ( Φ ZCCC ) CCC 100 Φ ( Z CCC σ Default 106 Φ ( Z Def σ σ σ ) ) ( ZDef ) Φ Tab 26: Pravděpodobnosti přechodu za 1 rok pro dlužníka s ratingem BB Souvislost mezi výnosy aktiv a ratingem lze znázornit schematicky jako na Obr 22, kde je zobrazeno navrstvení mezních hodnot výnosů na rozdělení výnosů aktiv ) σ 2 Tentopředpokladsevpraxinevyužívá,alepronašeúčelystředníhodnotavýsledekneovlivní 22

27 Obr 22: Rozdělení výnosů aktiv s mezními hodnotami změn ratingu Jezřejmé,žepravděpodobnostiuvedenévTab26semusívkaždémřádku rovnatpokudtedyuvažujemepravděpodobnostidefaultu,hodnotaφ ( Z Def ) σ se musírovnat106%,zčehožvypočítámehodnotu Z Def zevzorce(214) Z Def =Φ 1 (106%) σ= 230σ, (214) kdeφ 1 (p)udáváúroveň,podkterouklesnenáhodnáveličinasestandardním normálním rozdělením s pravděpodobností p Užitím této hodnoty můžeme uvažovat pravděpodobnost, že nový rating na konci období bude CCC, k vypočtení Z CCC,pakpravděpodobnost,ženovýratingbude B,provýpočet Z B atdzískané hodnoty jsou uvedeny v Tab 27 Je vhodné poznamenat, že neexistuje žádnámezníhodnota Z AAA,neboťjakýkolivvýnospřes343σznamenázvýšení ratingu na AAA Mez Hodnota Z AA 343σ Z A 293σ Z BBB 239σ Z BB 137σ Z B 123σ Z CCC 204σ 230σ Z Def Tab 27: Mezní hodnoty výnosů aktiv pro dlužníka s ratingem BB Předpokládejme nyní, že máme dalšího dlužníka s ratingem A(a tedy máme portfolioo2dluhopisech)označmejehovýnosaktivjako R,směrodatnouodchylku σ amezníhodnotyvýnosůaktivjakoz Def, Z CCC,atdPravděpodobnosti přechodu a mezní hodnoty výnosů aktiv jsou pro ilustraci uvedeny v Tab 28 23

28 Rating Pravděpodobnost Mez Hodnota AAA 009% AA 227% Z AA 312σ A 9105% Z A 198σ BBB 552% Z BBB 151σ BB 074% Z BB 230σ B 026% Z B 272σ CCC 001% Z CCC 319σ Default 006% Z Def 324σ Tab 28: Pravděpodobnosti přechodu a mezní hodnoty výnosů aktiv pro dlužníka s ratingem A Do teď jsme popisovali každého dlužníka individuálně podle průběhu hodnoty jeho aktiv Abychom popsali vývoj dvou dlužníků zároveň, předpokládejme, že výnosyaktivjsoukoreloványamajínormálnírozdělení 3 Zbývátedypouzespecifikovat korelaci ρ mezi dvěma výnosy aktiv Nechť máme kovarianční matici pro dvourozměrné normální rozdělení: ( ) σ 2 ρσσ Σ= ρσσ σ 2 Nazákladětohotovíme,jakseměnízároveňhodnotyaktivdvoudlužníkůamůžeme tedy použít mezní hodnoty k tomu, abychom věděli, jak se současně mění jejich rating Konkrétně chceme spočítat pravděpodobnost, že oba dlužníci zůstanou ve své současné ratingové kategorii To je pravděpodobnost, že výnos aktiv dlužníkasratingembbpadnemezi Z B a Z BB,asoučasněvýnosaktivdlužníkasratingemApadnemezi Z BBB a Z A Pokudjsouvýnosyaktivnezávislé(tj ρ = 0), pak je tato pravděpodobnost pouze součinem 8053%(pravděpodobnosti, že dlužník s ratingem BB zůstane BB) a 9105%(pravděpodobnosti, že dlužník sratingemazůstanea)pokudje ρnenulové,pakpočítáme: P[Z B < R < Z BB,Z BBB < R < Z A]= ZBB Z A Z B Z BBB f(r,r ;Σ)dr dr, (215) kde f(r,r ;Σ)jehustotadvourozměrnéhonormálníhorozdělenískovariančnímaticí Σ Takto lze vypočítat pravděpodobnosti všech 64 možných společných změn ratingů obou dlužníků Nechť p 12 jepravděpodobnost,žeobadlužníci1i2zdefaultujíkorelacidefaultu mezi těmito dvěma dlužníky pak můžeme psát jako ρ D = p 12 p 1 p 2 p1 (1 p 1 )p 2 (1 p 2 ), (216) kde p 1,resp p 2 jepravděpodobnost,žedlužník1,respdlužník2zdefaultuje Převedení z korelace aktiv na korelace defaultu významně snižuje korelaci 3 TechnickypředpokládámedvourozměrnénormálnírozděleníNenívšaknutnéuvažovatnormální rozdělení, můžeme předpokládat jakékoliv vícerozměrné rozdělení, kde sdružené pohyby hodnot aktiv mohou být charakterizovány jedním korelačním parametrem 24

29 Všimněmesidále,žerovnice(215)nezávisíanina σanina σ Volatilita,kterou potřebujeme k modelování, je zahrnuta v pravděpodobnostech přechodu každého dlužníka Důsledek je ten, že můžeme uvažovat standardizované výnosy aktiv, tj s nulovou střední hodnotou a jednotkovou směrodatnou odchylkou Jediný parametr, který pak musíme odhadnout, je korelace mezi výnosy aktiv 225 Odhad korelací aktiv Nejjednodušším způsobem jak odhadnout korelace mezi jednotlivými aktivy je použít fixní hodnotu pro všechny dvojice dlužníků v portfoliu V tomto případě se ale ztrácí např schopnost popsat riziko v důsledku nadměrné koncentrace v jednotlivých odvětvích Ukážeme metodu, ve které nahradíme korelace aktiv korelacemi výnosů akcií Ačkoliv má tato metoda nevýhodu v podobě nerozlišování mezi korelacemi aktiv a korelacemi výnosů akcií, stále je vhodnější než užití fixních korelací a je založena na dostupnějších datech než jsou kreditní spready nebo současné změny ratingu V nejlepším případě bychom mohli spočítat korelace pro každou dvojici dlužníků, ovšem nedostatek dat pro velké množství dlužníků stejně jako neschopnost uchovávat korelační matici o potřebné velikosti dělá tento postup nevhodným Z tohoto důvodu se uchýlíme k metodě, která závisí na korelacích uvnitř skupiny indexů a mapovacímu schématu k vytvoření korelací mezi dlužníky z korelací mezi indexy Stanovení korelací mezi dlužníky má 2 kroky: 1 využijeme průmyslové indexy v jednotlivých zemích, abychom zkonstruovali matici korelací mezi těmito průmyslovými odvětvími(sektorová korelace) 2 rozdělíme jednotlivé dlužníky podle podílu v průmyslových odvětví Užitímtěchtovahakorelacímeziodvětvímizkroku1získámekorelacemezi dlužníky Prodalšívýpočetoznačme R (k) t výnos k-tého indexu v t-tém týdnu, pak spočítámeprůměrnýtýdennívýnos R (k) tohotoindexupodlevzorce(217)atýdenní směrodatnouodchylku σ k výnosupodlevzorce(218) R (k) = 1 T σ k = 1 T 1 T t=1 T t=1 R (k) t (217) ( R (k) t R (k) ) 2 (218) Dále spočítáme pro všechny dvojice indexů kovarianci týdenních výnosů Cov(k, l) podlevzorce(219)akorelacitýdenníchvýnosů ρ k,l podlevzorce(220) Cov(k,l)= 1 T 1 T t=1 ( R (k) t R (k) )( R (l) t R (l) ) (219) 25

30 ρ k,l = Cov(k,l) σ k σ l (220) Pokud uvažujeme, že každá protistrana je definována z jisté části indexem reprezentujícím jeden sektor(ekonomiku) a z jisté části specifickým faktorem(reprezentujícím vliv řízení firmy, tedy je nekorelovaný s indexy), máme dvě nezávislé náhodnéveličinysnormovanýmnormálnímrozdělenímr index ar faktor,kterépředstavují normované výnosy indexu a normované výnosy specifické dané protistraně Pak je standardizovaný výnos protistrany dán vzorcem(221) r protistrana = w 1 r index +w 2 r faktor, (221) kde w i, i=1,2,jsouváhypředstavujícívlivindexuaspecifickéhofaktoruprotože celková volatilita musí být jedna(protože výnosy jsou standardizované), platí w 2 = 1 w 2 1KorelacimeziprotistranamiXaYsindexy index X a index Y pak v našem případě spočítáme ze vzorce(222) ρ(x,y)=w 1 w 1 ρ(index X,index Y ) (222) 226 Simulace Monte Carlo Analytický výpočet odhadu rizika je sice rychlý a precizní, nevýhodou však je, že nelze použít pro mnoho dluhopisů Pokud tedy máme mnoho dluhopisů, použijeme metodu Monte Carlo Cílem této metody je vygenerovat velký počet budoucích scénářů a skládá se ze tří kroků: 1 Generování scénářů Každý scénář odpovídá výnosu realizovanému na konci časového horizontu, na jehož základě stanovíme nový rating Scénáře generujeme pomocí inverzní distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, do které dosazujeme čísla z intervalu(0, 1)(pravděpodobnosti), která generujeme jako náhodný výběr z rovnoměrného rozdělení U(0, 1) 2 Ocenění dluhopisu Pro každý scénář přeceníme portfolio, abychom zohlednili nový rating Tento krok nám dává velký počet možných budoucích hodnot portfolia 3 Shrnutí výsledků Z 2 kroku máme vygenerované hodnoty, takže jsme schopni určit distribuci rozložení hodnot portfolia Generování scénářů V této sekci se budeme zabývat tím, jak generovat scénáře budoucích ratingů pro dlužníky v portfoliu Budeme pracovat s Asset value modelem z části 224 Kroky ke generování scénářů jsou následující: 1 Stanovit mezní hodnoty výnosů aktiv pro dlužníky v portfoliu 2 Generovat scénáře výnosů aktiv v souladu s normálním rozdělením 3 Namapovat scénáře výnosů aktiv na scénáře ratingů 26

31 Abychom mohli popsat sdružené změny ratingu všech dlužníků, budeme předpokládat, že výnosy aktiv jsou normálně rozdělené a budeme určovat korelace mezi každýmidvěmadlužníky 4 Generováníscénářůprovýnosyaktivjejednoduchá záležitost generování korelovaných normálně rozdělených náhodných veličin Toto lze provést mnoha způsoby, např Choleského dekompozicí, singulární dekompozicí hodnoty atd My použijeme Choleského dekompozici(viz následující oddíl) Pro úplné určení scénářů je nutné pouze přiřadit scénáře ratingů ke scénářům výnosů aktiv Metoda Monte Carlo vykazuje náhodné fluktuace, které jsou méně významné s přibývajícím množstvím generovaných scénářů Je tedy důležité, máme-li k dispozici řadu generovaných scénářů, určit, jak blízko očekáváme, že budou naše odhady ke svým skutečným hodnotám Rozumný způsob, jak vybrat počet scénářů, které mají být generovány, je určit požadovanou úroveň přesnosti jednotlivé statistiky a generovat dostatek scénářů, abychom této úrovně dosáhli Choleskéhodekompozice Nechť γ=(γ 1,,γ n ) T jsouvzájemněnezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením vygenerované simulací MonteCarloanechť K jematice m npak K γmámnohorozměrnénormální rozdělenísestředníhodnotou0akovariančnímaticí K K T Chcemegenerovatkorelovanévektory δ=(δ 1,,δ n ),kde δmámnohorozměrné normální rozdělení se střední hodnotou 0 a s kovarianční maticí Σ Našímúkolemjetedynajítdolnítrojúhelníkovoumatici K =(k ij )tak,aby platiloσ=k K T,cožvyžadujeCholeskéhorozkladmaticeΣMatici K pak vytvoříme podle následujících vzorců: ( ) i 1 k ii = σ ii, s=1 s=1 k 2 is ( ) k ij = 1 j 1 σ ij k is k js, i > j, k jj k ij =0, i < j Z této matice pak určíme korelované scénáře a vektory δ spočítáme podle vzorce: δ 1 = k 11 γ 1 δ 2 = k 21 γ 1 +k 22 γ 2 δ n = k n1 γ 1 +k n2 γ 2 + +k nn γ n 4 Ztechnickéhohlediskajepředpokladtakový,žesdruženérozdělenívýnosůaktivjakéhokoliv souboru dlužníků je vícerozměrné normální rozdělení 27

32 Ocenění dluhopisu Ocenění dluhopisu při simulaci se provádí stejně jako v kapitole 221, tzn ocenění na základě současné hodnoty dluhopisu pro daný rating a v případě defaultu pomocí recovery rate Shrnutí výsledků V tomto okamžiku jsme vytvořili řadu možných budoucích hodnot portfolia Konečným úkolem je shrnout tyto informace ve smysluplné odhady rizika V této sekci budeme zkoumat řadu popisných statistik pro scénáře, které jsme vytvořili NejdřívespočítámeprůměrbudoucíhodnotyportfoliaOznačme V (1),V (2), hodnotyportfoliavpříslušnýchscénáříchpakvýběrovýprůměr µ p spočítáme následovně: µ p = 1 N V (i), N kde Njepočetscénářů Doposud jsme uvažovali pouze statistiky popisující rozdělení portfolia Lze také uvažovat jednotlivá aktiva, abychom zjistili, jak moc každé aktivum přispívá k rizikovosti portfolia, což je výhodou oproti Solvency II Z toho důvodu popíšeme marginální statistiky Obecně marginální statistika pro jednotlivé aktivum je rozdíl mezi statistikou celého portfolia a statistikou portfolia bez uvažovaného aktiva i=1 227 Rozšíření pro portfolio s více emitenty Výpočet probíhá stejně jako u portfolia se dvěma emitenty, jak bylo uvedeno v předchozím Nejprve určíme korelace mezi každými dvěma emitenty podle postupu v sekci 225 Pak použijeme simulaci Monte Carlo a nasimulujeme možné scénáře popisující, jaký rating mohou mít jednotliví emitenti za jeden rok Poté oceníme jednotlivé dluhopisy v závislosti na novém ratingu a vypočítáme hodnotu portfolia za jeden rok pro každý scénář Dále určíme střední hodnotu a směrodatnou odchylku, ačkoliv tyto dvě statistiky nemusí být nejvhodnější pro měření rizika(neboť rozdělení není normální) Pro určení kvantilu přímo seřadíme scénáře vzestupně a pokud chceme p% kvantil z n scénářů, vezmeme p% n-ní nejnižší hodnotu 28